晶体对称和极射投影
材第二章_晶体学基础
25
12 简单立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
26
13 体心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
27
14 面心立方点阵
a=b=c，α=β=γ =90°
28
2.3、晶向指数和晶面指数
晶向——通过晶体中任意两个原子中心连成直 线 来表示晶体结构的空间的各个方向。 晶面——晶体结构一系列原子所构成的平面。
8
2.2 布拉菲点阵
点阵（晶格）模型
晶胞
代表性的基本单元（最小平行六面体）
9
c
b
a
空间点阵及晶胞的不同取法
10
选取晶胞的原则： 1.要能充分反映整个空间点成的周期性和对称性； 2.在满足1的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； 3.在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
1
2
6
3
4 5
晶体学选取晶胞的原则
47
描述晶胞从以下几个方面： 晶胞中原子的排列方式 (原子所处的位置) 点阵参数 (晶格常数和晶轴间夹角) 晶胞中原子数 原子半径 R(原子的半径和点阵常数关系) 配位数和致密度 密排方向和密排面 晶体结构中间隙 (大小和数量) 原子的堆垛方式
48
三种典型金属晶体结构刚球模型
间隙有两种:四面体间隙和八面体间隙 八面体间隙: 位于晶胞体中心和每个棱边的中点， 由 6 个面心原子所围成,大小rB=0.414R，rB为间隙半径， R为原子半径，间隙数量为4个。
面心立方八面体间隙
55
面心立方四面体间隙
四面体间隙:由一个顶点原子和三个面心原子围成，其大 小：rB=0.225R，间隙数量为8个。
42
晶带定理的应用
晶体对称和极射投影ppt课件
晶体中的宏观对称元素
2，3，4，6次轴和平面点阵的结合
五种平面点阵分别属于下表的四种平面 晶系
对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2， 3，4，6轴和对称心，互相组合只能形 成10种二维晶体学点群
二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构 的周期性相适应。
原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组 直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与 一组直线点阵垂直。
空间群符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。 1. 第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C， A， B。 2. 其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称元
素。 3. 如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。 4. * 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如
对称元素的图示和印刷符号（1）
对称元素的图示和印刷符号（2）
了解Herman-Mauguin空间群符号
空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即 Pnma、I4/mmm等)来指定。 在简略符号中包含 能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。
从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点 阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦 然）。
立方晶系 六方晶系
四方晶系
三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
三个 4 或四个 3 一个 6 或 6
一个 4 或 4
一个 3 或 3
三个 2 一个 2
无（仅有i ）
O,Oh,T,Th,Td
C6 ,C6h ,C3h ,C6v D6 ,D6h ,D3h C4 ,S4 ,C4h ,C4V D4 , D4h , D2d
晶体学中的对称群
W 12 W 22
W13 ⎟⎞⎜⎛ x ⎟⎞ W 23 ⎟⎜ y ⎟
⎜⎝ ~z ⎟⎠ ⎜⎝ W 31 W 32 W 33 ⎟⎠⎜⎝ z ⎟⎠
简写： ~x = Wx
各种点对称操作：
（1）全同操作：不施以任何操作。 Hermann-Mauguin符号（HM）为：1 Schoenflies符号为：E 矩阵为：单位矩阵、全同矩阵。
主轴为n次轴，则有n张σv, σd处于两邻σv 之分角处。
以镜面的法线[u, v, w]表示镜面的方向。如m[010]
(m[010])⎜⎜⎛
x y
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ ⎜
x −y
⎟⎞ ⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ z ⎟⎠
（5）旋转倒反：（非纯旋转）： Hermann-Mauguin方法：旋转倒反 Schoenflies方法：旋转反映
纯旋转：
C
m n
↔
C n−m n
非纯旋转：
S
m n
↔
S n−m n
n为偶数
S
m n
↔
S 2n−m n
n为奇数
E ↔ E 特例
i↔i
σ ↔σ
,-
+
S3 +
+ +
S32=C32
-, +
S33=σh
+
+
+
,-
S34=C3
S35
S36=E
S
m n
↔
S 2n−m n
S3与S35, S32与S34互为逆操作
对称操作和对称元素两概念的区别与联系：
特点：在每一操作的过程中，空间的某一点（倒反 中心），某一条直线（转轴）或某一张平面 （镜面），总之至少有一个空间中的点保持 不动。
12晶体点群与极射赤面投影投影简版解析
2
m
2/m
mm22
222 2 mmm2
3
3
3m 2 32 2 3m 2
4
4
42m
4/m
4mm
422
4/mmm
6
6
62m
6/m
6mm
622 6/mmm
622
23
m3
43m
432
m3m
群的定义，group
元素的集合G={gi}，并且定义了一种乘法: gi gj = gk
1。封闭性：集合中的任意元素和另一元素 的乘积仍在这一集合中，gigj =gk G
• 等效点系在空间群表中表示为Wyckoff位置 。
Wyckoff位置 （1）
在国际表中包含的一个最有用的信息是Wyckoff位置。 Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一 个在y = 0，另一个在y = ½位置。
通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z 第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将
❖所有实数，普通加法，单位元素为0； ❖4点群：乘法 -> 旋转,每次旋转90；共
有四个元素：0Biblioteka 90,180,270；单位元 素是0； 90和270是互为逆元素，180 的逆元素是其本身；任何两次连续旋转都 会是这四个角度之一。
1
1
2
m
2/m
mm22
222 2 mmm2
3
3
3m 2
32 2
3m 2
• 空间群= Pnma 点群= mmm 空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
晶体的对称
❖ 对称中心以字母C表示, 图示符号为“o” 或“C”表示。
❖ 晶体中可以有对称中心，也可以没有对称 中心，若有只能有一个，而且必定位于晶体 的几何中心。
❖ 晶体中如果存在对称中心，则所有晶面必 然两两反向平行而且相等。用它可以作为判 断晶体有无对称中心的依据。
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4、旋转反伸轴（Lin）
现在性质上。 总之，由于晶体具有格子构造，因此其
对称不同于其它物体的对称。晶体的对称 具有表里一致性。
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二、晶体的对称要素和对称操作
• 对称操作：是指欲使物体或图形中相同部
分重复出现的操作。
• 对称要素：在进行对称操作时所凭借的几
何要素（点、线、面）。
1、对称面（P） 2、对称轴（Ln） 3、对称中心（C） 4、旋转反伸轴（Lin） 5、旋转反映轴（Lsn）
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立方体的对称要素及其赤平投影
• 图中可见，立方体的L4、L3和L2分别是四、三 和两个对称面的交线，其赤平投影点落于对称 面投影的交点上。
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3、对称中心（C）
• 对称中心：是晶体内部的一个假想点，通过该点 作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的 两端，必定可以找到对应点。
• 相应对称操作：对一个点的反伸（倒反）。
▪ 旋转反映轴的作用可以由旋转反伸轴来代替：
Ls1＝P＝Li2；
Ls2＝C＝Li1；
Ls3＝ L3＋P⊥ ＝Li6 ；
Ls4＝Li4 ；
Ls6 ＝ L3＋C ＝Li3
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综上所述，在晶体的外部形态上 可能存在而且具有独立意义的对称 要素只有九种：
•对称中心：C •对 称 面：P •对 称 轴：L1、L2、L3、L4、L6 •旋转反伸轴：L4i、L6i
潘金生材料科学基础(修订版)知识点笔记课后答案
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
结晶学基础教案
第一部分结晶学基础教案任课老师：许虹2002年2月第一章绪论一．晶体和非晶体 crystal and noncrystal晶体：具有格子构造的固体。
如SiO2:石英——晶体,玻璃——非晶体NaCl晶体二．空间格子 Space lattice晶格结点重复规律，抽象→ 几何图形—空间格子—相当点组成相当点条件：（1）性质相同，质点，空间任意一点（2）环境方位性同空间格子要素：空间格子最小重复单位。
实际晶体相应的是晶胞（形状，大小）三．晶体的基本性质 The ultimate properties of crystal自限性 property of self-confinement,均一性 homogeneity,各向异性 anisotropy,对称性symmetry,最小内能minimum internalenergy,稳定性 stability第二章晶体的形成 crystal formation （第一章和第二章共2学时）重点：晶体概念，空间格子，晶体的基本性质难点：空间格子←NaCl晶体←空间格子←NaCl, FeS2一．晶体形成的方式the way of crystal formation 二．晶核的形成三，晶体的生长 crystal growth介绍两种主要理论。
1．层生长理论layer growth2．螺旋生长理论 BCF Buston-Cabresa-Frank三．晶面发育growth of crystal face三个主要理论。
1.布拉维法则law of Bravais实际晶体的晶面常常平行网面结点密度最大的面网。
2.居里—吴里夫原理就晶体的平衡形态而言，各晶面的生长速度与各晶面的比表面能成正比。
3.周期键链理论PBC Periodic Bond Chain晶体平行键链生长，键力最强的方向生长速度最快。
第三章、晶体的测量与投影一．面角恒等定律Law of constancy of angle 定律：同种晶体之间，对应晶面间的夹角恒等。
《结晶学与矿物学》课程笔记
《结晶学与矿物学》课程笔记第一章：晶体及结晶学一、引言1. 晶体的定义- 晶体是一种固体物质，其内部原子、离子或分子在三维空间内按照一定的规律周期性重复排列，形成具有长程有序结构的物质。
- 晶体的特点是在宏观上表现出明确的几何外形和物理性质的各向异性。
2. 结晶学的定义- 结晶学是研究晶体的形态、结构、性质、生长和应用的科学。
- 它是固体物理学、化学和材料科学的一个重要分支。
3. 晶体与非晶体的区别- 晶体：具有规则的内部结构和外部几何形态，物理性质各向异性。
- 非晶体（如玻璃）：内部结构无规则，没有长程有序，物理性质各向同性。
二、晶体的基本特征1. 几何外形- 晶体通常具有规则的几何外形，如立方体、六方柱、四方锥等。
- 几何外形是由晶体的内部结构决定的。
2. 晶面、晶棱和晶角- 晶面：晶体上平滑的平面，由晶体内部的原子平面构成。
- 晶棱：晶面的交线，由晶体内部的原子线构成。
- 晶角：晶棱之间的夹角，由晶体内部的原子角构成。
3. 晶面指数、晶棱指数和晶角指数- 晶面指数：用来表示晶面在晶体中的位置和方向的符号。
- 晶棱指数：用来表示晶棱在晶体中的位置和方向的符号。
- 晶角指数：用来表示晶角的大小和方向的符号。
4. 物理性质各向异性- 晶体的物理性质（如电导率、热导率、折射率等）随方向的不同而变化。
- 这是因为晶体内部原子的排列在不同方向上有所不同。
三、晶体的分类1. 天然晶体与人工晶体- 天然晶体：在自然界中形成的晶体，如矿物、岩石等。
- 人工晶体：通过人工方法在实验室或工业生产中制备的晶体。
2. 单晶体与多晶体- 单晶体：整个晶体内部原子排列规则一致，具有单一的晶格结构。
- 多晶体：由许多小晶体（晶粒）组成的晶体，晶粒之间排列无序。
3. 完整晶体与缺陷晶体- 完整晶体：内部结构完美，没有缺陷的晶体。
- 缺陷晶体：内部存在点缺陷、线缺陷、面缺陷等结构缺陷的晶体。
四、晶体的生长1. 晶体生长的基本过程- 成核：晶体生长的起始阶段，形成晶体的核。
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1.5.1 球面投影
迹式球面投影法 极式球面投影法
迹式球面投影法
极式球面投影法
1.5.2 极射赤面投影
基圆 投影面 P
N 参考球
P' N'
投射点
W
W'
B O'
E'
O 观察者 E
S'
通过BOPP'的截面
P O P' B
S
O'
极射赤面投影的两个重要的性质： 1、球面上圆的投影仍然为圆 2、球面上两个圆的夹角等于它们投影之 间的夹角。（如何测量？乌氏网）
（b）转动过程
（c）转动结果
100 110 111 010 011 101 001 111 011 010 110
111 110
101
111 110
100
（100）极图
100 101
111 101 111 001 011 110 111 111 011
110
100
011
010
010 111 101 110 100 011
旋转反演 L( )I
对称元素
对称中心 反映面(镜面) 一重旋转轴
国际符号
对称操作
倒反 反映 旋转
等同元素或组合成分
1
i
m
1
I M
L(0 ) L(180 ) L(120 ) L(90 )
3 i 3
2
二重旋转轴
三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴 四重反轴
2 3 4 6
旋转
旋转 旋转 旋转 旋转倒反
C 2 ,C S ,C 2 h
a b c, 900 , 900
a b c ,
C1 ,Ci
1.4.2 微观对称元素：
由于晶体的周期性结构，是无限的几何图 形，具有微观对称性——微观对称元素。 点阵 螺旋轴 nm 滑移面 如 二重螺旋轴 21 平移 螺旋旋转
( t )L( )
a
反映平移 M( t )
1 / 2a
同形性：宏观中，平移被掩盖，其它操作宏观微观一一对应。
从晶系到空间群
7个晶系
（按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
32个点群
230个空间群
空间群(Space Group)
晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身 的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。它 是晶体的对称宏观元素和微观对称元素的总和，一共有230 种空间群。 空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点群的组合。 230个空间群是由14个Bravais点阵与32个晶体点群系统组 合而成。
晶体的宏观对称类型： 八类对称元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。 由此，推出晶体所属的32个点群。
轴
轴—面 mh mv
无面
C1 CS
C2 C2h C2V D2 D2h
D2d
C3 C3h C3V D3 D3h
D3d C3i
C4 C4h C4V D4 D4h
S4
C6 C6h C6V D6 D6h
空间群分布
三斜晶系：2个；单斜晶系：13个 正交晶系：59个； 三方晶系：25 四方晶系：68个；六方晶系：27个 立方晶系：36个。 有对称中心90个，无对称中心140个。 73 个 symmorphic (点式) ， 157个 non-symmorphic。
空间群对称元素的标准符号
* 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如P21/c,
如滑移面选为在a方向，符号为P21/a;如滑移面选为对角滑移，符号为
P21/n。
1.5 晶体的投影
1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5
球面投影 极射赤面投影 吴氏网和极网 标准投影 极射投影的应用
三个 4 或四个 3
O ,Oh ,T ,Th ,Td
C 6 ,C 6 h ,C 3 h ,C 6 v D 6 , D 6 h , D3 h C 4 , S 4 , C 4 h , C 4V D4 , D4 h , D2 d
C3 ,C3i ,C3V , D3 , D3d
a b c, 900
Sn:具有一个n次反轴的点群。
T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。
O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
32种点群的表示符号及性质
1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,6
2. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面：
C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m
1.5.3 吴氏网和极网
北极
赤道 若以赤道平面
上一点为投影点， 投影面平行于NS轴， 则得乌氏网。 南极
若以N或S为投
射点，而投影面平 行于赤道平面，则
得到极网 。
转动轴与投影面呈任意倾角：轴的投影为B1点，欲使A1绕B1顺时针转动40º 。 将B1置于乌氏网的赤道线上； 将A1 、B1 同时绕NS轴转动， 直至B1 到达投影基圆圆心B2 ， A2 48° A4 48° B1 48° B2 A3
1.4 晶体宏观、微观对称及空间 群和点群
1.4.1 宏观对称 1.4.2 微观对称 1.4.3 空间群和点群
1.4.1 晶体的宏观对称元素： 1、宏观对称元素：由于晶体中的某部分为有限的几何图形， 具有点对称性——宏观对称元素。
对称中心 i
反演
反映面 m
旋转轴 n 反轴 n
反映
旋转
I M L( )
X
Z
2，m
Y
2，m
Z
222,mm2,mmm
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m 6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
无， 2，m X
无， 2，m 底对 角线 无 无， 2，m 底对 角线
三方 六方
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与
一组直线点阵垂直。 2、晶体中存在的对称轴的轴次仅限于1，2，3，4，6， 而不存在5及6以上的轴次。
32个晶体学点群
晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称元 素会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶 体学点群. 晶体的宏观对称元素只有8种，晶体点群
3.旋转轴加通过该轴的镜面：
C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm
4.旋转反演轴
S2= Ci, S4,S6=C3d; -1,-4,-3
32种点群的符号表示符号及性质
5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴：
D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622
6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面：
轴—21—面 轴—m—i 正四面体
mh mv Ci T Th
Td
正八面体
O Oh
晶系和空间点阵形式：
1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把
32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个 数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。 晶系 特征对称元素 所属点群 晶胞参数 立方晶系 六方晶系 四方晶系 三方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
40°
A1
A1 点沿自身所在纬线转过相
同的角度到达A2；
A2 绕B2 按预定方向和角度
转过40º 角到达A3；
B2按步骤②中的逆向转回到其投影位置B1，A3沿其所在纬线绕NS转 过与B2相同的角度到达A4，A4即为A1绕B1转动40º 角后的新位置。
投影面的转换：利用极点转动的方法可将晶面或晶向向新的投影面投影。
011
011
111 111
101
110
111
111
111
101
110 100
b) （011）
c) （111）
立方
2,m,4m 面对 角线 角线
23,m3,432, `43m, m`3m
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
3 m 6
L(60 )
L(90 ) I
4
晶体中的宏观对称元素
2，3，4，6次轴和平面点阵的结合
五种平面点阵分别属于下表的四种平面 晶系
对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2， 3，4，6轴和对称心，互相组合只能形 成10种二维晶体学点群
二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构 的周期性相适应。 原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组
数目也受到限制, 只有32种.
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称 元素 第二位 第三位 方向 点群 方向 可能对称元 方向 可能对称元 素 素
三斜
单斜
1,`1
2,m,2/ m
任意 无
Y 无
无
无
1，`1
2,m,2/m
正交
四方
2，m
4,`4， 4/m 3,`3 6,`6, 6/m
D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm