初三数学练习(因式分解的常用方法)

1. 计算：
（1）15)32125(
⨯+ （2）)52)(103(-+ （3）)23()23(-⨯+，
（4）2)523(+ （5）(12)323242731(
⋅--， （6）)32)(532(+-
（7）
11
1
2-⎛⎫+ ⎪⎝⎭， （8）26)1(30--+-π，
（9）b
a b +2a a 3b)-(3a b a +9ab)(a>0,b>0)（10）m
n b a n m m n mn m ab m n a 222)(÷+-
因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决
许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内
容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教
材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基
础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；
(2)(a ±b)2=a 2±2ab+b 2 ———a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；
(3)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这
个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，
然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++每组之间还有公因式！
=))((b a n m ++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。

第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+-原式=)510()2(by ay bx ax +-+-
=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---
=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --
练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ay ax y x ++-2
2
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所
以只能另外分组。

解：原式=)()(22ay ax y x ++-
=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+
例4、分解因式：2222c b ab a -+-
解：原式=222)2(c b ab a -+-
=22)(c b a -- =))((c b a c b a +---
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222---
综合练习：（1）3
223y xy y x x --+
（2）b a ax bx bx ax -+-+-22
（3）181696222-+-++a a y xy x
（4）a b b ab a 4912622-++-
（5）92234-+-a a a
（6）y b x b y a x a 222244+--
（7）222y yz xz xy x ++--
（8）122222++-+-ab b b a a
（9）)1)(1()2(+---m m y y
（10）)2())((a b b c a c a -+-+
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？
例5、分解因式：652++x x
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。

1 2
解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3
=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：672+-x x
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1
=)6)(1(--x x 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x
练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x
经典一：
一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3
-4m= .
3.分解因式： x 2-4y 2= _______.
4、分解因式：244x x ---=_________________。

5.将x n -y n 分解因式的结果为(x 2+y 2
)(x+y)(x-y)，则n 的值为 . 6、若5,6x y xy -==，则22x y xy -=_________，2222x y +=__________。

二、选择题
7、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( )
A 、5mn
B 、225m n
C 、25m n
D 、2
5mn
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ) A 、()()2339a a a +-=- B 、()()22a b a b a b -=+-
C 、()2
4545a a a a --=-- D 、23232m m m m m ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭ 10.下列多项式能分解因式的是（）
(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+4
11．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ）
A ．（x －y ）（x －y －1）
B ．（y －x ）（x －y －1）
C ．（y －x ）（y －x －1）
D ．（y －x ）（y －x ＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ）
B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）
C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）
D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）
13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）
A.2
B.4
C.2y 2
D.4y
2 三、把下列各式分解因式：
14、nx ny - 15、 16、()()m m n n n m -+-
17、3222a a b ab -+ 18、()222416x x +- 19、；
2
294n m -22)(16)(9n m n m --+。