初中数学 配方法 同步习题
七年级配方法练习题
七年级配方法练习题一、选择题1. 配方法是一种将二次三项式转化为完全平方的方法，以下哪个选项不是配方法的步骤？A. 将二次项系数化为1B. 将常数项移到等号右侧C. 将一次项系数除以2的平方加到等式两边D. 将二次项系数除以2乘以一次项系数2. 对于二次三项式 \( ax^2 + bx + c \)，若 \( a \) 为负数，以下哪个选项是正确的配方法步骤？A. 直接将 \( ax^2 \) 转化为 \( (x + \frac{b}{2a})^2 \)B. 先取相反数，使 \( a \) 为正数，再进行配方法C. 直接将 \( ax^2 + bx \) 转化为 \( (x + \frac{b}{2a})^2 \)D. 不需要任何变换，直接进行配方法3. 对于二次三项式 \( x^2 - 4x \)，配方法后的结果是什么？A. \( (x - 2)^2 - 4 \)B. \( (x - 2)^2 \)C. \( (x + 2)^2 - 4 \)D. \( (x + 2)^2 \)二、填空题4. 将二次三项式 \( 2x^2 + 6x \) 进行配方法后，结果应为 \( (x+ \_\_\_)^2 \)。
5. 若二次三项式 \( 3x^2 - 6x \) 配方法后为 \( (x - \_\_\_)^2 \)，求常数项。
6. 给定二次三项式 \( -x^2 + 4x - 3 \)，配方法后的结果为 \( -(x - \_\_\_)^2 - \_\_\_ \)。
三、解答题7. 对于二次三项式 \( x^2 + 4x - 5 \)，使用配方法将其转化为完全平方形式，并求出当 \( x \) 取何值时，该式有最小值。
8. 已知二次三项式 \( 2x^2 + 8x - 3 \)，使用配方法求出该式的最大值，并给出对应的 \( x \) 值。
9. 给定二次三项式 \( -3x^2 + 6x + 2 \)，使用配方法将其转化为顶点式，并说明顶点坐标。
人教版数学九年级上册21配方法 同步练习
人人人人人人人人人人21.2.1人人人人人人人一、选择题1.一元二次方程x2−4x−1=0配方后可化为( )A. (x+2)2=3B. (x+2)2=5C. (x−2)2=3D. (x−2)2=52.用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是( )A. (x+4)2=−9B. (x+4)2=−7C. (x+4)2=25D. (x+4)2=73.用配方法解方程x2−6x+8=0时，方程可变形为( )A. (x−3)2=1B. (x−3)2=−1C. (x+3)2=1D. (x+3)2=−14.已知方程x2−10x+n=0可以配方成(x−m)2=15的形式，那么x2−10x+m=n可以配方成下列的( )A. (x−5)2=20B. (x−5)2=30C. (x−5)2=15D. (x−5)2=405.若方程4x2−(m−2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m的值是( )A. −2B. −2或6C. −2或−6D. 2或−66.配方法解方程2x2−4x−6=0，变形正确的是( )A. (x+2)2=10B. (x−2)2=10C. (x+1)2=4D. (x−1)2=47.下列方程可用直接开平方法求解的是( )A. 9x2=25B. 4x2−4x−3=0C. x2−3x=0D. x2−2x−1=98.小马用配方法解一元二次方程4x2−bx+c=0时，先移项得到4x2−bx=−c，然后系数化为1时，方程右边忘记除以4，得到(x−2)2=7，则正确的变形为( )A. (x+2)2=194B. (x−2)2=34C. (x−2)2=194D. (x−2)2=16二、填空题9.x2−32x+______ =(x−______ )2．10.若(m2+n2−1)2=9，则m2+n2=．11.解方程：4(x−2)2−25=0．解：移项，得．方程左右两边同除以4，得．直接开平方，得，即x−2=52或x−2=−52．解得x1=，x2=．12.用配方法解方程2x2−8x−16=0时，可将方程变形为(x−m)2=n的形式，则方程m2x2−n2=0的解是。
配方法练习题
配方法练习题
一、选择题
1.将二次三项式x²-4x+1配方后得( ).
A. (x-2)²+3
B.(x-2)²-3
C. (x+2)²+3
D.(x+2)²-3
2.已知x²-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是( ).
A. x²-8x+(-4)²-31
B. x²-8x+(-4)³ = 1
C. x²+8x+4²=1
D. x²-4x+4=-11
3. 如果ax²+2(3-2a)x+3m-2=0 (a≠0)的左边是一个关于 x的完全平方式，则 a 等于( ).
A. 1
B. - 1
C. 1或9
D. -1或9
二、填空题
1. 方程x²+4x-5-0的解是 .
2.代数式x2−x−2
的值为0，则x的值为 .
x2−1
3. 已知(x+y)(x+y+2)-8=0,求x+y的值,若设 x+y=x,则原方程可变为 .所以求出x 的值即为x+y的值，所以x+y的值为 .
三、综合提高题
1.已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x²-4x+3=0 的解，求这个三角形的周长.
2.如果x2−4x+y2+6y+√z+2+13=0,求(xy)²的值.
3.新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元?。
人教版数学九年级上册 21.2.1 配方法 同步练习题含答案
21.2 解一元二次方程 21.2.1 配方法一、单项选择题1. 下列方程中，无实数根的是（ ）A ．x 2=4B ．x 2=2C ．4x 2+25=0D ．4x 2-25=02. 方程x 2－3x ＋2＝0的解是 ( )A ．1和2B ．－1和－2C ．1和－2D ．－1和23．用配方法解方程x 2＋2x=8的解为 ( )A ．x 1=4，x 2=－2B ．x 1=－10，x 2=8C ．x 1=10，x 2=－8D ．x 1=－4，x 2=2 4．用配方法解方程01322=−−x x 应该先变形为 ( )A ．98)31(2=−xB ．98)31(2−=−x C ．910)31(2=−x D ．0)32(2=−x 5．若关于x 的二次三项式x 2－ax ＋2a －3是一个完全平方式，则a 的值为 ( )．A ．－2B ．－4C ．－6D ．2或66．方程29180x x −+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．不能确定7. 方程（x+1）2-3=0的根是（ ）A ．x 1=1+3，x 2=1-3B ．x 1=1+3，x 2=-1+3C ．x 1=-1+3，x 2=-1-3D ．x 1=-1-3，x 2=1+38. 下列各命题中正确的是（ ）①方程x 2=-4的根为x 1=2，x 2=-2②∵（x-3）2=2，∴x-3=2±，即x=3±2③∵x 2-16=0，∴x=±4④在方程ax 2+c=0中，当a≠0，c ＞0时，一定无实根A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④9. 把方程x 2+23x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（ ）A ．（x+43）2=1673− B ．（x+23）2=415− C ．（x+23）2=415 D ．（x+43）2=1673 10. 将二次三项式3x 2+8x-3配方，结果为（ ）A ．3（x+38）2+355 B ．3（x+34）2-3 C ．3（x+34）2-325 D ．（3x+4）2-19 11. 已知方程x 2-6x+q=0可以配方成（x-p ）2=7的形式，那么x 2-6x+q=2可以配方成下列的（ ）A ．（x-p ）2=5B ．（x-p ）2=9C ．（x-p+2）2=9D ．（x-p+2）2=512. 用配方法解方程2250x x −−=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x −=C ．()229x +=D ．()229x −=二、填空题13. +−x x 82_________=(x －__________)2． 14. x x 232−＋_________=(x －_________)2． 15. 把右面的式子配成完全平方式：x 2-6x+ =（x- ）216. 用配方法将右面的式子转化为（x+m ）2+n 的形式：x 2+px+q=（x+ ）2+17. 若方程x 2-m=0有整数根，则m 的值可以是 （只填一个）18. 若2（x 2+3）的值与3（1- x 2）的值互为相反数，则x 值为19. 若（x 2+ y 2-5）2=4，则x 2+ y 2=20. 关于x 的方程2x 2+3ax-2a=0有一个根是x=2，则关于y 的方程y 2+a=7的解是21. 方程x 2－6x ＋8＝0的解是22．方程的解是______________．23．若x ＝1是方程x 2－mx ＋2m ＝0的一个根，则方程的另一根为______．24．关于x 的方程x 2＋mx －8=0的一个根是2，则m=______，另一根是______．三、解答题25. 用配方法解方程x 2＋4x ＝－326. 用配方法解方程241210x x −−=.27. 应用配方法把关于x 的二次三项式2x 2－4x ＋6变形，然后证明：无论x 取 任何实数值，二次三项式的值都是正数．042=−x x28. 用配方法说明：无论x取何值，代数式x2－4x＋5的值总大于0，再求出当x取何值时，代数式x2－4x＋5的值最小?最小值是多少?29. 用配方法说明下列结论：（1）代数式x2+8x+17的值恒大于0；（2）代数式2x-x2-3的值恒小于030. 若规定两数a、b通过“※”运算，得到4ab，即a※b=4ab，例如2※6=4×2×6=48（1）求3※5的值（2）求x※x+2※x-2※4=0中x的值（3）若无论x是什么数，总有a※x=x，求a的值答案：一、1---12 CADCD BCDDC BB二、13. 16 4 14. ⋅43,169 15. 23 26 16. 2p 442p q − 17. 1，4，9，…，答案不唯一18. ±319. 3或720. y 1=3 y 2=-321. x 1＝2 x 2＝4；22． x 1=0 x 2=423． －224． 2 －4三、25. 解: 两边同加上一次项系数一半的平方，配方得x 2＋4x+4＝－3+4， 即(x+2)2=1，从而21x +=±，得到x 1＝－1，x 2＝－3.26. 解: 二次项系数化为1，得21304x x −−=,，移项，得2134x x −=， 配方，得2134x x −+=2233（-）+（-）22，得到52x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭232，则322x −=±，∴1233,2222x x =−=−− 27. 解: 2x 2－4x ＋6=2(x 2－2x)+6=2(x 2－2x+1)+6-2=2(x －1)2＋4，无论x 取任何实数值，2(x －1)2≥0，则2(x －1)2＋4＞0.所以无论x 取任何实数值，二次三项式的值都是正数．28. 解；x 2－4x ＋5= x 2－4x ＋4+1=(x －2)2＋1，无论x 取何值，(x －2)2≥0，所以(x －2)2＋1＞0.即代数式x 2－4x ＋5的值总大于0，且当x ＝2时，代数式x 2－4x ＋5的值最小，最小值是1.29. 解：（1）x 2+8x+17= x 2+8x+16-16+17=（x+4）2+1∵（x+4）2≥0 ∴（x+4）2+1＞0即代数式x 2+8x+17的值恒大于0（2）2x-x 2-3= -x 2+2x -3= -（x 2-2x +3）= -（x 2-2x+1-1 +3）= -［（x-1）2+2］= -（x-1）2-2∵-（x-1）2≤0 ∴-（x-1）2-2＜0即代数式2x-x 2-3的值恒小于030. 解：（1）3※5=4×3×5=60（2）x ※x+2※x-2※4=04x 2+8x-32=0x 2+2x-8=0x 2+2x=8x 2+2x+1=8+1（x+1）2=9x+1=±3x+1=3，x+1= -3x1=2，x2=-4（3）a※x=x4ax=x1；当x=0时，a为任意数当x≠0时，a=4。
九年级数学配方法同步练习2
1.2 一元二次方程的算法（2）配方法 同步练习考标要求掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的解法。
重点：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 难点：理解把二次项系数不为1转化为1再配方的过程 一 选择题（每小题5分，共25分）1 下面是甲、乙、丙三位同学用配方法解一元二次方程的配方过程：甲：2220x x +-= 解：222120x x ++-=，()212x += 乙：24650x x -+=解：222463350x x -+-+=，()2234x -=丙：24650x x -+=解：235024x x -+=，222333502224x x ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2312x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭其中正确的是（ ）A 甲B 乙C 丙D 都不正确2 解一元二次方程22230x x +-=，配方正确的是（ ）A 217()24x +=B ()214x += C )214+= D 2113()24x +=3 把方程21302x x --=配方后得到的方程是（ ）A ()217x -=，B 2172x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C2132x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D2134x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4 已知：，则方程240x bx ++=a 的解为（ ）A 1x =4，2x =-1B 124,1x x =-=C 124,1x x ==D 124,1x x =-=-5 用配方法可以求得，不论x 为何实数，代数式：2243x x -++的值（ ）A 总不少于5，B 总不大于5C 总不少于8 ，D 总不大于8二 填空题（每小题5分，共25分）6 用配方法解方程23610x x --=，先应把二次项的系数化为____,因此需要两边同除以_______;7 20(0)ax bx c a ++=≠ 经过配方得到：()2215,x -= 则a=_____b= ___,C=______; 8 用配方法把方程2442x x -=-化成()2x a b +=的形式，其中a=___,b=_____ 9 已知x= -1是方程22220x ax a +-=的一个根，则a=_____10 把方程20(0ax bx c a ++=≠）配方,先两边同除以a 得:20b bx x a a++=，然后应把方程左边加上______，再减去________。
人教版九年级数学上同步练习卷：2121 配方法-九年级数学人教版(上)(解析版)
第二十一章一元二次方程21.2.1配方法一、选择题目：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的为A．B．C．D．【答案】D【名师点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟记并理解用配方法解一元二次方程的方法和步骤是做题的关键.2．用配方法解方程x2+2x=8时，方程可变形为A．（x﹣2）2=9 B．（x﹣1）2=8C．（x﹣1）2=3 D．（x+1）2=9【答案】D【解析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2+2x+1=9，配方，得（x+1）2=9．故选D．【名师点睛】本题考查了解一元二次方程−配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．3．若方程x2﹣8x+m=0可以通过配方写成（x﹣n）2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成A．（x﹣n+5）2=1 B．（x+n）2=1C．（x﹣n+5）2=11 D．（x+n）2=11【答案】D【名师点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．用配方法把代数式x2﹣4x+5变形，所得结果是A．（x﹣2）2+1 B．（x﹣2）2﹣9C．（x+2）2﹣1 D．（x+2）2﹣5【答案】A【解析】原式=x2﹣4x+4﹣4+5=（x﹣2）2+1．故选A．5．把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是A．p=﹣2，q=5 B．p=﹣2，q=3C．p=2，q=5 D．p=2，q=3【答案】B【解析】即则故选B．学科~网二、填空题目：请将答案填在题中横线上．6．一元二次方程2x=2的解是__________.【答案】x=【解析】方程两边同时开平方得：x=±2.故答案为x.【名师点睛】对形如(x+a)2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法叫直接开平方法.7．把方程x2−2x−4=0用配方法化为(x+m)2=n的形式，则m=__________，n=__________.【答案】（1）−1；（2）5.8．用配方法解方程x2﹣6x﹣1=0，经过配方后得到的方程式为__________.【答案】（x﹣3）2=10．【解析】x2−6x−1=0，（x−3）2−9−1=0（x−3）2=10，故答案为：（x−3）2=10．【名师点睛】此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=__________.【答案】1【解析】x2+2x−1=0，x2+2x=1，x2+2x+1=2，（x+1）2=2，则m =1，故答案为1．10．若把代数式x 2−4x −5化成(x −m )2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则m +k =__________.【答案】−711．若3a =，则代数式262a a --的值为__________.【答案】−1【解析】根据完全平方式可知262a a --=26911a a -+-=（a −3）2−11，代入3a =可得原式=（3-−3）2−11=10−11=−1.故答案为：−1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．解方程：y 2－2y －15＝0．【答案】【解析】，，，∴. 学科%网13．解方程（x +3）（x ﹣1）=12（用配方法）.【答案】x 1=3，x 2=﹣5【解析】将原方程整理，得x 2+2x =15，两边都加上12，得x 2+2x +12=15+12，即（x +1）2=16，开平方，得x +1=±4，即x+1=4，或x+1=－4，∴x1=3，x2=－5.【名师点睛】用配方法进行配方时先将二次项系数化为1，然后方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方.14．用配方法解方程：.【答案】，．【名师点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，且一次项的系数是2的倍数．学科+网祝福语祝你考试成功!。
人教版初中数学初三上册第二十一章《配方法解一元二次方程》同步练习题(解析版)
人教版初中数学初三上册第二十一章《配方法解一元二次方程》同步练习题（解析版）一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．用配要领解方程x2−4x−2=0变形后为()A．(x−2)2=6B．(x−4)2=6C．(x−2)2=2D．(x+2)2=62．将方程x2+8x+9=0左边变成完全平方法后，方程是（）A．(x+4)2=7B．(x+4)2=25C．(x+4)2=−9D．(x+4)2=−7 3．若方程x2﹣8x+m=0可以议决配方写成（x﹣n﹣2=6的形式，那么x2+8x+m=5可以配成（）A．﹣x﹣n+5﹣2=1B．﹣x+n﹣2=1C．﹣x﹣n+5﹣2=11D．﹣x+n﹣2=11 4．对二次三项式x2－10x＋36，小聪同砚以为：无论x取什么实数，它的值都不可能即是11；小颖同砚以为：可以取两个不同的值，使它的值即是11.你以为( )A．小聪对，小颖错B．小聪错，小颖对C．他们两人都对D．他们两人都错5．要是一元二次方程x2-ax+6=0经配方后，得（x+3﹣2=3，则a的值为（）A．3 B．-3 C．6 D．-6二、填空题6．方程x2﹣2x﹣2﹣0的解是____________.7．总结配要领解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为__________；(2)移项，使方程左边只有__________项；(3)在方程双方都加上__________平方；(4)用直接开平要领求出方程的根.8．（1）x2+6x+9=(x+____)2，（2）x2-_______+p24=(x−p2)2.9．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是____________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方法，则a=_________.10．x²-3x+____=(x-___)².三、解答题11．解方程：x2−2x=4﹣12．用配要领解方程：2x2−3x+1=0﹣13．用配要领说明：不论x取何值，代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大，第 1 页并求出两代数式的差最小时x的值．14．已知关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，（1）求k的取值范畴；（2）当k=2时，请用配要领解此方程．15．大众知道在用配要领解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再举行配方．现请你先阅读如下方程（1）的解答历程，并根据此要领解方程（2）．方程（1）2x2−2√2x−3=0．解：2x2−2√2x−3=0，(√2x)2−2√2x+1=3+1，(√2x−1)2=4，√2x−1=±2，x1=−√22，x2=3√22．方程（2）3x2−2√6x=2．参考答案1．A【剖析】【剖析】在本题中，把常数项-2移项后，应该在左右双方同时加上一次项系数-4的一半的平方．【详解】把方程x2-4x-2=0的常数项移到等号的右边，得到x2-4x=2,方程双方同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-4x+4=2+4,配方得（x-2）2=6．故选：A【点睛】配要领的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式双方同时加上一次项系数一半的平方．选择用配要领解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．2．A【剖析】【详解】﹣x2+8x+9=0﹣﹣x2+8x=−9﹣﹣x2+8x+16=−9+16﹣﹣(x+4)2=7.故选A.【点睛】配要领的一般步骤：（1）将常数项移到等号右边；（2）将二次项系数化为1；（3）等式双方同时加上一次项系数一半的平方.3．D【剖析】剖析：已知方程x2﹣8x+m=0可以配方成（x﹣n）2=6的形式，把x2﹣8x+m=0配方第 1 页即可得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配要领即可确定x2+8x+m=5配方后的形式．详解：∵x2﹣8x+m=0，∴x2﹣8x=﹣m，∴x2﹣8x+16=﹣m+16，∴（x﹣4）2=﹣m+16，依题意有：n=4，﹣m+16=6，∴n=4，m=10，∴x2+8x+m=5是x2+8x+5=0，∴x2+8x+16=﹣5+16，∴（x+4）2=11，即（x+n）2=11．故选D．点睛：考察明白一元二次方程﹣配要领，配要领的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式双方同时加上一次项系数一半的平方．选择用配要领解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．4．D【剖析】【剖析】议决配方写成完全平方的形式，用配要领解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右双方同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．再说明他的说法错误．【详解】当x2-10x+36=11时；x2-10x+25=0﹣﹣x-5﹣2=0﹣x1=x2=5﹣所以他们两人的说法都是错误的，故选D.【点睛】本题考察了配要领解一元二次方程，熟练掌握配要领的一般步骤是解题的要害.配要领的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1﹣﹣3）等式双方同时加上一次项系数一半的平方．选择用配要领解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．D【剖析】【剖析】可把（x+3）2=3按完全平方法展开，比拟即可知a的值．【详解】根据题意，（x+3）2=3可变为：x2+6x+6=0，和已知一元二次方程x2-ax+6=0比较知a=-6．故选：D【点睛】本题审核知识点：本题考察了配要领解一元二次方程，是基础题．6．x1﹣1﹣√3﹣x2﹣1﹣√3【剖析】剖析: 首先把常数-2移到等号右边，再双方同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可.详解:x2-2x-2=0，移项得：x2-2x=2，配方得：x2-2x+1=2+1，（x-1）2=3，双方直接开平方得：x-1=±√3，则x1=√3+1，x2=-√3+1．故答案为：x1＝1＋√3，x2＝1－√3.点睛: 此题主要考察了配要领解一元二次方程，配要领的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式双方同时加上一次项系数一半的平方.选择用配要领解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数. 7．1二次项及一次一次项系数一半的【剖析】剖析：根据配要领的步骤解方程即可．详解：总结配要领解一元二次方程的步骤是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边只有二次项及一次项；(3)在方程双方都加上一次项系数一半的平方；(4)用直接开平要领求出方程的根.点睛：此题考察了配要领，配要领的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式双方同时加上一次项系数一半的平方，选择用配要领解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．第 3 页8．3 px【剖析】【详解】根据完全平方公式得，x 2+6x +9=(x +3)2﹣x 2-px +p 24=(x −p 2)2. 故答案为3﹣px .9．3(x −13)2=103﹣2或6.【剖析】【剖析】首先把一元二次方程3x 2-2x -3=0发起3,然后再配方即可;【详解】根据题意,一元二次方程3x 2-2x -3=0化成,括号里面配方得,,即; ∵多项式x 2-ax+2a -3是一个完全平方法,,∴解得a=2或6.故答案为﹣(1). 3(x −13)2=103﹣ (2). 2或6.【点睛】本题考察了配要领解一元二次方程,解题的要害是熟练掌握用配要领解一元二次方程的步骤.10． 94, 32 【剖析】剖析：根据配要领可以解答本题．详解：∵x 2﹣3x +94=（x ﹣32）2， 故答案为：94，32．点睛：本题考察了配要领的应用，解题的要害是熟练掌握配要领．11．x 1=1+√5，x 2=1−√5．【剖析】【剖析】第 5 页双方都加1，运用配要领解方程.【详解】解：x 2−2x +1=5，(x −1)2=5，x −1=±√5，所以x 1=1+√5，x 2=1−√5．【点睛】本题审核知识点：解一元二次方程. 解题要害点：掌握配要领.12．x 1=12，x 2=1．【剖析】【剖析】利用配要领得到（x ﹣34）2=116，然后利用直接开平要领解方程即可．【详解】x 2﹣32x =﹣12， x 2﹣32x +916=﹣12+916， （x ﹣34）2=116x ﹣34=±14， 所以x 1=12，x 2=1． 【点睛】本题考察明白一元二次方程﹣配要领：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平要领求解，这种解一元二次方程的要领叫配要领．13．详见剖析.【剖析】【剖析】用求差法比较代数式2x 2+5x-1的值总与代数式x 2+7x-4的巨细，即2x 2+5x-1-（x 2+7x-4）=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=（x-1）2+2；当x=1时，两代数式的差最小为2．【详解】解：2x 2+5x-1-（x 2+7x-4）=2x 2+5x-1-x 2-7x+4=x 2-2x+3=（x-1）2+2，∵（x-1）2≥0，∴（x-1）2+2＞0，即2x 2+5x-1-（x 2+7x-4）＞0，∴不论x 取任何值，代数式2x 2+5y-1的值总比代数式x 2+7x-4的值大，当x=1时，两代数式的差最小为2．【点睛】本题审核知识点：配方.解题要害点：用求差法和配要领比较代数式的巨细.14．（1）k ≥﹣1且k ≠0；（2）x 1=√3−12，x 2=−√3−12． 【剖析】试题剖析：﹣1）当k =0时，是一元一次方程，有解；当k ≠0时，方程是一元二次方程，因为方程有实数根，所以先根据根的鉴别式﹣≥0，求出k 的取值范畴；﹣2）当k =2时，把k 值代入方程，用配要领解方程即可．解：（1）∵一元二次方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，∴22+4k ≥0，k ≠0，解得，k ≥﹣1且k ≠0；（2）当k=2时，原方程变形为2x 2+2x ﹣1=0，2（x 2+x ）=1，2（x 2+x +）=1+，2（x +）2=，（x +）2=x +=±， x 1=，x 2=． 15．x 1=√6+2√33 ，x 1=√6−2√33. 【剖析】【剖析】参照范例的步骤和要领举行剖析解答即可.【详解】原方程可化为：(√3x)2−2×√3×√2x +(√2)2=2+(√2)2，﹣ (√3x −√2)2=4，∴ √3x−√2=±2，∴x1=√6+2√33，x2=√6−2√33.【点睛】读懂范例中的解题要领和步骤是解答本题的要害.第 7 页。
21.2.1 配方法 同步练习(解析版)
21.2.1配方法同步练习一、选择题1、方程x 2-256＝0的根是（）A . 16B . -16C . 16或-16D . 14或-142、用直接开平方法解方程（x -3）2＝8，得方程的根为（）A . x ＝3＋B . x 1＝3＋x 2＝3-C . x ＝3-D . x 1＝3＋x 2＝3-3、以下的配方运算中，不正确的是（）A . x 2＋8x ＋9＝0，化为（x ＋4）2＝25B . 2t 2-7t -4＝0，化为2781=416t ⎛⎫- ⎪⎝⎭C . x 2-2x -99＝0，化为（x -1）2＝100D . 3x 2-4x -2＝0，化为2210=39x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4、若将方程x 2-6x -5＝0化成（x ＋m ）2＝n 的形式，则m ，n 的值分别是（）A . 3和5B . -3和5C . -3和14D . 3和145、用配方法解方程2310x x ++=，经过配方，得到（ ）A. 2313()24x += B. 235()24x += C. 2(3)1x += D. 2(3)8x +=6、若x 2＋6x ＋a 2是一个完全平方式，则a 的值是（ ）A. 3B. -3C. ±3D. 7、有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2-16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A. 24B. 24或C. 48D.8、若4x2＋（k-1）x＋9是完全平方式，则k的值为（）A. ±12B. -11或-12C. 13D. 13或-119、当x取任意值时，代数式x2-4x＋9的最小值为（）A. 0B. 9C. 5D. 4二、填空题10、方程（2x-1）2-25＝0的解为______．11、用适当的数填空．（1）x2＋3x＋______＝（x＋______）2；（2）16x2-8x＋______＝（4x-______）2；（3）a2-4ab＋______＝（a-______）2．12、当x＝______时，代数式x2-8x＋12的值是-4．13、已知方程x2﹣10x+24=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为______．14、在实数范围内定义一种运算“※”：a※b＝a2-b，按照这个规则，（x＋3）※25的结果刚好为0，则x的值为______．15、若（x2＋y2-5）2＝4，则x2＋y2＝______．三、解答题16、如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，求（n﹣m）2020的值．17、用配方法解方程6x2-x-12＝0．18、用配方法解方程x（x＋8）＝16．19、用配方法解方程（x -1）2-2（x -1）＋12＝0．20、阅读理解：解方程4x 2-6x -3＝0．解：4x 2-6x -3＝0， 配方，得4x 2-6x ＋262-⎛⎫ ⎪⎝⎭-262-⎛⎫ ⎪⎝⎭-3＝0， 即4x 2-6x ＋9＝12．故（2x -3）2＝12．即132x ，232x 以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．1、答案：C分析：本题考查了直接开平方法．解答：∵x 2-256＝0，∴x 2＝256．故x 1＝16，x 2＝-16，应选C ．2、答案：B分析：本题考查了直接开平方法．解答：∵（x -3）2＝8，∴x -3＝±．故x 1＝3＋，x 2＝3-．3、答案：A分析：本题考查了配方法．解答：由x 2＋8x ＋9＝0，配方可得（x ＋4）2＝7．4、答案：C分析：本题考查了配方法．解答：将x 2-6x -5＝0配方，得（x -3）2＝14，对应（x ＋m ）2＝n ，可得出m ＝-3，n ＝14.选C ． 5、答案：B分析：本题考查了解一元二次方程——配方法．按照配方法的步骤，先把常数项移到右侧，然后在两边同时加上一次项系数一半的平方，配方即可．解答：x 2+3x +1=0，x 2+3x =-1，x 2+3x +232⎛⎫ ⎪⎝⎭=-1+232⎛⎫ ⎪⎝⎭，235x 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 选B.6、答案：C分析：本题考查了配方法．解答：原式＝x 2＋6x ＋9-9＋a 2＝（x ＋3）2＋（a 2-9），由其是一个完全平方式知a 2-9＝0，得a ＝±3．7、答案：B分析：本题考查了配方法、三角形的三边关系、三角形的面积、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理．解答：解方程x 2-16x ＋60＝0，得x 1＝10，x 2＝6．根据三角形的三边关系，知x 1＝10，x 2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6，8，10时，构成的是直角三角形，其面积为12×6×8＝24； 当三边分别为6，6，8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为此时三角形的面积为182⨯⨯选B ． 8、答案：D分析：本题考查了配方法．解答：∵4x 2＋（k -1）x ＋9＝（2x ）2＋（k -1）x ＋32是完全平方式，∴k -1＝±2×2×3， 即k -1＝±12．∴k ＝13或k ＝-11．9、答案：C分析：本题考查了配方法．解答：x 2-4x ＋9＝x 2-4x ＋4＋5＝（x -2）2＋5．∵（x -2）2≥0，∴（x -2）2＋5的最小值为5，即x 2-4x ＋9的最小值为5．二、填空题10、答案：x 1＝3，x 2＝-2分析：本题考查了直接开平方法．解答：∵（2x -1）2-25＝0，∴（2x -1）2＝25．∴2x -1＝±5.∴x 1＝3，x 2＝-2．11、答案：（1）94，32（2）1，1（3）4b 2，2b 分析：本题考查了配方法． 解答：（1）x 2＋3x ＋94＝（x ＋32）2； （2）16x 2-8x ＋1＝（4x -1）2；（3）a 2-4ab ＋4b 2＝（a -2b ）2．12、答案：4分析：本题考查了配方法．解答：∵据题意可得x2-8x＋12＝-4，∴x2-8x＋16＝0.∴（x-4）2＝0.∴x＝4．13、答案：14或16分析：本题考查了一元二次方程的解法以及实际应用．先解方程的两根，再由三角形的三边关系定理确定三角形的周长．解答：配方得，x2−10x＋25−25＋24＝0，解得x＝6或4，∵方程x2−10x＋24＝0的两个根是一个等腰三角形的两边长，∴这个等腰三角形的周长为14或16．14、答案：2或-8分析：本题考查了新定义、直接开平方法．解答：由规则可得（x＋3）2-25＝0，解得x1＝2，x2＝-8．15、答案：7或3分析：本题考查了直接开平方法．解答：由题意可知x2＋y2-5＝，即x2＋y2＝5±2，∴x2＋y2＝7或x2＋y2＝3．三、解答题16、答案：1分析：本题考查了配方法．解答：∵x2+4x＝﹣n，∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，又（x+m）2＝3，∴m＝2，n＝1，则（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，故答案为：1．17、答案：13 2x=，24 3x=-分析：本题考查了配方法．解答：解：原式两边都除以6，移项得x 2-16x ＝2． 配方，得222111261212x x ⎛⎫⎛⎫-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即221171212x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因此1171212x -=或1171212x -=-， ∴132x =，243x =-．18、答案：14x ，2=4x -分析：本题考查了配方法．解答：解：原方程可化为x 2＋8x ＝16，配方，得x 2＋8x ＋42＝16＋42，即（x ＋4）2＝32，∴x ＋4＝±．∴14x ，2=4x -．19、答案：12y =± 分析：本题考查了配方法．解答：解：设x -1＝y ，则原方程可化为y 2-2y ＋12＝0．解得12y =±．因此x -1＝12±，即22x =±．故x 1＝2，x 2＝．20、答案：134x =，234x = 分析：本题考查了配方法．解答：解：错在没有把二次项系数化为1．正解：原式可化为23324x x -=， 配方，得23939216416x x -+=+，即2321=416x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3=44x -±，得134x =，234x =．。
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21．2解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为__两个一元一次方程___．3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝或mx＋n＝．知识点1：可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法1．方程x2－16＝0的根为( C)A．x＝4B．x＝16C．x＝±4 D．x＝±82．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D)A．m＞0 B．m≥0C．m＜0 D．m≤03．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( C)A．0个B．1个C．2个D．3个4．若4x2－8＝0成立，则x的值是．5．解下列方程：(1)3x2＝27；解：x1＝3，x2＝－3(2)2x2＋4＝12；解：x1＝2，x2＝－2(3)5x2＋8＝3.解：没有实数根知识点2：形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的解法6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( D)A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－47．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( D)A．k＜1 B．k＜－1C．k≥1 D．k＞18．一元二次方程(x－3)2＝8的解为．9．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；解：x1＝6，x2＝0(2)2(x －2)2－6＝0；解：x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3(3)x 2－2x ＋1＝2.解：x 1＝1＋2，x 2＝1－ 210．(2014·白银)一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a ＝__1___．11．若x 2－4x ＋2的值为0，则x ＝__2___．12．由x 2＝y 2得x ＝±y ，利用它解方程(3x －4)2＝(4x －3)2，其根为__x ＝±1___．13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程(x ＋2)*5＝0的根为__x 1＝3，x 2＝－7___．14．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( C ) A ．x 2－3＝0 B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2x ＝0D ．(x －1)2＝(2x ＋1)2 15．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )A ．x 1小于－1，x 2大于3B ．x 1小于－2，x 2大于3C ．x 1，x 2在－1和3之间D ．x 1，x 2都小于316．若(x 2＋y 2－3)2＝16，则x 2＋y 2的值为( A ) A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．19 17．解下列方程： (1)3(2x ＋1)2－27＝0； 解：x 1＝1，x 2＝－2(2)(x －2)(x ＋2)＝10； 解：x 1＝23，x 2＝－2 3(3)x 2－4x ＋4＝(3－2x)2；解：x 1＝1，x 2＝53(4)4(2x －1)2＝9(2x ＋1)2.解：x 1＝－52，x 2＝－11018．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，求x ＋3x2的值．解：由题意得2(x 2＋3)＋3(1－x 2)＝0，∴x ＝±3.当x ＝3时，x ＋3x 2＝23；当x ＝－3时，x ＋3x2＝019．如图，在长和宽分别是a ，b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形． (1)用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；(2)当a ＝6，b ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解：(1)ab －4x 2(2)依题意有ab －4x 2＝4x 2，将a ＝6，b ＝4代入，得x 2＝3，解得x 1＝3，x 2＝－3(舍去)，即正方形的边长为 3第2课时 配方法1．通过配成__完全平方形式___来解一元二次方程的方法叫做配方法． 2．配方法的一般步骤：(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边； (2)配方：方程两边同时加上__一次项系数的一半的平方___，使左边配成一个完全平方式，写成__(mx ＋n)2＝p___的形式；(3)若p__≥___0，则可直接开平方求出方程的解；若p__＜___0，则方程无解．知识点1：配方1．下列二次三项式是完全平方式的是( B ) A ．x 2－8x －16 B ．x 2＋8x ＋16 C ．x 2－4x －16 D ．x 2＋4x ＋162．若x 2－6x ＋m 2是一个完全平方式，则m 的值是( C ) A ．3 B ．－3C ．±3D ．以上都不对 3．用适当的数填空：x 2－4x ＋__4___＝(x －__2___)2；m 2__±3___m ＋94＝(m__±32___)2.知识点2：用配方法解x 2＋px ＋q ＝0型的方程4．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5时，此方程可变形为( D ) A ．(x ＋2)2＝1 B ．(x －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＝9 D ．(x －2)2＝9 5．下列配方有错误的是( D ) A ．x 2－2x －3＝0化为(x －1)2＝4 B ．x 2＋6x ＋8＝0化为(x ＋3)2＝1 C ．x 2－4x －1＝0化为(x －2)2＝5D ．x 2－2x －124＝0化为(x －1)2＝124 6．(2014·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( C ) A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2 7．解下列方程： (1)x 2－4x ＋2＝0；解：x 1＝2＋2，x 2＝2－ 2(2)x 2＋6x －5＝0.解：x 1＝－3＋14，x 2＝－3－14知识点3：用配方法解ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)型的方程8．解方程3x 2－9x ＋1＝0，两边都除以3得__x 2－3x ＋13＝0___，配方后得__(x －32)2＝2312___．9．方程3x 2－4x －2＝0配方后正确的是( D ) A ．(3x －2)2＝6 B ．3(x －2)2＝7C ．3(x －6)2＝7D ．3(x －23)2＝10310．解下列方程： (1)3x 2－5x ＝－2；解：x 1＝23，x 2＝1(2)2x 2＋3x ＝－1.解：x 1＝－1，x 2＝－1211．对于任意实数x ，多项式x 2－4x ＋5的值一定是( B ) A ．非负数 B ．正数 C ．负数 D ．无法确定12．方程3x 2＋2x ＝6，左边配方得到的方程是( B )A ．(x ＋26)2＝－3718B ．(x ＋26)2＝3718C ．(x ＋26)2＝3518D ．(x ＋26)2＝611813．已知方程x 2－6x ＋q ＝0可以配方成(x －p)2＝7的形式，那么x 2－6x ＋q ＝2可以配方成下列的( B )A ．(x －p)2＝5B ．(x －p)2＝9C ．(x －p ＋2)2＝9D ．(x －p ＋2)2＝514．已知三角形一边长为12，另两边长是方程x 2－18x ＋65＝0的两个实数根，那么其另两边长分别为__5和13___，这个三角形的面积为__30___．15．当x ＝__2___时，式子200－(x －2)2有最大值，最大值为__200___；当y ＝__－1___时，式子y 2＋2y ＋5有最__小___值为__4___．16．用配方法解方程： (1)23x 2＝2－13x ； 解：x 1＝32，x 2＝－2(2)3y 2＋1＝23y.解：y 1＝y 2＝3317．把方程x 2－3x ＋p ＝0配方得到(x ＋m)2＝12，求常数m 与p 的值．解：m ＝－32，p ＝7418．试证明关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，无论a 为何值，该方程都是一元二次方程．解：∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4≠0，∴无论a 取何值，该方程都是一元二次方程19．选取二次三项式ax 2＋bx ＋c(a ≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫做配方．例如：①选取二次项和一次项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2；②选取二次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(x －2)2＋(22－4)x ，或x 2－4x ＋2＝(x ＋2)2－(4＋22)x ；③选取一次项和常数项配方：x 2－4x ＋2＝(2x －2)2－x 2.根据上述材料，解决下列问题：(1)写出x 2－8x ＋4的两种不同形式的配方； (2)已知x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，求x y 的值． 解：(1)x 2－8x ＋4＝x 2－8x ＋16－16＋4＝(x －4)2－12；x 2－8x ＋4＝(x －2)2＋4x －8x ＝(x－2)2－4x (2)x 2＋y 2＋xy －3y ＋3＝0，(x 2＋xy ＋14y 2)＋(34y 2－3y ＋3)＝0，(x ＋12y)2＋34(y －2)2＝0，又∵(x ＋12y)2≥0，34(y －2)2≥0，∴x ＋12y ＝0，y －2＝0，∴x ＝－1，y ＝2，则x y ＝(－1)2＝1。