人教版高中数学B版必修4练习 向量的正交分解与向量坐标运算
人教B版高中数学必修四《2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算》0
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）认识平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的观点；（2）理解平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）能够在详细问题中适合地选用基底，使其余向量都能够用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的正确性.教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1）|λa |=|λ||a|；2）λ>0时λa 与a 方向同样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=02．运算定律联合律：λμa)=(λμ)a；分派律： λμ λμ，λ (a+)= λa+λ+)a=a +3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa. 二、解说新课：1．思虑：（1）给定平面内两个向量e 1，e 2，请你作出向量3e 1+2e 2，e 1-2e 2，（2）同一平面内的任一直量能否都能够用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示？平面向量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.2．研究：我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；基底不唯一，要点是不共线；由定理可将任一直量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给准时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a ，e 1，e 2独一确立的数目3．解说典范：例1已知向量e1，e2求作向量e1+3e2P例2如图，、不共线,且OAOBB APtAB(tR),用，表示OP.OAOBO A本是O A B已知、、三点不共线，若点P在直线AB上，则OP mOA nOB,且m n 1. 4．1：1.e1、e2是同一平面内的两个向量，有(D)A.e、e 必定平行B.e、e的模相等C.同一平面内的任一直量a都有a＝λe+μe(λ、μ∈R)121212e1、e2不共，同一平面内的任一直量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)a ＝e1-2e2，b＝21+2，此中e1、2不共，+b与c＝61-22的关系（Ｂ）ee e a eeB.共C.相等D.没法确立λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一基底，且a＝λ1e1+λ2e2，a与e1不共，a与e2不共．(填共或不共).5．向量的角:已知两个非a、b，作OAa，OB b，∠AOB＝，叫向量a、b零向量的角，当=0°，a、b同向，当=18°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，作a⊥b。
人教版数学高一人教B版必修4学案向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．[知识链接]1点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．3．求向量AB →的坐标需要知道哪些向量？答 求向量AB →的坐标，需要知道点A 和点B 的坐标． [预习导引] 1．向量的正交分解(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 2．向量的坐标表示在坐标平面xOy 内(如右图)，任作一向量a (用有向线段AB →表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2} 下的坐标．即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量．3．向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝λ(a 1，a 2)＝(λa 1，λa 2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(3)在直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．则线段AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.要点一 平面向量的坐标表示例1 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标． 解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)， a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪演练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标． 解 设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪演练2 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则 a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．要点二 平面向量的坐标运算例3 已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b .试求实数p ，q 的值． 解 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)， ∴p a ＋q b ＝p (－1,2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q,2p －q )．∵c ＝p a ＋q b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4.故所求p ，q 的值分别为1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来．(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)．跟踪演练3 已知A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，若CM →＝2CA →＋3CB →，求点M 的坐标． 解 由A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，得 CA →＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)，∴CM →＝2CA →＋3CB →＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)． 设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x －3，y －4)．由向量相等坐标相同可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15.∴点M 的坐标为(－11，－15).1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 答案 B解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1) 答案 A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )， 则BC →＝(4,3)，AD →＝(x ，y －2)， 由BC →＝2AD →得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，∴D (2，72)．4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 答案 7解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，－3m ＋2n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5.故m ＋n ＝7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．。
高中数学人教B版必修四2.2.1- 2.2.2《平面向量基本定理 向量的正交分解与向量的直角坐标运算》ppt课件
课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
人教版数学高一B版必修4优化练习向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知A(-5，-1)，B(3，-2)，则21-AB 的坐标为（ ） A.(8，1) B.(-4，21） C.(-8，1) D.(-8，-1) 解析：∵A(-5，-1)，B(3，-2)，∴AB =(8，-1).∴-21AB =(-4，21). 答案：B2.已知向量a =(3，m )的长度为5，则m 的值为（ ）A.4B.±4C.16D.±16 解析：作向量OA =a =(3，m)，则A 点坐标为(3，m)，|OA |=223m +=5，∴m=±4.答案：B3.设a =(4，3)，b =(λ，6)，c =(-1，μ)，若a +b =c ，则λ=___________，μ=___________. 解析：a +b =(4，3)+(λ，6)=(4+λ，9)=c =(-1，μ).⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=+.9,5,9,14μλμλ解得 答案：-5 94.设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，点P 的坐标为___________；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，点P 的坐标为___________.解：(1)如图(甲)，由向量的线性运算可知OP =21(1OP +2OP )=(2,22121y y x x ++). (2)如图(乙)，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即2121=PP P P 或21PP P P =2.(甲)(乙) 如果21PP P P =21，那么OP =1+P 1=1OP +3121P P =1+31(2OP -1OP )=321+312OP =(32,322121y y x x ++)， 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理，如果21PP P P =2，那么点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 答案：(1)(3,32121y y x x ++) (2)(32,322121y y x x ++)或(32,322121y y x x ++) 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a =(-7，24)，|λa |=50，则λ等于（ ） A.±252 B.2 C.-2 D.±2 解析：|λa |=|λ||a |=25|λ|=50⇒|λ|=2. 答案：D2.已知a =(-1，2)，b =(1，-2)，则a +b 与a -b 的坐标分别为（ ）A.(0，0)，(-2，4)B.(0，0)，(2，-4)C.(-2，4)，(2，-4)D.(1，-1)，(-3，3)解析：a +b =(0，0)，a -b =(-2，4).答案：A3.已知=(x ，y)，点B 的坐标为(-2，1)，则的坐标为（ ）A.(x-2，y+1)B.(x+2，y-1)C.(-2-x ，1-y)D.(x+2，y+1) 解析：=-，∴=-=(-2-x ，1-y).答案：C4.设a =(-1，2)，b =(1，-1)，c =(3，-2)，用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a +q b ，则实数p 、q 的值为（ ）A.p=4，q=1B.p=1，q=4C.p=0，q=4D.p=1，q=-4解析：c =(-p+q ，2p-q)，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=+-.4,1.22,3q p q p q p 解得答案：B5.已知m =(sin α+cos α，sin α-cos α)，则m 的长度为______________.解析：∵|m |2=(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2sin 2α+2cos 2α=2，∴|m |=2.答案：26.如图2-2-4所示的直角坐标系xOy 中，|a |=4，|b |=3，求a ，b 的坐标及B 点的坐标.图2-2-4 解：设a =(x ，y)，则x=|a |cos45°=4×2222=，y=|a |sin45°=4×2222=，即a =(22,22)；b 相对于x 轴正方向的转角为120°，设b =(u ，v)，∴u=|b |cos120°=3×(21-)=23-，v=|b |sin120° =3×32323=. ∴b =(23-，323). 又的坐标即为A 点的坐标， ∴A(22,22)，b =AB =(23-，323). 设B(a ，b )，∴(323,23)=(a -22，b -22), ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,32322,2322b a即B(2322-，32322+). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设A(1，2)，B(4，3)，若向量a =(x+y ，x-y)与相等，则（ ）A.x=1，y=2B.x=1，y=1C.x=2，y=1D.x=2，y=2解析：AB =(3,1),由AB =a ，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+.1,2,.1,3y x y x y x 得解之 答案：C2.△ABC 的两个顶点为A(4，8)，B(-3，6)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则C 的坐标为（ ）A.(-8，3)B.(-3，4)C.(3，-8)D.(-4，3)解析：设C=(x ，y)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.023,028x y解之，得⎩⎨⎧=-=.3,8x y ∴C=(3，-8). 答案：C3.若M(3，-2)，N(-5，-1)，且=21，则P 点坐标为（ ） A.(-8，-1) B.(-1，23-） C.(1，23） D.(8，-1) 解析：P 为的中点.答案：B4.若向量a =(1，1)，b =(1，-1)，c =(-1，2)，则c 等于（ ） A.21-a +23b B.b a 2321- C.b a 2123- D.b a 2123+- 解析：设c =m a +n b ，则(-1，2)=m(1，1)+n(1，-1)=(m+n ，m-n). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.23,21.2,1n m n m n m 解得 答案：B5.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(3，1)，B(-1，3)，若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解析：已知=(3，1)，=(-1，3)，设=(x,y),∵=α+β，∴(x ，y)=α(3，1)+β(-1，3).∴⎩⎨⎧+=-=.3,3βαβαy x 又∵α+β=1，∴x+2y-5=0.答案：D6.已知平行四边形ABCD 中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC ，BD 交于点O ，则的坐标为( ) A.(21-，5) B.(21，5) C.(21-，-5) D.(21，-5) 解析：∵=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10)，∴=(-1，-10). ∴=21=(21-，-5). 答案：C7.已知点A(3，-4)，B(-1，2)，点P 在直线AB 上，且||=2||，则点P 的坐标为( ) A.(31，0) B.(-5，8) C.(31，1)或(-4，7) D.(31，0)或(-5，8) 解析：由题意知=±2，设P(x ，y)，则(3-x ，-4-y)=±2(-1-x ，2-y)， ∴⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧==.8,50,31y x y x 或 答案：D8.(2006贵州模拟,11)函数y=sinx 的图象按向量a =（23π-，2）平移后与函数ｇ(x)的图象重合，则ｇ(x)的表达式是（ ）A.cosx-2B.-cosx-2C.cosx+2D.-cosx+2 解析：设平移前后对应点的坐标分别为(x′,y′),(x,y),则x′-x=23π且y′-y=-2，代入原函数式得y-2=sin(x+23π)，整理得g(x)=-cosx+2. 答案：D9.已知A(3，-1)，则所在直线与x 轴所夹的锐角为_____________.解析：易知点A 在第四象限，作AH ⊥x 轴于H 点，则在Rt △AHO 中，AH=1，HO=3， ∴tan ∠HOA=33，∠HOA=30°.答案：30°10.(1)已知2a +b =(-4，3)，a -2b =(3，4)，求向量a 、b 的坐标.(2)x 轴的正方向到a 的夹角为60°，且|a |=2，求a 的坐标.解：(1))2()1().4,3(2),3,4(2⎩⎨⎧=--=+b a b a ①×2+②得5a =(-8+3，6+4)，a =(-1，2)，b =(-4，3)-2(-1，2)=(-4，3)-(-2，4)=(-2，-1).(2)∵x=|a |·cos60°=2·21=1，y=|a |·sin60°=2×323=， ∴a =(1，3).11.用向量法：求cos 72π+cos 74π+cos 76π的值. 解：将边长为1的正七边形ABCDEFO 如图放入直角坐标系中，则=(1，0)，AB =(cos 72π，rin 72π)，=(cos 74π，sin 74π)，=(cos 76π，sin 76π)，=(cos 78π，sin 78π)，=(cos 710π，sin 710π)，=(cos 712π，sin 712π). ∵OA ++BC +CD +++FO =0，∴这些向量的横坐标之和为0，即1+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 由三角函数的诱导公式，可得cos 78π=CO s 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π. ∴上式为1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0. ∴cos 72π+cos 74π+cos 76π=-21.。
人教版数学高一B版必修4向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习导航
1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如，A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则AB＝(3,3)，CD＝(3,3)，显然AB＝CD，
但A，B，C，D各点的坐标却不相同．。
高中数学人教B版必修4 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
向量中含参数问题的求解 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横 或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随 之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出 满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到 解题的目的．
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()
A．(5,3) 答案：C
B．(4,3)
C．(8,3) D．(0，－1)
3．若向量 AB＝(1,2)， BC ＝(3,4)，则 AC ＝
()
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
答案：A 4．若点 M(3,5)，点 N(2,1)，用坐标表示向量 MN ＝______.
作一向量 a(用有向线段 AB表示)，由平面 向量基本定理可知，存在唯一的有序实数 对(a1，a2)，使得 a＝ a1e1＋a2e2 ，(a1， a2)就是向量 a 在基底{e1，e2}下的坐标，即 a＝(a1，a2) ，其 中 a1 叫做向量 a 在 x 轴上的坐标分量，a2 叫做 a 在 y 轴 上的坐标分量．
2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习课本 P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？
(2)一个向量如何正交ห้องสมุดไป่ตู้解？
(3)向量的直角坐标定义是什么？ (4)如何由 a，b 的坐标求 a＋b，a－b，λa 的坐标？
[新知初探]
1．两个向量的垂直与正交分解
如果两个向量的 基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直． 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，则称这个基底为正 交基底．在正交基底下 分解向量，叫做正交分解．
人教B版高中数学高一必修4学案 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．向量的正交分解2．向量的直角坐标(1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则OA→＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．3．向量的直角坐标运算向量的加、减法设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标已知向量AB→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示] 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )[解析] (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1)D ．(－3，－3)D [3a －2b ＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．]3．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【导学号：79402079】[解析] 易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. [答案] －1[合 作 探 究·攻 重 难]平面向量的坐标表示(1)已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(1,2)D ．(－1，－2)(2)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( ) A ．(1,8) B ．(－1,8) C ．(3,2)D ．(－3,2)(3)如图2-2-16，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2-2-16[思路探究] 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标[解析] (1)BA →＝OA →－OB →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．(2)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8， 所以点B 的坐标为(－1,8)．(3)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)， 所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1)．[答案] (1)C (2)B (3)(1，－1) (1,1) (－1,1) [规律方法] 求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． [跟踪训练]1．已知点A (2,4)，a ＝(3,4)，且AB →＝2a ，则点B 的坐标为________． [解析] 设B 点坐标为(x ，y )，则 (x －2，y －4)＝2(3,4)＝(6,8)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝6y －4＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12. 所以B 点的坐标为(8,12)． [答案] (8,12)平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →＝( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )D ．(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 D ．(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．[思路探究] (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解． (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标．(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解． [解析] (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n )． (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[](－5，－1)－(3，－2)＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12.[答案] (1)B (2)A(3)∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)．2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【导学号：79402080】[解] (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23.向量坐标运算的综合应用[探究问题]1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[提示] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.2．对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．[提示] ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形不能为平行四边形．3．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是什么？图2-2-17[提示] 当ABCD 为平行四边形时，则AC →＝AB →＋AD →＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第三象限内．[思路探究] 先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， A B →＋λA C →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，即λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上． (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.即λ<－1时，点P 在第三象限内． [规律方法]1．解答本题可用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． 3．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-2-18所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.【导学号：79402081】图2-2-18[解析] 以向量a 的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋ μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4. [答案] 4[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知点A (1，－3)，AB →的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( ) A ．(4,4) B ．(－2,4) C ．(2,10)D ．(－2，－10)A [设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)＝(3,7)，得B (4,4)．]2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a －2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3)D ．(0，－1)B [3a －2b ＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．]3．若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2)D ．(2,2)A [AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．故选A.]4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． [解析] AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标．[解] 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)， 所以CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)， 同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．。
2019-2020学年高一数学人教B版必修4课时作业：2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 Word版含解析
∴α＋β＝ 或－ .
答案： 或－
8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有 ＝λ ＋(1－λ) ，λ∈R，则x＝__________.
解析：取O(0,0)，由 ＝λ ＋(1－λ) 得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－ ；
(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－ ；
(3)若点P在第一象限，则 ∴t＞－ .
12．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)证明：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(3,5)成立的向量c.
解析：(1)证明：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则f(ma＋nb)＝f(mx1＋nx2，my1＋ny2)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，
又因为mf(a)＝(my1,2my1－mx1)，nf(b)＝(ny2,2ny2－nx2)，
所以mf(a)＋nf(b)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，
所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，由 ，得 .
所以c＝(1,3)．
A．(－3,B．(5，－12)
C．(1，－4) D．(－4,8)
解析：联立
①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a＝(－3,4)．
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2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
一、基础过关
1． 已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3
2
b 等于
( )
A ．(－2，－1)
B ．(－2,1)
C ．(－1,0)
D ．(－1,2) 2． 已知a －1
2
b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于
( )
A ．(－2，－2)
B ．(2,2)
C ．(－2,2)
D ．(2，－2)
3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为 ( )
A ．－2,1
B ．1，－2
C ．2，－1
D ．－1,2
4． 已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12
MN →
，则点P 的坐标为
( )
A ．(－8,1)
B.⎝⎛⎭⎫1，32
C.⎝
⎛⎭⎫－1，－3
2
D ．(8，－1)
5． 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC →
的坐标是________．
6． 已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD →
，则x ＋y ＝________. 7． 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的
有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d .
8． 已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p .
二、能力提升
9． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →
等于
( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－5)
C ．(3,5)
D ．(2,4)
10．向量AB →＝(7，－5)，将AB →按向量a ＝(3,6)平移后得向量A ′B ′→，则A ′B ′→
的坐标形式为
( )
A ．(10,1)
B ．(4，－11)
C ．(7，－5)
D ．(3,6)
11．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1,2)，则顶点D 的坐
标为________．
12．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →
(λ∈R )．
(1)试求λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？ (2)试求λ为何值时，点P 在第三象限内？
三、探究与拓展
13．在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |
＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．
答案
1．D 2.D 3.D 4.C 5.(－3,6) 6.11
2
7． 解 ∵4a,4b －2c,2(a －c )，d 能首尾相接构成四边形，
∴4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0， ∴6a ＋4b －4c ＋d ＝0 ∴d ＝－6a －4b ＋4c
＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2) ＝(－2，－6)． 8． 解 p ＝2a ＋3b ＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2) ＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)． 设p ＝x a ＋y b ，则有
⎩⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝2
x ＋3y ＝13，解得⎩⎨⎧
x ＝
197
y ＝247
.
∴p ＝197a ＋247b .
9． B 10.C 11.(7，－6) 12．解 ∵AP →＝AB →＋λAC →
，
∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC → ＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)由5＋5λ＝4＋7λ解得λ＝12，所以当λ＝1
2
时，点P 在第一、三象限的角平分线上．
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
5＋5λ<0
4＋7λ<0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ<－1λ<－47
，∴λ<－1.
所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．
13．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则
a 1＝|a |cos 45°＝2×2
2＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×
2
2
＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×
32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×
3
2
＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭
⎫－1
2＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫
－32，332，c ＝(23，－2)．。