第五章 薄板弯曲问题有限元讲义

第五章薄板弯曲问题有限元法
第一节薄板弯曲问题的有关概念
一、基本概念
1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。

同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。

2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。

3．薄板的两类问题：
（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。

（2）薄板弯曲问题：其特点为：
a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）
b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。

c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。

研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：
一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。

(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。

（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。

在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。

这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。

二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）
1．法线假设
垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。

这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0
根据几何方程，可得
因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。

2．正应力假设
在平行于中面的截面上，应力分量σz、τzx及τyz远小于其他三个应力分量，可忽略不计。

3．小挠度假设
板中面只发生弯曲变形而没有面内变形，即中面内各点没有平行于中面的位移，表示为：
在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应力都可用挠度w表示。

由于w仅为x、y的函数，因此实际薄板的复杂三维问题就可简化为二维问题来进行分析和计算。

其中位移d 与挠度w的关系为
应变ε与w的关系为：
应力σ与w的关系为：
[D]称为薄板弯曲问题的弹性矩阵，该矩阵和平面应力问题的弹性矩阵完全相同。

三、工程中的薄板弯曲问题
车辆工程中的车体地板、高速车辆的顶板及墙板，发动机缸体、齿轮箱箱体，建筑结构的楼板、桥梁桥面等都属于薄板弯曲结构，这类结构的几何模型是由薄板中面构成的平面模型，可用相应的弯曲板单元划分网格。

现在，一些专业有限元软件在弯曲板单元和平面应力单元的基础上发展了6自由度的板单元，这种单元可用于离散受一般载荷（包括面内与垂直板面载荷）的作用。

第二节 弹性薄板弯曲的能量泛函和微分方程式 一、位移向量
根据克希霍夫假设中的小挠度假设，薄板中任意一点没有平行于中面(即xoy 平面)的位移，即0;00
====z z v
u
,而在垂直于板面的载荷作用下也没有绕轴的转动，即θz=0。

在变
形前垂直于x-y 面的任一直线m-n ，在弯曲变形后在垂向产生了一个位移w, 同时也分别绕y 轴产生了一个转角
x
w
∂∂和绕x 轴产生了一个转角y w ∂∂(图中完整没有表示出来)。

这时直线m
—n 上任意一点既有垂向位移，又有沿x 轴和y 轴的转角位移：所以在进行有限元分析时，
薄板任一点有三个位移分量：挠度w 、法线绕x 轴的转动θx 和绕y 轴的转动θy ，即
对薄板进行网格划分时，通常采用矩形或三角形单元。

矩形板单元的节点位移向量为
二、广义应变分量和曲率
根据克希霍夫的法线假设，可知，所以此时薄板的应
变只有εx, εy,νxy 三个分量，表达式分别为：
令：
式中，称为薄板弯曲的广义应变，和分别称为板中面在x、y方向的变形曲率和在xy面上的扭率，并且有
三、应力—应变关系
由克希霍夫法线假设和正应力假设，有，由弹性力学物理方程得由上述三式即得到薄板弯曲的应力—应变关系为
四、广义应力
从上式中可以看到，当z=0时，即在板的中面上，所有的应力均为零，而且在板的截面上，应力沿板厚按线性关系分布(见图左)，这些应力在各截面上形成了相应的力偶，这些力偶就是各截面上所作用的弯矩和扭矩(图右)。

若用Mx，My和Mxy．，分别表示单位长度上的弯矩和扭矩，根据图可以得到:
同理有：
将前述薄板内应力表达式代入上面表达式并对z积分，可得：
因而，薄板弯曲的广义应力为：
式中，Mx、My分别是绕x轴和y轴的截面上单位长度的弯矩；Mxy是垂直于z轴截面上单位面积内的扭矩；[D]是薄板弯曲问题的弹性矩阵，其表达式为
五、能量泛函和微分方程式
弹性体的应变能为：
对于薄板弯曲问题，上式中的应变{ε}与应力{σ}应分别使用广义应变{}χ和广义应力{M}来代替。

由于求{M}时，已经对微分体的厚度积分，所以此时应只在板面范围内对dxdy 进行积分，即
设平板受有强度为Ps的均布载荷作用，此时外力位能为
将应变能与位能相加，得到板弯曲时的总位能为
将上式进行变分，并令δⅡ=0，从而可得出薄板弯曲问题的基本微分方程为
上式是双调和方程，在理论上可以通过该微分方程用解析法求解薄板问题。

但实际上由于边界条件及板形状的复杂性，对着以微分方程直接求解析解是十分困难的。

这类方程所描述的薄板弯曲问题采用有限元法求解则是较为方便和收敛的。

有限元法求解时，一般将薄板分割为矩形板单元和三角形板单元。

第三节薄板弯曲问题有限元法
一、结构离散
由于矩形板单元列式简单，精度也较好，所以求解薄板弯曲问题时，常用四节点矩形单元离散结构。

单元形状如图所示。

二、单元分析
1．位移函数
由第一节可知，薄板的位移、应变和应力都可用挠度w(x,y) 表示，因此将w(x,y)作为薄板弯曲的位移函数。

对于单元中的每个节点只考虑w,θx和θy三个自由度，则四节点矩形板单元共有12个自由度，所以位移函数应取成12项多项式，设为
把矩形板单元四节点的局部坐标值代人上式及其导数表达式（转角按右手螺旋法则定正负）
弯曲板矩形单元的节点自由度和相应的节点力列阵为：
运用边界条件联立求解可以得到α1•••α12的值，代入式(6—14)，经整理得
式中，[N]为形函数矩阵，
其中Ni，Nj, Nm, Np为形函数，其表达式分别为
应该说明，这样设定的。

在单元内及边界上是连续的，但θx和θy在边界上不一定连续，所以称采用这种位移函数的矩形板单元为非协调单元。

但实践证明，利用这种矩形板
单元计算薄板弯曲问题能很好地收敛于精确解。

2．单元刚度矩阵
将式(6—24)代人式(6—12)得弯曲板单元广义应变与位移之间的关系：
式中
则单元刚度矩阵有：
3．单元载荷向量
薄板弯曲问题中最常见的载荷形式是垂直于板中面的分布载荷Ps ，此时单元载荷向量可按下式计算
当Ps为常数，即薄板上作用有均布载荷时，有
三、总刚矩阵集成
按第二章介绍的方法可集成得到结构的总刚矩阵[K]。

(详见书本)
四、载荷移置
将各种载荷移置为等效节点载荷，形成节点载荷列阵}。

载荷移置的方法同书本第二章。

五、边界条件处理
总体刚度矩阵[K]和载荷列阵的建立过程中，还没有考虑结构的边界约束，因此
[K]是奇异阵。

为了求出惟一的节点位移解，必须对边界条件进行处理，排除结构的刚体
运动，消除[K]的奇异性。

六、求解线性方程组
对矩阵[K]{q}进行约束处理之后，就可求解结构的刚度方程，即线性方程
[K](q}={R}
式中，[K]、(q}分别为经约束处理后的总刚矩阵和节点载荷列阵。

求解单元任意点的位移和其他物理量的具体方法同前几章。