第三章(1) 时域分析(计算)
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自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
第三章_时域分析方法
第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。
熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。
2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。
3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。
4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。
5熟练掌握计算稳态误差的方法。
6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。
控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。
3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。
依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。
这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。
二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。
即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。
2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。
《信号与系统》第三章 离散系统的时域分析
解 ： h(k)满足h(k) – h(k –1) – 2h(k –2)=δ(k) –δ(k –2) 令只有δ(k)作用时，系统的单位序列响应h1(k) , 它满足 h1(k) – h1(k –1) – 2h1(k –2)=δ(k) 根据线性时不变性，
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
h(k) = h1(k) – h1(k – 2) =[(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k]ε(k) – [(1/3)(– 1)k –2 + (2/3)(2)k–2]ε(k – 2)
f (i)h(k i) ai (i)bki (k i)
i
i
当i < 0,ε(i) = 0；当i > k时，ε(k - i) = 0
1
a
k
1
yzs
(k
)
k i0
aibk
i
(k
)
bk
k i0
a b
i
(k
)
bk
bk
b 1 a
b (k 1)
注：ε(k)*ε(k) = (k+1)ε(k)
当ik时ki0???????????????iikiiikbiaikhif?????????????????????????????????????????????????bakbbabababkbabkbakykkkkiikkiikizs111100??注
《信号与系统》 第三章 离散系统的时域分析
λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1，2，…，n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。
参看教材第87页 表3-1。
2. 特解yp(k): 特解的函数形式与激励的函数形式有关
自动控制原理课件之第三章 (一) 时域性能指标,时域分析 (5)
故 20lg ( j) 3(dB)
b
系统带宽频率与带宽
一阶和二阶系统，带宽和系统参数具有解析关系。
自动控制原理教案
一阶系统的带宽: 一阶系统: 因为
1 (s) Ts 1
， 按带宽定义
1 1 T 2b
2
( j 0) 1
20lg ( jb ) 20lg
解 因为该系统为I型系统，单位速度输入下的稳态误差为 查表
1 K 9 K
60
0.62 % e
/ 1 2
7.5%
K 2 1 n , 2n n 2 K 11.6 T T 3.5 ts 0.506
n
自动控制原理教案
G ( j ) G ( j ) 1 G ( j ) A( )
1 2
[1 A2 ( ) 2 A( ) cos ( )] 1 1 [ cos ( )]2 sin 2 ( ) A( )
一般情况下，在M (ω)的极大值附近， γ(ω) 变化较小，且使M (ω)为极值的谐振频率ωr常位于ωc附近，即有
( j 0) 1 ， 按带宽定义
b 2 2 b 2 (1 2 ) 4 2 2 2 n n
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1
1 2
二阶系统的带宽和自然频率成正比。与阻尼比成反比。
自动控制原理教案
带宽指标意义
根据一阶系统和二阶系统上升时间和过渡过程时间与参数的 关系，可以推论:系统的单位阶跃响应的速度和带宽成正比。 对于任意阶次的控制系统，这一关系仍然成立。 当系统的带宽扩大λ 倍，系统的响应速度则加快λ 倍。 对于输入端信号，带宽大，则跟踪控制信号的能力强；而在另一 方面， 抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折 衷考虑，不能一味求大。
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理 第三章
−
1 t T1
1 + e T1 / T2 − 1
−
, (t ≥ 0) (3 − 22)
36
过阻尼系统分析
衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对 值大的离虚轴远，衰减速度快， 值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚 轴近， 轴近，衰减速度慢 衰减项前的系数一个大， 衰减项前的系数一个大，一个小 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性， 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振 荡和超调， 荡和超调，但又不同于一阶系统 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响 大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的 影响小，有时甚至可以忽略不计。 影响小，有时甚至可以忽略不计。
1 R( s ) = s
输出： 输出：
1 1 C ( s) = Φ( s) R( s) = ⋅ Ts + 1 s
C (t ) = 1 − e
− t T
21
单位阶跃响应曲线
t
初始斜率： dh(t ) |t =0 = 1 dt T
22
性能指标
1. 平稳性σ%： 非周期、无振荡， 非周期、无振荡， σ% ＝0 2. 快速性ts：
此时s1, s2为 此时 一对实部为 正的共轭复 根，位于复 平面的右半 部。
34
2
⑥特征根分析—— ζ <−1 （负阻尼）
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
此时s1,s2为 此时 两个正实根， 两个正实根， 且位于复平 面的正实轴 上。
35
二阶系统单位阶跃响应
1.过阻尼(ζ > 1) 二阶系统的单位阶跃响应 过阻尼
1 t
②单位斜坡函数 其数学表达式为： 其数学表达式为： t f ( t ) = t . 1( t ) = 0 其拉氏变换为： 其拉氏变换为：
第三章 时域分析1
存在一对离虚轴最近的共轭极点；
附近无零点；
其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
高阶系统传递函数的一般形式为
m
(s) C(s) R(s)
n1
K (s zi )
i 1 n2
(s s j ) (s2 2ll s l 2 )
j 1
l 1
单位阶跃响应为
C(t) L1[1 . (s)]
s
1
四、具有零点的二阶系统分析
具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，
其闭环传递函数为： (s)
s2
n2 (1s) 2ns n2
，零点为： z 1
具有零点的二阶系统 (0 1) 的单位
阶跃响应为：
p1
jn 1 2
l
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 (1s) 2 ns n2
1 s
z n
列劳斯表
s3 126
258
s2 219
85
s1 209.1
0
s0 85
可见，3个根全在S=0的左面。令S=S'－1代入特征方程整理后
有 126s' 3 159s' 2 198s' 80 0
列劳斯表
s3 126 s2 159 s1 134.6 s0 80
198 80
0
可见第一列元素变号3次，3个根全部位于S＝－1的右面。因 此得结论：3个根的实部全部位于开区间（－1，0）之内。
劳斯行列表为：
s3
1
40
s2
14
K
s1 40 K
0
14
s0
K
为使系统稳定，劳斯阵列中第一列元素须全为正。因此有
附近无零点；
其他极点距虚轴的距离是它的5倍以上。
高阶系统传递函数的一般形式为
m
(s) C(s) R(s)
n1
K (s zi )
i 1 n2
(s s j ) (s2 2ll s l 2 )
j 1
l 1
单位阶跃响应为
C(t) L1[1 . (s)]
s
1
四、具有零点的二阶系统分析
具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，
其闭环传递函数为： (s)
s2
n2 (1s) 2ns n2
，零点为： z 1
具有零点的二阶系统 (0 1) 的单位
阶跃响应为：
p1
jn 1 2
l
C(s)
(s)R(s)
s2
n2 (1s) 2 ns n2
1 s
z n
列劳斯表
s3 126
258
s2 219
85
s1 209.1
0
s0 85
可见，3个根全在S=0的左面。令S=S'－1代入特征方程整理后
有 126s' 3 159s' 2 198s' 80 0
列劳斯表
s3 126 s2 159 s1 134.6 s0 80
198 80
0
可见第一列元素变号3次，3个根全部位于S＝－1的右面。因 此得结论：3个根的实部全部位于开区间（－1，0）之内。
劳斯行列表为：
s3
1
40
s2
14
K
s1 40 K
0
14
s0
K
为使系统稳定，劳斯阵列中第一列元素须全为正。因此有
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h(t)
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
+
r(t)
R
+
i(t) C
c(t)
用一阶微分方程描述的控 制系统称为一阶系统。 图所示的RC电路，其微分 方程为:
duc U c r (t ) dt T C (t ) C (t ) r (t ) RC
（ a） 电 路 图
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
当初使条件为零时，其传递函数为
第三章 时域分析法
在建立起控制系统数学模型之后,紧接着的问题是对系 统性能进行分析. 控制系统分析有多种方法，主要有时域分析法，频域 分析法，根轨迹法等.本章学习时域分析法.
教学内容: 3.1 概述 3.2 瞬态响应 3.3 稳态性 3.4 稳态误差分析
教学重点： 1、一、二阶系统的分析 2、线性系统的稳定性分析 3、系统稳态误差的计算 教学要求: 1.掌握一、二阶系统定量计算公式 2.掌握劳斯稳定判剧. 3.掌握稳态误差 的计算公式.
上式表明： ①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。 ②由于系统存在惯性， c(t ) 从0上升到1时，对应 的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就 是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
斜坡函数
3.2.4 时域性能指标
针对不同问题的描述,暂态性能指标出现的形式 有所不同.在许多实际情况中，控制系统所需要的 性能指标，常以时域量值的形式给出,这种性能指 标称为时域性能指标。 控制系统的时域性能指标，通常用系统在零初 示条件下（静止状态，输出量和输入量的各阶导数 为0），系统对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应 来衡量。
三、一阶系统的动态性能指标估计
t d 0.69T
如何估算系统的性能指标?
t r 2.20T
t s 3T (5%误差带） t p 和％不存在
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为 零。
例题:假设温度计可以用传传递函数 Ts 1 描述.现用温度计 测量水温,发现需要1分钟才能指示水温的98%,求系统的时间 常数T,并计算系统的性能指标.
L[ (t )] 1,C ( s) ( S ) R( S ) ( S )
2、单位阶跃响应 对单位阶跃输入信号（函数）的响应。
L[1(t )] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S S
3、单位斜坡函数 对单位斜坡输入信号（函数）的响应。
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
h(t p ) h() h()
100%
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
5.延迟时间： 响应曲线第一 次达到稳态值的 一半所需的时间。
3.2.2 一阶系统的瞬态响应
一、一阶系统的数学模型
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表 现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信 号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标:
每个指标的含义是什么?
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
tr tp ts
R( s)
1 1 1 1 则系统的输出为： C ( s) ( s) R( s) TS 1 S S TS 1 t 对上式取拉氏反变换，得 t0 c(t ) 1 e T
1 S
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e
1 T
系统响应的瞬态分量由什么产生?
98.2% 99.3%
tr 1.上升时间 响应曲线从稳态 值的0%上升到100% 所需的时间。 上升时间越短， 0.02或 0.05响应速度越快. 说明: 对于无超调的系 t 统,定义从稳态值的 10%上升到90%.
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
2.峰值时间 : t p 响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
1 TS 1
等价关系： 1)系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数； 2)系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.2.3 二阶系统的瞬态响应
还能举出其它例子吗? 一、引例 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称 为二阶系统。 随动系统(位置控制系统）如图所示。
C(s)
R(s)
I(s)
(s)
（ b） 方 块 图
C (s) 1 R( s) TS 1
还能举出其它例子吗?
这种系统实际上是一个非周期性 的惯性环节。
二、一阶系统的动态响应 1、 单位阶跃响应 因为 ( s) R( s) TS 1
C (s) 1
一阶系统的特性由什么决定?
ts 3.调节时间 ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所 需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示.
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
4.超调量 %
指响应的最大 偏离量h(tp)与终 值之差的百分比. 0.02或 0.05
%
tr tp ts t
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递函数
(t )
微 分
1
1 S 1 S2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
t T
微 分
t T Te
t 0
t
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e T ) t 0 2
3、 一阶系统的单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
R(s) 1 S3
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
1 1 A B C C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
1(t ) , t 0
现实机中哪些信号是 典型信号?
t , t0
3、（单位）抛物线(加速度)函数: 1 t 2 , t 0 2 4、（单位）脉冲函数: (t ) , t 0 5、 正弦函数: sin t , t 0
1 s 1 s2 1 s3
1
s 2 2
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一 个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
2、 一阶系统的单位斜坡响应 当
R(s) 1 S2 时
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 TS 1 S 2 1 TS S S
对上式求拉氏反变换，得：
c(t ) t T (1 e
1 t T
r(t) c(t)
1 t T
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
Ra ia
La
SM
输入装置
R1 KAe R1
e1
误差测量装置
KA
θ
负载 放大器 电动机 齿轮传动
图 3-6 随 动 系 统 原 理 图
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
L[t ] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S2 S2
结论:“系统对输入信号微分的响应，等于系统对 输入信号响应的微分” 关系
脉冲函数 阶跃响应 阶跃函数的微分 斜坡函数的微分
响应
(S ) 阶跃函数的微分
1 ( S ) s 斜坡函数的微分 1 (S ) 2 s
Mp超 调 量 允 许 误 差 1 0.9
h() h() h() h()
0
td
0.02 或 0.05
0.5
0.1
tr tp ts
t
图 3-2 表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts 的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
四、典型时间响应
系统响应之间有什么关系?
1、 单位脉冲函数 对单位脉冲输入信号（函数）的响应。
系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信
号的响应特性之间，存在着一定的关系. 所以采用试验 信号来评价系统性能是合理的。
怎样建立系统性能评判依据?
一.典型试验信号
选择典型试验信号的原则 (1) 反映实际情况; (2) 数学形式简单; (3) 实验室容易得到. 典型试验信号: 1、（单位）阶跃函数: 2、（单位）斜坡(速度)函数:
例如，切削机床的自动控制的例子。那么如何来规定衡
量系统性能的输入信号呢?
3.2.1 典型输入信号
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有 评判、比较的依据。 这个依据也许可以通过对这些系统 加上各种输入信号， 比较它们对特定的输入信号的响应 来建立。 许多设计准则就建立在典型试验信号的基础上. 因为
1
1 t e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e T )
t 1 c(t ) t 2 Tt T 2 (1 e T ) 2
(t 0)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1一阶系统对典型输入信号的响应
+
r(t)
R
+
i(t) C
c(t)
用一阶微分方程描述的控 制系统称为一阶系统。 图所示的RC电路，其微分 方程为:
duc U c r (t ) dt T C (t ) C (t ) r (t ) RC
（ a） 电 路 图
R(s)
（ c） 等 效 方 块 图
C(s)
当初使条件为零时，其传递函数为
第三章 时域分析法
在建立起控制系统数学模型之后,紧接着的问题是对系 统性能进行分析. 控制系统分析有多种方法，主要有时域分析法，频域 分析法，根轨迹法等.本章学习时域分析法.
教学内容: 3.1 概述 3.2 瞬态响应 3.3 稳态性 3.4 稳态误差分析
教学重点： 1、一、二阶系统的分析 2、线性系统的稳定性分析 3、系统稳态误差的计算 教学要求: 1.掌握一、二阶系统定量计算公式 2.掌握劳斯稳定判剧. 3.掌握稳态误差 的计算公式.
上式表明： ①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输 出信号的变化率完全相同。 ②由于系统存在惯性， c(t ) 从0上升到1时，对应 的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就 是稳态误差产生的原因。 ③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可 减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
斜坡函数
3.2.4 时域性能指标
针对不同问题的描述,暂态性能指标出现的形式 有所不同.在许多实际情况中，控制系统所需要的 性能指标，常以时域量值的形式给出,这种性能指 标称为时域性能指标。 控制系统的时域性能指标，通常用系统在零初 示条件下（静止状态，输出量和输入量的各阶导数 为0），系统对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应 来衡量。
三、一阶系统的动态性能指标估计
t d 0.69T
如何估算系统的性能指标?
t r 2.20T
t s 3T (5%误差带） t p 和％不存在
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为 零。
例题:假设温度计可以用传传递函数 Ts 1 描述.现用温度计 测量水温,发现需要1分钟才能指示水温的98%,求系统的时间 常数T,并计算系统的性能指标.
L[ (t )] 1,C ( s) ( S ) R( S ) ( S )
2、单位阶跃响应 对单位阶跃输入信号（函数）的响应。
L[1(t )] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S S
3、单位斜坡函数 对单位斜坡输入信号（函数）的响应。
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
h(t p ) h() h()
100%
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
5.延迟时间： 响应曲线第一 次达到稳态值的 一半所需的时间。
3.2.2 一阶系统的瞬态响应
一、一阶系统的数学模型
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表 现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信 号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
动态性能指标:
每个指标的含义是什么?
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
0.5 h()
0.1 h() 0
td
td
tr tp ts
R( s)
1 1 1 1 则系统的输出为： C ( s) ( s) R( s) TS 1 S S TS 1 t 对上式取拉氏反变换，得 t0 c(t ) 1 e T
1 S
c(t)
1
0.632
c(t)=1-e
1 T
系统响应的瞬态分量由什么产生?
98.2% 99.3%
tr 1.上升时间 响应曲线从稳态 值的0%上升到100% 所需的时间。 上升时间越短， 0.02或 0.05响应速度越快. 说明: 对于无超调的系 t 统,定义从稳态值的 10%上升到90%.
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
2.峰值时间 : t p 响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
1 TS 1
等价关系： 1)系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数； 2)系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
3.2.3 二阶系统的瞬态响应
还能举出其它例子吗? 一、引例 凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称 为二阶系统。 随动系统(位置控制系统）如图所示。
C(s)
R(s)
I(s)
(s)
（ b） 方 块 图
C (s) 1 R( s) TS 1
还能举出其它例子吗?
这种系统实际上是一个非周期性 的惯性环节。
二、一阶系统的动态响应 1、 单位阶跃响应 因为 ( s) R( s) TS 1
C (s) 1
一阶系统的特性由什么决定?
ts 3.调节时间 ： 响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所 需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取5%或2%）表示.
h(t)
Mp超 调 量 允许误差 1 h() 0.9 h()
4.超调量 %
指响应的最大 偏离量h(tp)与终 值之差的百分比. 0.02或 0.05
%
tr tp ts t
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
1 T e T
t
传递函数
(t )
微 分
1
1 S 1 S2
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t0
t T
微 分
t T Te
t 0
t
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e T ) t 0 2
3、 一阶系统的单位加速度响应
r (t ) 1 2 t 2
R(s) 1 S3
1 T T2 T2 1 S3 S2 1 S S S T T D
1 1 A B C C ( s) ( s) R( s) ( ) 3 3 2 TS 1 S S S S
1(t ) , t 0
现实机中哪些信号是 典型信号?
t , t0
3、（单位）抛物线(加速度)函数: 1 t 2 , t 0 2 4、（单位）脉冲函数: (t ) , t 0 5、 正弦函数: sin t , t 0
1 s 1 s2 1 s3
1
s 2 2
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一 个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
2、 一阶系统的单位斜坡响应 当
R(s) 1 S2 时
1 1 1 T T2 C ( s ) ( s ) R( s ) 2 TS 1 S 2 1 TS S S
对上式求拉氏反变换，得：
c(t ) t T (1 e
1 t T
r(t) c(t)
1 t T
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
Ra ia
La
SM
输入装置
R1 KAe R1
e1
误差测量装置
KA
θ
负载 放大器 电动机 齿轮传动
图 3-6 随 动 系 统 原 理 图
i
输入电位计 输出电位计
+
发送
θr
θc
R2
反馈信号
θc
L[t ] 1 1 , C ( s ) ( S ) R ( S ) ( S ) S2 S2
结论:“系统对输入信号微分的响应，等于系统对 输入信号响应的微分” 关系
脉冲函数 阶跃响应 阶跃函数的微分 斜坡函数的微分
响应
(S ) 阶跃函数的微分
1 ( S ) s 斜坡函数的微分 1 (S ) 2 s