常用的一些矢量运算公式
矢量的运算法则
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
(Fu2 h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
dSz dxdyaˆz 体元： dV dxdydz
工程电磁场
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为(r,, z)，如图，做一微分体元。
线元：
dl drar rda dzaz
面元： dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
体元： dV rdrddz
则： 2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
工程电磁场
例2： 已知 A 2aˆx 6aˆy 3aˆz B 4aˆx 3aˆy aˆz
求：确定垂直于 A、B所在平面的单位矢量。
解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、B 所在平面。
工程电磁场
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
dl dRaR Rda Rsinda
面元：
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRda
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
(完整版)常用矢量公式
由 及
得：
§7. “三度”在各种坐标系中得表示式
一、矢量微分算子（哈密顿算子）
直角坐标
柱坐标
球坐标
二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系
1. 柱坐标与直角坐标
2.球坐标与直角坐标
三、“三度”在三种坐标系中的表示形式
解：固有两个变量 和 我们可求 和
而
（2）求 。
解： ， ，
§3. 高斯定理与矢量场的散度
一、矢量场的通量
1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。
2． 通量： 称为 通过面元 的通量，记作 ，记作 ，有限面积 ，通量上 ，闭合曲面 ，通量上 ， 方向，由面内指向面外。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
矢量运算公式范文
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
矢量的乘法
矢量的乘法
矢量的乘法可以分为两种情况：数量积（又称点乘）和向量积（又称叉乘）。
1. 数量积（点乘）：
数量积是两个矢量相乘得到一个标量的运算，用符号"."表示。
对于两个矢量a和b的数量积，可以表示为a·b。
计算公式为：a·b = |a| |b| cosθ
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角。
2. 向量积（叉乘）：
向量积是两个矢量相乘得到一个新矢量的运算，用符号"×"表示。
对于两个矢量a和b的向量积，可以表示为a×b。
计算公
式为：
a×b = |a| |b| sinθ n
其中，|a|和|b|分别表示矢量a和b的模长，θ表示两个矢量之
间的夹角，n为垂直于a和b所在的平面上的单位法向量。
矢量的乘法在物理学和工程学中有广泛的应用，例如力的乘法可以得到力矩，电场强度的乘法可以得到电场感应强度等。
常用矢量公式
常用矢量公式矢量是具有大小和方向的物理量，它在许多领域中都有广泛的应用，包括物理、数学、工程学和计算机科学等等。
在处理矢量运算时，使用一些常用的矢量公式可以使计算更加简便高效。
本文将介绍一些常用的矢量公式，包括向量运算、向量分解和向量积分等等。
1.向量运算(1)向量加法：对于两个矢量A和B，其加法定义为：A+B=(A_x+B_x,A_y+B_y,A_z+B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。
(2)向量减法：对于两个矢量A和B，其减法定义为：A-B=(A_x-B_x,A_y-B_y,A_z-B_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。
(3)向量数乘：对于一个矢量A和一个标量k，其数乘定义为：kA=(kA_x,kA_y,kA_z)，其中A_x,A_y和A_z分别表示A的x、y和z分量。
2.向量分解(1) 向量的投影：对于一个矢量A和一个单位向量u，其投影的大小定义为：A_u = ，A，cosθ，其中，A，表示A的模长，θ表示A与u的夹角。
(2) 向量的分解：对于一个矢量A和一个单位向量u，其分解定义为：A = A_uu + A_⊥，其中A_uu表示A在u方向上的分量，A_⊥表示A在u方向垂直的分量。
3.向量积分(1) 线积分：对于一个曲线C和一个矢量场F，其线积分定义为：∮C F·ds = ∮C (F_xdx + F_ydy + F_zdz)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，ds表示曲线C上的元素位移矢量。
(2) 曲面积分：对于一个曲面S和一个矢量场F，其曲面积分定义为：∬S F·dS = ∬S (F_xdS_x + F_ydS_y + F_zdS_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dS表示曲面S上的元素面积矢量。
(3) 体积积分：对于一个区域V和一个矢量场F，其体积积分定义为：∭V F·dV = ∭V (F_xdV_x + F_ydV_y + F_zdV_z)，其中F_x, F_y和F_z分别表示F的x、y和z分量，dV表示区域V内的元素体积矢量。
(完整版)常用矢量公式
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
常用的一些矢量运算公式
常用的一些矢量运算公式1.三重标量积如a r ，b r 和c r是三个矢量，组合()a b c⨯•r r r 叫做他们的三重标量积。
三重标量积等于这三个矢量为棱边所作的平行六面体体积。
在直角坐标系中，设坐标轴向的三个单位矢量标记为(),,i j kr r r ，令三个矢量的分量记为()()123123,,,,,a a a a b b b b r r及()123,,c c c c r则有()()123123123123123123c c c i jka b c a a a c i c j c k a a a b b b b b b ⨯•=•++=rr rr r r r r r因此，三重标量积必有如下关系式：()()()a b c b c a c a b⨯•=⨯•=⨯•r r r r r r r r r即有循环法则成立，这就是说不改变三重标量积中三个矢量顺序的组合，其结果相等。
2.三重矢量积如a r ，b r 和c r是三个矢量，组合()a b c⨯⨯r r r 叫做他们的三重标量积，因有()()()a b c a c b c b a ⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯r r r r r r r r r故有中心法则成立，这就是说只有改变中间矢量时，三重标量积符号才改变。
三重标量积有一个重要的性质（证略）:()()()a b c a b c a c b⨯⨯=-•+•r r r r r r r r r （1-209）将矢量作重新排列又有：()()()a b c b a c b a c•=⨯⨯+•r r r r r r r r r （1-210）3.算子（a ∇r ）∇是哈密顿算子，它是一个矢量算子。
（a ∇r）则是一个标量算子，将它作用于标量φ，即()a φ∇r是φ在ar 方向的变化速率的a倍。
如以无穷小的位置矢量d rr 代替以上矢量ar ，则()dr φ∇r 是φ在位移方向d rr 的变化率的d rr 倍，即d φ。