线性代数—特征值问题与特征向量

第四章
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以 及矩阵的对角化问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的基本概念
定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A 则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
的伴随矩阵A 的特征值。
解 A A A E A A A1 ,
A 由性质4, A 的特征值为 ,
i 1,2,, n .
i
事实上，由
A1
1 i
、A
A
A1
可得
A A A1 A i1.
22
四、特征多项式的性质
n 阶矩阵 A (aij ) 的特征多项式
a11 a12
f () E A
0
因此属于特征值1 2 的全部特征向量为 k1 1 (k1 0) ；
8
2 1 1 E A 0 1 0
0 2 1
1 2, 2 1, 3 1 .
3 1
对
2
1
，
E
A
0
0
1 3 1 1 0 0 1 1 ,
0
2 2
0
0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
0
2 1 , 1
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
18
性质4 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
因此属于特征值 3 1 的全部特征向量为k33(k3 0) 。
10
例2
设
A
2 0
1 2
1
0, 求A的特征值与特征向量。
4 1 3
2 1 1 解 E A 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
11
2 1 1 E A 0 2 0 1 2(二重根), 2 1 .
即 A 1 ， A 2 ， (1 2 ) 0 ,
而 0 1 2 .
4
二、特征值与特征向量的求法
A (E A) 0 ,
a11 a12
记 f () E A
a21
a22
a1n
a2n
,
an1 an2 ann
它是的n次多项式 , 称为矩阵A的特征多项式，
因此属于特征值2 1 的全部特征向量为k22(k2 0) ；
9
2 1 1 E A 0 1 0
0 2 1
1 2, 2 1, 3 1 .
1
对
3
1，EA0源自1 21 1 1 0 0 1
1 0 ,
0
2 0
0
0 0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1
3 0, 1
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann
的最高次项必在 ( a11)( a22)( ann )中出现,
其余的项 的次数最高是n 2 ，
故有 f ( ) n (a11 a22 ann )n1 ,
而常数项等于 f (0) A (1)n A ,
解 1 2 3 tr( A) 7 3 3 ; A 123 9 ;
A2 A 2 81; A1 1 1 ;
A9 AT A 9 .
25
矩阵的迹的性质
(1) tr( A B) tr( A) tr(B) ;
(2) tr(kA) k tr( A) ;
(3) tr( AT ) tr( A) ;
幂等矩阵
例4 若 A2 A ,则 A 的特征值为 0 或 1。
证 A A2 2 ,
而 A2 A ， 2 ， (2 ) ,
2 0 , 0 或 1 .
20
例3 设0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量,
多项式 p( x) a0 a1 x as x s ,
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
1 0
1 0 ,
4 1 1
0
0
0
相应齐次线性方程组的基础解系为
1 (1 , 0 , 4)T , 2 (0 , 1 , 1)T ,
因此属于特征值 1 2 的全部特征向量为
k11 k22 (k1, k2 不全为零)；
12
(4) tr( AB) tr(BA) .
证略。
作业：习题四，1⑵⑷、4、6
26
EN D
27
(2) 可推广到多个特征向量. 15
性质2 属于不同特征值的特征向量线性无关。 只证两个特征向量的情况.
证 A , A , 0 , 0 , ,
设 k l ，(1)
则 A(k l ) k(A ) l(A ) k l 0 , (2)
(1) (2)消去 ,得 ( )l 0 ,
0, 0, l 0 ,
代入(1),得 k 0 , 证得 , 线性无关.
推广 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍 线性无关。
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性质3 矩阵 A 与它的转置 AT 有相同的特征值。 证 E AT (E A)T E A ,
说明 A 与 AT 有相同的特征多项式,
从而有相同的特征值.
则对任意常数k 0 ，k 也是 A 的属于 0 的特征向量； (2) 若 , 都是 A 的属于特征值0 的特征向量， 则 k l (k , l 不全为零) 也是 A 的属于 0 的特征向量。
证 A A(k ) k( A ) k( ) (k ) . A , A
A(k l ) kA lA k l (k l ) .
注意: 尽管 A 和 AT 的特征值相同，但一般它们的特征
向量是不同的。
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性质4 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是 kA 的特征值（k 是任意常数）； (2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）； (3) 当 A 可逆时, 0 0 ,且01 是A1 的特征值.
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对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即 为主对角元。
a11 0
a12 a22
a1n a2n
0 0 ann
a11 a21
0 a22
0
0 0
an1 an2 ann
1
0
0
2
0 0
0 0 n
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三、特征值与特征向量的性质
性质1 (1) 设 是矩阵 A 的属于特征值0 的特征向量，
所以 f () n (a11 a22 ann )n1 (1)n A . 23
f ( ) n (a11 a22 ann )n1 (1)n A
另一方面,设矩阵 A 的特征值是1, 2 ,, s ,则
f ( ) ( 1 )( 2 )( n )
n (1 2 n )n1 (1)n 12 n ,
比较系数得
n
n
n
性质5 (1) i aii ; (2) i A .
i 1
i 1
i 1
n
aii 称为 A 的迹，记为tr( A) .
i 1
推论 方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零.
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例6 设 A 为 3 阶方阵，tr( A) 7 ，特征值1 1, 2 3 ， 求：另一特征值 3 ，及行列式 A , A2 , A1 , AT 。
例如，
1 1
13 11 22 211 ,
所以矩阵
1 1
1 3
有一个特征值
2,
而
11
是对应的特征向
量。
3
m n n1 m1
A
说明 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量；
3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值 .
☎ 一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：
设 是同时属于特征值1 和 2 的特征向量，
2、对每一特征值i ，求解齐次线性方程组
(iE A) x 0
它的全部非零解向量即为矩阵 A 的属于特征值i 的全
部特征向量。
6
例1
2 设 A0
1 1
1
0 , 求A的特征值与特征向量。
0 2 1
2 1 1 解 E A 0 1 0
0 2 1
( 2)( 1)( 1) 0 ,
则 p(0 ) 是矩阵多项式p( A) 的特征值， 仍为相应的特
征向量。 证略
例如,矩阵A的有一个特征值为2,则 A3 2A 3E
有一个特征值 7.
幂等矩阵
例4 若 A2 A ,则 A 的特征值为 0 或 1。
练习: 若 A2 E ,则 A 的特征值为1 或 1 。
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例5 若矩阵 A 可逆，且特征值为1, 2 ,, s ，求 A
所以A的特征值为 1 2, 2 1, 3 1 .
7
2 1 1 E A 0 1 0
0 2 1
1 2, 2 1, 3 1 .
0 1 1 0 1 1
对 1 2，2E A 0 3 0 0 0 1 ,
0
2
1
0 0 0
1
相应齐次线性方程组的基础解系为 1 0 ,
(1) k0 是 kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时, 0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、