浅谈不定积分的常见解法
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数的原函数的过程。
在不定积分中，我们将对函数进行积分的过程称为求解原函数，通常用∫f(x)dx 表示。
下面我将详细介绍不定积分的求解方法和技巧。
1. 基本积分法：基本积分法也称为反函数法，是最基础的求解不定积分的方法。
利用基本积分法，我们可以根据一些简单的函数的不定积分结果，求解出更复杂的函数的不定积分。
例如，对于一个多项式函数 f(x) = ax^n + bx^(n-1) + ... + k ，我们可以分别求解每一项的不定积分。
2.积分换元法：积分换元法也称为变量代换法，是一种常用的求解不定积分的方法。
当被积函数中存在一个复杂的函数表达式时，我们可以通过一个新的变量代换，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
通常，我们选用新变量u或t，使得被积函数的形式更加简化。
3. 分部积分法：分部积分法是一种特殊的积分求解方法，它可以将一个函数的不定积分通过分部积分公式转化为另一个函数的不定积分。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx ，其中u(x) 和 v(x) 是两个可导函数。
4.偏微分方程解法：在一些复杂函数的不定积分求解中，我们可以通过偏微分方程求解方法，将不定积分转化为偏微分方程的求解问题。
利用偏微分方程解法，我们可以将不定积分问题转化为求解偏微分方程的初始条件问题或边界条件问题。
5.换元换限法：换元换限法是一种将不定积分问题转化为定积分问题的方法。
在不定积分中，我们通常使用常数C来表示不定积分结果的任意常数项。
而在定积分中，我们可以通过换元换限的方法将不定积分转化为定积分，从而求出准确的积分结果。
1.善于运用基本积分公式和常用函数的不定积分结果，掌握它们的微分公式和积分公式，可以更快地求解不定积分。
2.熟练掌握积分换元法和分部积分法，灵活地根据被积函数的形式选择合适的方法，将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解不定积分。
不定积分计算的各种方法
不定积分计算的各种方法不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
计算不定积分的方法有很多种，下面将介绍其中常用的几种方法。
1.替换法（换元法）：替换法是求不定积分最常用的方法之一、通过引入一个新的变量代替原函数中的一部分，使得被积函数被替换为新变量的导数形式。
然后将积分转化为新变量的积分，最后再将结果换回原变量。
替换法适用于当被积函数具有其中一种特殊形式时，例如三角函数、指数函数、对数函数等。
2.分部积分法：分部积分法是求不定积分的另一种常用方法。
它通过将被积函数拆分成两个函数的乘积形式，然后将积分转化为其中一个函数的积分和另一个函数的导数的积分。
这个方法适用于当被积函数是两个函数的乘积形式时。
3.微分方程法：微分方程法适用于求解一些具有特殊形式的微分方程的原函数。
通过将微分方程转化为不定积分形式，并通过求解该不定积分得到原函数。
4.图像法：图像法适用于当被积函数的几何意义或图像特点已知时。
通过观察被积函数的几何性质，可以直接得出不定积分的结果。
5.线性代数法：线性代数法是一种较为复杂的计算不定积分的方法，适用于一些特殊的被积函数形式。
它通过将被积函数视为多项式的线性组合形式，并利用线性代数中的方法求解。
6.对称性法：对称性法适用于具有对称性质的被积函数。
通过利用函数的对称性质，可以将不定积分简化为更容易处理的形式。
7.勾股定理法：勾股定理法适用于当被积函数具有勾股定理形式时。
通过利用勾股定理，可以将不定积分转化为勾股定理的逆定理的形式，然后求解。
8.换项法：换项法适用于当被积函数的形式与换项公式相似时。
通过将被积函数拆分成一个或多个项的和的形式，然后通过换项公式对其中的其中一项进行换项，从而简化积分计算。
综上所述，计算不定积分时常用的方法有替换法、分部积分法、微分方程法、图像法、线性代数法、对称性法、勾股定理法和换项法等。
在实际计算中，可以根据被积函数的特点选择相应的方法，以简化计算过程并求得准确的结果。
不定积分的计算方法
不定积分的计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数的原函数的过程。
在数学中，不定积分是求解一个函数的原函数，即找到一个函数，它的导函数恰好是给定函数。
不定积分可以帮助我们求解一些复杂的函数，以及解决一些实际问题。
本文将介绍几种常用的不定积分计算方法。
一、代数法代数法是一种常见的不定积分计算方法。
根据函数的性质和常用的积分公式，我们可以通过代数运算的方式进行计算。
例如，对于函数f(x) = x^2，我们可以使用幂函数的不定积分公式进行计算。
根据公式，我们知道幂函数的不定积分是这样的形式：∫x^ndx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中C是一个常数。
所以根据上述公式，对于函数f(x) = x^2，我们可以得到∫x^2 dx =(1/3) * x^3 + C。
二、分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分计算方法。
它基于积分的乘积法则，可以将复杂的积分问题转化为简单的积分问题。
分部积分法的公式可以表示为∫u dv = uv - ∫v du。
其中，u和v是两个可微的函数。
例如，对于函数f(x) = x * cos(x)，我们可以使用分部积分法进行计算。
首先，我们选择u = x，dv = cos(x) dx，然后对u和dv进行求导和积分，得到du = dx 和 v = sin(x)。
根据分部积分法的公式，我们可以得到∫x * cos(x) dx = x * sin(x) - ∫sin(x) dx。
进一步计算，我们可以得到∫x * cos(x) dx = x * sin(x) + cos(x) + C，其中C是一个常数。
三、换元法换元法是一种基于函数的复合运算关系的不定积分计算方法。
它通过变量替换的方式，将复杂的函数转化为简单的函数，从而进行积分计算。
换元法的基本思想是将积分中的自变量进行替换，使得原函数变得更简单。
常见的换元法中，我们可以使用简单代换和三角代换来求解不定积分。
求不定积分的方法
求不定积分的方法不定积分方法是微积分中常见而重要的一类问题，求解不定积分可以通过多种方法，下面将介绍常见的一些方法。
1.基本积分公式和微分运算法则：根据基本积分公式和微分运算法则，可以求出一些常见函数的不定积分。
例如，对于幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数和对数函数等，我们可以根据其定义和性质直接求得其不定积分。
2. 分部积分法：分部积分法是一种通过递归的方式将一个积分问题转化为一个更简单的积分问题的方法。
具体来说，对于两个函数f(x)和g(x)，我们可以通过分部积分公式∫f(x)g(x)dx = F(x)g(x) -∫F(x)g'(x)dx来求解不定积分。
这一方法在解决乘积函数的积分问题时特别有用。
3. 代换法：代换法是一种通过变量代换的方式来简化不定积分的方法。
具体来说，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的不定积分，我们可以选择一个新的变量u=g(x)，然后将原来的不定积分转化为∫f(u)du的形式，从而通过求解新的不定积分来得到最终结果。
4.其他方法：除了上述方法，还有一些其他的不定积分方法可以用来求解特定类型的问题。
例如，对于一些特殊函数（如分式函数、反函数和超越函数等），我们可以尝试利用特殊的积分技巧来求解其不定积分。
此外，对于一些复杂的函数，我们还可以利用级数展开、极限转换或积分换元等方法来求解其不定积分。
总结起来，求解不定积分的方法是多种多样的，根据具体的问题和函数类型选择合适的方法是很重要的。
通过熟练掌握基本积分公式和微分运算法则，以及灵活运用分部积分法、代换法和其他方法，我们可以更好地解决不定积分问题。
然而，在实际应用中，求不定积分往往是一个复杂而耗时的过程，需要充分发挥数学思维和技巧，结合实际问题的特点进行合理选择和灵活运用。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分的重要概念之一，也是求解函数的反导函数的方法。
不定积分有许多不同的解法，下面将对一些常见的方法进行汇总和介绍。
一、幂函数的不定积分法：幂函数是指形如x^a的函数，其中a为常数。
对于幂函数的不定积分，可以根据幂函数的形式和大小分为以下几种情况：1. 如果a不等于-1，则不定积分为x^(a+1)/(a+1) + C，其中C为常数。
2. 如果a等于-1，则不定积分为ln|x| + C，其中C为常数。
此时，需要注意被积函数在x=0处不可导。
四、代换法：代换法也是求解不定积分的常用方法之一。
代换法的基本思路是通过进行变量代换，将原有的被积函数转化为一个容易求解的形式。
常用的代换方法有：1. 反三角函数代换法：当被积函数中含有三角函数的平方和根号时，可以尝试进行反三角函数代换。
当被积函数中含有根号(1-x^2)时，可以尝试进行代换x=sin(t)。
通过对x和t进行代换和变换，将原有的积分转化为一个更简单的形式进行求解。
2. 指函数代换法：当被积函数中含有指数函数的形式时，可以尝试进行指函数代换。
当被积函数中含有e^(x^2)时，可以进行代换x=t^2，从而将原有的积分转化为一个更容易求解的形式。
3. 三角函数代换法：当被积函数中含有三角函数的乘积或和差时，可以尝试进行三角函数代换。
当被积函数中含有sin(x)cos(x)时，可以进行代换t=sin(x)或t=cos(x)，从而将原有的积分转化为一个更简单的形式进行求解。
五、分部积分法：分部积分法是求解不定积分的常用方法之一。
分部积分法的基本思路是通过对积分中的一个函数进行求导，而对另一个函数进行积分，从而将原有的积分转化为两个函数的乘积形式进行求解。
分部积分法的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)是可导函数。
分部积分法常用于求解含有指数函数、对数函数、三角函数等的积分。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是定积分的反运算。
在实际问题中，我们常常需要对某些函数进行不定积分求解，以便得到函数的原函数表达式。
下面，我将介绍几种常见的不定积分求解方法，希望能够对大家有所帮助。
一、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种方法。
当被积函数中含有复杂的函数形式时，可以通过引入新的变量来简化积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
4. 进行变量代换，将原不定积分转化为新的不定积分。
5. 求解新的不定积分，得到结果后，将代换变量重新换回原来的变量。
二、分部积分法。
分部积分法是求解不定积分中常用的另一种方法。
当被积函数为两个函数的乘积形式时，可以通过分部积分法将原不定积分转化为另一个不定积分，从而简化求解过程。
具体步骤如下：1. 选择一个函数作为u，选择另一个函数的导数作为dv。
2. 对u进行求导，得到du；对dv进行不定积分，得到v。
3. 将原函数中的乘积形式表示为uv的形式。
4. 使用分部积分公式进行求解，得到结果。
三、有理函数的不定积分。
对于有理函数的不定积分求解，可以通过分解成部分分式的形式，将原函数表示为几个简单函数的和的形式，从而进行逐个求解。
具体步骤如下：1. 对有理函数进行因式分解，将其表示为几个一次或二次多项式的和的形式。
2. 对每一个简单函数进行不定积分求解，得到结果。
3. 将每个简单函数的不定积分结果相加，得到原有理函数的不定积分结果。
四、倒代换法。
倒代换法是一种特殊的不定积分求解方法，适用于一些特殊形式的不定积分。
具体步骤如下：1. 选择合适的代换变量，通常选择被积函数中的一部分作为代换变量。
2. 对代换变量进行求导，得到微分形式。
3. 将原函数中的变量用代换变量表示，并将被积函数中的原函数用代换变量表示。
不定积分的求解技巧和方法
不定积分的求解技巧和方法不定积分是微积分学中的重要概念，可以用于求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们可以使用一些常见的技巧和方法来简化计算过程。
下面将介绍一些常见的不定积分求解技巧和方法。
1. 基本积分法：基本积分法是最常用的不定积分求解技巧。
它基于导函数与原函数的关系，即求一个函数的导函数时，再反向求解出原函数。
常用的基本积分公式包括幂函数积分、指数函数积分、三角函数积分等。
2. 分部积分法：分部积分法用于解决乘积函数的积分。
根据分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以选取两个函数u和v来进行积分求解。
常见的选择包括选择一个函数的导函数为u'(x)，另一个函数为v(x)，或者选择一个函数的原函数为u(x)，另一个函数的导函数为v'(x)。
通过多次应用分部积分法，可以将原函数的积分分解为更简单的形式。
3. 代换法：代换法是一种常见的不定积分求解技巧。
它基于替换变量的原理，通过选择适当的变量代换，将原函数的积分转化为更简单的形式。
常见的代换法有换元法、三角代换法等。
在使用代换法时，需要选择合适的变量替换，并计算出变量的微分，再将原函数用新的变量表示。
4. 递推法：递推法是一种特殊的不定积分求解方法。
递推法的基本思想是将一个复杂的积分问题，通过递推求解出一个简单的积分问题，并根据递推关系得到原函数的积分表达式。
递推法通常适用于具有特定递推关系的函数，例如级数的递推关系。
5. 分数分解法：分数分解法是一种用于解决有理函数积分的方法。
有理函数是由多项式函数和分式函数构成的函数。
通过将有理函数进行分数分解，可以将积分转化为多个简单的有理函数的积分。
分数分解法常用于解决分式函数的积分，例如部分分式分解。
6. 特殊函数积分法：特殊函数积分法是一种根据特殊函数的性质和定义，对特殊函数的积分进行求解的方法。
特殊函数包括超几何函数、伽玛函数、贝塞尔函数等。
常见不定积分的求解方法
常见不定积分的求解方法
1.代换法：当被积函数中含有复杂的函数关系时，我们可以通过适当
的代换将其转化为更简单的形式，从而求解不定积分。
根据具体情况，可
以选择代换变量、代换函数或代换式子。
2.分部积分法：用于求解由两个函数的乘积所组成的不定积分。
根据
分部积分公式：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
选择适当的函数u(x)和v'(x)进行代入，并反复应用分部积分，直至
求解出不定积分。
3.分式分解法：用于求解由多个分式相加组成的不定积分。
根据部分
分式定理，将复杂的分式分解为简单的分式，并分别求解不定积分。
4.积化和差法：将被积函数中的一些项进行积化和差，通过适当的变换，将不定积分转化为更简单的形式。
例如，常见的积化和差有平方差公式、和差化积公式等。
5.凑微分法：对于一些复杂的不定积分，可以采用凑微分的方法将其
化简。
根据不同情况，可以采用配方法、恒等变换、特殊关系式等凑微分。
6.特殊函数积分法：对于一些特殊的函数，有对应的积分公式或者常
用的积分技巧，可以直接使用这些方法进行求解。
例如，指数函数的积分、三角函数的积分等。
除了上述的常见方法外，在实际求解不定积分时还可以根据具体的情
况选择其他适当的方法。
此外，对于一些无法求解的积分，还可以采用数
值积分的方法进行近似求解。
无论采用哪种方法，求解不定积分需要熟悉
常用的积分公式，掌握各种积分方法的应用技巧，并具备一定的数学思维能力和逻辑推理能力。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的重要概念，是求函数的原函数的过程。
在解不定积分时，可以采用多种方法，下面我们来汇总一下常用的解法。
1.基本积分公式法：基本积分公式是指常见函数的不定积分公式，如常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等，它们的不定积分有一定的规律，可以直接利用基本积分公式进行计算。
2.换元法：换元法是指通过代换变量的方式将原函数转化为一个更易于求解的形式。
换元法的基本思想是，通过适当的代换，将被积函数的形式转化为基本积分公式中的形式，从而进行计算。
3.分部积分法：分部积分法是指将被积函数中的一个因子进行积分，同时将另一个因子进行求导，从而将原函数的求解转化为一个新的积分问题。
分部积分法适用于被积函数是两个函数的乘积形式的情况。
4.有理分式积分法：有理分式积分法是指将被积函数表示为多项式的商形式，然后通过分解和合并有理分式的方式，将原函数的求解转化为多个基本积分公式的求解。
5.特殊函数积分法：特殊函数积分法是指通过利用特殊函数的性质和公式，将原函数的求解转化为特殊函数的积分问题。
常见的特殊函数包括log函数、指数函数、三角函数、双曲函数等。
6.级数展开法：级数展开法是指将被积函数进行泰勒级数展开，然后对每一项进行积分，最后将级数展开结果进行求和。
级数展开法适用于被积函数在某个区间上具有无穷项的展开形式。
不定积分的解法包括基本积分公式法、换元法、分部积分法、有理分式积分法、特殊函数积分法、级数展开法和换限定变量法等。
在解题过程中，可以根据被积函数的特点选择适合的解法进行计算。
同一函数的不定积分一般有多个不同的形式，因此需要多种方法进行尝试求解，以找到最简形式的解答。
不定积分求解方法
不定积分求解方法不定积分是高等数学中的重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分的求解方法有很多种，下面将介绍其中的几种常见方法。
一、换元法换元法是不定积分中最常用的方法之一。
它的基本思想是将被积函数中的自变量用一个新的变量来代替，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量u来代替，即x=g(u)，则有：∫f(x)dx=∫f(g(u))g'(u)du其中g'(u)表示g(u)的导数。
换元法的关键在于选择合适的代换变量，使得被积函数能够被简化或者消去。
二、分部积分法分部积分法是另一种常用的不定积分求解方法。
它的基本思想是将被积函数分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
具体来说，设被积函数为f(x)g(x)，则有：∫f(x)g(x)dx=f(x)∫g(x)dx-∫f'(x)∫g(x)dx dx其中f'(x)表示f(x)的导数。
分部积分法的关键在于选择合适的f(x)和g(x)，使得被积函数能够被简化或者消去。
三、三角代换法三角代换法是一种特殊的换元法，它适用于被积函数中含有三角函数的情况。
具体来说，设被积函数为f(x)，将x用一个新的变量t来代替，即x=a tan t，则有：∫f(x)dx=∫f(a tan t) a sec^2 t dt其中sec t=1/cos t。
三角代换法的关键在于选择合适的三角函数，使得被积函数能够被简化或者消去。
四、分式分解法分式分解法适用于被积函数为有理函数的情况。
具体来说，将被积函数表示为若干个分式的和的形式，然后利用部分分式分解公式将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。
分式分解法的关键在于选择合适的分式分解方式，使得被积函数能够被简化或者消去。
以上是不定积分求解的几种常见方法，当然还有其他的方法，如换元积分法、对数代换法等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法，以便更快地求解不定积分。
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２ ． Ｊ ／ （ ｘ ） ｓ ｉ ｎ ￣ ￣ ｄ ｘ 和 Ｊ ｆ （ ｘ ） ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ ￣
原 式： ｐ ＝ ｕ ５ Ｗ ｅ ＝ ３ ＋ ５ ） ＋
．
首 先 将 ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ 、 ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ凑 成 一 ｄ （ ｃ ｏ ｓ ｘ ） 、 ｄ （ ｓ ｉ ｎ ｘ ） ， 将
ｌ Ｉ ｌ “＋ｃ求 出 ６
＝ｂｉ ｎ “＋ｃ
… 最 后将 Ｈ… ｕ ＝ ＝ ｆ 一 （ ｘ Ｉ ） ， 回代 得 … …
，
例６ ： ｃ ｏ ｓ
ｊ
＝ ｂ ｉ ｎ Ｌ ， （ 枷
例题 ２ ： 求不定积分： ｊ
解 ： 厉 武＝ ． ｊ ‘ ｓ ｉ ｎ ｘ ） ＝ ｘ ｓ ｎ ｉ — ｊ ｓ ｉ ｎ ｘ ａ ｘ ＝ ｘ ｓ ｎ ｉ ｘ ＋ ｅ ｏ ｓ ｘ ＋ Ｃ ３ 、 ｊ ／ （ ｘ ） ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ ￣ ｉ ！ ｌ
Ｉ ， （ ） ｃ ｏ ｓ ． ，Ｊ ／ （ ｈ 砌的 不定 积 分 常 用 分部 积 分 法 求
解。
系，从而将
） 】 ｄ ｘ 型转换成６ 。 ｄ ｕ 型，再利用公式
１ 、 ｊ ｘ ） 型
首先 将 ｅ ｘ 凑成 ｄ （ ， 将 Ｊ ｆ （ ｘ ） ｅ ￣ ｄ ｘ变为 Ｊ ｆ （ ｘ ） ｄ （ ｅ ｘ ） 型， 再
不定积分针对不同 的题 型有不 同的解法 ，本次 主要 讲 解不定积分中的凑微分法和分部积分法 。
一
例 题５ ： 求 不 定 积 分： ｊ ｃ ｏ ｓ （ ３ ｘ ＋ １ ） ｄ ｘ
解： 令ｕ ＝ ３ ｘ ＋ １ ， 则ｄ ｕ ＝ ｕ ’ ｄ ｘ ＝ （ ３ ｘ ＋ １ ） ’ ｄ ｘ ＝ ３ ｄ ｘ ， 即
ｐ 。 幽 ＝ １ ｌ ／ ／ ａ ￣ ＇ ｌ ＋ Ｃ 求 出 ６ 。 ＝
代得 ） 】 。 出 【 ， （ ｘ “ ＋ ｃ
铡 题１ ： 求不定积， 、 ＿ ． Ｊ ， （ ３ ＋ ５ ） ４ ｄ ｘ
＋ ｃ ， 最 后 将 ： ｆ ｘ ） ｌ ￣ ｌ
利 用 公 式 Ｊ 砌 “ ｙ — ｊ 求 解 。
例４ ： Ｊ ｘ ｅ ｄ Ｘ 解 ： 原 式 Ｊ 川 ） ｘ ｅ 一 Ｊ ｄ ｘ ｘ ｅ ｘ 一 ＋ ｃ
解 ： 令 ： ３ ＋ ５ ， 贝 ４ ｄ ： ・ ｄ ： （ ３ ＋ ５ ） ・ ｄ ： ３ ｄ ， 即 出 ＝ ｛
解： 令ｕ ： ２ ｘ ＋ １ ， 则ｄ ｕ ＝ ｔ ｌ ￣ ｄ ｘ ： （ ２ ｘ ＋ １ ） ・ ｄ ｘ ： ２ ｄ ， 即 ＝
．
．
．
原 式 ： 专 Ｊ ｓ ｉ ｎ “ 幽 ： 一 ２ Ｃ Ｏ Ｓ Ｕ ＋ Ｃ ＝ １ ｃ 。 ｓ （ ２ ｘ ＋ １ ） ＋ ｃ
珈
【 关键词 】 不定积 分； 凑微 分法； 分部积分 法
一
的不定积 分常用凑 微分法解题 。（ 注 ：其 中 ａ 、 ｂ 、 ｃ 为常数 ， ｆ （ ｘ ） 为一次 函数 ）
般形如 ： Ｉ ｆ （ ｘ ） ｅ ￣ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｄ ｘ， ｊ ｆ （ ｘ ） ｓ ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ，
．
首先令 ｕ ＝ ｆ 【 ｘ ） ， 根据 ｄ ｕ ＝ ｕ ’ ｄ ｘ ＝ ［ ｆ （ ｘ ｝ ｌ ＇ ｄ ｘ 求出 ｄ ｘ与 ｄ ｕ的关
． ・ ． ．
、
凑 微 分 法
一
般 型 如 』 【 厂 。 、
１ 、 ） 】 出型
、
、 Ｉ ｓ ｉ ｎ ［ ｆ （ ｘ ） ］ ａ ｋ 、 ｆ ｃ 。 ｓ 【 ， （
１ ｆ ｃ ｏ ｓ ｄ ｈ ＝ ｓ ｉ ｎ ＋ ｃ ＝ ＝ ｓ ‘ ｉ ｎ （ ３ ｘ ＋ １ ） ＋ ｃ 嚼 原 式一 ＝ Ｊ 。 ｏ 。 ｊ ＋ ｃ ３ ｘ ＋ Ｉ ） ＋ ｃ 二、 分部积夯法
型 ， 再 利 用 公 式Ｊ ＝ ｌ ｎ ， 一 Ｊ 求 解 。 例 ５ ： Ｊ ｘ ｓ ｉ ｎ 系 ， 从 而 将 出 型 转 换 成 ６ Ｊ 型， 再 利 用 公 式 解 ： 原 式＝ ｊ （ ｃ ０ ｓ ＝ － Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ ｘ ＋ Ｊ ｃ ｏ ｓ 磁＝ 一 ｃ ０ ｓ ＋ ｓ ｉ ｎ ＋ ｃ
首先令 ｕ ． ｆ （ ｘ ） ， 根据 ｄ ｕ ＝ ｕ ’ ｄ ｘ ＝ ｌ ｆ ｘ ） １ ’ ｄ ｘ求出 ｄ ｘ与 ｄ ｕ的关 “
＝
２ 、 Ｊ ７ 型
（ ｓ ｉ ｎ 、 Ｉ ｆ （ ｘ ） ｃ ｏ ｓ ｘ ｄ ｘ 变 为 一 （ 圳 （ ｃ 。 ｓ 、 一 Ｊ ， （ （ ｓ ｉ ｎ
ＷＥＮ Ｕ Ｄ Ａ０ ＨＡＮＧ
浅谈 不定积 分的常见解 法
文 ／陈 爱萍
【 摘 要】 不定积分 的解题 方法很 多 ， 很 多同学看到题 目时总会在选用方法上大费脑筋，本文主要简单的介绍几
种 最 常 见 的 利 用 凑微 分 法和 分 邵 积 分 法 解题 的 类 型 。
魏
威
首先求 导数为 （ ｘ 】 的原 函数 Ｆ （ ｘ ） ， 将ｆ （ ｘ 凑成 ｄ 【 Ｆ （ ｘ ） 】 ，
解 ： 令 ｕ ． ４ ＋ ５ ， 则 ｄ ｕ ＝ ｕ ＇ ｄ ： （ ４ ＋ ５ ） ・ ｄ ： ４ ｄ ｘ ， 即 ＝ 去
３ １
． ． ．
再 将 Ｊ （ ｌ ｎ 变 为 Ｊ 】 ｌ ｌ 捌Ｆ （ ｚ ） 】 型 ， 最 后 利 用 公 式 求 解 。
原 式 出型
＝
１ ａ ｕ ＋ ｃ ＝ 丢 （ ４ ） ＋ ｃ
例 ７ ： Ｉ ｘ Ｉ ｎ ｘ ｄ ｘ
解： 原式
＝
３ 、
首先令 ｕ ｘ ） ， 根据 ｄ ｕ ＝ ｕ ’ ｄ ｘ ＝ 【 ｆ （ ｘ ） １ ’ ｄ ｘ 求出ｄ ｘ 与ｄ ｕ 的关
吨 ） ＝ ｊ １ ｉ ｌ ｎ ｘ ｄ （ ｘ ｛ ｘ ￣ ｌ ｒ ｌ ｘ ＝ ｎ