医用高等数学课件：6 定积分
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《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
医用高等数学定积分
则有换元公式
f[(x)](x)d x[f(u)du]u(x)
F[(x)]C.
例8
求
a2Biblioteka 1 x2dx.
.
解
1 a2 x2 dx
1 a2
1
1
x2 a2
dx
1
a
1
1 x
2
d
x a
u
x a
a
1 a
1 1 u2
d
u
1arctaunC a
性质1 k f(x)dx k f (x)dx
（k 是常数，k 0) .
性质2 [f(x)g(x)d ] x f(x)dx g(x)dx .
基本积分公式
(1) xd x x 1 1C(1);
(2) dxxlnxC；
(3) axdxa x C ； ln a
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c C . os
1x2
例3 求 (3x2 1 1)dx. 2x
解
(3x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
1
x2dx
dx
2
x3 xxC.
例4 求 3xexdx. 解 3xexdx(3e)xdx (3e)x C.
不定积分
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义1 若在某区间上F(x)f(x),则称 F( x) 为
f ( x) 在该区间上的一个原函数．
例如 : sinx coxs, x( , ),
f[(x)](x)d x[f(u)du]u(x)
F[(x)]C.
例8
求
a2Biblioteka 1 x2dx.
.
解
1 a2 x2 dx
1 a2
1
1
x2 a2
dx
1
a
1
1 x
2
d
x a
u
x a
a
1 a
1 1 u2
d
u
1arctaunC a
性质1 k f(x)dx k f (x)dx
（k 是常数，k 0) .
性质2 [f(x)g(x)d ] x f(x)dx g(x)dx .
基本积分公式
(1) xd x x 1 1C(1);
(2) dxxlnxC；
(3) axdxa x C ； ln a
(10)
1 dxarc x C s i n arc x c C . os
1x2
例3 求 (3x2 1 1)dx. 2x
解
(3x2
1 2x
1)dx
3 x2dx1
1
x2dx
dx
2
x3 xxC.
例4 求 3xexdx. 解 3xexdx(3e)xdx (3e)x C.
不定积分
一、不定积分的概念 二、不定积分的性质基本积分公式 三、换元积分法 四、分部积分法 五、有理函数的积分
一、不定积分的概念
定义1 若在某区间上F(x)f(x),则称 F( x) 为
f ( x) 在该区间上的一个原函数．
例如 : sinx coxs, x( , ),
高等数学 第六章定积分
把区间[a,b] 分成 n个 y 小区间[ xi1, xi ]，长度为
y f (x)
xi xi xi1;
(2) 取近似
Ai
在每个小区间[ xi1, xi ] O a x1 xi1i xi xnb1 x
上任取一点i，以 [ xi1, xi ]为底，f (i )为高的小矩形,
面积近似代替 Ai , 有Ai f (i )xi , i 1, 2,L n
极限I, 称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的
定积分.记为
积分上限
积分和
b
n
a
f ( x)dx
I
lim
0
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 被
[a,b]积分区间
积 函
分积 变表
数 量达
式
注
n
(1) S f (i )xi是与[a, b]的分法及在[ xi1 , xi ]
i 1
一点 i (i xi ), 作乘积 f (i )xi (i 1,2, , n)
(3)
n
并作和 S f (i )xi
(4)
i 1
记 max{ x1, x2 , , xn },如果不论对 [a,b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上点 i
怎样的取法,只要当 0时,和S总趋于确定的
lim na sin xdx lim sinn a 0
n n
x
n n
证明 求证 lim 4 sin nx sinn x dx 0 n 0
证
当x
0,
4
时,
|
s in nx
sinn
x
|
sin
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
高等数学第6章
• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：
定积分的概念课件
定积分的概念ppt课件
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
高等数学(微积分)课件--§6.1定积分的概念与性质
y = f (x)
O a
b x
3
无限细分、无限求和
处理该类问题的基本思路： 无限细分(化曲为直)、无限求和！
y y= f (x)
O
a
b
x
4
曲边梯形的面积计算—分割
设函数在区间[a,b]上连续, y=f(x)≥0 y 分割：
任意插入n-1个分点：
a x0 x1 xn 1 xn b
T1 t0 t1 t n 1 t n T2
把[T1,T2]分成n小段[ti-1, ti] (i=1,2,…,n),每小段 时间长度∆ti= ti- ti-1 ;相应地,位移也分成n段∆si v ②取近似: ∆siv(i)∆ti (i=1,2,…,n) v vt ③求和:
浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一)
微积分
第六章 定积分
§6.1定积分的概念与性质 §6.2微积分基本定理 §6.3定积分计算方法 §6.4定积分的应用 §6.5广义积分初步
1
§6.1定积分的概念与性质
一、曲边梯形的面积 二、定积分的定义 三、定积分的几何意义 四、定积分的基本性质 在本节中我们将从一些实际问题的计算里 提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问 题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性 质、几何意义。
s v i ti
i 1 n
④取极限: 所求位移为
s lim
0
T1
T2
v t (其中 maxt )
i i i 1
1i n i
n
O
t 0 ... ti 1 t i ... t n
t
10
解决此类求和问题的数学模式
医用高等数学定积分及其应用02
高等数学
04-02-05
y
(x)
O a x
b
x
高等数学
04-02-06
定理 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 积分上限函数
( x) f (t )dt
a
x
在区间 [a,b] 上可导，且有
d x ( x) f (t )dt f ( x) (a x b) dx a
t1 t0
v(t )dt s(t1 ) s(t0 )
高等数学
04-02-04
变上限积分 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 它在 [a,b] 的任意一个子区间 [a,x] 上 是可积的，且
( x) f (t )dt
a x
(a x b)
就是它的积分上限 x 的函数，称此 函数为积分上限函数，或变上限积 分。
2
2
（2） y x 1 t dt
（3） y x e dt
t 2x
2
高等数学
04-02-16
定理（微积分基本定理） 设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，F(x) 是 f(x) 在 [a,b] 上的一个原函数，即 F (x)=f(x)，则
b a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
04-02-19
例 计算定积分 1
3
1 dx 2 1 x
高等数学
04-02-20
例 计算定积分 0 1 x dx
2
高等数学
04-02-21
例
1 计算由 y ，x=1，x=2，x 轴 x
所围成的平面图形的面积。
高等数学