数字信号处理习题课

所以：
1 1 1 a ( z z 1 ) a (z z ) 2j 2j H I ( z) 2 1 1 a a ( z z ) (1 az1 )(1 az)
两个极点：
z1 a, z2 a 1
FTxo (n) j Im X (e j )
j 2 ) | cos{ n arg[H (e 3 )]} 3
2
H (e
j
2 3
) 1 0.8e
1
2 j3
3.2
所以y(n) 最大值：
y(n) max 20 3.2 64
例5 设序列x(n) 为：
mn nm u(n n0 N )
0

n1n n1n
0
N u(n n0 ) ( ) u(n n0 N )( )
线性卷积的计算方法：
1、图解法 适用于有限长和无限长序列卷积的计算
2、利用单位采样序列的选择性 适用于非零值有限的卷积的计算
解答：题意分析：该题考查的是对系统时域性质的掌握情况， 已知系统的输入输出关系，按照定义判断即可。
(1) 线性
定义
T [ax1 (n) bx2 (n)] aTx1 (n) bTx2 (n) ay1 (n) by2 (n)
输入线性组合的响应 输入响应的线性组合
系统对输入线性组合的响应等于对输入响应的线性组合
x ( m)
n n
0
m n0
0
n 1n n 1 n ( )
0
-N+n0
n0
m
x ( m)
y(n)
n n0
m n0
1 (n n )
0
n
n n0
( )
n0
N+n0
m
（3 ） n n0 N 时，全重叠。即：
（3）根据FT与ZT关系，得：
H ( e j ) H ( z ) z e j 1 1 0.8e j 0.64e 2 j
画出滤波器的幅频特性，知是带通滤波器 （4）y(n)及其最大值
LTI 系统的正弦稳态响应
y (n) 20 | H (e
其中：
2 j 3
两者相等，故为线性系统
（2）时不变性 定义
T [ x(n k )] y(n k )
对输入的移位 对响应的移位
nk nk
T [ x(n k )]
m
x(m k ) x(m) x(m)
m k m m
n
y (n k )
信号与系统分析
时域分析：信号和系统的性质；LTI系统的输入、输出关系 变换域分析：信号和系统的性质；LTI系统的输入、输出关 系、频率特性分析（DTFT、ZT、DFT） 例1：判断系统：
T x(n)
m
x ( m)
n
的（1）线性；（2）时变性；（3）因果性；（4）稳定性 解题步骤： 1、题意分析（已知、求解的问题） 3、求解（知识的运用） 2、知识点
y(n) 0.8 y(n 1) 0.64 y(n 2) x(n)
（1）求H(z)，画出零极点图；
（2）标出H(z)的ROC，并判断稳定性，说明理由； （3）求系统的频率响应，画出幅频特性示意图，并指出滤 波特性
2 （4）设 x ( n ) 20 cos( n )，求y(n) 最大值 3
已知序列的傅里叶变换，求原序列，一般采用ZT求解。
1 j j a (e e ) a sin 2j j H I (e ) 2 1 a 2a cos 1 a 2 a(e j e j )
ZT与FT的关系：
H (e j ) H ( z) z e j
n
故为因果系统（ n 0 时，h(n) 0 ）
(4) 稳定性
定义：有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。 方法1：设 x(m) M ，则:
y(n) T [ x(n)]
故为不稳定系统。
m
x(m) M M
m
n
n
方法2：
m


h( n)
1、n≥1时，围线内有单极点a
z 2 1 1 n n 1 h(n) Re s[ F ( z), a] z ( z a) a 1 za 2 2( z a)( z a )
2、n 0 时，围线内有两个单极点 z1 0, z2 a,
ho (n) Re sF ( z), a Re sF ( z),0 0
m


u ( n)
m
1

为非稳定系统
注：只有LSI系统的因果性和稳定性可通过其h(n)判定。
例2 P75
No1.21
已知：
n n0 0 n N 1 n 0 n N 1 h( n) x ( n) 0 其他 0 其他
h(n)是实因果序列，且为指数序列，所以：
h(0) 1
a n n 1 h(n) 1 n 0 a n u ( n) 0 n 1
H (e ) a e
j n 0

n jn
1 1 ae j
例4 已知一因果LTI系统，用差分方程表示为：
0

1 n0 m n u (m n0 )u (n m) 0，其他 1 n0 m n N u (m n0 )u (n m N ) 0，其他
带入上式：
y(n)
m


m n0

nm
u(n n0 )
0
m
令分子、分母分别为零，得系统零、极点：
p1,2 0
4 1 j 3 4 1 j 3 z1 , z2 5 2 5 2
z1, 2
4 1 j 3 0.8 5 2
（2） 系统函数ROC与系统性质的关系
因果系统，系统函数的ROC必包括无穷远点，故：
z 0.8
ROC包含单位圆，系统稳定。
y ( n)
mn N
1 N
n
n n0
方法2 利用单位阶跃序列u(n)
单位阶跃序列的乘积具有选择性
u (n n0 ) n0 m n u (m n0 )u (n m) 0，其他
步骤1、将已知序列用单位阶跃序列u(n)表示
n n0 , n0 n x ( n) n n0 u (n n0 ) 0 n n0
y ( n)
mn N n
x ( m ) h ( n m)
m n0
n
x ( m)
mn N

0
nm
n0
N+n0
n n

mn N
m ( / ) n n0 N
n
m

N 1


n 1 n0

n n0
( )
( )



m
mn nm u(n m) u(n m N ) u ( m n ) 0
0

m
mn m u ( m n ) u (n m) 0
0

又：
m
mn m u ( m n ) u (n m N ) 0
解答：LTI系统的差分方程与系统函数的关系；系统函数与 频率响应的关系；系统的Z域分析；正弦稳态响应。
（1） LTI系统函数与差分方程的关系；ZT的性质
对差分方程两边取ZT：
Y ( z) 0.8z 1Y ( z) 0.64z 2Y ( z) X ( z)
Y ( z) 1 z2 H ( z) 2 1 2 X ( z ) 1 0.8z 0.64z z 0.8z 0.64
n ,0 n N h( n ) n u (n) u(n N ) 0 其他
步骤2、变量代换
x(m) mn0 u(m n0 )
h(m) m u(m) u(m N )
步骤3、将h(m)翻褶
h(m) m u(m) u(m N )
试求 y(n) x(n) h(n) 。
题意分析 ：考察线性卷积的计算。一般需要根据序列的起始 点和结束点进行分段讨论；注意相加的范围不要弄错。
方法1 图解法
y ( n ) x ( n ) h ( n)
m
x(m)h(n m)
mn nm
0

并移位：
h(n m) nm u(n m) u(n m N )
步骤4、带入公式计算

y ( n ) x ( n ) h ( n)
m
x(m)h(n m)
y ( n ) x ( n ) h ( n)
m
x(m)h(n m)
j
a 1
求序列h(n)及其傅里叶变换。
解：FT的共轭对称性；ZT与FT的关系；Z逆变换的求解
FTxo (n) j Im X (e j )


若表达式中包含正弦（余弦）信号，利用欧拉公式代换:
1 j j 1 j sin (e e ), cos (e e j ) 2j 2 1 j j a (e e ) a sin 2j j H I (e ) 2 1 a 2a cos 1 a 2 a(e j e j )
x ( m)
nk