步步高 2014届高三数学(理)二轮专题突破课件 专题七 第4讲《转化与化归思想》
2014届高考数学三轮复习课件：第四讲 转化与化归思想
(1)∵4x2＋y2＋xy＝1，
3 3 2x＋y2 ＋1， ∴(2x＋y)2＝3xy＋1＝2×2xy＋1≤2× 2 8 ∴(2x＋y)2≤5， 2 10 ∴2x＋y 的最大值为 5 . (2)设 t＝3x，则原命题等价于关于 t 的方程 t2＋(4＋a)t＋4＝0 有正解． 4 分离变量 a，得 a＋4＝－ t＋ t ， 4 ∵t>0，∴－t＋ t ≤ － 4 ， ∴a≤－8，即实数 a 的取值范围是(－∞，－8]． 2 10 [答案] (1) 5 (2)(－∞，－8]
1 3 2．已知函数 f(x)＝3ax ＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)能取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示 出 b 的取值范围．
解：(1)f′(x)＝ax2＋2bx＋1. 当(2b)2－4a≤0，即 b2<a 时无极值． 当(2b)2－4a>0，即 b2>a 时， f′(x)＝ax2＋2bx＋1＝0 有两个不同的根，
g′(x)≥0 在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0 在(t,3)上恒成立． 2 由①得 3x2＋(m＋4)x－2≥0，即 m＋4≥x－3x 当 x∈(t,3)时恒成立， 2 ∴m＋4≥ t －3t 恒成立，则 m＋4≥－1， 即 m≥－5； 2 2 37 由②得 m＋4≤x－3x 当 x∈(t,3)时恒成立，则 m＋4≤3－9，即 m≤－ 3 . 37 ∴函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为－ 3 <m<－5.
1 ＝－ a， a
因此 b≥－ a. 1 当 ∈[1，＋∞ )，即 a∈(0,1]时， a
由于 x∈(0,1]时， g′(x)≥0， 即 g(x)在(0,1]上单调递增， a＋1 所以[g(x)]最大值＝g(1)＝－ 2 ， a＋1 因此 b≥－ 2 . 综上所述，当 a>1 时，b≥－ a； a＋1 当 0<a≤1 时，b≥－ 2 .
高考数学二轮复习第一部分四转化与化归思想课件
借助方程、不等式,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化
归可以将问题化繁为简.解题时,常常将不等式的恒成立问题转化
为函数的最值问题,将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值
问题,将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的
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故 <a<2,从而 <S△ABC< .
2
8
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因此,△ABC 面积的取值范围是
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,
3
2
.
10
突破点一
突破点二
突破点三
突破点四
规律方法在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有
一个统一的模式,它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换.
在解题过程中进行化归与转化时,要遵循以下五项基本原则:(1)化
3
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC= 4 a.
sin
由正弦定理得 a= sin =
sin (120°-)
sin
3
1
= 2tan + 2.
由于△ABC 为锐角三角形,故 0°<A<90°,0°<C<90°.
由(1)知 A+C=120°,所以 30°<C<90°,
1
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高考命题聚焦
素养思想诠释
1.转化与化归思想的含义
转化与化归的思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采
用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.
一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题
高考数学二轮复习 第4讲转化与化归思想课件 苏教版
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且 ,
2
0 ， 求cos .
2
2
分析
不难发现
(
)
(
未知角可
),
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化为已知角，整体地利用已知条件来解答(jiědá)问
题.
,0 ,
解2
2
0, , 0.
2
4224 2
, .
4
2
42
2
第十一页，共42页。
又cos( ) 1 0,sin( ) 2 0,
∠BAD=∠DA1C1=90°.
∴△ABD≌△DA1C1，
∴BD=DC1，∴DE⊥BC1.
第十七页，共42页。
同理DE⊥B1C，又∵B1C∩BC1=E，
∴DE⊥平面BB1C1C,
又∵DE 平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BB1C1C.
（3）解 取BC的中点P，连结AP，则AP∥平面
BDC1.
证明如下：
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2
3
,0 .
2
2
2
2
sin( ) 1 ( 1)2 4 5 ,
2
99
cos( ) 1 (2)2 5 ,
2
33
有 cos
2
(
)
2
(
2
)
cos( ) cos( ) sin( )sin( )
22
22
1 5 4 52 7 5. 9 3 9 3 27
第4讲 转化与化归思想
1.转化与化归思想的基本内涵是：解某些数学问题 时，如果直接求解较为困难(kùn nɑn)，可通过观察、分
析、 类比、联想等思维过程，恰当的运用数学方法进 行变换，将原问题A转化为另一个新问题B，而问 题B是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的 问题，且问题B的解决可以得到原问题A的解答.这 种思想方法，我们称之为“转化与化归的思想方
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第4讲转化与化归思想课件
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
高考数学二轮复习第4讲 转化与化归思想
第4讲转化与化归思想「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1特殊与一般的转化例1(1)(2020·全国卷Ⅱ)数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＝215－25，则k＝()＋10A．2 B．3C．4 D．5答案 C＝2，∴数解析在等式a m＋n＝a m a n中，令m＝1，可得a n＋1＝a n a1＝2a n，∴an＋1an列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2×2n－1＝2n.∴a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋＝错误!＝错误!＝2k＋1·(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.故选10C．(2)在平行四边形ABCD中，|AB→|＝12，|AD→|＝8.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20 B．15C ．36D ．6答案 C解析 解法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD→＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C ．解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C ．一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析∵f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f(lg 2)＋f⎝⎛⎭⎪⎫lg12＝2，故选A．2．(2020·山东省泰安市高三四模)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1|AF|＋1|BF|＝________.答案2 1解析由p2＝1，得p＝2，当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以1|AF|＋1|BF|＝12＋12＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF||BF|＝错误!＝错误!＝错误!＝1.热点2函数、方程、不等式间的转化例2(1)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(2，＋∞)C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)答案 D解析∵f(x)＝ax(x2－1)＋x(a>0)，∴f′(x)＝3ax2＋(1－a)．若0<a≤1，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，此时方程f[f(x)]＝b不可能有9个不等实根，故a>1.令f′(x)＝0，得x＝±a－13a ，不妨令x1＝－a－13a，x2＝a－13a.∵当a>1时，a－1<3a，∴－1<x1<0，0<x2<1.f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x)＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又函数f(x)过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f(x)的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a )a －13a<－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D ．(2)(多选)(2020·山东省聊城市高三模拟)若实数a ≥2，则下列不等式中一定成立的是( )A ．(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1B ．log a (a ＋1)<log (a ＋1)(a ＋2)C ．log a (a ＋1)<a ＋1aD ．log (a ＋1)(a ＋2)<a ＋2a ＋1答案 AD解析 令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2，可得函数f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∵实数a ≥2，∴a ＋1>e ，∴错误!>错误!，∴(a ＋1)a ＋2>(a ＋2)a ＋1，log (a ＋1)(a ＋2)<a ＋2a ＋1，可得A ，D 正确．∵错误!与错误!的大小关系不确定，∴C 不正确．对于B ，令g (x )＝log x (x ＋1)(x ≥2)，则g ′(x )＝错误!<0，∴函数g (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)(a ＋2)，B 不正确．综上可得，只有A ，D 正确．函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e2B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e4＋12，1e3＋23C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e3＋23，1e2＋1D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e2＋1，1e ＋2 答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒x ex >kx －2，设g (x )＝xex (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xex(x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：错误!⇒错误!⇒错误!＋23≤k ＜1e2＋1，故选C ．2．(2020·山东省临沂市高三一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x3＋3x2＋2，x≥0，－x2ex ，x<0，若方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案 {a |－6<a ≤－2或a ＝4e －2}解析 当x ≥0时，f (x )＝－x 3＋3x 2＋2，故f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，故函数在[0,2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，f (0)＝2，f (2)＝6；当x <0时，f (x )＝－x 2e x ，故f ′(x )＝－x e x (x ＋2)，故函数在(－∞，－2)上单调递减，在[－2,0)上单调递增，f (－2)＝－4e －2.画出函数图象，如图所示：f (x )＋a ＝0，即f (x )＝－a ，根据图象知，2≤－a <6或－a ＝－4e －2，解得－6<a ≤－2或a ＝4e －2.热点3 正难则反的转化例3 (1)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2) 答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C ．(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x.(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________.答案16 23解析 因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立， 则错误!解得错误!所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32，即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径．在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1.由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B ．(2)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________.答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V 三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABMI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1. (2020·山东省聊城市高三一模)点M，N分别为三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC，BB1的中点，设△A1MN的面积为S1，平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面面积为S，五棱锥A1－CC1B1NM的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，则V1V＝________，S1S＝________.答案7123 5解析如图所示，延长NM交C1C的延长线于点P，连接P A1交AC于点Q，连接QM.平面A1MN截三棱柱ABC－A1B1C1所得截面为四边形A1NMQ.∵BB1∥CC1，M为BC的中点，则△PCM≌△NBM.∴点M为PN的中点．∴△A1MN的面积S1＝12S△A 1NP ，∵QC ∥A 1C 1，PC PC1＝13＝PQ PA1， ∴△A 1QM 的面积＝23S △A 1PM ，∴S1S ＝35.∵△BMN 的面积＝18S 四边形CC 1B 1B ，∴五棱锥A 1－CC 1B 1NM 的体积为V 1＝78V 四棱锥A 1－CC 1B 1B ，连接A 1B ，则三棱锥A 1－ABC 的体积＝13V ，∴V1V ＝78×⎝ ⎛⎭⎪⎫V －13V V ＝712. 2．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是棱B 1C 1的中点，AB ＝AC ＝2，BC ＝BB 1＝2.(1)求证：AC 1∥平面A 1BD ；(2)求点D 到平面ABC 1的距离．解 (1)证明：如图，连接AB 1，交A 1B 于点O ，则O 为AB 1的中点，连接OD ，又D 是B 1C 1的中点， ∴OD ∥AC 1，∵OD ⊂平面A 1BD ，AC 1⊄平面A 1BD ，∴AC 1∥平面A 1BD ．(2)由已知，AB ＝AC ，取BC 的中点H ，则BC ⊥AH ， ∵BB 1⊥平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AH ，∵BC ∩BB 1＝B ，∴AH ⊥平面BCC 1B 1.又AB ＝AC ＝2，BC ＝2，∴AH ＝1，∵BB 1⊥C 1D ，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1， ∴V D －ABC 1＝VA －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13. ∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h ＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.。
高三数学第二轮复习化归思想.ppt
（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
评：本题为信息题,通过题目中给出的信息
结合已学过的数学知识解决这类问题.
一、选择题
1.已知两条直线l1:y=x, l2:ax–y=0，其中a∈R，
当这两条直线的夹角在(0, )内变动时，a的取值
2
范AC围..（（是0(，C3 ，1)）1）∪B（.（1，33
曲［线例C22的］方设程椭为圆yC1=的1x方程，为且曲ax 22线Cby122与C12(在a＞第b一＞象0)， 限内只有一个公共点P.
（1）试用a表示点P的坐标； （2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时 求△ABP的面积函数S(a)的值域；
（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小 的一个. 设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方 形的面积，试求函数f(a)= min{ g(a), S(a) }的表达
（Ⅰ）证明：对任意的x1、x2 ∈（0，1），x1<x2，若f(x1)≥ f(x2) 则（0，x2）为含峰区间；若f(x1)≤ f(x2)，则（ x1 ，1）为含峰区 间；
（Ⅱ）对给定的r（0<r<0.5），证明：存在x1、x2 ∈（0，1） ， 满足x2-x1≥2 r，使得由（Ⅰ）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5+r；
高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料
高三数学第二轮专题复习转化与化归思想课堂资料一、基础知识整合世界数学大师波利亚强调：“不断地变换你的问题”，“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”。
他认为，解题过程就是“转化”的过程，因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。
“化归与转化的思想方法”思想方法，就是在把直接求解较为困难的问题转化为一个相对来说自己较为熟悉的，且在已有知识范围内可解的新问题，从而达到解决原问题的目的。
转化能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
化归与转化应遵循的基本原则：⑴熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
⑵简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
⑶和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
⑷直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
⑸正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
高考数学二轮复习 第4讲 转化与化归思想课件 文
故a的取值范围是(－∞，4]∪[0，＋∞)． (3)令y＝ln(1＋x2)－12f(x)， 则y′＝1＋2xx2－x＝－x＋11＋xxx2－1. 令y′＝0，则x＝－1,0,1，列表如下.
第二十二页，共42页。
(－∞， x
－1)
y′ ＋
单调 y
递增
－1 (－1,0) 0
0 极大值 ln 2＋12
第十八页，共42页。
[思路方法] (1)由F(x－5)＝F(5－x)可知F(x)为偶函数，故 可确定b的取值；(2)由不等式恒成立可转化为a≥－(2x2＋2x)或 a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立，故可构造函数求最值确定a的 范围；(3)结合函数单调性确定出极值，由数形结合可求得结 论．
－
0
单调 极小值1
递减
(0,1)
＋ 单调 递增
∴k>ln 2＋12时，无零点；
k<1或k＝ln 2＋12时，有两个零点；
k＝1时有三个零点；
1<k<ln 2＋12时，有四个零点．
1
0 极大值 ln 2＋12
(1， ＋∞)
－
单调 递减
第二十三页，共42页。
函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解 决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方 程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化 与化归可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化 为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与 最值问题；将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函 数图象的交点问题等．
第二十页，共42页。
故g′(x)＝2x＋2＋ax(x>0)， 若g(x)在(0,1)上单调， 只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,1)上恒成立， 即2x2＋2x＋a≥0或2x2＋2x＋a≤0恒成立， 所以a≥－(2x2＋2x)或a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立． 记u(x)＝－(2x2＋2x)，0<x<1， 可知－4<u(x)<0， ∴a≥0或a≤－4.
2014年高考数学(理)三轮复习课件：第1部分-专题.
第二讲转化与化归思想、分类讨论思扌思想解读一、转化与化归思想转化与化归思想的基木内涵是：人们在解决数学问题时, 常常将待解决的数学问题A,通过某种转化手段，归结为另一问题B,而问题B是相对较容易解决的或C经冇固定解决模式的问题，H.通过I--J题B的解决町以得到原I'.-J题4的解•用框图叮直观地衣示为：转化有等价转化和非等价转化，等价转化前后是充要条件，所以尽町能使转化具有等价件，等价转化策略就是把未知解的问题转化到在己冇知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断地转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范共至模式化、简单的问题.4不得L1 的悄况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必耍的验址.预测2014年岛考对转化与化川思想的考査的堆本类型和重点为:(1)常量与变量的转化:如分离变量、求范围等:(2)数与形的互相转化:如解析儿何中的斜率、函数中的单调性等:(3)数学各分支的转化：西数与立体儿何、向虬与解析儿何等的转化.二、分类讨论思想分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答來实现解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合，分类标准等J:增加一个己知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或地础性问题），优化解题思路，降低问题难度.分类讨论的常见类型：（Dffl数学概念引起的分类讨论：有的概念木身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数西数、对数西数等.（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：冇的定理、公式、性质是分类给出的，在不冋的条件F结论不一致, 如等比数列的询"项和公式、函数的单调件等.（3）山数学运篦和了母参数变化引起分类，如偶次方根井负，对数的底数与貞数的限制，方程（不等式）的运算与根的大小比较，含参数的取值不同会导致所得结果不同等.（4）rti图形的不确定件引起的分类：竹的图形的形状、位置关系需讨论，如二次函数图彖的开口方向，点、线、而的位置关系,曲线系方程中的参数与曲线类型等.分类讨论思想，在近年高考•试题屮频繁出现，涉及各种题型，己成为高考的热点.考查的重点足含参数函数性质、不等式（方程）问题，与等比数列的前和项和有关的计算推理，点、线、而的位置以及何线与圆锥曲线的位置关系不定问题类型—丨具体与抽象、特殊与一般的转化例已知/C0）=sin20+siif（O+a）+sii?（O+“），问是否存在常数a、0,满足0WaV0W兀，使得・"）为与0无关的定值.【思路点拨】由于爪。
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(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且
本 讲 栏
对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f 52＝________.
目 开
解析
(1)根据题意，所求数值是一个定值，
关 故可利用满足条件的直角三角形进行计算．
令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形， 且cos A＝45，cos C＝0，
来解决．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑
问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
本 2．常见的转化与化归的方法
讲 栏
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受
目 开
阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就
关
是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问
思想方法概述
专题七 第4讲
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题 的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同 数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化
本
等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思
讲 栏
想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．
目 开
1．转化与化归的原则
关
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利
于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简
单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解
题的启示和依据．
思想方法概述
专题七 第4讲
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题
热点分类突破
专题七 第4讲
解析 (1)由x2＝1ay (a>0)知抛物线开口向上，
故过焦点F作一在特殊位置的直线即平行于x轴的直线交抛物
线于P、Q，
本 讲 栏
则|PF|＝|FQ|＝21a，即1p＋1q＝4a.
目 开
(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，
关 ∵f(x)＋f(1－x)＝ax＋ax a＋a1－ax1＋－x a＝ax＋ax a＋a＋aax a
专题七 第4讲
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转
化方法的一个重要途径．
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．
本 讲
(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解
栏 目
决．
开 关
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结
果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全
＝ax＋ax
＋ a
a＋a ax＝axa＋＋aax＝1，
热点分类突破
专题七 第4讲
∴f1100＋f1020＋…＋f19090
本 讲 栏 目
＝f
1100＋f
19090＋f
1200＋f
19080＋…＋f
14090＋f
51 10＋12＝929.
答案 (1)C
99 (2) 2
集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了 正难则反的原则．
思想方法概述
专题七 第4讲
3．转化与化归的指导思想
本
(1)把什么问题进行转化，即化归对象．
讲
(2)化归到何处去，即化归目标．
栏
目
(3)如何进行化归，即化归方法．
开
关
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
热点分类突破
专题七 第4讲
题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方
法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公
式或基本图形问题．
思想方法概述
专题七 第4讲
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂
等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的
基本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式
热点分类突破
专题七 第4讲
代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋45＋45×0 0＝45. (2)因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，
本 讲
所以fxf＋x1＝1＋x x，
栏 目
使f(x)特殊化，可设f(x)＝xg(x)，
开
关 其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化，
目 开
方程有正解进行解决．
关
热点分类突破
专题七 第4讲
解析 设 t＝3x，则原命题等价于关于 t 的方程
t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a得
可设g(x)＝sin 2πx，则f(x)＝xsin 2πx，
经验证f(x)＝xsin 2πx满足题意，则f52＝0.
答案
4 (1)5
(2)0
热点分类突破
专题七 第4讲
类型二 相等与不等的转化
例2 若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取
值范围是________．
本
讲 栏
可采用换元法，令t＝3x，将问题转化为关于t的
思想方法概述
专题七 第4讲
第4讲 转化与化归思想
本 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采
讲 栏
用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种
目 开
方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，
关 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的
问题通过变换转化为已解决的问题．
热点分类突破
专题七 第4讲
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特
本 讲
殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一
栏 目
般规律，从而达到成批的处理问题的效果．
开
关
热点分类突破
专题七 第4讲
(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、 b、c，若a、b、c成等差数列，则1c＋oscAos＋AccoossCC＝________.
类型一 特殊与一般的转化
例1 (1)过抛物线y＝ax2 (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于
本 讲 栏
P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则1p＋1q等于
目 开
关 A．2a
B．21a
C．4a
D．4a
()
(2)已知函数f(x)＝
ax ax＋
a
(a>0且a≠1)，则f
1 100
＋f
2 100
＋…＋f 19090的值为________．
本 讲
(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
栏 目
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，
开 关
达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明
特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于
解决的问题．
思想方法概述