运筹学第三章运输问题课件复习进程
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广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学教学课件-第三章 运输问题
2021/8/17
2
1.运输问题模型及有关概念
例4.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、
各销地的销量和各产地运往各销地每件物 品的运费如下表所示，问：应如何调运可 使总运输费用最小？
A1
A2 销 量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3 6 5 200
充分必要条件是这个变量组中不包含闭回路。
推论 产销平衡运输问题的 m + n -1 个变量
构成基变量的充分必要条件是它不含闭回路。
这个推论给出了运输问题基本解的重要性质， 也为寻求基本可行解提供了依据。
这个推论告诉了一个求基变量的简单方法，同时也 可以判断一组变量是否可以作为某个运输问题的基 变量。这种方法是直接在运价表中进行的，不需要 在系数矩阵A中去寻找，从而给运输问题求初始基 可行解带来极大的方便。
C x i 1 j 1 ,x i 1 j2 , ,x is j 1 ，则B中
【证】由线性代数知，向量组中部分向量组线性相关则该向量组线
性相关，显然，将C中列向量分别乘以正负号线性组合后等于零，
即
P i 1 j 1 P i 1 j2 P i2 j2 － p isj 1 0
因而C中的列向量线性相关，所以B中列向量线性相关。
（1）有时目标函数求最大，如求利润最 大或营业额最大等；
（2）当某些运输线路上的能力有限制时， 模型中可直接加入（等式或不等式）约束；
2021/8/17
13
1.运输问题模型及有关概念
(3)产销不平衡的情况。当销量大于产 量时可加入一个虚设的产地去生产不足的 物资，这相当于在式（4-2）每一式中加上
A3
运筹学教学课件 第三章 运输问题
7 4 9 3 6 5 6
2.1 确定初始基可行解
• 这与一般线性规划问题不同，产 销平衡的运输问题总是存在可行解。 因有
b a
i 1 j i 1
m
m
i
d
必存在 0≤ xij,i=1,…,m,j=1,…,n 是可行解。又因 0≤xij≤min(a1,bj) • 故运输问题的可行解和最优解必存在。 • 确定初始可行解的方法有很多，一般 希望的方法即简便又尽可能接近最优解。 下面介绍两种方法：最小元素法和伏格 尔（Vogel）法。（其它如西北角法等）
例1
• 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂。每 日的产量分别为： • A1——7吨，A2——4吨，A3——9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点。各销售 点每日的销量为：B1——3吨，B2——6吨， • B3——5吨，B4——6吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为表3-3所示，问该 公司应如何调运产品，在满足各销点的需要 量的前提下，使总运费为最少。
运价表与行差和 列差的计算
表3-10 伏格尔法
伏格尔法基可行解， 总运费为85，恰好得 到最优解
销地 B1 B2 B3 B4 行 产 差 量 产地
销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2
A1
A2 A3
3
1 7
11 3
9 4 5 6 2 1 5
10 0
8 3 6 1 1
7
4 9
10 5
列差 2 销量 3
A3
表3-13
B1 销地 加工厂 A1 A2 A3 销量 ห้องสมุดไป่ตู้2 B3 B4 产量
5 3 6 3 6 5
2 1 3 6
7 4 9
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
《运筹学》第三章：运输问题培训课件
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
7
3
7
7
2
60
6
5
9
11
3
50
需求总计 40 40 60 20
确定初始可行解方法一：西北角 法
门市部 工厂
1
2
3
4 供应总计
9
12
9
6
1
50
40 10
7
3
7
7
2
30 30
60
6
5
9
11
3
30 20
50
需求总计 40 40 60 20
2
34
9 12 9 6
1
40
10
U1
7
3
7
7
2
★
40
20
U2
3
6
5
9
11
40
10
U3
V1 V2 V3 V4
21 (7 6 9) (9 11 7) 5
继续求检验数
门市部
工厂
1
2
3
4
供应总 计
9 12 9 6
1
40 （12） （5）
10
50
7
3
7
7
2
(-5) 40
20 （-2） 60
3
6
计算检验数方法一：闭合回 路法
门市部 工厂
1
9 1
40
7 2
6 3
需求总计 40
2
3
运筹学教案(运输问题).ppt
可利用价格表采用 西北角法 最小元素法 伏格尔法 等方法求平衡运输问题的初始调动方案 9
以例子说明表上作业算法 有如下表格描述的平衡运输问题
1
2
3
4
2
7
3
11
20
1 x11
x12
x13
x14
8
4
6
9
20
2 x21
x22
x23
x24
4
3
10
5
40
3 x31
x32
x33
x34
30
25
10
15
10
初始基础可行解—西北角法
15
x32=Min(a3,b2)=25 在三行二列填数25 调整行列供求 a3=25-25=0, b2 =40-25=15 划去已完全满足的第二15列
用同样的方法确定其它数字格的调运量
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20 10 0
2
10
10
4
3
3 10
25
10
5
5 40 15 5 0
xlk=min(al,bk) （3）同时划去使行或列要求恰好满足的行 或列，调整行列供求量。
（4）重复（1）到（3）从而在m+n-1个方 格上填数字，构成运输问题的初始调运方 案
最小元素：min{cij}=c11=2
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20
2
4
3
10
以例子说明表上作业算法 有如下表格描述的平衡运输问题
1
2
3
4
2
7
3
11
20
1 x11
x12
x13
x14
8
4
6
9
20
2 x21
x22
x23
x24
4
3
10
5
40
3 x31
x32
x33
x34
30
25
10
15
10
初始基础可行解—西北角法
15
x32=Min(a3,b2)=25 在三行二列填数25 调整行列供求 a3=25-25=0, b2 =40-25=15 划去已完全满足的第二15列
用同样的方法确定其它数字格的调运量
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20 10 0
2
10
10
4
3
3 10
25
10
5
5 40 15 5 0
xlk=min(al,bk) （3）同时划去使行或列要求恰好满足的行 或列，调整行列供求量。
（4）重复（1）到（3）从而在m+n-1个方 格上填数字，构成运输问题的初始调运方 案
最小元素：min{cij}=c11=2
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20
2
4
3
10
第三章 运输问题 运筹学 PPT课件
定理： 若变量组 x ,x , i1j1 i2j2 ,xisjs
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
(s= m+n-1)是运输问题的基变量，xij是一个非
基变量，则变量组 xij,xi1j1,xi2j2, ,xisjs
中存在包含xij 的唯一闭回路。
14
§2 求解运输问题的表上作业法
运输问题是一种特殊的线性规划问题， 根据其特殊性设计的表上作业法，仍然重复 单纯形法的思想，但验证最优标准和可行性 的方法有些变化，其求解步骤如下： （1）给出初始基可行解； （2）检验是否是最优解，如果是最优解， 则计算结束；否则转入（3）； （3）确定进基变量和出基变量，求出新的 基可行解，返回（2）。
推论： 若变量组 xi1j1,xi2j2, ,xirjr
中有一个部分组构成闭回路，则该变量 组对应的系数列向量线性相关。
推论：m+n-1个变量构成基变量的充要 条件是不含闭回路。
13
若变量组中某一个变量是其所在行或所 在列中包含在该变量组中的唯一变量，则称 这个变量是变量组的孤立点。
不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。
n
xij ai
j 1
m行
1
1
1
1
1
1
1 1 1
m
xij b j
i 1
n行
1
1
1 1
1
1
1
1
7 1
该矩阵的元素全部是0或1。每一列 只有两个元素为1，其余为0。若用Pij表示 xij的系数列向量，则在Pij中第i个和第m+j 个元素为1，其余为0。即
0
1
5
产销平衡的运输问题
m
n
ai bj
i1
j 1
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
运筹学(第三章)课件
i =1
例1：
某市有三个造纸厂A1,A2和A3，其纸的产量分别为 8，5和9个单位。由各造纸厂到各用户的单位运价 如表所示，请确定总运费最少的调运方案。
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 3 11 6
4
B2 12 2 7
3
B3 3 5 1
5
B4
产量
4 8
9 5
5 9
6
运筹学(第三章)
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
8
2
8
8
B2
12
8
10
6
5
14
B3
4
3
4
11
8
12
B4
产量
11
16 ②
9
10 ④
6
14
22 ⑥
14
48
①
③
⑤
⑥
8×4+8×12 +6×10+4×3+8×11+14×6= 372（元）
运筹学(第三章)
最小元素法——每次找最小元素
销地 产地 A1
A2
A3 销量
B1 4
2
8
8
8
B2 12
价为 cij (i = 1,2,..., m; n = 1,2,..., n) ，又假设产销是平衡的，即：
m
n
ai = b j ，问应如何安排运输可使总运费最小？
i =1
j =1
运筹学(第三章)
二、运输问题的数学模型
假定 xij 表示由 Ai 到 B j 的运输量，则平衡条件下的运输问题可写出
用表上作业法求解运输问题
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化工厂
A
16 13 22 17
50
B
14 13 19 15
60
C
19 20 23 /
50
最低需求(万吨)
30 70 0 10
最高需求(万吨)
50 70 30 不限
2020年5月15日星期五
9
解 这是一个产销不平衡的运输问题，总产量为160万 吨，四个地区的最低需求为110万吨，最高需求为无限。 根据现有产量，第Ⅳ个地区每年最多能分配到60(16030-70-0=60)万吨，这样其不限的最高需求可等价认为 是60万吨。按最高需求分析，总需求为210万吨，大于 总产量160万吨，将此问题定义为销大于产的运输问题。 为了求得平衡，在产销平衡表中增加一个假想的化肥厂 D，其年产量为50万吨。由于各地区的需要量包含两部 分，如地区Ⅰ，其中30万吨是最低需求，故不能由假想 化肥厂D供给，令相应运价为M(任意大正数)，而另一部 分20万吨满足或不满足均可以，因此可以由假想化肥厂 D供给，按前面讲的，令相应运价为0。对凡是需求分两 种情况的地区，实际上可按照两个地区看待。这样可以 写出这个问题的产销平衡表(表3-2)和单位运价表(表33)。
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产销平衡表(表3-2),单位运价表(表3-3)
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ’ Ⅳ’’
化工厂
A B C D 销量(万吨) 30 20 70 30 10 50
产量 （万 吨）
50 60 50 50
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ
化工厂
Ⅳ’
Ⅳ’’
A
16 16 13 22 17 17
化工厂
（万
吨）
A
50
50
B
20
60
C
50
D
50
销量(万吨) 30 20 70 30 10 50
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ
化工厂
Ⅳ’
Ⅳ’’
A
16 16 13 22 17 17
B
14 14 13 19 15 15
C
19 19 20 23 M
M
D
M 0 M0 M
0
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第三步，见表3-8，3-9
产 销平衡的运输问题
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当销大于产时，即
m
n
ai < bj
i 1
j 1
可以在产销平衡表中增加一虚拟行，表示增加一
个假想的产地i=m+1，该地产量为
n
m
bj - aj
j1 i1
在单位运价表上令从该假想产地到各销地的运价，
'cm1, j 0 ，同样可以转化为一个产销平衡的运输问题.。
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ’ Ⅳ’’ 产量
化工厂
（万
吨）
A
50
50
B
30
20
60
C
50
D
50
销量(万吨) 30 20 70 30 10 50
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ
化工厂
Ⅳ’
Ⅳ’’
A
16 16 13 22 17 17
B
14 14 13 19 15 15
C
19 19 20 23 M
M
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例2 设有三个化肥厂(A，B，C)供应四个地区(Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，
Ⅳ)的农用化肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。
各化肥厂年产量，各地区年需要量及从各化肥厂到各地区
运送单位化肥的运价如表3-1所示。试求出总的运费最节省
的化肥调拨方案。
表3-1
需 求 地 区 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 产量（万吨）
i 1
j 1
j 1
所以这是一个产销平衡的运输问题。
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若当产大于销时， 只要增加一个假想的销地j=n+1(实际上是储存)， 该销地总需要量为
m
n
ai -表中从各产地到假想销地的单位运价为， c ' 0 ，可以理解为就地“销售” ，就转化成一个
i,n 1
mn
m
min z' ci'j xij ci'j xij ci',n1
i1 j1
i1 j 1
i 1
mn
cij xij
i1 j1
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满足：
n1xij ai
j 1
m xij b j
i 1 xij 0
由于这个模型中
m
n
n1
ai bj bn1 bj
D
50
销量(万吨) 30 20 70 30 10 50
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ
化工厂
Ⅳ’
Ⅳ’’
A
16 16 13 22 17
17
B
14 14 13 19 15
15
C
19 19 20 23 M
M
D
M 0 M0 M
0
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第二步见表3-6，3-7
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ’ Ⅳ’’ 产量
B
14 14 13 19 15 15
C
19 19 20 23 M
M
D
M 0 M0 M
0
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利用表上作业法求解步骤如下
1.首先利用最小元素法求出基可行解，步骤如下
第一步见表3-4，3-5
需求地区 Ⅰ’ Ⅰ’’ Ⅱ Ⅲ Ⅳ’ Ⅳ’’ 产量
化工厂
（万
吨）
A
50
50
B
60
C
50
( j 1,2, , n)
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由于总的产量大于销量，就要考虑多余的物资在哪一个产
地就地储存的问题。设xi, n+1是产地Ai的储存量，于是有：
n
n1
xij xi,n1 xij ai, (i 1,2, ,m)
n
j 1 m
j 1
xi,n1 ai
-
xij
j1
xij bj ( j 1,2, , n)
运筹学
第3章 运输问题
第3节 产销不平衡的运输问 题及其求解方法
第4节 应用举例
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第3节 产销不平衡的运输问题及其求解方法
前面一节所讲的表上作业法，都是以产销平衡为前
提条件的，即
m
n
ai bj
i 1
j 1
但是实际问题中产销往往是不平衡的。因此就需要 把产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。
i 1
m xi,n1
m
ai
m
-
n
xij
i1
i1 i1 j1
m
nm
ai - xij
i1 j1 i1
m
n
ai - bj
i1 j 1
bn1
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令：
ci'j cij,
ci'j 0,
当 i=1,…，m，j=1,…，n时 当 i=1,…，m，j=n+1时
将其分别代入，得到
m n1
当产大于销
m
n
ai bj
i 1
j 1
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运输问题的数学模型可写成
目标函数：
mn
min z cij xij
i1 j1
满足：
n
xij ai ,
j 1
m
xij
bj ,
i 1
xij 0
从Ai到Bj的运量小于供应量
(i 1,2, , m)
从Ai到Bj的运量等于需要量