1.2 第二讲特征函数
概率论_特征函数
概率论_特征函数特征函数（characteristic function）是概率论中一个非常重要的工具，它能够完全描述一个随机变量的分布，并且可以用来推导和证明一系列的性质和定理。
特征函数具有许多重要的性质，如唯一决定定理、独立性的性质、收敛性的性质等。
特征函数的定义如下：对于一个随机变量X，它的特征函数$\varphi(t)$定义为$E[e^{itX}]$，其中 i 是复数单位，t 是实数。
特征函数是关于 t 的复数函数，其实部和虚部分别是 $\cos(tx)$ 和$\sin(tx)$。
特征函数的一个重要性质是唯一决定性（uniqueness），即对于一个分布，它的特征函数是唯一确定的，并且确定了分布的所有性质。
这一性质使得特征函数成为一种描述概率分布的有效工具。
对于连续分布，特征函数可以通过概率密度函数和积分的关系得到，对于离散分布，特征函数可以通过概率质量函数和求和的关系得到。
另一个重要的性质是独立性的性质。
如果两个随机变量 X 和 Y 是独立的，那么它们的特征函数的乘积等于它们各自的特征函数的乘积。
即$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
这个性质可以用来推导和证明随机变量的和的分布。
特别地，如果 X 和 Y 是独立同分布的，那么它们的特征函数的乘积等于它们特征函数的平方。
特征函数还有一个重要的性质是收敛性的性质。
对于一个随机变量序列X₁,X₂,...，如果它们的特征函数逐点收敛于一个函数，那么这个函数也是一个随机变量的特征函数，且收敛到的分布是弱收敛的。
这个性质可以用来证明中心极限定理等重要的结果。
特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用。
它被用来推导和证明许多重要的定理，如中心极限定理、大数定律、极限理论等。
它还可以用来计算随机变量的矩、协方差、相关系数等统计量，并且可以用来推导各种分布族的性质。
特征函数的计算通常比较简单，只需计算指数函数的期望。
特征函数的概念及意义
特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。
二．常用分布的特征函数。
三．特征函数的应用。
四．绪论。
一．特征函数的定义设X 是一个随机变量，称 ()()itXe t E =ϕ, +∞<<∞-t ,为X 的特征函数.因为＝１Ｘit e ，所以()itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为()∑+∞==1k k itx p e t k ϕ, +∞<<∞-t .当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()⎰+∞∞-=dx x p e t k itx ϕ, +∞<<∞-t .与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.二．常用分布的特征函数1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =ϕ2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x1x =-==-，，其特征函数为()q pe t it +=ϕ，其中p 1q -=.3、泊松分布()λP ：()λλ-==e k k X P k！，k=0,1， ，其特征函数为()()∑+∞=---===0k 1e e kiktitit e e e e k et λλλλλϕ！. 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.;,0,1其他b x a a b x p所以特征函数为()()⎰--=-=b aiatibt itx a b it e e dx a b e x ϕ. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为()2221x e x p -=π， +∞<<∞-x .所以特征函数为()()⎰⎰∞+∞-∞+∞-----∞==dxit x t x itx e edx e x 2222222121πϕ=⎰-∞+-∞----=ititt t t edz ee22222221π.其中⎰-∞+-∞--=ititx dz eπ222 .三．特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求()2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2t i 22et σμϕ=,于是由()k k k i 0ξϕE =得，()μϕξi 0i ′==E , ()22″220i σμϕξ--==E , 由此即得()222D σξξξμξ=E -E ==E ，.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差, 要比从定义计算方便的多.2、 在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法, 不难把性质4推广到n 个独立随机变量的场合,而n21,ξξξ ，，是n 个相互独立的随机变量, 相应的特征函数为()()()∑==n 1i i n 21t t t ξξϕϕϕ，则，，， 的特征函数为()()∏==n1i i t t ϕϕ.设()n ,,21j j ，=ξ是n 个相互独立的，且服从正态分布()2N j j a σ，的正态随机变量.试求∑==n1j j ξξ的分布.由于j ξ的分布为()2N j j a σ，，故相应的特征为()222tia j j je t σϕ=.由特征函数的性质()()ξϕϕ可知∏==nj j t t 1的特征函数为()()21212221112t t a i n j nj tia j nj j nj j j jeet t ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑=====∏∏σσϕϕ.而这正是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知ξ服从⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n j j n j j a N 121,σ. 3、 在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n 重贝努力实验中，事件A 每次出现的概率为p(0<p<1)，n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，则dt e x npq np P xt nn ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-2221lim πμ.要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例. 若 ,,21ξξ是一列独立同分布的随机变量，且(),,2,1,0,22 =>==E k D a k k σσξξ则有dt e x nna P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.证明 设a k -ξ的特征函数为(),t ϕ则∑∑==-=-nk k nk kn anna11σξσξ的特征函数为nn t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛σϕ又因为()(),,02σξξ=-=-E a D a k k 所以()()20,00σϕϕ-=''=' 于是特征函数()t ϕ有展开式()()()()()()222222112000t t t t t t οσοϕϕϕϕ+-=+''+'+=.从而对任意的t 有，∞→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n e n t nt n t tn,2122222οσϕ. 而22t e-是()1,0N 分布的特征函数，由连续定理可知dt e x n na P xt n k k n ⎰∑∞-=∞→=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-21221lim πσξ.成立，证毕.我们知道在n 2221P lim μπμ中dt e x npq np xt n n ⎰∞-∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-是服从二项分布.()n k q p C k p kn k k n n ≤≤==-0,μ.的随机变量，dt e x xt ⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛<-2221P lim πλλξλλ为“泊松分布收敛于正态分布” , 我们把上面的结论常常称为“ 二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道⎰+∞-022dx e x x k 可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量ξ服从⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0N ，其密度函数为：()21x e x p -=π，其特征函数为：()∑⎰∞+=-∞+∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⋅⋅=0241!41122i tit x itx i tedx e e t πϕξ， 故 ()()()() +++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+!131241!!241212k t k k k t k kkξϕ ，所以 ()()()!!1221!!24102-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k k kkk ξϕ,由特征函数的性质 ()()()kk kk k i 2!!120222-=-=E ξϕξ，又 ⎰+∞-=E 0222dx e x x k kξ，故()⎰∞+∞-+--=122!!122k x k k dx e x .即 ()⎰∞++--=0122!!122k x k k dx e x四．结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.。
特征函数
则有 1＝ΨB(x)＝ΨA(x)+Ψ~A(x) ΨΦ(x)， 故Ψ~A(x)＝1ΨA(x)。 ⑻ ΨAB(x)＝ΨA∩~B(x)＝ΨA(x)·Ψ~B(x)＝ΨA(x) ΨA∩B(x) ΨA(x) ΨA∩B(x)＝ΨA(x) ΨA(x)·ΨB(x) ＝ΨA(x)[1ΨB(x)] ＝ΨA(x)·Ψ~B(x) ＝ΨA∩～B(x)＝ΨAB(x)
【例5.21】设 E＝{a, b, c}, E 的子集是：Φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} 和 {a, b, c}。试给出 E 的所有子集的特征 函数且建立特征函数与二进制之间的对应关系。
解：E 的任何子集 A 的特征函数的值由下表给出。
ΨA(x)
A
由集合的特征函数可知，从 E 到 {0, 1} 的任一函 数，都能唯一地确定一个 E 的子集合，如果元素 x 的函 数值为 1，则 x 属于此集合，否则，x不属于此集合。如 果考虑的是从 E 到区间 [0, 1]的函数，此时，按照已知 集合的概念可知，这样定义的函数已不能再理解为集合的
特征函数。因为，假定次函数也定义了一个集合 A，当 。 x∈E 的函数值为 0.5 时，无法解释 x 是否属于所考虑的
因此 f 是满射。
综上可知，f 是双射。
定义5.15 设 E 是全集，AE，于是把ΨA：E→{0, 1} 定 义为： 1 若 X∈A ΨA(x)＝ 0 若 XA 并称 ΨA(x) 为集合 A 的特征函数。
【例5.19】设全集 E＝{a, b, c}，它有 8 个子集。 对于子集 {a} 有 Ψ{a}(a)＝1, Ψ{a}(b)＝0, Ψ{a}(c)＝0， 于是子集 {a} 的特征函数为 Ψ{a}＝{＜a, 1＞, ＜b, 0＞, ＜c, 0＞}。 对于子集 {a, b}，有 Ψ{a,b}(a)＝1, Ψ{a,b}(b)＝1, Ψ{a,b}(c)＝0， 故子集 {a, b} 的特征函数为 Ψ{a,b}＝{＜a,1＞, ＜b,1＞, ＜c,0＞}。 对于空集Φ有ΨΦ(a)＝0, ΨΦ(b)＝0, ΨΦ(c)＝0， 故Φ的特征函数为ΨΦ＝{＜a,0＞, ＜b,0＞, ＜c,0＞}。 同理可求出其余子集的特征函数。
第2节、随机变量的特征函数
n
§2 随机变量的特征函数
例 4： 正态分布 正态分布N(a,σ2)的分布密度是
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
( x )
其中
( x ), 0
( xa )2 2
2
。由（2）式，得
令u xa
1 (t ) 2
§2 随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率 论自身内容的一个组成部分。在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔 吉斯积分。
一、斯蒂尔吉斯积分
先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。 定义： 设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的两个有界函数。把 区间[a,b]分成n个子区间，分点为 a x0 x1 xn b ，在每一个子 区间 [ x , x ] 上任意取一个点 k 作和式
§2 随机变量的特征函数
(5) 设随机变量X,Y相互独立，又 Z X Y ,则 z (t ) X (t )Y (t ) 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特 征函数的乘积。 证: 由特征函数的定义
z (t ) EeitZ Eeit( X Y ) E[eitX eitY ] EeitX EeitY X (t )Y (t )
itx
存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（FourierStieltjes）积分，简称F-S积分。
二、特征函数
先引进复随机变量。 定义: 如果X与Y都是概率空间(Ω, F, P)上的实值随机变量， 则 Z X iY 称为复(值)随机变量，其中 i 1 。 复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为 EZ=EX+iEY 其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。 若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机变量。
求特征函数的公式
求特征函数的公式特征函数是概率论中的一个重要概念，它是随机变量的一种表现形式。
特征函数能够描述随机变量不同的特性和属性，同时也是各种数学方法和统计学方法的基础。
在进行随机变量的分析和求解时，往往需要先求出其特征函数，根据特征函数来推导随机变量的概率分布函数、矩等基本性质。
因此，本文将详细介绍求特征函数的公式和相关知识。
一、什么是特征函数？特征函数是一种与随机变量（或者随机向量）相关的函数，它能够完整地描述该随机变量的全部性质和特征。
特征函数是唯一的，具有一致性、可加性、正定性、连续性等性质。
特别是对于连续性随机变量，它的特征函数具有很好的解析性质。
因此，特征函数被广泛应用于概率论、数学统计、信号处理、图像处理等领域。
特征函数是一个复值函数，定义为：$$\varphi_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)$$ 其中，$t$是实数、$i$是虚数单位(即$i^2=-1)$，$X$是一个随机变量。
特征函数的实部和虚部分别对应着随机变量的余弦变换和正弦变换的性质。
如果随机变量$X$的概率密度函数为$f_X(x)$，那么特征函数可以用$f_X(x)$来表示：$$\varphi_X(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f_X(x)dx$$二、特征函数的性质1、一致性如果两个随机变量$X$和$Y$有相同的分布，则它们的特征函数是相同的，即$\varphi_X(t)=\varphi_Y(t)$。
2、可加性如果$X$和$Y$是两个独立的随机变量，则它们的和$Z=X+Y$的特征函数等于它们各自特征函数的乘积，即$\varphi_Z(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)$。
3、正定性对于特征函数$\varphi(t)$的任何一个复数系数$c_1,c_2,...,c_n$和任意实数$t_1,t_2,...,t_n$，有：$$\sum_{k,l=1}^nc_k\overline{c_l}\varphi(t_k-t_l)\geq0$$其中，$\overline{c_l}$表示$c_l$的共轭复数。
《概率论与数理统计课件》 特征函数
k
it n
．
20
k 1
例 如果我们已知 X ~ N 0, 1 的特征函数是 t e 令Y ~ N
t2 2
，
,
2 ，则 Y X ，因此，
Y t X t e X t
it
eit X t eit e
所以其特征函数
x0 ， x0
x ixt ixt x x t e f x dx e e dx e costxdx i e sin txdx 0 0 0
t it 2 2 i 2 2 1 ． t t
e ihx 1 e
i hx 2 hx i i hx hx hx 2 2 e e 2 sin 2 2 2 ha 2 ．
24
所以，对于所有的 t ,
，有
t h t
x a
e
ihx
2 2
dx
e
it
i t
2t 2
2
1 2
it
it
dz e
i t
2t 2
2
．
在计算积分
it
e
z2 2
dz 中，我们用到了复变函数中的围道积分．
12
二．特征函数的性质
13
性质 1 证明：
t 0 1 ．
我们只就 X 是连续型随机变量的情形予以证明． X 是 设 连续型随机变量，其密度函数为 f x ．
t
e ixt f x dx
第2章 随机变量-特征函数
2
t
+j
t t
2
二、特征函数的性质
性质1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | ( t ) | (0) 1;
( 2) ( t ) ( t ).
性质1.2 设X 的特征函数为 X ( t ) , 则Y aX b 的特征函数为
Y ( t ) e X (at )
e
jtX
f ( x )dx
, a x a ,
jtx
其他
( t ) e
a
a
1 1 jtx dx = e 2a 2ajt
xa x a
1 = sin at at
当t=0时，
(t 0)
e f ( x )dx =1
0
( 0 )
例1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特 征函数.
Z ( t ) e (a1 t , a2 t ).
jtb
性质2.4 两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的 特征函数恒等.
三、相互独立随机变量的特征函数 定理2.3 n 个随机变量相互独立的充分必要条件为
( X 1 , X 2 , , X n )
的特征函数
j ( t1 X 1 t 2 X 2 t n X n )
随机变量 (a1 X b1 , a 2Y b2 ) 的特征函数为
( t1 , t 2 ) e
性质2.3
j ( t1b1 t 2b2 )
(a1 t1 , a2 t 2 ).
设随机变量 ( X ,Y ) 的特征函数为 ( t1 , t 2 ), a1 , a 2 , b 为任
1.2函数概念及几何特性
例6.
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(
x
3)的定义域.
1 x 2
解: 要使 f (x)有意义, x 应满足
f
(
x
)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
故
D f : [3,1]
3、函数的基本特性：
符号：“ ” 表示 “ 存在 ”. 符号：“ ” 表示 “ 任意取 ”.
例如, f (x) 1 在 x
开区间(0, 1)上是无界的, 但在[1,)上是有界的.
y
1
y1 x
01 x
2. 单调性: 设函数 y = f (x)的定义域为D, 区间 I D. 若 x1, x2I, 当x1< x2时, 有 f (x1)<f (x2) (或 f (x1)> f (x2)). 则称 在区间 I 上是单调增加的(或是单调减 少的).（注意：没有等号时，常说成 严格单调）
内是单调减函数, y = x3在(, +)内是单调增函
数. 如图
y
y=x2
0
x
y
y1 x
x 0
y
y=x3
0
x
3. 奇偶性: 设函数 y = f (x)的定义域D关于 原点对称, 若 x D, 都有 f (x) = f (x)
( f (x)= f (x)). 则称f (x)为偶(奇)函数.
几何上, 偶函数的图形关于 y 轴对称, 奇函数的图形关于原点对称.
f (x+2T)
x+2T
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
性质1 特征函数具有以下性质： (1) f (0) 1 (2) | f (t) | f (0)
(3) f (t) f (t)
证明：(1) 显然成立，下证明(2)
|f (t) || e
itx
dF(x) | |e i t x | dF(x)
注意到: eitx=costx+isintx，于是
x x1或x x2 , D x x1 -D x x2 0
x=x1 , 或x x2 , D x x1 D x x2 1 2
x1 x x2 , D x x1 D x x2 1
于是 引理得证.
设 x1<x2
证明: 设x,y是两个相互独立的随机变量，而z=x+y由 x,y的独立性可知两个复值随机变量eitx ,eity 也相互独 立，因此
Ee =Ee
i tz
i t(x y)
=E(e e )=(Ee )(Ee )
itx ity
i tx
i ty
性质5 设随机变量的n阶矩存在，则其特征函数 可微分n次，且当kn时：
|e |= cos tx sin tx 1
itx 2 2
从而
|f (t) | |e
itx
| dF(x) dF(x) 1
(3) 注意到z=a+ib,则 z=a-ib
f (t ) e
itx
f ( x)dx cos(tx) f ( x)dx i sin(tx) f ( x)dx
n n
3.控制收敛定理（Dominated convergence theorem）
若 lim f n f , a.e. 且存在可积函数ｇ,使得 | f n | g , a.e. n
则 lim f n d = lim f n d = fd .
n n
it ibt ita
f t e f at
ibt
it a +b ibt
=e Ee =e f at
特征函数与分布函数的关系
1.逆转公式 定理 (逆转公式) 设分布函数F(x)的特征函数 为f(t)，又x1,x2是F(x)的连续点，则
1 F x2 F x1 lim T 2
则
0 lim g T , x , x1 , x2 1 / 2 T 1
由狄里克莱积分
1/2 >0 1 sin t D dt= 0 =0 0 t -1/2 <0
可得
T
lim g T , x , x1 , x2 D x x1 D x x2
1 p x 2
e itx f t dt
证明 由逆转公式，若x-,x+是F(x)的连续点，则有 1 T sin t -itx F x+ F x lim e f t dt T T
t
两边同除以2,得
F x+ F x 1 T sin t -itx lim e f t dt T 2 T 2 t sin t -itx 注意到 t e f t | f t | ，由勒贝格控制收敛定理知
|x| A
A
A
|sin hx |dF(x) 也任意地小，从而证明了结论. 2
性质3 对于任意的正整数n及任意的实数t1,t2,…tn和 任意的复数1,2,..., n有
f (t
k 1 j1
n
n
k
t j )k j 0
该性质我们称之为非负定性. 证明： f (t k t j )k j { e
i (t h)x
ei t x |dF(x)
ihx
1|dF(x)
|x| A
2
|x| A
dF(x) |e
A
A
ihx
1|dF(x) 2
dF(x) 2 |sin hx |dF(x) 2
A
A
注意到上式的右边已经与t无关，故可以选足够大的 A使得 dF(x) 任意小 ，然后选充分小的|h|,可使得
第二讲: 重要收敛定理与随机变量的特征函数
一、几个重要收敛定理 1.Fatou(法都)引理 设 fn (), n 1, 2,..., 是(,F,)上的可积函数，且
fn () 0, n 1
则
lim inf
n n
f n ( )d lim inf f n ( ) d
n n
该定理表明此时可以将极限与积分交换次序.
但是两者不相等！
2.单调收敛定理(Monotone convergence theorem).
若 0 f1 f 2 ...and lim f n f , a.e. n
则 lim f n d = lim f n d = fd .
n
j )dF(x)
( e
k 1
i tk x
k )( e j )dF(x) （用到例２）
i t jx jห้องสมุดไป่ตู้1
f (t
k 1 j1
n
n
k
t j )k j | e
k 1
n
i tk x
k | dF(x) 0
2
性质4 两个相互独立的随机变量之和的特征函数等 于它们的特征函数之积.
6.复数的n次方(棣美弗公式) 设z=rei，则zn=rnein=rn(cosn+isinn) 7.复数运算性质：
例1：两个复数和的共轭等于共轭的和， 乘积的共轭等于共轭的乘积. 证明：设z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i 于是z1+z2的共轭为： (a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=z1+z2
） f（k（）= i k E k 0 k d 证明 由于 eitx | i k x k eitx || x |k k dt
且随机变量存在ｎ阶矩，故
| x |k dF x
f t eitx dF x 计算ｎ阶导数，可 于是对
以在积分号内进行，即有
T
it x x2
[
-
T
e
it x x1
e
it x x1
0
e it
it x x2
+e
dt]dF x
[
-
1
T
sin t x x1 sin t x x2 t
0
dt]dF x
2.随机变量的特征函数
定义 设F(X)是随机变量X的分布函数，称F(X)的 Fourier-Stieltjes变换
f (t) Ee
itX
e i t x dF(x) ,(i 1)
为随机变量的特征函数(简记为c.f.)或c.h.f. lnf(t)称为第二特征函数 随机变量的特征函数具有以下性质：
3.复数指数式 尤拉公式：ei=cos+isin z=rei 称为复数z的指数式
4.共轭复数 设有复数z=a+bi，则称a-bi为复数z的共轭复数， 记为z. 5.复数的四则运算 设z1=a1+ib1,z2=a2+ib2，则 z1z2=(a1 b1)+i(b1 b2) z1z2=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1) z1/z2= z1z2/||z2||2 %分母实数化
1 IT 2 e itx1 e itx2 1 f(t)dt T it 2
T
e itx1 e itx2 itx T it e dF(x)dt
T
1 将上述积分交换顺序得 IT 2
1 2
e itx1 e itx2 itx - [ T it e dt]dF x
g T , x , x1 , x2 1
e itx1 e itx2 T it f t dt
T
首先证明如下引理：设x1<x2，
T
0
sin t x x1 sin t x x2 dt t t
x x1或x x2 x x1或x x2 x1 x x2
ity T e 1 e itx F x lim lim f t dt 2 y T T it
此即表明分布函数由其特征函数唯一确定.特别地， 当f(t)绝对可积时，有下列更强的结果:
定理：若 | f t | dt ，则对应的分布函数F(x)处处有 连续的导数p(x)=F’(x)，且对每一个x有
三、随机变量的特征函数及其性质
1. 复值随机变量 若X,Y都是概率空间 (, F , P) 上的实值随机变量， 则称 X iY,(i= -1) 为复值随机变量,且
E EX iEY X iY 称为 的共轭随机变量，且
E E
证明：
E E( X iY ) EX iEY E
|g 由引理可知： T , x , x1 , x2 | 有界，根据勒贝格控制收 敛定理 lim I lim g T , x , x , x dF x F x F x 2 1 T 1 2 T T