概率论课件 特征函数
概率与数理统计 4.5 特征函数.ppt
类似地有下列若干性质
（1）(t1, t2 , , tn )在 Rn 中一致连续，且
(0, ,0) 1, (t1,t2, ,tn) 1 (t1, t2, , tn) (t1,t2, ,tn)
（2）若 (t1, t2 , , tn ) 为 (X1, X 2, , X n ) 的特征函数，则
Y c1X1 cn X n 的特征函数为
Y (t) (c1t1, c2t2 , , cntn )
（3）若矩
E
(
X
k1 1
X
kn n
)
存在，则
E
(
X k1 1
n
kn
kj
j1
k1 kn f (t1 ,t2 ,
X ) i [ n
t1k1 tnkn
] ,tn ) t1
1, 2 , , n 为复数，则有
nn
(tk tl )kl 0
k 1 l 1
(3) (t) 是连续函数.
注：上述三条性质为特征函数的特征性质， (t )
满足这三条性质，则其必为特征函数。
证明 (1) (t) EeitX 显然有 (0) 1
(2) (t) 非负定，
(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
独立
Z1, Z2 独立
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为(, ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c.d.f.)定义为
1 2
lim lim
y T
概率论_特征函数
f ( t ) e dF ( x ) e itx dF ( x ) f ( t ).
- itx
9
【系1】 (唯一性定理) 两分布函数恒等的充要条 件是它们各自的特征函数恒等。
即：分布函数由其特征函数唯一确定
23
三、性质与定理的应用 例1 若X~B(n1 , p)、Y~B( n2 , p)，且X与Y相互独立
性质3：设Y aX b, 这里a, b为常数，则fY (t ) ei bt f X (at ).
29
f ( t ) E (e ) e f ( x )dx
itX itx
这就是密度函数f(x)的傅里叶变换
5
常见分布的特征函数
【单点分布】
f ( t ) pk e
k 1
itxk
e
ita
【二项分布】
f (t ) C p q
k 0 k n k
n
nk
e
itk
C ( p e ) q
k 0 k n it k
n
n k
( pe q)
it
n
【泊松分布】
it k ( e ) itk eit (eit 1) f (t ) e e e e e k! k 0 k ! k 0
6
k
【均匀分布】X~U [a, b]
【注1】 e
itx
cos tx i sin tx （欧拉公式）
3
【注2】 f (t ) cos txdF ( x ) i sin txdF ( x )
【注3】
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：
特征函数讲解.ppt
| eitx || (eihx 1) | dF ( x)
| (eihx 1) | dF( x) | eihx -1|dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
| x| A
A
2 dF( x) A | (eihx 1) | dF( x)
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E(eit ) E(eitg( ) )
eitg
(
x
)
dF
(
x
)
由此可以引出：
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x),则称
f (t ) E(eit )
eitx
dF
(
x
)
为的特征函数(characteristic function)
| x| A
A
2
dF( x) 2
A hx | sin |dF( x)
| x| A
A
2
由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意
小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小.
(3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1, t2 , , tn ,
nn
以及复数1, 2 , n ,成立
eix d x |
|
eix
|d
x
0
0
因而 | ei 1 || |
因此
|
e e i tx1
i tx2
it
ei tx
|
x2
x1
经过交换积分次序我们可以得到
IT
1 2π
14特征函数
性质6 特征函数与矩的关系,若随机变量X的 n阶矩存在,则X的特征函数 g ( t ) 的k 阶导数 g ( t )
k
存在,且
E( X k ) i ( k ) g k (0),
(k n).
Ex.8 X N ( , 2 ) ,利用特征函数求期望与 方差。
三、反演公式及唯一性定理 由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征 函数： F ( x ) φ(t ).
唯一性定理 分布函数F ( x1 , x2 ,, xn )由其特 征函数唯一决定
(5) 性质5
若(1 , 2 , , n )的特征函数为f ( t1 , t2 ,, t n )，而 j 的特征函数为f j ( t ), j 1, 2, , n, 则随机变量1 , 2 , , n相互独立的充要条件为
如果f ( t1 , t 2 , , t n )是(1 , 2 , , n )的特征函数 则 a11 a2 2 an n的特征函数为
f (t ) f (a1t , a2t ,, ant )
(3) 性质3
n
如果矩E( )存在，则 kn E (1k1 2k2 n )
k
e
k 0,1, 2,
(t ) e
k 0
ikt
k
k!
e
e e
e it
e
( e it 1)
.
Ex.4 设X ~ N (0,1), 求其特征函数。
解：由X ~ N (0,1)知概率密度为 2 所以特征函数为 f ( x) 1 e
x2 2
x
问题
能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？
1.5 特征函数
第一章概率论基础1.1 概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3 随机变量的函数1.4 数字特征与条件数学期望1.5 特征函数1.6 典型分布1.7 随机变量的仿真与实验1.5 特征函数(Characteristic Function)特征函数、矩发生函数和概率发生函数在分析随机变量和向量的各种问题中有着非常重要的意义，特别是在分析独立随机变量、向量和的概率与矩特性时，应用它们是十分方便的。
在分析特征函数、矩发生函数和概率发生函数时，我们特别强调了变换分析技术。
由此建立了傅立叶变换、Z变换等分析随机信号与系统的概率、矩特性的关系式，从而形成随机信号概率与矩特性的变换分析理论与技术。
一、特征函数及概率密度函数的傅立叶变换定义1.2随机变量，其特征函数定义为式中，v 为确定的实变量。
1.5 特征函数X ()[]j v X X v E e Φ=()X v Φ1.5 特征函数若随机变量的概率密度函数为，则其特征函数为:c.r.v .d.r.v . X )(x f ()()jvxX v f x e dxΔ+∞−∞Φ=∫1()ikjvxX i i v p e Δ=Φ=∑定理1.4随机变量X 的概率密度函数与其特征函数之间是一对傅立叶变换，或式中，表示傅立叶变换对。
()()X f x v ←⎯→Φ−F ()()X f x v −←⎯→ΦF ←⎯→F随机变量概率密度函数与特征函数关系()f x()X vΦ()j xf x e dx ω−+∞jvx dx+∞举例例:随机变量的特征函数为,求其概率密度函数。
X ()jv v pe q Φ=+)(x f 。
01()X [0],[1]()()(1)jv jv jv v pe q qe pe P X q P X p f x q x p x δδΦ=+=+∴====∴=+−∵随机变量有 解法1：举例-续解法2：()()()(1)()()(1)v f x q x p x x x f x q x p x δδδδΦ=++→−=+−此题亦可直接对进行反傅立叶变化得：将右端，有q p)(x f 0 1例1.20求二项分布Binomial的特征函数。
第2节、随机变量的特征函数
n
§2 随机变量的特征函数
例 4： 正态分布 正态分布N(a,σ2)的分布密度是
1 f ( x) e 2 ( x a )2 2 2
( x )
其中
( x ), 0
( xa )2 2
2
。由（2）式，得
令u xa
1 (t ) 2
§2 随机变量的特征函数
随机变量的特征函数是研究概率论的有力工具，它亦是概率 论自身内容的一个组成部分。在介绍特征函数之前先引进斯蒂尔 吉斯积分。
一、斯蒂尔吉斯积分
先看有限区间上的斯蒂尔吉斯积分。 定义： 设f(x),g(x)是定义在区间[a,b]上的两个有界函数。把 区间[a,b]分成n个子区间，分点为 a x0 x1 xn b ，在每一个子 区间 [ x , x ] 上任意取一个点 k 作和式
§2 随机变量的特征函数
(5) 设随机变量X,Y相互独立，又 Z X Y ,则 z (t ) X (t )Y (t ) 此式表示两个相互独立随机变量之和的特征函数等于各自特 征函数的乘积。 证: 由特征函数的定义
z (t ) EeitZ Eeit( X Y ) E[eitX eitY ] EeitX EeitY X (t )Y (t )
itx
存在，则称此积分为对g(x)的傅里叶-斯蒂尔吉斯（FourierStieltjes）积分，简称F-S积分。
二、特征函数
先引进复随机变量。 定义: 如果X与Y都是概率空间(Ω, F, P)上的实值随机变量， 则 Z X iY 称为复(值)随机变量，其中 i 1 。 复随机变量是取复数值的随机变量。它的数学期望定义为 EZ=EX+iEY 其中E(X)，E(Y)是（实值）随机变量的数学期望。 若X是(实值)随机变量，那么eitX应是复随机变量。
第七章特征函数
第七章 特征函数7.1 特征函数的定义及基本性质定义1：设X 为维实随机向量，称为n Xit TEe t =)(ϕX 的特征函数(characteristicfunction )。
一些常见分布的特征函数。
例1：，则其c.f.为),(~p n B X .1,)()(p q pe q t n it −=+=ϕ例2：X 服从参数为λ的Poisson 分布，则其c.f.为 ).1(exp )(−=it e t λϕ例3：，则其c.f.为),(~2σµN X .)(2221t t i e t σµϕ−=特征函数基本性质：1) 1)0(=ϕ；2) （有界）n R t t ∈∀≤,1)(ϕ 3) （共轭对称）；_______)()(t t −=ϕϕ4) （非负定）对任意给定正整数，任意t 和任意复数m n m R t t ∈L 21,m αααL 21,，0≥)(11−∑∑==m l mk k l k l t t ααϕ；5) )(t ϕ为n R 上的连续函数。
证明：4) 0)(2111)(11≥==−∑∑∑===−==ml Xit l ml mk k l X t t i ml mk k l k l TlTk l Ee E Ee t t αααααϕ∑∑。
定理1：（Bocher ）n R 上的函数)(t ϕ是某个随机变量的特征函数当且仅当)(t ϕ连续非负定且1)0(=ϕ。
定理2：（增量不等式）设)(t ϕ是X 的特征函数，则对任意t 有n R h ∈,[])(Re 12)()(2h t h t ϕϕϕ−≤−+由此)(t ϕ在n R 上一致连续。
证明：[][]∫∫−=−=−++dP ee dP ee t h t Xih Xit Xit Xh t i T T T T 1)()()(ϕϕ，由Schwarz 不等式[])(Re 121)()(222h dP edP et h t Xih Xit T T ϕϕϕ−=−≤−+∫∫。
第3章 特征函数(20110826)
第3章 特征函数：随机变量的刻画3.1 特征函数定义定义 3.1.1 假设X 是定义在概率空间),,(P F Ω上的随机变量，它的分布函数为)(x F ，称)exp(itX 的数学期望)][exp(itX E 为X 的特征函数，或者分布函数)(x F 的特征函数，记为)(t X ϕ或)(t ϕ；此处12-=i 。
对复随机变量的数学期望定义如下：如福随机变量为iY X Z +=，其中Y X ,均为实随机变量，则Z 的数学期望定义为)()()(Y iE X E Z E += （3.1.1）由于)sin()cos()exp(tX i tX itX += （3.1.2）因此，⎰⎰∞∞-∞∞-+=+==)()sin()()cos( )][sin()][cos( )][exp()(x dF tx i x dF tx tX iE tX E itX E t X ϕ⎰∞∞-=)()exp(x dF itx （3.1.3）于是，X 的特征函数也可以称为对分布函数)(x F 的富立埃-斯蒂阶变换。
因为对任意R t ∈， )cos(tX 和)sin(tX 均为有界连续函数，故)][cos(tX E 和)][sin(tX E 均为有限，因此，任意随机变量的特征函数总是存在的。
随机向量的特征函数：如果),,,(21m X X X X =是m 维随机向量，则其特征函数定义为)]}({exp[)(2211n n X X t X t X t i E t +++= ϕ⎰⎰∞∞-∞∞-+++=),,,()](exp[ 212211n n n x x x dF x t x t x t i （3.1.4）● 当X 为离散随机变量时，其特征函数为∑==kk kX p itxitX E t )exp()][exp()(ϕ （3.1.5）此处)(k k x X P p ==。
● 当X 为连续随机变量时，其特征函数为⎰∞∞-== )()exp()][exp()(dx x f itx itX E t X ϕ （3.1.6）显然，随机变量特征函数的计算需要进行复数运算（复数求和）或者进行实变复值函数的积分。
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e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
e jtX dF ( x)
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数, 其中 j 1, t R.
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
( t
)
e itk
k0
ke
k!
e
（e it ）k
k0 k!
e e eit
e（eit -1）
例4.1.5 设随机变量X 服从 [a,a]的均匀分布, 求其特征函数.
(t) E(e jtX )
记X 的特征函数为X (t), 在不会引起混乱的情况下简写为 (t).
e jtX cos tX j sintX
(t) E(e jtX ) E(cos Xt )+jE(sin Xt )
3. 特征函数的计算 e jtX cos(tX ) j sin(tX )
(t ) E(e jtX )
X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是 由X 构造出来的复值随机变量的期望。
例4.1.1 设随机变量X 服从退化分布, 即
求X 的特征函数.
P{X c} 1
( t ) E( e jtX ) e jtxk k
e jtC 1
例4.1.6 设随机变量X 服从参数为 的指数分布, 求其特征函数.
( t ) E( e jtX ) e jtX f ( x )dx
( t ) e jtX e xdx 0
（cos tx i sin tx )e xdx 0
cos txe xdx i + sin txe xdx
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
n
( t )
C
k n
pk
1-p e nk itk
k0
n
C
k n
(
p
e it
)k
1-p nk
k0
( pe jt +q)n
例4.1.4 设随机变量X 服从参数为 的泊松分布, 求其特征函数.
e
jtX
f
( x)dx
1
f
(
x
)
2a
,a x a,
0, 其他
( t ) e a jtx 1 dx a 2a
=
1 2ajt
e jtx
xa xa
=
1 at
sin at
(t 0)
当t=0时， ( 0 ) e0 f ( x )dx=1
虚数单位 i i2 1, i 1
j j2 1, j 1
Z a bj
Z a bj
=r(cos i sin )
欧拉公式 e jt cos t j sin t
2. 复随机变量的数学期望 若复随机变量为 Z X jY
其中X, Y 均为实随机变量, 则Z 的数学期望定义为 E(Z ) E( X ) jE(Y )
e jtC
例4.1.2 设随机变量X 服从参数为p 的0-1分布(两点分布), 求其 特征函数.
( t ) E( e jtX ) e jtxk pk
k
( t ) e jt1 p+e jt0 1-p
e jt p+q
例4.1.3 设随机变量X 服从参数为n, p 的二项分布, 求其特征函数.
记X 的特征函数为X (t), 在不会引起混乱的情况下简写为 (t).
一、定义及例 1. 特征函数的定义 定义4.1.1 设X 是定义在概率空间(, F , P)上的随机变量, 它 的分布函数为F ( x), 称 e jtX 的数学期望 E(e jtX ) 为X 的特征函数. 有时也称为分布函数 F ( x) 的特征函数, 其中 j 1, t R.
Y ( t ) EeitY
Eei（t aX+b)
EeitaX eitb eitbX at
性质4.1.3 随机变量X 的特征函数 (t ) 在R上一致连续.
性质4.1.4 随机变量X 的特征函数 (t ) 是非负定的,即对任意正 整数n, 任意复数 z1, z2 ,, zn , 以及 tr R, r 1,2,, n, 有
e jtX dF ( x)
cos(tx)dF( x) j sin(tx)dF( x)
(1) 离散型 (2) 连续型
(t ) E(e jtX ) e jtxk pk
k
(t) E(e jtX ) e jtX f ( x)dx
0
0
2 2
t2
+i
t 2
t2
二、特征函数的性质
性质4.1.1 随机变量X 的特征函数满足:
(1) | (t) | (0) 1; (2) (t ) (t ). 性质4.1.2 设X 的特征函数为X (t) , 则 Y aX b的特征函数为
Y (t ) e jbt X (at)
n
(tr ts )zr zs 0
r ,s1
第四章 特征函数
§4.1 一维特征函数的定义及其性质 §4.2 多维随机变量的特征函数 §4.3 母函数
§4.1 一维特征函数的定义及其性质
一、定义及例 二、性质 三、特征函数与矩的关系 四、反演公式及惟一性定理
随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征， 一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具， 既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。