高阶偏导数
第5节高阶偏导数
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x 2 z
(2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
7
例6 已知 u eu xy ，求 2u ， xy
解 设 F ( x, y, z) u eu xy ，
Fx y , Fy x , Fu 1 eu ,
y0 )表示
h2 f xx (x0 , y0 ) 2hk f x y (x0 , y0 ) k 2 f y y (x0 , y0 )
•
一般地,(h k )m x y
f (x0 ,
y0 ) 表示
m
Cmp
p0
h
pk
m
p
x
m f p ym
p
(x0 ,
y0 )
定理1. 设 z f (x, y) 在点(x0, y0 ) 的某一邻域内有直
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
a2 ( x
ay)
a 2
( x
ay)
a2
2u x 2
.
4
例4 证明函数 u ln x2 y2 z2 满足方程
09-4_高阶偏导数
z f xx f11 2 x
2
2 z f xy f12 xy
z f yy f 22 2 y
2
z f yx f 21 yx
2
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
例
二元函数 z f ( x, y ) 的三阶偏导数：
2
z y
x
y
z z 2 x x x
z z y x xy
2
2z z x y yx
z 2 z 2 y y y
高阶偏导数还可使用下列记号
发现求高阶导数与求导顺序有关.
例
解
3 2 3 求 z x y 3xy xy 1 的二阶偏导数.
先求一阶偏导数：
z 3x 2 y 2 3 y 3 y, x
z 2 x 3 y 9 xy 2 x, y
x y
再求二阶偏导数：
z x
z y
x y
2 z z 2 (3x 2 y 2 3 y 3 y ) 6xy x 2 x x x
1
2z 2z yx xy 2z y 2
2z x 2
x y
2 z x 2
2 z 3 z 2 3 x x x
2 z 3 z 2 2 y x x y
例
二元函数 z f ( x, y ) 的三阶偏导数：
3
2z 2z yx xy 2z y 2
2z x 2
x y
2z xy
2 z 3 z x xy xyx 2 z 3 z y xy xy 2
高阶偏导数与全微分
y
( z ) y
2z y 2
zyy (x ，y)
f yy (x ，y)，
( z ) y x
2z xy
zxy (x ，y)
fxy (x ，y)，
( z ) x y
2z yx
zyx (x ，y)
f yx (x ，y)
其中，fxy (x ，y)，f yx (x ，y) 称为混合偏导数，它们是不
解 因为圆柱体r2h
r 2 ，h 4 ，r h 0.01，
V dV 2π 2 4 0.01 π 22 0.01 0.628
所以，需用材料约为0.628立方米。
高等数学
例2 求函数 z x2 xy2 的全微分。
解 z 2x y2， x z 2xy y
两个偏导数都是连续的，所以全微分是存在的，即
dz (2x y2 )dx 2xydy
例3 求函数 z ex sin(x y) 的全微分。
解 因为 所以
z ex sin(x y) ex cos(x y)， x z ex cos(x y) y
高等数学
高阶偏导数与全微分
一、高阶偏导数
定义1 如果二元函数z=f(x, y)的偏导数 z ，z 仍然可导， x y
那么它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数．按照对自 变量求导数次序不同，二元函数有下列四个二阶偏导数
( z ) x x
2z x2
zxx (x ，y)
fxx (x ，y)，
△z=A△x+B△y+o()．其中，A，B与△x，△y无关， (x)2 (y)2 ，o()是比高阶的无穷小，则称
A△x+B△y为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记作dz，即 dz Ax By
第五节高阶偏导数
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2
y
2z 3x2 18xy2 xy
2z 3x2 18xy2 . yx
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u e xy sin z xye xy sin z xy
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
连续偏导,求 xy .
x
x
x
x
解f u v
f u
v
y
y
y
y
zx
1 x2
f
1 x
f x
y x
1 x2
f
y x
f
y
zxy
1 x2
f y
1 x
f
y x
(
f
)y
y( )y
yf y
例6 设 z f (2x y) g( x, xy), 其中 f (t)二阶
e xy (1 xy)sin z
3u e xy (1 xy)cos z. xyz
例3 x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
zy
xy
解 令 F(x, y, z) x z ln z z ln y
则 Fx 1
Fy
z y
Fz ln z 1 ln y
(
y x
)
(
y ), x
求
x 2 zxx
2xyzxy
y 2 zyy .
偏导数与高阶导数
将点(1,3)代入上式，得
可得
所以
在求定点处的导数时，
先代入固定变量取值，
然后再求导，可简化求导计算。
或
2.偏导数的计算
例4 设
求
解
所以
二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算
例 求函数 的偏导数.
对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
曲线
即
fx (x0, y0),
第二节 偏导数与高阶偏导数
4.偏导数与连续的关系
对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
连续
解
一元函数可导与连续的关系：
可导
由偏导数定义
例
所以，函数在(0, 0) 处对变量 x，y 的偏导数存在.
让 沿直线 而趋于（0,0），
这里 为常数，
当劳动力投入不变时,产量对资本投入的变化率为
当资本投入不变时，产量对劳动力投入的变化率
该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，
Q表示产量.
别表示投入的劳动力数量和资本数量，
分
数为
引例
对另一个变量的变化率.
第二节 偏导数与高阶偏导数
此时沿着平行坐标轴的方向
偏导数存在 连续.
一元函数中在某点可导 连续，
可见，多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处，也是还有一些本质的差别。
二、高阶偏导数
设函数 z = f (x, y) 在区域 D内有偏导函数 与
则称此极限值为z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的
记为
一元函数导数
如果极限存在,
函数有增量
相应
(1)定义
当y 固定在y0 , 而 x 在x0 处有增量△x时,
第5节高阶偏导数资料讲解
第5节高阶偏导数资料讲解高阶偏导数指的是一个多元函数的某个变量对应的偏导数再次进行偏导数运算的结果，即对偏导数求导。
这是微积分中的一个重要概念，其在数学和工程中都有广泛应用。
一阶偏导数是指函数在该变量处的变化率，二阶偏导数是指函数在该变量处变化率的变化率，以此类推。
具体来说，设函数f(x,y)含有两个自变量x和y，f对x的偏导数为fx，对y的偏导数为fy，则f的二阶偏导数分别为fxx，fyy，以及两个偏导数的混合导数fxy和fyx。
混合导数fxy和fyx并不相等，它们是对同一函数f(x,y)在不同自变量处求偏导数得到的结果。
具体计算方法为先对x求偏导数fx，再对fx关于y进行求偏导数，得到fxy；同理，对y求偏导数fy，再对fy关于x进行求偏导数，得到fyx。
高阶偏导数的计算方法同样可以采用类似的方式：先求出函数的一阶偏导数，然后对一阶偏导数进行求偏导数，即可得到高阶偏导数。
以二阶偏导数为例，设函数f(x,y)的一阶偏导数分别为fx和fy，则f的二阶偏导数fxx，fyy和fxy可以通过以下公式进行计算：fxx = ∂²f / ∂x²这些公式可以进一步推广到高阶偏导数的情况下。
例如，若f的二阶混合导数fxy在一个区域上连续，那么f的二阶偏导数fxx和fyy也存在，且它们相等，即：fxx = ∂²f / ∂x² = ∂/∂x(∂f / ∂x) = ∂/∂x(fx)此外，高阶偏导数具有一些基本性质，如连续性、可交换性和与区间交换极限的等式等。
这些性质为高阶偏导数的计算和应用提供了一定的便利。
总之，高阶偏导数是微积分理论中的重要概念，在许多数学和工程问题中都有广泛的应用。
通过对偏导数的反复求导，我们可以进一步研究函数的性质和变化规律，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
第五节高阶偏导数
′′ f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z = f ( x , y ) 三阶偏导数
∂ z 2 ∂x
2
x
y
∂ ∂ 2z ∂ 3z 2= 3 ∂x ∂x ∂x
∂3z ∂ ∂ 2z 2= 2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂ ∂2z ∂3z 2= 2 ∂ x ∂ y ∂ y ∂x
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y( x + y ) − x y ⋅ 2x ′ f x ( x, y) = 2 2 2 (x + y )
2 2 2 3
3x y 2x y , = 2 − 2 2 2 2 x + y (x + y )
x 2x y ′ f y ( x, y) = 2 , − 2 2 2 2 x + y (x + y )
3 3 2
2
4
当 ( x , y ) = (0,0) 时,
0 f (∆x,0) − f (0,0) = lim = 0, ′ f x (0,0) = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x f (0, ∆y) − f (0,0) 0 ′ f y (0,0) = lim = lim = 0, ∆y→0 ∆y ∆y→0 ∆y
∂z Fx′ 故 = − =− ∂x Fz′
Fy′ ∂z =− ∂y Fz′
z = x+z x+z − 2 1 z 2 z y =− x+z = y( x + z ) − 2 z
∂z ∂z ( x + z) − z 2 z ∂ ∂ z ∂y ( ) = ∂y = ∂y x + z ∂ x∂ y ( x + z )2 z′y =
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
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依此类推,可定义多元函数的更高阶 的偏导数.
即: 函数一阶偏导数的偏导数,称为原来函数 的二阶偏导数.
函数二阶偏导数的偏导数,称为原来函数 的三阶偏导数.
二阶以及二阶以上的称为高阶偏导数.
二元函数 z f ( x, y) 二阶偏导数
z x
x y
x2 x x y2 y y
x
z
y
y
z x x
z ( x z) z z
y
y
(x z)2
zy
z2 y(x z)
x z
x z2
(x
y z)2
y(x z) (x z)2
xz2 y(x z)3
注意:抽象复合函数求高阶偏导数时,
fu(u, v), fv(u, v) 仍为抽象复合函数.
例:
z f (u, v) arctan(uv)
u (x, y)
zy
xy
解 F( x, y, z) x ln z x ln | z | ln | y |
z yz
则
Fx
1 z
Fy
1 y
Fz
x z2
1 z
xz z2
1
故 z
x
Fx Fz
z
x z2
z
z xz
1
z Fy y Fz
y xz
z2
z2
y(x z)
2z xy
( z ) y x z
y)
3x2
y( x2 (x2
y2) x3 y2 )2
y
2x
3x2 y
2x4 y
x2 y2 (x2 y2 )2 ,
f y( x,
y)
x3 x2 y2
2x3 y2 (x2 y2 )2
,
当 ( x, y) (0,0) 时,
f x(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f (0,0)
第五节 高阶偏导数
本节主要讲两个问题： 一、什么是高阶偏导数 二、在什么条件下混合偏导数相等
多元函数的高阶偏导数与一元函数 的高阶导数类似:
一般情况下, 函数 z f ( x, y) 的
偏导数 z , z 还是 x, y 的函数, 如
x y
果 z ,
x
z y
的偏导数还存在, 则称它们
的偏导数为 z f ( x, y)的二阶偏导数.
2z x 2
z f ( x, y)对 x
的二阶偏导数.
z 2z y x xy
x
z y
2z yx
z f (x, y)对 x, y 的混合 二阶偏导数.
y
z y
2z y 2
z f ( x, y)对 y
的二阶偏导数.
二阶偏导数的记号:
z x x
z y x
x
z y
zxx y( fu)x 2 fv 2x( fv)x y( yfuu 2 xfuv ) 2 fv 2x( yfvu 2 xfvv ) y2 fuu 4 xyfuv 2 fv 4 x 2 fvv
令 u xy v x2 y2则 z f (u,v)
zx yfu 2 xfv zxy fu y( fu)y 2 x( fv)y
lim 0 x0 x
0,
f y(0,0)
lim
y0
f (0, y) y
f
(0,0)
lim 0 0, y0 y
f xy (0,0)
lim
y0
f x(0, y) y
f x(0,0)
0,
f yx (0,0)
lim
x0
f y(x,0) x
f y(0,0)
1.
显然 f xy (0,0) f yx(0,0).
v (x, y)
f u
1
v (uv
)2
fv
1
u (uv
)2
还是 u, v 的函数!
例4 设 f (u,v)有连续的二阶偏导数,
z f ( xy, x2 y2 ),
求
2z 2z x2 , xy .
解 令 u xy v x2 y2 则 z f (u, v)
zx yfu 2 xfv
例2 设 u e xy sin z, 求
3u .
xyz
解 u ye xy sin z
x 2u (e xy xye xy )sin z (1 xy)e xy sin z xy
3u (1 xy)e xy cos z. xyz
例3
x ln z 所确定的函数 z f ( x, y),求 2z .
问题: 在什么条件下混合偏导数相等?
定理 若 f xy ( x, y) 和 f yx( x, y) 在点 ( x, y)
处连续,则 f xy ( x, y) f yx ( x, y).
这样以来,如果二元函数对 x求 次k,对 求 y次的混合l 高阶偏导数连续,
对自变量求偏导时可不分顺序, 它们 都是相等的(反复利用上述定理).其它多元 函数类似.
问题: 混合偏导数都相等吗?
例2 求
f
(
x,
y)
x
x3 2
y y
2
0
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
在 (0,0) 处的二阶混合偏导数.
解 当 ( x, y) (0,0) 时,
f xx2 (x2
y2) x3 y2 )2
y
2x
f x( x,
x
2z
1 x2
y
x
2z x 2
3z x 3
y
2z x 2
3z x 2y
zxxx
x
2z
x
2z y 2
3z y 2x
2
y 2
y
y
2z y 2
3z y 3
z yy y
x
2z
3
xy y
x
2z xy
3z xyx
y
2z xy
3z xy 2
2z x
4
yx y
x
2z yx
3z yx 2
y
2z yx
fu y( xfuu 2 yfuv ) 2x( xfvu 2 yfvv )
fu xyfuu 2( x2 y2 ) fuv 4 xyfvv .
例5
设z
1 x
f ( xy) y( x y),
f , 具有二阶
2z
y
z y
f xx ( x, y) f xy ( x, y)
f yx( x, y) f yy( x, y)
zxx
zxy
zyx
zyy
2z
2z
x 2
xy
2z
2z
yx
y 2
2 f
2 f
x 2
xy
2 f
2 f
yx
y 2
f11
f12
f 21
f 22
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
二元函数 z f ( x, y) 三阶偏导数
3z yxy
二元函数 z f ( x, y)的三阶偏导数共23=8项.
例1 求 z x3 y 3x2 y3 的二阶偏导数.
解 z 3x2 y 6xy3
x
2z x 2
6xy 6 y3
z
y
x3 9x2 y2
2z y 2
18x2 y
2z 3x2 18xy2
xy
2z 3x2 18xy2 . yx