(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题3.3 导数的综合应用(测)【精】

专题3.3 导数的综合应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017课标3，理11改编】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =_________【答案】12【解析】2. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >-⇒-<<- 3. 【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测】若函数()y f x =的定义域为R ，对于x R ∀∈，'()()f x f x <，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ． 【答案】(0,)+∞ 【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则()()()0xf x f xg x e'-'=<，因为(1)f x +为偶函数，所以(1)(1)(0)(2)1g(0)1f x f x f f +=-+⇒==⇒=，因此()()1(0)0x f x e g x g x <⇒<=⇒>4. 【2017届高三七校联考期中考试】若()1ln ,(),0xexf x x a xg x a e =--=<，且对任意[]()1212,3,4,x x x x ∈≠121211|()()|||()()f x f xg x g x -<-的恒成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】22[3,0)3e - 【解析】则()'21()10xe x a h x x ex-=--≤在(3,4)x ∈上恒成立，[]11,3,4x x e a x e x x --∴≥-+∈恒成立 令[]11(),3,4x x e u x x ex x--=-+∈，[]21112(1)113'()11,3,424x x x e x u x ee x x x ---⎡⎤-⎛⎫∴=-+=--+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21211331,'()0244x ee u x x -⎡⎤⎛⎫-+>>∴<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦Q ，()u x ∴为减函数，()u x ∴在[]3,4x ∈的最大值为22(3)33u e =-综上，实数a 的取值范围为22[3,0)3e -.5. f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则af (b )与bf (a )的大小关系为________． 【答案】af (b )≤bf (a )【解析】∵xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫f x x ′＝xfx －f x x 2≤－2f xx 2≤0. 则函数f x x 在(0，＋∞)上是单调递减的，由于0<a <b ，则f a a ≥f bb.即af (b )≤bf (a )． 6.设D 是函数y ＝f (x )定义域内的一个区间，若存在x 0∈D ，使f (x 0)＝－x 0，则称x 0是f (x )的一个“次不动点”，也称f (x )在区间D 上存在“次不动点”，若函数f (x )＝ax 2－3x －a ＋52在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，127.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 【答案】40【解析】由y ′＝x 2－39x －40＝0， 得x ＝－1或x ＝40， 由于0<x <40时，y ′<0；当x >40时，y ′>0.所以当x ＝40时，y 有最小值．8.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，即函数f (x )恰有两个极值点，即f ′(x )＝0有两个不等实根．∵f (x )＝ax 3＋x ，∴f ′(x )＝3ax 2＋1. 要使f ′(x )＝0有两个不等实根，则a <0.9.函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．【答案】2110.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，则正数k 的取值范围是________． 【答案】[1，＋∞)解析】因为对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)， 不等式g x 1k ≤f x 2k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max. 因为g (x )＝e 2xe x ，所以g ′(x )＝(x e2－x)′＝e2－x＋x e2－x·(－1)＝e2－x(1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． 所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e ； 因为f (x )＝e 2x 2＋1x，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝e 2x ＋1x ≥2e，当且仅当e 2x ＝1x，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤g x 1f x 2max ＝e 2e ＝12.所以kk ＋1≥12.又因为k 为正数，所以k ≥1. 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指．定区域内．．．．。

(共4题，每小题10分，共计40分)． 11. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】（本题满分16分）已知()()32310f x ax x a =-+>，定义()()(){}()()()()()(),max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪==⎨<⎪⎩．（1）求函数()f x 的极值；（2）若()()g x xf x '=，且存在[]1,2x ∈使()()h x f x =，求实数a 的取值范围； （3）若()ln g x x =，试讨论函数()()0h x x >的零点个数． 【答案】（1）()f x 的极大值为1，极小值为241a -；（2）2a ≤；（3）当02a <<时， ()h x 有两个零点；当2a =时，()h x 有一个零点；当2a >时，()h x 有无零点． 【解析】数，可得存在0x 使得00x x <<时，()()h x f x =，在一个零点，当01x x <<时()()h x g x =无零点，最终可得零点个数为2．试题解析：（1）∵函数()3231f x ax x =-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∴()()33632f x ax x x ax '=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分令()0f x '=，得10x =或22x =，∵0a >，∴12x x <，列表如下：∴24a ≤，即2a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （3）由（1）知，()f x 在()0,+∞上的最小值为2241f a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ①当2410a ->，即2a >时，()0f x >在()0,+∞上恒成立， ∴()()(){}max ,h x f x g x =在()0,+∞上无零点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当2410a -=即2a =时，()()min 10f x f ==，又()10g =， ∴()()(){}max ,h x f x g x =在()0,+∞上有一个零点，．．．．．．．．．．．．．．9分③当2410a-<，即02a <<时，设()()()()3231ln 01x f x g x ax x x x ϕ=-=-+-<<， ∵()()21136610x ax x x x x xϕ'=--<--<，∴()x ϕ在()0,1上单调递减，12．【江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试】（本小题满分16分） 已知函数2()ln ,()f x x x g x x ax =-=-．（1）求函数()f x 在区间[],1(0)t t t +>上的最小值()m t ； （2）令1122()()(),(,()),(,())h x g x f x A x h x B x h x =-12()x x ≠是函数()h x 图象上任意两点，且满足1212()()1,h x h x x x ->-求实数a 的取值范围；（3）若(0,1]x ∃∈，使()()a g x f x x-≥成立，求实数a 的最大值． 【答案】（1）当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-.（2）2a ≤（3）1. 【解析】试题分析：（1）先求导数1()1f x x'=-，再求导函数零点1x =，根据零点与定义区间位置关系分类讨论函数单调性：当1t ≥时，()f x 在[],1t t +上单调递增，当01t <<时，()f x 在区间(),1t 上为减函数，在区间()1,1t +上为增函数，最后根据单调性确定函数最小值（2）先转化不等式1212()()1,h x h x x x ->-不妨取当01t <<时，()f x 在区间(),1t 上为减函数，在区间()1,1t +上为增函数，()f x 的最小值为(1)1f =.综上，当01t <<时，()1m t =；当1t ≥时，()ln m t t t =-. …………………3分（2）2()(1)ln h x x a x x =-++,对于任意的12,(0,)x x ∈+∞，不妨取12x x <，则120x x -<,则由1212()()1,h x h x x x ->-可得1212()()h x h x x x -<-， 变形得1122()()h x x h x x -<-恒成立， ………………………5分 令2()()(2)ln F x h x x x a x x =-=-++，则2()(2)ln F x x a x x =-++在(0,)+∞上单调递增， 故1()2(2)0F x x a x'=-++≥在(0,)+∞恒成立， ………………………7分 12(2)x a x∴+≥+在(0,)+∞恒成立. 12x x+≥2x =时取""=， 2a ∴≤. ………………………10分13. 【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知函数()xexf x e =（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的单调区间；（2）是否存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+，若存在求出x ，否则说明理由； （3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，证明：12'()02x x f +<． 【答案】（1）单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞．（2）不存在（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）先求导数(1)()xe xf x e -'=，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是()1,+∞，单调递增区间为(),1-∞．（2）构造函数1()(1)(1)(1)x x x F x f x f x x e e+=+--=+-，x (0,1)∈，确定其是否有零点即可，先求导1'()()x x F x x e e=-，确定()F x 为(0,1)上的增函数，因此()(0)0F x F >=，无零点()(0)0F x F >=，即(1)(1)f x f x +>-，故不存在正实数x 使得(1)(1)f x f x -=+成立．（3）若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，则1x 和2x 中，必有一个在()0,1，另一个在()1,+∞，不妨设()10,1x ∈，()21,x ∈+∞． ①若22x ≥，则()121,2x x +∈+∞，由（1）知：函数()y f x =在()1,+∞上单调递减，所以12'()02x x f +<； ②若2(1,2)x ∈，由（2）知：当()0,1x ∈，则有(1)(1)f x f x +>-，而()110,1x -∈，所以[][]11112(2)1(1)1(1)()()f x f x f x f x f x -=+->--==，即12(2)()f x f x ->，而12x -，2(1,2)x ∈，由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，∴122x x -<，即有12(1,)2x x +∈+∞， 由（1）知：函数()y f x =在(1,)+∞上单调递减，所以12'()02x x f +<； 综合①，②得：若存在不等实数1x ，2x ，使得12()()f x f x =，则总有12'()02x x f +<．14. 【南京市2017届高三年级学情调研】（本小题满分16分） 已知函数2()ln ,(,)f x ax bx x a b R =-+∈.（1）当1a b ==时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）当21b a =+时，讨论函数()f x 的单调性；（3）当1,3a b =>时，记函数()f x 的导函数'()f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：123()()ln 24f x f x ->-. 【答案】（1）2x －y －2＝0．（2）详见解析（3）详见解析 【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为f ′(1)，所以先求导f ′(x )＝2x －1＋1x，再求斜率k=f ′(1)＝2，最后由f (1)＝0，利用点斜式可得切线方程：2x －y －2＝0．（2）先求函数导数：f ′(x )＝2ax －(2a ＋1)＋1x＝(21)(1)ax x x --．再分类讨论导函数在定义区间上的零点：当a ≤0时，一个零即2x－y－2＝0．…………………… 3分（2）因为b＝2a＋1，所以f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋ln x，从而 f ′(x)＝2ax－(2a＋1)＋1x＝22(21)1ax a xx-++＝(21)(1)ax xx--，x＞0．………… 5分当a≤0时，x∈(0，1)时，f ′(x)＞0，x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＜0，所以f (x )在区间(0，12a )和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(12a，1)上单调递减． …………………… 10分（3）方法一：因为a ＝1，所以f (x )＝x 2－bx ＋ln x ，从而f ′(x )＝221x bx x-+ (x ＞0)．由题意知，x 1，x 2是方程2x 2－bx ＋1＝0的两个根，故x 1x 2＝12． 记g (x ) ＝2x 2－bx ＋1，因为b ＞3，所以g (12)＝32b -＜0，g (1)＝3－b ＜0，所以x 1∈(0，12)，x 2∈(1，＋∞)，且bx i ＝22i x ＋1 (i ＝1，2)． …………………… 12分f (x 1)－f (x 2)＝(2212x x -)－(bx 1－bx 2)＋ln12x x ＝－(2212x x -)＋ln 12x x ． 因为x 1x 2＝12，所以f (x 1)－f (x 2)＝22x －2214x －ln(222x )，x 2∈(1，＋∞)． ……………… 14分令t ＝222x ∈(2，＋∞)，φ(t )＝f (x 1)－f (x 2)＝122t t-－ln t ． 因为φ′(t )＝22(1)2t t-≥0，所以φ(t )在区间(2，＋∞)单调递增， 所以φ(t )＞φ(2)＝34－ln2，即f (x 1)－f (x 2)＞34－ln2． …………………… 16分。