概率论与数理统计 方差
概率论与数理统计-协方差和相关系数01
=
9
证： 对任意的 对任意的a,b,令 令
刻画了Y与 刻画了 与a+bX的偏离程度 的偏离程度 e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2 -2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)
要使 与 的某个线性函数 最为接近 就是要找a,b使得误差 最为接近 就是要找 数 要使Y与X的某个线性函数a+bX最为接近,就是要找 使得误差 视为关于a,b的二元函数 视为关于 的二元函数，求驻点： 平方e值最 值最小 平方 值最小. 将e视为关于 的二元函数，求驻点： 字 特 征 解得
X与Y不相关 只说明 与Y之间没有线性关系，但可以有 与 不相关 只说明X与 之间没有线性关系 不相关,只说明 之间没有线性关系， 非线性关系； 非线性关系； 而X与Y独立是指 独立是指X,Y之间既无线性关系， 之间既无线性关系， 与 独立是指 之间既无线性关系 也无非线性关系， 也无非线性关系，故“独立”必然不相关，但反之不然。 独立”必然不相关，但反之不然。 不相关 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 但是，对于二维正态分布，独立与不相关等价。 与不相关等价 2 若二维r.v ( X , Y ) ~ N ( µ 1 , µ 2 ; σ 12 , σ 2 ; ρ ) 即：若二维 则X与Y相互独立 与 相互独立
D(X)=p (1-p ) D(X)=np(1-p) D(X)=
E(X) = µ
a +b E(X) = 2 1 E(X) =
D(X)= σ
λ
2
(b − a)2 D(X)= 12
(5) 切比雪夫不等式 =
概率论与数理统计(第三版)第三章2方差及其运算法则-精选文档
0
0
2、D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2-2XE(X)+[E(X)]2} =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2
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利用期望 性质
请自己用此公式计算常见分布的方差.
2 指数分布的期望和方差 分别为 θ和 θ .
例5 设随机变量 X具有概率密度
1 x , 1 x 0 , f(x ) x ,0 x 1 , 1 0 其他 . ,
求D (X).
解
E( X) ( 1 x ) d x x ( 1 x ) d x x
反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X);
2. 若C是常数,则D(CX)=C2 D(X); 3. 若C是常数,则D(X+C)= D(X);
1 . D ( C ) 0
2 证明： D () CE { [ C E () C ] }0
2. D(CX ) C 2 D( X )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D ( X YD ) () X D () Y
设Ｘ1，Ｘ2 ，…Ｘｎ相互独立且方差都存在，则
D ( X X X ) 1 2 n D ( X ) D ( X ) D ( X ) 1 2 n
方差 甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点 距目标的位置如图：
中心
中心
乙炮射击结果 乙炮
甲炮射击结果
你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
概率论与数理统计中方差与协方差在数据分析中的应用
概率论与数理统计中方差与协方差在数据分析中的应用方差与协方差是概率论与数理统计中重要的概念，它们在数据分析中具有广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面探讨方差与协方差在数据分析中的作用。
一、理论上的应用1.方差在概率论和统计中是度量随机变量离其期望值的差距的一个指标。
在数据分析中，方差可以帮助我们了解数据的分布情况。
例如，在金融衍生品定价中，方差是衡量资产价格或利率波动的一个重要指标。
同时，在风险管理中，方差也是衡量投资组合风险的关键指标之一2.协方差是度量两个随机变量之间关系的一种统计量。
在数据分析中，协方差可以用来衡量两个变量之间的线性关系。
如果协方差为正，说明两个变量的变化趋势是一致的；如果协方差为负，说明两个变量的变化趋势是相反的；如果协方差接近于零，说明两个变量之间没有线性关系。
协方差的计算可以解释变量之间的相关性，并且可以用来构建投资组合和风险模型。
二、实际应用1.投资组合分析在金融领域，投资组合分析是一项重要的任务。
通过计算不同资产的方差和协方差，可以帮助投资者评估投资组合的风险和收益。
通过调整资产的权重，可以实现风险和收益的平衡。
方差和协方差可以帮助投资者优化投资组合，实现最优的风险和收益平衡。
2.风险管理在风险管理中，方差和协方差也扮演着重要的角色。
通过分析不同资产的方差和协方差，可以帮助风险经理评估投资组合的风险敞口，并做出相应的风险控制措施。
例如，通过评估不同资产之间的相关性，可以实现分散投资，降低投资组合的整体风险。
3.市场分析方差和协方差分析也可以用于市场分析。
通过分析一系列相关资产的方差和协方差，可以帮助我们了解不同资产之间的关系，掌握市场趋势和变化。
例如，在股票市场中，通过分析不同股票的协方差矩阵，可以帮助我们发现相关联的股票，从而进行有效的股票选择和投资。
总结起来，方差和协方差是概率论与数理统计中重要的概念，它们在数据分析中具有广泛的应用。
通过分析方差和协方差，我们可以了解数据的分布情况，衡量随机变量之间的相关性，并做出相应的投资和风险决策。
概率论与数理统计 双因素试验方差分析
丁
53 58 48
a
T. j Xij i 1
197 232 183
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A 因素B 误差 总和
SS A SSB SSE SST
df A
MS A
SS A df A
df B
MSB
SSB df B
df E
MSE
SSE df E
dfT
F值
FA
MS A MSE
FB
MSB MSE
F 值临介值
F ( a 1 , a 1 b 1) F (b 1 , a 1 b 1)
a b
2
SST
X ij X
i1 j 1
可分解为：SST SSA SSB SSE
a
2
SSA b X i. X
i 1
b
2
SSB a X . j X
j 1
称为因素A的离差平方和， 反映因素 A 对试验指标的影响。
称为因素B的离差平方和， 反映因素 B 对试验指标的影响。
a b
~ F a 1, a 1b 1
FB
SSB SSE
df B df E
MSB MSE
~ F b 1, a 1b 1
对给定的检验水平 ，
当 FA F a 1, a 1b 1 时，
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式概率论是一门研究随机现象规律的数学学科，是现代数学的基础之一、而数理统计则是利用概率论的工具和方法，分析和处理统计数据，从而得出推断、估计、决策等信息的科学。
在概率论与数理统计的学习过程中，掌握一些重要的公式是非常关键的。
下面是一些概率论与数理统计中常用的公式：1.概率公式：-加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)-乘法公式：P(A∩B)=P(A)*P(B，A)-条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)2.期望与方差公式：-期望：E(X)=∑(x*P(X=x))- 方差：Var(X) = E((X-μ)^2) = ∑((x-μ)^2 * P(X=x))3.常用概率分布及其特征：-二项分布：P(X=k)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)-泊松分布：P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!-正态分布：f(x)=(1/(σ*√(2π)))*e^(-((x-μ)^2)/(2*σ^2))4.样本与总体统计量公式：-样本均值：x̄=(∑x)/n-样本方差：s^2=(∑(x-x̄)^2)/(n-1)-样本标准差：s=√(s^2)5.参数估计公式：-点估计：-总体均值估计：μ的点估计为x̄-总体方差估计：σ^2的点估计为s^2-区间估计：-总体均值的置信区间：x̄±Z*(σ/√n)-总体比例的置信区间：p±Z*√((p*(1-p))/n)6.假设检验公式：-均值检验：-单样本均值检验：t=(x̄-μ0)/(s/√n)-双样本均值检验：t=(x̄1-x̄2)/√((s1^2/n1)+(s2^2/n2))-比例检验：-单样本比例检验：z=(p-p0)/√((p0*(1-p0))/n)-双样本比例检验：z=(p1-p2)/√((p*(1-p))*((1/n1)+(1/n2)))以上是概率论与数理统计中一些常用的公式，这些公式为解决问题提供了有力的工具和方法。
概率论与数理统计4-2 方差
X
,
为X的 标准化 变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0
P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数 ，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
方差(概率论与数理统计)
方差分析通过比较不同组数据的分散程度，判断不同因素对数据变 异的贡献程度，从而进行多因素比较。
方差分析的适用条件
进行方差分析前需要满足独立性、正态性和方差齐性等条件，以确 保分析结果的准确性和可靠性。
方差分析的步骤
包括建立假设、计算自由度、计算F值、进行显著性检验等步骤，最 终得出各因素对数据变异的贡献程度和显著性水平。
统计学推断
在统计学中，方差分析、回归分析和生存分析等方法都涉及到方差的 概念和应用。
质量控制
在生产过程中，方差分析可以用于检测产品质量的一致性和稳定性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学领域，方差分析常用于研究不 同组别之间的差异和变化。
02
方差的计算方法
离差平方和的分解
离差平方和是由数据点与平均值的偏差平方和组成的，即每个数据点与平 均值的差的平方的总和。
其中，n是数据点的数量，组内离差平方和是每个数据点 与其所属类别的平均值的偏差平方和的总和，组间离差平 方和是不同类别的平均值之间的偏差平方和。
方差的计算实例
首先计算每个数据点与平均值的偏差的平方： {0, 1, 2, 3, 4}。
最后，根据方差的计算公式，方差 = (5-1) / 5 * 30 + 1 / 5 * 0 = 24。
假设有一个数据集{1, 2, 3, 4, 5}，其平均值为3。
然后求出偏差的平方的总和：0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30。
03
方差与其他统计量的关 系
方差与期望值的关系
方差是衡量数据离散程度的统计量，而期望值是数据的平均 水平。方差和期望值之间存在密切的关系，通常表示为方差 等于期望值的平方减去数据点的平方。
概率论与数理统计协方差和相关系数
X -1 0 1
pk 3/8 2/8 3/8
Y -1 0 1
pk 3/8 2/8 3/8
E( X ) (1) 3 0 2 1 3 0 同理 E(Y ) 0
8
8
8
1
②说明E(：XY虽)然 Cov(Xx,iYy)=j p0i，j 但1
i,i1
P{ X
1P{ X0 8 0}
10,Y101} P{8Y 0} 8
=相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.
=
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8
8
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
数
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、
字
心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时
伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 特 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 征 有全身不适症状，如-全身肌肉酸
=ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3
3
§3 协方差和相关系数 Covariance and
correlation coefficient
2021/4/4
4
一、协方差
1、定对于义向: 量设X(和X,YY，)是期一望随和机方向差量只，反称映E{了[X变-E(量X)各][Y自-E(的Y)情]} 况，没有
相互之间的关系。 若X、Y相互独立, E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0， 因此为EX{[与X-YE的(X)协][Y方-E差(Y,)记]} 作在C一ov定（程X，度Y上）反，映即了X与Y之间的关系，称为X 与Y的协方差。 Cov(X,Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
② 若 E X E( X ) k 存在，则称之为X的 k阶中心矩
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• 作业 第144页，习题4-2，A组：1；2；10。
§4.2 方 差
Variance/Mean-square Deviation
4.2 方差
一. 定义与性质
方差是衡量随机变量取值波动程度
的一个数字特征。
如何定义？
1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2
为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X).
称 (X ) D(X ) 为r.v.X的标准差
E( X 2 ) [E( X )]2
二、重要概率分布的期望与方差
1. 两点分布
已知随机变量 X 的分布律为
X1
0
p
p 1 p
期望为 E(X) p
方差为 D( X ) p(1 p)
则有E( X ) 1 p 0 (1 p) p, D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 12 p 02 (1 p) p2 p(1 p)
可见
D(X )
[ xk
k 1
E( X )]2 P{X
xk }, 离散型情形
[x E( X )]2 f (x)dx,
连续型情形
方差的意义
方差是一个用来体现随机变量 X 取值分散 程度的量.
如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X)作为随机变量的代表性差;
仍然服从正态分布。其中C1,C2 ,,Cn 是一组不全 为零的数，有
n
n
n
Ci X i ~ N ( Ci i , Ci 2 i 2 ) 。
i 1
i 1
i 1
例 4.2.2 设 X ~ N(1,3) ，Y ~ N(2,4) ，且 X 与Y 相互独立， 求 Z 2X 3Y 的数学期望和方差，并指出 Z 服从的分布。
i 1
n
n
D(X) D(Xi ) p(1 p) np(1 p)
i1
i1
由期望和方差的性质关于正态分布有如下结论：
若 Xi ~ N(i ,i2 ) ， i 1,2,n ，且它们相互独立， 则它们的线性组合
C1 X1 C2 X 2 Cn X n
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其概率分布为
P{ X k} Cnk pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,,n), 0 p 1.
期望为 E( X ) np
方差为 D( X ) np(1 p)
3. 泊松分布
设 X ~ P( ), 且分布律为 P{ X k} k e , k 0,1,2,, 0.
k!
期望为 方差为
E(X) D( X )
4. 均匀分布
设 X ~ U(a,b), 其概率密度为
f
(
x)
b
1
a
,
0,
a x b, 其他.
则有
E(X)
xf ( x)d x
b1
xd x
aba
1 (a b). 2
结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
bx2
1
d
x
a
b
2
a ba
2
均匀分布
(b a)2 . 12
期望为 E( X ) a b 2
方差为 D( X ) (b a)2 12
5. 指数分布
设随机变量 X 服从指数分布, 其概率密度为
如果 D(X) 值小, 表示X 的取值比较集中, E(X) 作为随机变量的代表性好.
2.推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
证明: D(X)=E[X-E(X)]2
E{X 2 2XE( X ) [E( X )]2} E( X 2 ) 2E( X )E( X ) [E( X )]2
且C=E(X); (2) D(aX)=a2D(X), a为常数；
（4）若X与Y独立，则有 D(X Y ) D(X ) D(Y )
例4.2.3 若X~B(n,p),求E(X)，D(X)
解:设
1 第i次试验事件A发生
Xi 0 第i次试验事件A不发生
则
n
D(Xi ) p(1 p) X X i
ex , x 0,
f (x)
其中 0.
0,
x 0.
期望为 方差为
E(X) 1
D(
X
)
1
2
6. 正态分布
设 X ~ N( μ,σ2 ), 其概率密度为
f
x μ 2σ2
)2
σ 0,
x .
2πσ
期望为 E( X ) 方差为 D( X ) 2
分布 两点分布 二项分布
泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
小结
参数
0 p1 n 1,
0 p1
0
ab
0
μ,σ 0
数学期望 方差
p
p(1 p)
np np(1 p)
(a b) 2 1
μ
(b a)2 12
1
2
σ2
三. 方差的性质 (1) D(c)=0 反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1,