2.4。随机变量函数的分布
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随机变量函数的 分布
WENKU DESIGN
离散型随机变量函数的概率分布
01
定义
离散型随机变量函数的概率分布 是指随机变量取各个可能值的概 率。
02
03
计算方法
应用
根据随机变量的定义和性质，计 算每个可能值的概率，并列出概 率分布表。
在概率论和统计学中，离散型随 机变量函数的概率分布是描述随 机变量取值规律的重要工具。
离散型随机变量函数的期望和方差
1 2 3
期望
离散型随机变量函数的期望是指所有可能取值的 概率加权和，即E(X)=∑xp(x)。
方差
离散型随机变量函数的方差是每个可能取值的概 率加权平方和的平均值，即D(X)=∑x^2p(x)E(X)^2。
应用
期望和方差是描述离散型随机变量函数取值稳定 性和分散程度的指标，在统计学、决策理论和风 险管理中具有重要应用。
随机变量函数的定义
随机变量函数是指将一个随机试验的 结果映射到一个实数域上的函数。
随机变量函数通常用大写字母表示， 如X(ω)，其中ω表示随机试验的结果。
随机变量函数的性质
确定性
对于每一个试验结果ω，随机变量函数都 有一个确定的函数值X(ω)。
VS
随机性
函数值X(ω)是随机的，即对于相同的试验 结果ω，每次试验都可能得到不同的函数 值。
随机变量函数的分布
https://
REPORTING
• 随机变量函数的基本概念 • 离散型随机变量函数的分布 • 连续型随机变量函数的分布 • 随机变量函数的变换 • 随机变量函数的应用
目录
PART 01
随机变量函数的基本概念
REPORTING
WENKU DESIGN
连续性
随机变量函数的概率分布
§2.4 随机变量函数的概率分布1.随机变量函数的概念：设是已知连续函数，为随机变量，则函数也是一个随机变量，称之为随机变量的函数.2.离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量的分布律为则在随机变量的取值,，不同的情况下，其分布律为但是，若有相同的情况，则需要合并为一项.故Y的分布律为有时我们只求Y=g（X）在某一点y处取值的概率，有，即把满足的所对应的概率相加即可。
3.连续型随机变量函数的概率密度定理：设为连续型随机变量，其密度函数为 .设是严格单调的可导函数，其值域为，且.记的反函数，则的概率密度为.证明：略解：利用例2-27所得的结论，f x（x）＝（1）,则（2）·即.例2-28说明两个重要结论：当时，,且随机变量称为X的标准化。
另外，正态随机变量的线性变换仍是正态随机变量，即aX+b～，这两个结论十分有用，必须记住。
第二章小结一、内容分布律二、试题选讲1.（1016）抛一枚硬币5次，记正面向上的次数为，则＝____________.【答疑编号：12020308针对该题提问】答案：2.（0404）设随机变量的概率密度为则＝（）.A.B.C.D. 1【答疑编号：12020309针对该题提问】答案：A3.（1004）设随机变量的概率密度为则常数等于（）.A. －1B.C.D. 1【答疑编号：12020310针对该题提问】答案：D4.（1003）设随机变量在区间[2，4]上服从均匀分布，则＝（）.A. B. C. D.【答疑编号：12020311针对该题提问】答案：C5.（1015）设随机变量，已知标准正态分布数值，为使，则常数 ___________.【答疑编号：12020312针对该题提问】答案：36.（0704）设每次试验成功的概率为，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）.A.B.C.D.【答疑编号：12020313针对该题提问】答案：A7.（0715）已知随机变量，且，则___________.【答疑编号：12020314针对该题提问】答案：58.（0716）设随机变量的分布函数为，则常数____________.【答疑编号：12020315针对该题提问】答案：19.（0727）设随机变量服从参数为3的指数分布，试求：（1）的概率密度；【答疑编号：12020316针对该题提问】（2） .【答疑编号：12020317针对该题提问】解：10.（1028）司机通过某高速路收费站等候的时间（单位：分钟）服从参数为的指数分布，（1）求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率；【答疑编号：12020318针对该题提问】（2）若该司机一个月要经过此收费站两次，用表示等候时间超过10分钟的次数，写出的分布律，并求 .【答疑编号：12020319针对该题提问】解：（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
概率论与数理统计-随机变量及其分布
解
直接对上式求导有
二、连续型随机变量函数的分布
81
例 18
解
二、连续型随机变量函数的分布
82
定理 1
定理 2
83
总结/summary
离散型随机变量：分布律
分 二项分布、泊松分布、几何
随 布 分布
机 变
函 数
连续型随机变量：密度函数
量 均匀分布、指数分布、正态
分布
随机变量函数的分布
84
谢谢观赏
46
47
目录/Contents
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
48
目录/Contents
2.3 常用的连续型随机变量
一、均匀分布 二、指数分布 三、正态分布
一、均匀分布
49
一、均匀分布
50
一、均匀分布
51
一、均匀分布
15
定义3
（1）非负性 （2）规范性
三、离散型随机变量及其分布律
16
换句话说，如果一个随机变量只可能取有限个 值或可列无限个值, 那么称这个随机变量为（一维） 离散型随机变量.
一维离散型随机变量的分布律也可表示为：
三、离散型随机变量及其分布律
17
例2
求
三、离散型随机变量及其分布律
18
解
四、连续型随机变量及其密度函数
2.1 随机变量及其分布 2.2 常用的离散型随机变量 2.3 常用的连续型随机变量 2.4 随机变量函数的分布
73
目录/Contents
2.4 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
概率论2-5 (1)
2
y
fY
( y)
1
y
e 2, y 0
2 y
0
其它
设X ~ N（0，1），其概率密度为：
x
1
x2 ,
e 2 x
2
则 Y X 2 概率密度函数为：
fY
y
1
2
1 y
y 2e 2 ,
0,
y0 y0
此时称Y服从自由度为1的 2分布,记作 Y ~ 2 1
结论：若 X ~ N 0,1 则 X 2 ~ 2 1
机变量。求Y的分布律.
例:已知
X -1 0
Pk
1 3
1 3
求：Y=X2的分布律
1
Y1 0
1 3
Pk
2 3
1 3
一般地
X
x1
x2 xk
Pk p1
p2 pk
Y=g(X) g(x1) g(x2 ) g(xk )
如果g( x i )与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率 相加．
例 设随机变量X的分布律为
1、一般方法
(1) 求Y的分布函数 FY(y)
根据分布函数的定义
FY ( y)
P{Y y} P{g(X ) y}
(2) 对FY(y) 求导，得到 fY(y)
f (x)dx
g ( x) y
fY ( y) (FY ( y)) '
设随机变量X的密度函数为
fX
(x)
x
8
,0
x
4
0, 其它
求随机变量Y=2X+8的概率密度。
2
pk 0.2 0.3 0.4 0.1
解 由题设可得如下表格
一维随机变量函数及其分布
z
1
v2
e22(
1
u2
e2du)dv
22
2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
FZ (z)
1
z v2
e 2 2dv
2 2
第三步 计算Z的密度函数
fZ(z) FZ(z)
1
z2
e 22
2 2
结论：
X ~ N ( 0 , 1 ) ,Y ~ N ( 0 , 1 ) ,X ,Y 独 立
计算每一取值点发生的概率即可得到概率分布
Z 概率
z1 z2 … p1 p2 …
方法： 列出（X，Y）的所有取值点 计算这些点对应的Z值 （如：Z=X+Y） 利用联合分布律确定相应的概率
将相同的z值进行合并，其概率值作相应合并
概率
p11 p12 … p21 p22 … pi1 pi2 …
（X,Y） （x1,y1）（x1,y2) … (x2,y1) (x2,y2) … (xi,y1) (xi,y2) …
z
(
1
(x2(vx)2)
e 2 dv)dx
2
1 z
x2(vx)2
(
e 2 dx)dv
2
FZ (z)
z
1
(
2xv )2 2
v2
(
e 2 e22dx)dv
2
令 u 2x v
2
P (Y 5 )P (X 1 2 )
Y
-5 -1 20
概率 0.16 0.16 0.68
二、 二维离散型随机变量函数的分布
2.4 两点分布
概率论与数理统计华中科技大学概率统计系刘继成教授24两点分布两点分布离散型随机变量的分布列和分布函数相互决定我们将通过给定分布列来定义分布
概率论与数理统计
2.4
两点分布
两点分布
随机变量的分布函数决定该随机变量取值的概率，因此分布函数
相同的随机变量称它们是同分布的.
离散型随机变量的分布列和分布函数相互决定，我们将通过给定
分布列来定义分布.
给定分布列仅需验证：
1 非负性：
2 规范性：∑
0,
1.
两点分布
设随机变量X的分布列为
X
P
0
1
1
p
p
其中 0 p 1，则称 X 服从参数为 p 的两点分布.
Fx
p
0
1
x
0
1
x
两点分布
伯努利试验：只有两种可能结果的试验.
比如: 硬币正面还是反面；
产品合格与否;
试验成功还是失败;
某个事件发生与否等.
两点分布用来描述伯努利试验 .
两点分布
例 设为任一随机事件，
1,
0,
1
, 0 p 1. 定义的示性函数
∈ ,
否则.
则1 服从参数的两点分布.
例 设0 p 1，随机变量X的分布列为
X
P
则
a
1
b
p
p
服从参数的两点分布.
概率论与数理统计
2.4
两点分布
两点分布
随机变量的分布函数决定该随机变量取值的概率，因此分布函数
相同的随机变量称它们是同分布的.
离散型随机变量的分布列和分布函数相互决定，我们将通过给定
分布列来定义分布.
给定分布列仅需验证：
1 非负性：
2 规范性：∑
0,
1.
两点分布
设随机变量X的分布列为
X
P
0
1
1
p
p
其中 0 p 1，则称 X 服从参数为 p 的两点分布.
Fx
p
0
1
x
0
1
x
两点分布
伯努利试验：只有两种可能结果的试验.
比如: 硬币正面还是反面；
产品合格与否;
试验成功还是失败;
某个事件发生与否等.
两点分布用来描述伯努利试验 .
两点分布
例 设为任一随机事件，
1,
0,
1
, 0 p 1. 定义的示性函数
∈ ,
否则.
则1 服从参数的两点分布.
例 设0 p 1，随机变量X的分布列为
X
P
则
a
1
b
p
p
服从参数的两点分布.
2.4连续型随机变量及其概率密度函数
-?
a b- a
连续型随机变量及概率密度函数
注
蝌 P{c < X ? c l} = c+l f ( x)dx = c+l 1 dx = l
c
c b- a b- a
随机变量 X 落在任一长度为 l 的子区间(c,c + l],(a ? c c + l ? b)
内的可能性是相同的.
均匀分布的分布函数为
2
解 (2)X的分布函数为
ì
0,
ï
ï
ò ï
x x dx = x2 ,
F
(
x
)
=
ï í
ï
蝌 ï
ï
3 x dx + 06
06
x 3
骣 琪 琪 桫2
-
x 2
12 x2
dx = - 3 + 2x - , 4
ï î
1,
x <0 0? x 3 3? x 4
x³ 4
连续型随机变量及概率密度函数
例 1 设随机变量 X 具有概率密度
f
(x)
=
ì ï í
1 5
,0
<
x
<
5，
ï î
0,
其他
ì 0,
ï
蝌 F ( x) =
x
ï f ( x)dx = í
x dt = x ,
-?
ï 05 5
ï î
1,
x£ 0 0< x <5
x³ 5
（2）随机变量 X 的取值不小于 2，即
蝌 ò P{ X ? 2} = +? f ( x)dx = 5 1 dx + ? 0dx 3
概率论-2-4 随机变量的分布函数
(2) F(x)是单调不减函数；
3 F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1; x
(4) F(x 0) F(x)，即 F(x) 是右连续的。
设函数F(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≥ F(x2),那么就 说 F(x)在这个区间上是增函数 (另一说法为单调不减函数)
数，函数F ( x) P( X x) ，称为 X 的分布函 数，有时也记做 FX (x).
显然，对任意 x1 x2
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F (x2 ) F (x1 )
2. 分布函数的性质
(1) 0 F(x) 1;
=
2
当 x 2 时，
F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
故
0, x 0
F
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
注意右连续
二、小结
随机变量的分布函数
F (x) P{X x}.
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念及性质 二、小结
一、分布函数的概念及性质
引例
已知随机变量X的分布律为：
X 1 0 1 2 1111
p 4444
求： （1）P(X ≤-2); (2) P(X ≤--1); (3) P(X ≤1.5); (4) P(X ≤3);
1. 定义：设 X是一个随机变量，x 是任意实
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≤ F(x2).那么就 说F(x)在这个区间上是减函数
3 F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1; x
(4) F(x 0) F(x)，即 F(x) 是右连续的。
设函数F(x)的定义域为I： 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≥ F(x2),那么就 说 F(x)在这个区间上是增函数 (另一说法为单调不减函数)
数，函数F ( x) P( X x) ，称为 X 的分布函 数，有时也记做 FX (x).
显然，对任意 x1 x2
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1 ) F (x2 ) F (x1 )
2. 分布函数的性质
(1) 0 F(x) 1;
=
2
当 x 2 时，
F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1
故
0, x 0
F
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
注意右连续
二、小结
随机变量的分布函数
F (x) P{X x}.
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念及性质 二、小结
一、分布函数的概念及性质
引例
已知随机变量X的分布律为：
X 1 0 1 2 1111
p 4444
求： （1）P(X ≤-2); (2) P(X ≤--1); (3) P(X ≤1.5); (4) P(X ≤3);
1. 定义：设 X是一个随机变量，x 是任意实
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量 的值x1、x2，当x1>x2时都有F(x1)≤ F(x2).那么就 说F(x)在这个区间上是减函数
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例3 设X的概率密度为fX(x)，试求Y=|X|的概率密度fY(y). 解：当y<0时{Y≤y}是不可能事件，即FY(y)=P{Y≤y}=0 ∴fY(y)＝FY’(y)=0 当y≥0时， F (y) =P{Y≤y} Y
＝P{|X|≤y} =P{-y≤X≤y}
=FX(y)- FX(-y) fY(y)= FY’(y)=fX(y)+fX(-y)
f X ( y ) f X ( y), fY ( y ) 0,
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y0 y0
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分布函数法:在Y≤y中，即在g(X) ≤y中解出X，从而得到一个与 g(X) ≤y等价的X的不等式，并以后者代替g(X) ≤y求出其分布函 数，继而求出Y的密度函数。 定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), －∞＜x＜∞，又设函 数g(x)可导，且有g’(x)>0,(或恒有g’(x)<0)。则Y=g(X)是连续型 随机变量，其概率密度为:
i=1,2…
如果诸yi的值不是互不相等时,应把那些相等的值分别合并, 并且根据概率的加法公式把相应的pi相加,就得到Y的概率分布.
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二、连续型随机变量函数的分布
例2 设随机变量X具有概率密度:
x 0 x4 , f ( x) 8 0, 其他 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解:先求Y的分布函数FY(y) y 8 FY(y) P{Y≤y} =P{2X+8 ≤y} =P{X ≤(y-8)/2} 2 f ( x)dx = X 两边对y求导得Y得概率密度: y 8 , 8 x 16 y 8 y 8 fX ( )( ) 32 fY(y) 2 2 0, 其他
y f X [h( y)] | h( y) |, fY ( y ) 其他 0, 其中α＝min(g(-∞)，g(∞))，β＝max(g(-∞),g(∞))，h(y)是g(x)的 反函数。 注：1)定理的条件可减弱为在各分段区间上满足定理的条件， 此时可分段讨论之。 2)若fX(x)在[a,b]外为零，且g’(x)>0(或<0)，x∈[a,b]。则α ＝min{g(a),g(b)},β=max{g(a),g(b)}
2 | a | Y～N(aμ+b,(aσ)2)
1
e
x 特别地，当a ，b 时，Y ～N (0,1)
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例6 设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，试求Y=-2lnX的 概率密度。 0 x0 1, f X ( x) 解： 其他 0,
1 1 2 2 3 3 ( y 3 ) y 3
1 2 1 2 1 y 3 | 1 3 3 ( y 3 )|
3
3
fX X
y0
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例5 设随机变量X～N(μ,σ2)，试证明X的线性函数 Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。 证：y=g(x)=ax+b单调，可导，其反函数为
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y0 y0
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例4 设随机变量X具有概率密度函数fX(x) 求YX3的概率 密度 解 函数yx3是x的严格单调增加函数 反函数
1 y3
x h( y)
有连续的导函数
h( y) 1 3 于是 YX3的概率密度为 fY ( y) f X Y X
2 y 3
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2 0.4 1 0 0 0.1 2 1 1 0.4
结束 铃
X Y1=X-1 Y2=(X-1)2 pk
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Y1i各不相同,故P{Y1=yi} =P{X=xi} 当x=0和x=2时,y2均为1,此时两种情况应合并为一种: P{Y2=1} =P{X=0}+P{X=2} Y2 pk 0 0.1 1 0.7 4 0.2
y b x h( y ) a
1 且h' ( y ) a
y∈(-∞,+∞)
y b )2 a 2 2 (
1 y b 1 1 由定理知f Y ( y ) fX ( ) e |a| a | a | 2
即
1
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
函数y=-2lnx在(0,1)上单调下降，值域为(0,∞) 当y≤0时，FY(y)=0，fY(y)=0 当y>0时，由y=-2lnx求得
y 2 y
1 2 x h( y ) e ，且h' ( y ) e 0 2 y y 1 2 1 2 f Y ( y ) 1 | h' ( y ) | e fY ( y ) 2 e , 2 0,
§2.5 随机变量的函数分布
一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
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一、离散型随机变量函数的分布
例1 设X具有以下的分布列,试求Y1=X-1,Y2=(X-1)2的分布列: X pk 解: 列表如下: -1 0.2 0 0.3 -1 -2 4 0.2
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1 0.1 0 -1 1 0.3
设X时离散型随机变量,概率分布表是: X P{X=xi} x1 p1 x2 p2 … … xk pk … …
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P{X=xi}
x1
p1
x2
p2
…
…
xk
pk
…
…
Y=g(X)也是一个离散型随机变量,记yi=g(xi),i=1,2…如果诸 yi的值互不相等,则Y的概率分布为: P{Y=yi} =P{X=xi} =pi
例3 设X的概率密度为fX(x)，试求Y=|X|的概率密度fY(y). 解：当y<0时{Y≤y}是不可能事件，即FY(y)=P{Y≤y}=0 ∴fY(y)＝FY’(y)=0 当y≥0时， F (y) =P{Y≤y} Y
＝P{|X|≤y} =P{-y≤X≤y}
=FX(y)- FX(-y) fY(y)= FY’(y)=fX(y)+fX(-y)
f X ( y ) f X ( y), fY ( y ) 0,
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分布函数法:在Y≤y中，即在g(X) ≤y中解出X，从而得到一个与 g(X) ≤y等价的X的不等式，并以后者代替g(X) ≤y求出其分布函 数，继而求出Y的密度函数。 定理 设随机变量X具有概率密度fX(x), －∞＜x＜∞，又设函 数g(x)可导，且有g’(x)>0,(或恒有g’(x)<0)。则Y=g(X)是连续型 随机变量，其概率密度为:
i=1,2…
如果诸yi的值不是互不相等时,应把那些相等的值分别合并, 并且根据概率的加法公式把相应的pi相加,就得到Y的概率分布.
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二、连续型随机变量函数的分布
例2 设随机变量X具有概率密度:
x 0 x4 , f ( x) 8 0, 其他 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解:先求Y的分布函数FY(y) y 8 FY(y) P{Y≤y} =P{2X+8 ≤y} =P{X ≤(y-8)/2} 2 f ( x)dx = X 两边对y求导得Y得概率密度: y 8 , 8 x 16 y 8 y 8 fX ( )( ) 32 fY(y) 2 2 0, 其他
y f X [h( y)] | h( y) |, fY ( y ) 其他 0, 其中α＝min(g(-∞)，g(∞))，β＝max(g(-∞),g(∞))，h(y)是g(x)的 反函数。 注：1)定理的条件可减弱为在各分段区间上满足定理的条件， 此时可分段讨论之。 2)若fX(x)在[a,b]外为零，且g’(x)>0(或<0)，x∈[a,b]。则α ＝min{g(a),g(b)},β=max{g(a),g(b)}
2 | a | Y～N(aμ+b,(aσ)2)
1
e
x 特别地，当a ，b 时，Y ～N (0,1)
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例6 设随机变量X服从(0,1)上的均匀分布，试求Y=-2lnX的 概率密度。 0 x0 1, f X ( x) 解： 其他 0,
1 1 2 2 3 3 ( y 3 ) y 3
1 2 1 2 1 y 3 | 1 3 3 ( y 3 )|
3
3
fX X
y0
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例5 设随机变量X～N(μ,σ2)，试证明X的线性函数 Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布。 证：y=g(x)=ax+b单调，可导，其反函数为
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y0 y0
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例4 设随机变量X具有概率密度函数fX(x) 求YX3的概率 密度 解 函数yx3是x的严格单调增加函数 反函数
1 y3
x h( y)
有连续的导函数
h( y) 1 3 于是 YX3的概率密度为 fY ( y) f X Y X
2 y 3
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2 0.4 1 0 0 0.1 2 1 1 0.4
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X Y1=X-1 Y2=(X-1)2 pk
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Y1i各不相同,故P{Y1=yi} =P{X=xi} 当x=0和x=2时,y2均为1,此时两种情况应合并为一种: P{Y2=1} =P{X=0}+P{X=2} Y2 pk 0 0.1 1 0.7 4 0.2
y b x h( y ) a
1 且h' ( y ) a
y∈(-∞,+∞)
y b )2 a 2 2 (
1 y b 1 1 由定理知f Y ( y ) fX ( ) e |a| a | a | 2
即
1
[ y ( a b )]2 2 ( a ) 2
函数y=-2lnx在(0,1)上单调下降，值域为(0,∞) 当y≤0时，FY(y)=0，fY(y)=0 当y>0时，由y=-2lnx求得
y 2 y
1 2 x h( y ) e ，且h' ( y ) e 0 2 y y 1 2 1 2 f Y ( y ) 1 | h' ( y ) | e fY ( y ) 2 e , 2 0,
§2.5 随机变量的函数分布
一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布
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一、离散型随机变量函数的分布
例1 设X具有以下的分布列,试求Y1=X-1,Y2=(X-1)2的分布列: X pk 解: 列表如下: -1 0.2 0 0.3 -1 -2 4 0.2
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1 0.1 0 -1 1 0.3
设X时离散型随机变量,概率分布表是: X P{X=xi} x1 p1 x2 p2 … … xk pk … …
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P{X=xi}
x1
p1
x2
p2
…
…
xk
pk
…
…
Y=g(X)也是一个离散型随机变量,记yi=g(xi),i=1,2…如果诸 yi的值互不相等,则Y的概率分布为: P{Y=yi} =P{X=xi} =pi