考点20 数系的扩充与复数的引入
知识讲解_数学的扩充与复数的引入_知识讲解
数系的扩充和复数的引入【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．表示：通常用大写字母C 表示．要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.要点诠释：（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+u u u r .要点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）23i +； （2）132i -； （3）1-3i ； （4）3-52i ； （5）π； （6）0.【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是21，不是纯虚数； （3）1-3i 的实部是0，虚部是－31，是纯虚数；（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．【答案】(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2．当实数m 取何值时，复数22(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．举一反三：【变式1】 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．【变式2】已知复数22276(56)i (R)1a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【答案】（1）当z 为实数时，则225601a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．（2）当z 为虚数时，则有225601a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【变式3】设复数22lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：（1）实数； （2）z 是纯虚数．【答案】（1）要使z 是实数，则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，则需222213320m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．举一反三：【变式1】已知，x y ∈R 且22712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：N≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①或28(1)(2)a b i =-++ ②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.(1)由题意得22－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】∵22ππ<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.【答案】∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．举一反三：【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是________．【答案】(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．【答案】方法一：设z=x+yi （x ，y ∈R ），由题意，得i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+．根据复数相等的定义，得11x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．方法二：由已知可得z=(|z|－1)+i ，等式两边取模，得||z =两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。
数系的扩充与复数的引入
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C 纯虚数集 实数集R
11:06
练习:
完成下列表格（分类一栏填实数、虚数或 纯虚数）
11:06
判 断
1、若a=0,则z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数. （假） 2、若z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数,则a=0. （真）
故a=0是z=a+bi (a ∈ R、b ∈ R)为纯虚数的
必要不充分 条件.
11:06
思考
复数集与实数集、虚数集、纯虚数集 之间有什么关系？
11:06
有趣的过去
人们在研究方程解得过程中，遇到了负数开根号的 问题。而且这种问题逐渐在很多问题中被碰到，而且 不管什么地方，在数学推理步骤中用到了负数开根号， 结果都被证明是正确的。特别是1799年，高斯 （Gauss,1777- 1855）关于“代数基本定理”的证明必须 依赖对它的承认，虽然负数开根号是没有意义的，但 通过这些记号，代数中极其有用的一部分便建立起来 的，人们逐渐认识到了它的正确性。
课堂小结
一、数系的扩充 二、复数有关的概念 1、复数的代数形式；2、复数的实部、虚部； 3、虚数、纯虚数；4、复数的相等.
课下作业
习题3.1 ： 1 ， 2， 3
11:06
例 1: 实数m取什么值时，复数 z m 1 (m 1)i 是
（1）实数？
（2）虚数？ （3）纯虚数？
高考数学考点回归总复习课件 数系的扩充与复数的引入
注意:(1)如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能 比较大小.
(2)复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据, 是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.
2.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x轴叫做实
轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上 的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示虚数. 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数 集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也 是一一对应的.
(1 sin cos )2 (cos sin )2
2 sin2 cos2 2 1 sin2 2 .
4
故|
z1
z2
|的最大值为 3 ,最小值为 2
2.
技法二
数形结合思想
【典例2】 如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值 为( )
A.1 B. 2 C.2 D. 5
答案:C
2.(2010·陕西)复数
z 在1复i i平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析 :因为z i i(1 i) 1 i 1 1 i,所以其对 1 i (1 i)(1 i) 11 2 2
应的点
1 2
,
1 2
位于第一象限, 故选A.
答案:A
3.(2010·湖北)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则
【典例1】 已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数 时,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点 在第三象限?
习题课(三) 数系的扩充与复数的引入
即－1＝4＝4＋6＋a，b，
∴ab＝＝－－310，.
答案：－3 －10
高频考点三 复数的代数运算 复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i，11＋－ii＝i，11＋－ii＝－i； (2)－b＋ai＝i(a＋bi)； (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i； (4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.
)，对于p1，∵
1 z
＝
1 a＋bi
＝aa2－＋bbi2∈R ，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R ，∴ab＝0，∴a ＝0或b＝0，∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R )，z2＝c＋di(c，d∈R )，
则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R ，
的点为(x，y)，则
()
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析] (1)因为z＝12＋i i＝12＋ii1－1－i i＝i(1－i)＝1＋i， 所以|z|＝ 2. (2)由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1， ∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.
[解析]
(1)由z(1＋i)＝2i，得z＝
2i 1＋i
＝
2i1－i 1＋i1－i
＝
2i12－i＝i(1－i)＝1＋i.
(2)法一：∵z＝2＋i，∴ z ＝2－i，
∴z·z ＝(2＋i)(2－i)＝5.
法二：∵z＝2＋i，∴z·z ＝|z|2＝5.
(3)∵51－ ＋ii＝51－ ＋ii11－ －ii＝2－3i，
高中数学数系的扩充与复数的引入数系的扩充与负数的引入复数的有关概念
(1)当实数 x 满足 2
即-3<x<2 时,点 Z 位于第三象
-2-15 < 0,
限.
2 + -6 > 0,
(2)当实数 x 满足 2
-2-15 < 0,
即 2<x<5 时,点 Z 位于第四象限.
(3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即 3x+6=0,x=-2 时,点 Z
分析:复数a+bi(a,b∈R)表示的点为Z(a,b),根据点满足的条件列出关系式,
可求x的值.
12/8/2021
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目标导航
题型一
题型二
题型三
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型四
解:因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也是实数.
题型二
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型四
复数与复平面内的点
【例2】 当实数x取什么值时,复平面内表示复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i的
点Z:
(1)位于第三象限;
(2)位于第四象限;
(3)位于直线(zhíxiàn)x-y-3=0上.
由复数相等的充要条件,得
20 + = 0,
0 = 2,
= - 2,
或 0
= -2 2
= 2 2.
2020高考数学总复习 13.6 数系的扩充与复数的引入课件
基础知识 自主学习
要点梳理
1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数，其中a,b分 别是它的 实部 和 虚部 .若 b=0，则a+bi为实数, 若 b≠0，则a+bi为虚数,若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di a=c且b=d
5.设 z 为复数z的共轭复数，若复数z同时满足 z- z =2i， z =iz，则z= -1+i . 解析 z=iz,代入z-z =2i，得z-iz=2i,
z 2i 1 i. 1i
题型分类 深度剖析
题型一 复数的概念及复数的几何意义
【例1】 已知复数 z a2 7a 6 (a2 5a 6)i(a R). a2 1
(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di a=c,b=-d (a,b,c,d∈R). (4)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.
x轴 叫做实轴， y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示 实数 ；除原点外，虚轴上的点都表示 纯虚数 ； 各象限内的点都表示 非纯虚数 . (5)复数的模
1且a 6
6 .
∴不存在实数a使z为纯虚数.
探究提(高1)本题考查复数集中各数集的分类， 题中给出的复数采用的是标准的代数形式，否则 应先化为代数形式，再依据概念求解. (2)若复数的对应点在某些曲线上，还可写成代数 形式的一般表达式.如：对应点在直线x=1上，则 z=1+bi（b∈R）;对应点在直线y=x上，则z=a+ai (a∈R)，在利用复数的代数形式解题时经常用到 这一点.
2015届高考数学专项精析精炼考点20数系的扩充与复数的引入
考点20 数系的扩充与复数的引入（2014年）一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T2)i 为虚数单位,错误！未找到引用源。
( ) A.1 B.-1 C.i D.-i【解题提示】利用复数的运算法则进行计算. 【解析】选B. 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2. （2014·湖北高考理科·Ｔ1）i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 3.（2014·湖南高考理科·Ｔ1）满足i ziz =+(i 为虚数单位)的复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i --【解题提示】先解关于z 的方程，再用复数的除法法则进行运算。
【解析】选B. 因为i z iz =+，所以()()()i i i i i i i i z zi i z 2121211111,-=+-=+-+-=--==+。
4.（2014·辽宁高考理科·Ｔ2）设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =()23()23()32()32A i B i C i D i +-+-【解题提示】 利用解方程的办法得到复数z ，然后化简整理【解析】选A.由(2)(2)5z i i --=得55(2)22222 3.2(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+ 5.(2014·广东高考文科·T2)已知复数z 满足(3-4i )z=25,则z= ( )A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i【解题提示】本题既可以利用z z =|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答. 【解析】选D.方法一:因为|3-4i|=5,|3-4i|2=25,所以z=34i -=3+4i.方法二:因为(3-4i)z=25,所以z=2534i-=3+4i. 6.(2014·广东高考理科)已知复数z 满足(3+4i)z=25,则z= ( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i【解题提示】本题既可以利用z z =|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答. 【解析】选D.方法一:因为|3+4i|=5,|3+4i|2=25, 所以z=34i +=3-4i. 方法二:因为(3+4i)z=25, 所以z=2534i+=3-4i. 7.（2014·福建高考文科·Ｔ2）复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+【解题指南】利用复数的运算法则计算【解析】B ．由复数的乘法运算得()2323223i i i i i +=+=-+，故选B ．8.（2014·福建高考理科·Ｔ1）1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +【解题指南】用复数的运算法则进行计算. 【解析】C.∵23Z i =+∴23Z i =-.9.（2014·辽宁高考文科·Ｔ2）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ2）相同 （2014·辽宁高考文科·Ｔ2）设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =()23()23()32()32A i B i C iD i +-+-【解题提示】 利用解方程的办法得到复数z ，然后化简整理 【解析】选A.由(2)(2)5z i i --=得55(2)22222 3.2(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+10.(2014·陕西高考文科·T3)已知复数z=2-i,则z ·的值为 ( )A.5B.C.3D.【解题指南】求出复数z 的共轭复数,代入表达式求解即可. 【解析】选A.由已知得=2+i,则z ·=(2-i)(2+i)=22-i 2=5,故A 正确.11.（2014·山东高考理科·Ｔ1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则()=+2bi a （ ）.A 、5-4iB 、5+4iC 、3-4iD 、3+4i【解题指南】 本题考查了共轭复数的概念，以及复数的运算；两个复数互为共轭复数，则实部相等，虚部互为相反数，然后根据复数的运算法则进行运算. 【解析】选D.因为 i a -与bi +2互为共轭复数，所以1,2==b a ， 所以()()i i i i bi a 43442222+=++=+=+.12.（2014·山东高考文科·Ｔ1）已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=( ) A 、 34i -B 、 34i +C 、43i -D 、43i +【解题指南】 本题考查了复数的概念，以及复数的运算；两个复数相等，则实部相等，虚部相等，然后根据复数的运算法则进行运算.【解析】选D.因为 i a -=bi -2，所以1,2==b a ， 所以()()i i i i bi a 43442222+=++=+=+.13.(2014·江西高考文科·T1)若复数z 满足z(1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|= ( )A.1B.2【解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算.【解析】选C.22(1)1,1(1)(1)i i i z i z i i i -===+=++-. 14.(2014·江西高考理科·T1)是z 的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i 为虚数单位),则z= ( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i【解题指南】设出复数的代数形式,利用运算法则进行计算. 【解析】选D.设z=a+bi(a,b ∈R), 则=a-bi,z+=2a=2, 故a=1,( z-)i=-2b=2, 故b=-1,所以z=1-i.15. （2014·天津高考文科·Ｔ1，同2014·天津高考理科·Ｔ1）i 是虚数单位，复数=++ii437（ ）A. i -1B. i +-1C.i 25312517+ D. i 725717+- 【解析】选A.7(7)(34)25251.342525i i i ii i ++--===-+16.（2014·安徽高考文科·Ｔ1）设i 是虚数单位，复数321ii i+=+（ ） A i - B. i C. 1- D. 1 【解题提示】 利用复数的运算性质进行计算。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
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考点20 数系的扩充与复数的引入一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T2)i 为虚数单位,错误！未找到引用源。
( ) A.1 B.-1 C.i D.-i【解题提示】利用复数的运算法则进行计算. 【解析】选B. 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2. （2014·湖北高考理科·Ｔ1）i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 3.（2014·湖南高考理科·Ｔ1）满足i ziz =+(i 为虚数单位)的复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i --【解题提示】先解关于z 的方程，再用复数的除法法则进行运算。
【解析】选B. 因为i z i z =+，所以()()()i i i i i i i i z zi i z 2121211111,-=+-=+-+-=--==+。
4.（2014·辽宁高考理科·Ｔ2）设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =()23()23()32()32A i B i C i D i +-+-【解题提示】 利用解方程的办法得到复数z ，然后化简整理【解析】选A. 由(2)(2)5z i i --=得55(2)22222 3.2(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+ 5.(2014·广东高考文科·T2)已知复数z 满足(3-4i)z=25,则z= ( )A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i【解题提示】本题既可以利用z z =|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答. 【解析】选D.方法一:因为|3-4i|=5,|3-4i|2=25,所以z=34i -=3+4i.方法二:因为(3-4i)z=25,所以z=2534i-=3+4i. 6.(2014·广东高考理科)已知复数z 满足(3+4i)z=25,则z= ( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i【解题提示】本题既可以利用z z =|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答. 【解析】选D.方法一:因为|3+4i|=5,|3+4i|2=25, 所以z=34i +=3-4i. 方法二:因为(3+4i)z=25, 所以z=2534i+=3-4i. 7.（2014·福建高考文科·Ｔ2）复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+【解题指南】利用复数的运算法则计算【解析】B ．由复数的乘法运算得()2323223i i i i i +=+=-+，故选B ．8.（2014·福建高考理科·Ｔ1）1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +【解题指南】用复数的运算法则进行计算. 【解析】C.∵23Z i =+∴23Z i =-.9.（2014·辽宁高考文科·Ｔ2）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ2）相同 （2014·辽宁高考文科·Ｔ2）设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =()23()23()32()32A i B i C iD i +-+-【解题提示】 利用解方程的办法得到复数z ，然后化简整理 【解析】选A.由(2)(2)5z i i --=得55(2)22222 3.2(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+10.(2014·陕西高考文科·T3)已知复数z=2-i,则z·的值为 ( )A.5B.C.3D.【解题指南】求出复数z 的共轭复数,代入表达式求解即可.【解析】选A.由已知得=2+i,则z ·=(2-i)(2+i)=22-i 2=5,故A 正确.11.（2014·山东高考理科·Ｔ1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则()=+2bi a （ ）.A 、5-4iB 、5+4iC 、3-4iD 、3+4i 【解题指南】 本题考查了共轭复数的概念，以及复数的运算；两个复数互为共轭复数，则实部相等，虚部互为相反数，然后根据复数的运算法则进行运算. 【解析】选D.因为 i a -与bi +2互为共轭复数，所以1,2==b a ， 所以()()i i i i bi a 43442222+=++=+=+.12.（2014·山东高考文科·Ｔ1）已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=( ) A 、 34i -B 、 34i +C 、43i -D 、43i +【解题指南】 本题考查了复数的概念，以及复数的运算；两个复数相等，则实部相等，虚部相等，然后根据复数的运算法则进行运算. 【解析】选D.因为 i a -=bi -2，所以1,2==b a ， 所以()()i i i i bi a 43442222+=++=+=+.13.(2014·江西高考文科·T1)若复数z 满足z(1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|= ( )A.1B.2C.D.【解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算.【解析】选C.22(1)1,1(1)(1)i i i z i z i i i -===+++-14.(2014·江西高考理科·T1)是z 的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i 为虚数单位),则z= ( )A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i【解题指南】设出复数的代数形式,利用运算法则进行计算. 【解析】选D.设z=a+bi(a,b ∈R), 则=a-bi,z+=2a=2, 故a=1,(z-)i=-2b=2, 故b=-1,所以z=1-i.15. （2014·天津高考文科·Ｔ1，同2014·天津高考理科·Ｔ1）i 是虚数单位，复数=++ii437（ ）A. i -1B. i +-1C.i 25312517+ D. i 725717+- 【解析】选A.7(7)(34)25251.342525i i i ii i ++--===-+ 16.（2014·安徽高考文科·Ｔ1）设i 是虚数单位，复数321ii i+=+（ ） A i - B. i C. 1- D. 1 【解题提示】 利用复数的运算性质进行计算。
【解析】选D 。
32211i i i i i i +=-+++=2(1)2(1)-11)(1)2i i i i i i i i --+=-+=+-（. 17.（2014·安徽高考理科·Ｔ1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数. 若,1i z +=则.zi z i+（ ） B. 2- B. i 2- C. 2 D. i 2 【解题提示】 利用共轭复数及复数的运算性质进行计算。
【解析】选C 。
因为,1i z +=所以1,z i =- 故21.(1)(1)(1)22z i i z i i i i i i i i i++=+-=-++-=-=。
18. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T2) 131ii+-=( ) A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i【解题提示】利用复数的除法法则计算. 【解析】选B.因为131i i +-=()()1312i i ++=242i-+=-1+2i,所以选B. 19. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T2)设复数z 1,z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z 1=2+i,则z 1z 2=( )A.-5B.5C.-4+iD.-4-i 【解题提示】由两复数关于虚轴对称,可求得复数z 2,利用复数的乘法运算法则求得z 1z 2. 【解析】选B.因为z 1=2+i,z 1与z 2关于虚轴对称,所以z 2=-2+i, 所以z 1z 2=-1-4=-5,故选B.20. （2014·重庆高考文科·Ｔ1）实部为2-,虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题提示】根据复数的几何意义可直接写出复数对应复平面内点的坐标进而进行判断.【解析】选 B. 实部为2-,虚部为1 的复数所对应的复平面内的点为(2,1)-位于第二象限,故选B.二、填空题21.（2014·湖南高考文科·Ｔ11）复数23ii+（i 为虚数单位）的实部等于_________. 【解题提示】根据复数的概念求解计算。
【解析】因为i ii i --=-+=+31332，所以实部为-3。
答案：-3。
22.（2014·上海高考理科·Ｔ2）112,()_______.z i i z z z=++= 若复数其中是虚数单位，则【解题提示】用复数的运算法则进行计算. 【解析】1()151 6.z z z z z+=+=+= 答案：623.（2014·上海高考文科·Ｔ2）112,()_______.z i i z z z=++= 若复数其中是虚数单位，则【解题提示】用复数的运算法则进行计算. 【解析】1()151 6.z z z z z+=+=+= 答案：624.（2014·浙江高考文科·Ｔ11）已知i 是虚数单位，计算21(1)i i -+＝____________；【解析】2211(1)1(1)222i i i i i i i i ---+===-+ 1122i =-- 答案：1122i --25.（2014·四川高考文科·Ｔ12）与（2014·四川高考理科·Ｔ11）相同复数221i i-+= .【解题提示】本题主要考查复数的加减乘除运算，属于基本题．【解析】22222(1)(1)21(1)(1)i i i i i i i --==-=-++-.答案：2i -关闭Word 文档返回原板块。