北师大版高中数学必修五数列的概念学案
北师大版高中数学必修五数列的概念教案(2)
课题: §2.1数列的概念与简单表示法●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
北师大版高中数学必修五数列的概念教案(1)
数列的概念教案教学目标1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；渗透函数思想．3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．教学重点，难点教学重点是数列的定义的归纳与认识；教学难点是数列与函数的联系与区别．教学用具：电脑，课件（媒体资料），投影仪，幻灯片教学方法：讲授法为主教学过程一．揭示课题今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数（板书）象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（板书）第三章数列（一）数列的概念二．讲解新课要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：（幻灯片）①自然数排成一列数：②3个1排成一列：③无数个1排成一列：④的不足近似值，分别近似到排列起来：⑤正整数的倒数排成一列数：⑥函数当依次取时得到一列数：⑦函数当依次取时得到一列数：⑧请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．（板书）2．数列与函数的关系数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．（板书）3．数列的表示法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第一项，……，用表示第项，依次写出成为（板书）（1）列举法．（如幻灯片上的例子）简记为．一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．（板书）（2）图示法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即，这个函数式叫做数列的通项公式．（板书）（3）通项公式法如数列的通项公式为；的通项公式为；的通项公式为；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列的通项公式，则．值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一．除了以上三种表示法，某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．（板书）（4）递推公式法如前面所举的钢管的例子，第层钢管数与第层钢管数的关系是，再给定，便可依次求出各项．再如数列中，，这个数列就是．像这样，如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系用一个公式来表示，这个公式叫做这个数列的递推公式．递推公式是数列所特有的表示法，它包含两个部分，一是递推关系，一是初始条件，二者缺一不可．可由学生举例，以检验学生是否理解．三．小结1．数列的概念2．数列的四种表示四．作业略。
北师大版高中数学必修五数列的概念教案(10)
《数列的概念》课堂教学设计一．教学内容本节内容是人民教育出版社A版教材，必修5第二章第一节第一课时《数列的概念与简单表示方法（一）》，本节可主要讲解数列的描述性和函数性定义，数列的分类，数列的通项公式，而不涉及数列的其他表示方法。
二．学生分析本节面对具有一定分析、理解、推理能力和良好数学学习习惯的普通高中高二学生，已经对函数有了较深的理解。
一般来讲学生会感觉到数学比较枯燥，特别是概念课，这就需要教师在引入概念时一定要勾起学生的兴趣。
另外这节内容和函数知识联系比较紧密，理解数列与函数的联系是本节的一个难点，这种联系不仅能为学生深入理解数列的概念和方法提供条件,而且还能为学生从整体上认识数学、体会数学的思想和方法提供机会。
三．课程标准与教材分析课程标准对数列的叙述非常简洁，在教学中如何有效地实现“提高数学科学素养”、“面向全体学生”、“倡导探究性学习”、“注重与现实生活的联系”的基本理念，是一线教师的努力所在。
关于数列的概念，课程标准的要求层次为了解，这意味着学生要对数列有一个感性的认识，并将数列与函数联系起来，这样可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列，并教学过程中使学生认识数学与现实世界和实际生活的联系，培养和发展学生的数学应用意识。
（二）教材分析数列是高中数学重要内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：(1) 数列起着承前启后的作用．一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；可以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数。
(2) 数列是培养学生数学能力的良好题材，学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。
(3) 数列有着广泛的实际应用．如堆放物品总数的计算要用到数列的前n项和公式；又如产品规格的设计的某些问题要用到等比数列的原理；再如储蓄、分期付款的有关计算也要用数列的一些知识。
北师大版高二数学上册必修五数列的概念教学设计
北师大版高二数学上册必修五数列的概念教学设计课题：数列的概念邹英教学目的〔一〕知识与技艺：1.了解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的恣意一项；3.关于比拟复杂的数列，会依据其前几项写出它的通项公式。
〔二〕进程与方法：1.采用探求法，经过观察、思索、交流、剖析得出结论的方法停止启示式教学；2.发扬先生的主体作用，作好探求性学习；3.实际联络实践，激起先生的学习积极性。
〔三〕情感、态度与价值观：1.经过日常生活中的少量实例，鼓舞先生入手实验.实际联络实践，激起先生对迷信的探求肉体和严肃仔细的迷信态度，培育先生的辩证唯心主义观念；2.经过本节课的学习，体会数学来源于生活，效劳于生活，提高数学学习的兴味。
教学重点数列及其有关概念，通项公式及其运用。
教学难点依据一些数列的前几项笼统、归结出数列的通项公式。
教学方法启示式教学法：以设问和疑问层层引导，激起先生，启示先生积极思索，逐渐从知识走向迷信，将理性看法提升到理性看法，培育和开展先生的笼统思想才干。
探讨教学法：引导先生去疑；鼓舞先生去探；鼓舞先生去思，培育先生的发明性思想和批判肉体。
协作学习：经过师生讨论到达探求、归结的目的。
教学环节教学内容师生互动设计意图创设情形，引入效效果：1．国际象棋的传说：每格棋盘上的麦粒数排成一列数；2．古语：一尺之教员：以上五个效果中的数蕴涵着五列数。
先生：1：63322...2,2,2,1。
2：从数学史与数学文明以及先生熟习的体育知识等角度切入课题，使课题的引入23451111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，完成例题解答。
定边县教育教学效果参评参评类型：教学设计科目：数学任务单位：定边四中姓名：邹英课题称号：数列的概念。
高中数学必修五北师大版 数列的概念 学案
n2 ［例 3］ 在数列｛an｝中通项公式是 an＝（-1） · ,写出该数列的前 5 项， (2n 1)(n 1) 81 并判断 是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由. 170 81 ［分析］ 由通项公式写出数列的前 5 项，令 an= ,判断是否有正整数解即可. 170 22 1 4 9 12 32 0 1 2 ［解析］ a1=(-1) · ＝ ，a2=(-1) · ＝－ ，a3=(-1) · ＝ . 9 1 2 2 5 4 20 3 3 16 25 42 52 4 a4=(-1) 3· ＝－ ，a5=(-1) · ＝ . 35 75 9 6 54 16 25 1 4 9 ∴该数列前 5 项分别为： ，－ ， ，, . 2 9 20 35 54 81 n2 n-1 令(-1) · = 得 (2n 1)(n 1) 170
1 ， 5 不是数列 3
D.数列{2n-3}与-1,1,3,5,…不一定是同一数列 ［答案］ D ［解析］由数列的概念知 A 中的两个数列中的数虽然相同，但排列顺序不一样，B 中的两个 数列前者为有穷数列， 后者为无穷数列， 故 A、 B 均不正确， C 中显然是数列， D 中数列{2n-3} 是确定数列，通项公式为 an=2n-3，但-1,1,3,5，…前 4 项符合 an=2n-3,但后面的项不一定 符合此规律，故不一定是同一数列. 命题方向 数列的通项公式 ［例 2］ 写出下面各数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33,…;
2 4 6 8 ， ， ， ，…； 3 15 35 63 1 9 25 (3) ,2, ，8， ，…; 2 2 2 22 1 32 2 42 3 52 4 (4) ， ， ， ，…. 3 5 7 1
(2) ［分析］ 通过观察，找出所给出的项与项数 n 关系的规律，再写通项公式. n ［解析］ (1)通过观察，发现各项分别减去 1，变为 2,4,8,16,32,…其通项公式为 2 ，故 n 原数列的一个通项公式为 an=2 +1. (2)通过观察， 发现分子部分为正偶数数列{2n}， 分母各项分解因式： 1· 3,3· 5， 5· 7， 7· 9,… 为相邻奇数的乘积，即(2n-1)·(2n+1)，故原数列的一个通项公式为 an=
高中数学 第1章 数列 1.1 数列的概念学案 北师大版必修5-北师大版高二必修5数学学案
1．1 数列的概念学习目标核心素养1．了解数列通项公式的概念．2．能根据通项公式确定数列的某一项．(重点) 3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)1．通过数列基本概念的学习培养数学抽象素养．2．通过数列通项公式的应用培养逻辑推理及数学运算素养．1．数列的基本概念阅读教材P3～P4，完成下列问题．(1)数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项a n叫数列的通项(2)数列的表示①一般形式：a1，a2，a3，…，a n，…；②字母表示：上面数列也可记为{a n}．③数列的分类分类标准名称含义举例按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4，…，n 无穷数列项数无限的数列1,4,9，…，n2，…思考：[提示] 数列1,2,3,4,5和数列5,4,3,2,1不是同一个数列，因为二者的项的排列次序不同．(2)数列的项和项数有何区别？[提示] 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号，如数列1,2,3,4,5中第1项为a1＝1，其项数是1．2．通项公式阅读教材P 5“抽象概括”以下至“例1”以上的内容，完成下列问题．(1)如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．(2)数列可以看作是定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．思考：(1)若a n ＝2n －1，则a 2＋a 3的值是什么？[提示] 因为a n ＝2n －1，所以a 2＝2×2－1＝3，a 3＝2×3－1＝5，则a 2＋a 3＝3＋5＝8． (2)数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？[提示] 数列可以看成以正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域：数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋1，则122是该数列的( ) A ．第9项 B ．第10项 C ．第11项D ．第12项C [由n 2＋1＝122得n 2＝121，∴n ＝11．故选C ．] 2．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2nC [经检验可知，它的一个通项公式为a n ＝n ＋2．] 3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝sin n π2，则a 2＝________．0 [a 2＝sin 2π2＝sin π＝0．]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n，n ∈N ＋，则它的第8项是________，第9项是________．1 －1 [当n ＝8时，a 8＝(－1)8＝1． 当n ＝9时，a 9＝(－1)9＝－1．]数列的概念【例1】(1)下列说法错误的是( )A．数列0,1,2,3，…的首项是0B．数列{a n}中，若a1＝3，则从第2项起，各项都不等于3C．数列中的每一项都是数D．如果已知数列的通项公式，那么可以写出该数列的任意一项(2)下列各组元素能构成数列吗？如果能，构成的数列是有穷数列，还是无穷数列？并说明理由．①8,8,8,8；②－3，－1,1，x,5,7，y,11；③当n取1,2,3,4，…时，(－1)n的值排成的一列数．(1)B[同一个数可以在一个数列中重复出现，故B错误．](2)[解]①能构成数列，且构成的是有穷数列．②当x，y代表数时是数列，此时构成的是有穷数列；当x，y中有一个不代表数时，便不能构成数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列组成的．③能构成数列，且构成的是无穷数列．所构成的数列是－1，1，－1,1，…．数列及其分类的判定方法1判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数．2判断所给的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列含有限项还是无限项，若数列含有限项，则是有穷数列，否则是无穷数列．[跟进训练]1．下列说法正确的是( )A．1,2,3,4，…，n是无穷数列B．数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列C．同一个数在数列中不能重复出现D．数列{2n＋1}的第6项是13D[A错误，数列1,2，…，n，共n项，是有穷数列．B错误，数列是有次序的．C错误，数列中的数可以重复出现．D正确，当n＝6时，2×6＋1＝13．]根据数列的前n 项写出数列的通项公式【例2】 根据以下数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)23，415，635，863，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)－1,2，－3,4，…；(4)2,22,222,2 222，…．[解] (1)分子均为偶数，分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9，…是两个相邻奇数的乘积． 故a n ＝2n 2n －12n ＋1．(2)将分母统一成2，则数列变为12，42，92，162，252，…，其各项的分子为n 2．∴a n ＝n 22．(3)该数列的前4项的绝对值与序号相同，且奇数项为负，偶数项为正， 故a n ＝(－1)n·n ．(4)通过观察分析可知所求通项公式为a n ＝29(10n－1)．由数列的前几项求通项公式的思路(1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系．(2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式．(3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．(5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系．[跟进训练]2．(1)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n ＝( )A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n2n －3D ．n2n ＋3(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． ①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，…．(1)B [由已知得，数列可写成11，23，35，47，59，…，故通项公式为n2n －1．](2)[解] ①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以a n ＝1n ＋1n ＋3．②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以a n ＝(－1)n(2n ＋1－1)．③此数列为摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2,6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示．所以a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 是奇数，6，n 是偶数.通项公式的应用[探究问题]1．已知数列{a n }的通项公式，如何求数列的某一项？[提示] 把n 的值代入通项公式进行计算即可，相当于函数中，已知函数的解析式和自变量的值求函数值关于n 的方程．2．已知数列{a n }的通项公式，如何判断某一个数是否为该数列中的项？[提示] 假定这个数是数列中的第n 项，由通项公式可得关于n 的方程，解方程求得n ，若n 是正整数，则该数是数列中的项；若方程无解或n 不是正整数，则该数不是数列中的项．【例3】 数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－21n2(n ∈N ＋)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 思路探究：(1)令a n ＝0，a n ＝1⇒求n ⇒判断(2)假设存在连续且相等的两项⇒列方程⇒求解⇒判断 [解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝21．所以0是{a n }中的第21项． 若1是{a n }中的第n 项，则n 2－21n2＝1，所以n 2－21n ＝2， 即n 2－21n －2＝0．因为方程n 2－21n －2＝0不存在正整数解， 所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，解得m ＝10． 所以数列{a n }中存在连续的两项，即第10项与第11项相等．1．(变条件)在例3中，把“a n ＝n 2－21n2”改为“a n ＝n 2－3n ”，解答(1)(2)两题．[解] (1)若0是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝0，因为n ∈N ＋，所以n ＝3，故0是{a n }中的第3项．若1是{a n }中的第n 项，则n 2－3n ＝1，即n 2－3n －1＝0，因为方程n 2－3n －1＝0不存在正整数解，所以1不是{a n }中的项．(2)假设{a n }中存在第m 项与第m ＋1项相等，即a m ＝a m ＋1，所以m 2－3m ＝(m ＋1)2－3(m ＋1)，解得m ＝1．所以数列{a n }中存在连续的两项，第1项与第2项相等． 2．(变结论)例3的条件不变，求a 3＋a 4的值和a 2n ． [解] a 3＋a 4＝32－21×32＋42－21×42＝－61，a 2n ＝2n2－21×2n 2＝2n 2－21n ．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．1．观察法写通项公式的注意事项据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．2．并非每一个数列均有通项公式，例如由2的不足近似值构成的数列1,1．4,1．41,1．414，…，便无通项公式．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列中的项不能相等．( ) (2)数列1,2,3,4，…，n －1，只有n －1项． ( )(3)数列1,2,3,4，…，n 2是无穷数列． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×[提示] 数列中的项可以相等，故(1)错；数列1,2,3,4，…，n 2共n 2项，是有穷数列，故(3)错．2．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中0．08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项C [由题意知，a n ＝n －2n 2． 令a n ＝0．08，即n －2n 2＝8100， 所以n ＝10，n ＝52(舍去)，故选C ．]3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝3－2n，则a 2n ＝________，a 2a 3＝________． 3－4n15 [根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项．因为a n ＝3－2n，所以a 2n ＝3－22n＝3－4n，a 2a 3＝3－223－23＝15．]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n． (1)写出数列的前三项；(2)110和1627是不是数列{a n }中的项？如果是，是第几项？ [解] (1)数列的前三项：a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝410＝25，a 3＝432＋3×3＝418＝29．(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0， 解得n ＝5或n ＝－8，注意到n ∈N ＋，故n ＝－8舍去． 所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0， 解得n ＝32或n ＝－92，注意到n ∈N ＋，所以1627不是数列{a n }中的项．。
1.1.1数列的概念学案(高中数学必修五北师大版)
§1数列1．1数列的概念课标解读1.了解数列、通项公式的概念．2．了解数列是自变量为正整数的一类函数(难点)．3．能根据通项公式确定数列的某一项(重点)．4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(重点、难点).数列的有关概念及表示【问题导思】小山想利用电子邮箱发送一个E－mail，但是由于长时间未登录邮箱，从而他忘记了邮箱的密码，只记得密码由3～8这6个数字构成，如：(1)3456 78；(2)468735；(3)76538 4.1．这三组数字有什么异同之处？【提示】都是由3～8这6个数字构成，但是排列顺序不同．2．小山把上面3组数当成密码来试验时，都没有打开邮箱，他说：“仅仅知道数字及个数还不能确定密码”．那么，找到密码还需要确定什么？【提示】数字的排列顺序．1．数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫作数列项数列中的每一个数叫作这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第n项a n，叫数列的通项2.数列的表示①一般形式：a1，a2，a3，,，a n，,；②字母表示：上面数列也记为{a n}．数列的分类【问题导思】当n分别取1，2，3，4，,时，sin nπ2的值排成一个数列：1，0，－1，0,；当n分别取1，2，3，4，5时，sin nπ2的值排成一个数列：1，0，－1，0，1.这两个数列是同一数列吗？若不是同一数列，这两个数列有何区别与联系？【提示】不是同一数列．第一个数列有无穷多项，第二个数列共有5项，这5项恰好是第一个数列的前5项．按数列的项数，数列分为有穷数列与无穷数列．(1)项数有限的数列叫作有穷数列；(2)项数无限的数列叫作无穷数列．数列的通项公式【问题导思】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．如图：图1－1－1上图表示的数可构成数列1，4，9，16，,，这个数列的第n项a n与n之间能否用一个函数式表示？怎样表示？【提示】可以．函数式可表示为a n＝n2.1．如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．2．数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．数列的有关概念下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0，1，2，3，4}是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)同一个数在数列中可能重复出现；(4)数列1，2，3，4，,，2n是无穷数列．【思路探究】紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．【自主解答】(1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列．(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．(3)正确．数列中的数可以重复出现．(4)错误．数列1，2，3，4，,，2n，共有2n项，是有穷数列．1．数列{a n}表示数列a1，a2，a3，,，a n，,，不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别．2．从数列的定义可以看出，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．下列说法正确的是()A．数列3，5，7与数列7，5，3是相同数列B．数列2，3，4，4可以记为{2，3，4}C．数列1，12，13，,，1n，,可以记为1nD．数列{2n＋1}的第5项是10【解析】数列是有序的，选项A错；数列与数集是两个不同的概念，选项B错；对于D，当n＝5时，a5＝2×5＋1＝11，选项D错，故选 C.【答案】C。
北师大版高中数学必修五数列的概念教案(1)(3)
课 题：数列的一般概念（一）教学目的：⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项 ⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与a n 的关系 教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数) 教学过程：一、复习引入： 1．函数的定义．如果A 、B 都是非空擞 集，那么A 到B 的映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：)(x f y =，其中.,B y A x ∈∈2．在学习第二章函数的基础上，今天我们来学习第三章数列的有关知识，首先我们来观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 二、讲解新课：⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 如：数列①：n a =n+3(1≤n ≤7)；数列③：n a n n (1011-=≥1）； 数列⑤：nn a )1(-=（n ≥1）⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总结其特点.在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数列①、②的图象分别如图1，图2所示.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7． 有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列. 例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是无穷数列. 三、讲解范例：例1 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前5项： （1）n a n na n n n ⋅-=+=)1()2(;1分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项解：（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321======a a a a a n (2) ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321-==-====a a a a a n例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7； （2）;515;414,313;2122222---- （3）-211⨯，321⨯，-431⨯，541⨯. 解：（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，∴它的一个通项公式是： 12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓ 项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项公式是： 1)1(2+-=n nn a n ；（3）序号 2111⨯-↓321 3⨯-↓4313 ⨯-↓ 541 4⨯-↓‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： )1(1)1(+-=n n a nn四、课堂练习：课本P 112练习：1—4.学生板演1，2；教师提问评析3，4.答案：⒈⑴1,4,9,16,25；⑵10,20,30,40,50； ⑶5,-5,5,-5,5；⑷3/2，1，7/10，9/17，11/26. ⒉⑴a 7=1/343，a 10=1/1000；⑵a 7=63，a 10=120； ⑶a 7=1/7，a 10=-1/10；⑷a 7=-125，a 10=-1021.⒊⑴n a =2n ；⑵n a =1/5n ；⑶n a =(-1)n/2n；⑷n a =(1/n)-[1/(n+1)].⒋⑴8，64，n a =2n；⑵1，36，n a =n 2；⑶-1/3，-1/7，n a =(-1)n/n ；⑷3，6，a n =n .五、小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式 六、课后作业：课本P 114习题3.1：1，2.答案：⒈ ⑴ n a =3n ；⑵ n a =-2(n-1)；⑶ n a =(n+1)/n ；⑷n a =(-1)n/2n ；⑸ n a =1/n 2；⑹ n a =(-1)n+13n .⒉ ⑴a 10=110，a 31=992，a 48=2352；⑵求n(n+1)=420的正整数解得n=20. 补充作业：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)32, 154, 356, 638, 9910, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….解：(1) n a ＝21n+； (2) n a ＝)12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2)1(1n-+；(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,∴n a ＝n ＋2)1(1n-+；(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，∴ n a ＝(－1)1+n n(n ＋1).七、板书设计（略） 八、课后记：课 题：数列的概念（二）教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n 项和与n a 的关系；4．会由数列的前n 项和公式求出其通项公式. 教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项 教学难点：理解递推公式与通项公式的关系 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。
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《数列的概念》学习指导
一、数列基本内容概述
1、数列的基本概念
（1）数列是按一定次序排列的一列数；
（2）数列是定义域为自然数集或其子集{
}n ,,3,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值；
（3）数列的一般形式： ,,,,21n a a a ，简记为{}n a 。
（4）数列的属性：有序性；
比如：数列{}6,5,4,3,2,1:n a 和数列{}1,2,3,4,5,6:n b ，两数列中的元素相同，但由于排列顺序不相同，它们是两个不同的数列；
（5）数列的表示方法：列表法、图象法（独立的点）、解析法。
其中解析法又分为：通项公式法和递推关系式法；
①通项公式法：若数列{}n a 第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式；
②递推关系式法：数列的任意连续若干项所满足的关系式称为该数列的一个递推关系式，用递推关系式和相应的前若干个已知项可以确定一个数列。
这种表示数列的方法叫做递推关系式法。
2、数列的分类：
（1）从定义域方面：有穷数列和无穷数列；
（2）从值域方面：有界数列和无界数列；
（3）从单调性方面：递增数列和递减数列；
3、数列{}n a 的前n 项和n n a a a S +++= 21与n a 的关系是：
⎩⎨⎧≥-==-2,1,11
n S S n S a n n n ，注意1--=n n n S S a 适用的条件是2≥n 。
二、数列相关问题的理解和处理途径
1、把数列中的项与集合中的元素相比较，数列中的项具有确定性、有序性、可重复性，不具有互异性；集合中的元素具有确定性、无序性、互异性。
2、根据数列的前n 项写出数列的通项公式时，常用到“观察、归纳、猜想、验证”的数学思想方法，即先找出各项相同的部分（不变量），再找出不同的部分（可变量）与序号之间的关系，并用n 表示出来。
不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上可以不唯一。
3、已知数列的前n 项和n S 求n a 时，一般采用公式1--=n n n S S a ，但要注意对1a 是否满足n a 进行验证。
4、数列的通项公式)(n f a n =给出了有关量之间的关系。
在具体解题中，若给出部分量的值求其他未知量的值，基本公式就转化为方程，于是用函数与方程的思想方法分析问题，成为学习数列的重要思想方法。
同理，数列中其他的有关公式同样可以用上述观点去认识。
5、转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略，数列中的转化更是层出不穷，如n S 和n a 的转化，就属于数列不同给出方式间的转化，问题总是在一步步的转化过程中得到解决。
在应用转化思想方法时，一定要围绕转化目标选准转化切入点，掌握“模式识别”、“差异分析”、“层次解决”等解题策略，是转化成功的有效途径。
6、求数列中最大（最小）项均须借助数列的通项公式，求最大项的方法：设n a 为最大项，则有⎩⎨⎧≥≥+-11n n n n a a a a ；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有⎩⎨⎧≤≤+-1
1n n n n a a a a 。
三、数列通项的求解类型与方法
1、已知前几项——观察法。
通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n 的关系，最后用不完全归纳法得出通项公式。
2、已知n S ——可用⎩⎨⎧≥-==-2,1,
11n S S n S a n n n 。
3、已知初始条件和递推关系：
（1）尝试写出数列的前几项，通过观察法来求解；
（2）通过适当的运算变形或整理，转化成我们后面学习的特殊的数列——等差数列或等比数列的形式。