无穷小无穷大单元教学设计
1.3教学设计—— 无穷小量与无穷大量
讨论阻尼运动的变化特征，查阅第二次数学危机的产生背景、历史故事
师生共同分享各自查阅的有关资料
多媒体课件
素质目标1，2
导入新课
10’
讨论阻尼运动的变化特征，随着时间的增加，摆动幅度越来越小，趋向于零
学生对课前布置的问题进行思考和查阅资料，选择学生简单叙述自己的理解和体会。
多媒体课件
知识目标1
能力目标
1.掌握无穷小与无穷大的概念；
2.会利用无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的等价代换等求函数的极限。
素质目标
1.培养学生辩证思维及分析问题解决问题的能力；
2.培养学生缜密的思维及耐心细致不惧难题的学习品质。
教学过程
教学环节
时间分配
教学内容教学活动教学 Nhomakorabea资源
覆盖目标
课程育人
10’
2.利用无穷小的性质求函数的极限；
3.进行无穷小的比较，体会“极限”实际上是描述最终的变化趋势
学生黑板练习
教师答疑解惑
板书
能力目标1,2
素质目标1,2
课堂小结
5’
1.本节课学习了无穷小与无穷大的概念；
2.理解这两种特殊的极限形式，它们都是变量，在变化的过程中，体现出来的一种变化趋势；
3.理解无穷小的比较，是“比较什么”
讲授新课
40’
1.无穷小的概念及其性质；
2.无穷大的概念；
3.无穷小与无穷小的关系；
4.无穷小的比较，等价无穷小的性质及应用
1.讲授无穷小与无穷大的概念；
2.介绍两者的区别、联系
3.让学生感受这两种特殊“变量”的变化过程
板书多媒体课件
知识目标1,2,3
(完整版)无穷小量与无穷大量
第周第学时教案授课教师：贾其鑫第周第学时教案授课教师：贾其鑫第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1()y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ⇔∀M >0, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 证 因为∀M >0, ∃M 1=δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11|, 所以∞=-→11lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-|1|1|11|, 只要M x 1|1|<-.第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线.例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小互为倒数关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大,则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )≠0, 则)(1x f 为无穷大.简要证明:如果0)(lim 0=→x f x x , 且f (x )≠0, 那么对于M 1=ε, ∃δ>0, 当0<|x -0x |<δ时,有M x f 1|)(|=<ε, 由于当0<|x -0x |<δ时, f (x )≠0, 从而 M x f >|)(1|, 所以)(1x f 为x →x 0时的无穷大. 如果∞=→)(lim 0x f x x , 那么对于ε1=M , ∃δ>0,当0<|x -0x |<δ时, 有ε1|)(|=>M x f , 即ε<|)(1|x f , 所以为x →x 时的无穷小. 简要证明:如果f (x )→0(x →x 0)且f (x )≠0, 则∀ε >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时, 有|f (x )|<ε , 即, 所以f (x )→∞(x →x 0). 如果f (x )→∞(x →x 0), 则∀M >0, ∃δ>0,当0<|x - x 0|<δ时,有|f (x )|>M , 即, 所以f (x )→0(x →x 0).1.3.3无穷小量的性质第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 性质1.1 有限个无穷小的和也是无穷小，性质1.2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小，性质1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大
《高职工科应用数学》教案6无穷小与无穷大教学目标：1.了解无穷小与无穷大的概念；2.掌握无穷小与无穷大的性质和运算规律；3.掌握应用无穷小与无穷大解决实际问题。
教学重点：1.无穷小的定义和性质；2.无穷大的定义和性质；3.无穷小与无穷大的运算规律。
教学难点：1.复杂问题中的无穷小与无穷大的运算；2.如何应用无穷小与无穷大解决实际问题。
教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、课件、习题集等。
教学过程：一、引入（5分钟）教师通过给出一组数列或函数，引出无穷小与无穷大的概念，并与学生共同总结无穷小与无穷大的定义和性质。
二、理论讲解（15分钟）1.无穷小的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值也趋于零，则称该函数为无穷小。
b.性质：i.无穷小的性质1：无穷小与有界量的积仍为无穷小；ii. 无穷小的性质2：无穷小与有穷数的和仍为无穷小；iii. 无穷小的性质3：无穷小的高阶无穷小，与低阶无穷小相比可以忽略不计。
2.无穷大的定义和性质：a.定义：当自变量趋于一些值时，如果函数值无限增大或无限减小，则称该函数为无穷大。
b.性质：i.无穷大的性质1：无穷大与有界量的积仍为无穷大；ii. 无穷大的性质2：无穷大与有穷数的和仍为无穷大；iii. 无穷大的性质3：无穷大的高阶无穷大，与低阶无穷大相比可以忽略不计。
三、运算规律（15分钟）1.无穷小与无穷小的运算：a.无穷小的加减运算：无穷小与无穷小相加或相减的结果仍为无穷小，且同阶无穷小相加或相减可以得到更高阶的无穷小；b.无穷小的乘除运算：无穷小与无穷小相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。
2.无穷大与无穷大的运算：a.无穷大的加减运算：无穷大与无穷大相加或相减的结果需要根据具体问题来确定；b.无穷大的乘除运算：无穷大与无穷大相乘或相除的结果需要根据具体问题来确定。
四、应用实例（25分钟）教师通过讲解一些实际问题的解题方法，来展示如何应用无穷小与无穷大来解决实际问题，比如极限的计算、函数的渐近线等。
无穷小与无穷大教学设计
通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。
2.教学重难点
教学重点：1.无穷小与无穷大的定义
2.无穷小的运算性质
3.无穷小的比较
教学难点：1.无穷小的运算性质
2.无穷小的比较
利用无穷小与无穷大的倒数关系解决这样的问题：
当 时，若 则
作业布置
（1分钟）
P39 4
P525（1）（3）（5）
六、板书设计
1.6无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1.无穷小的定义
2.无穷小的运算性质
Байду номын сангаас3.例题
二、无穷大
1.无穷大的定义
2.例题
三、无穷小与无穷大的关系
四、无穷小的比较
1.无穷小的比较
2.常用的等价无穷小
四、教学策略选择与设计
1.介绍无穷小的概念，使学生理解无穷小的概念，知道它的运算性质，还有
无穷小与无穷大之间的一种关系，提供一种求极限的方法。
2.通过判断两个无穷小的商有哪些情况，对无穷小的商进行分类。了解高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、k阶无穷小的概念。理解等价无穷小和等价无穷小替换定理。利用等价无穷小定理求极限。
一、教材分析
选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。
无穷小与无穷大教学设计
无穷小与无穷大教学设计本节课是经济应用数学A课程中的一节，主要介绍无穷小与无穷大的概念和运算性质。
学生已经学过数列的极限函数的极限，具备一定的数学基础。
但是，对于无穷小与无穷大的概念和运算性质还存在一定的难度和不理解的情况。
因此，本节课的教学重点和难点都是无穷小的运算性质和比较。
在教学过程中，需要引导学生通过实际问题转化为数学问题，培养学生的创新意识和探索精神，提高学生的研究兴趣和自主研究能力。
四、教学方法与手段本节课采用讲授、讨论、实例演练等多种教学方法，以达到知识与技能的掌握和能力的培养。
在讲授中，通过引入实际问题，引导学生理解无穷小与无穷大的概念和运算性质。
在讨论中，引导学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。
在实例演练中，通过大量的例题练，让学生熟记常用的等价无穷小量，掌握等价无穷小替换定理求极限的方法。
五、教学过程1.引入实际问题，引导学生理解无穷小与无穷大的概念和运算性质。
2.复数列的极限函数的极限，进一步分析和总结极限概念，引导学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。
3.讲解无穷小与无穷大的定义，引导学生理解无限与有限的相对性。
4.讲解无穷小的运算性质，通过实例演练，让学生掌握无穷小的运算方法。
5.讲解无穷小的比较，通过实例演练，让学生掌握无穷小的比较方法。
6.总结本节课的知识点和方法，引导学生将所学知识应用到实际问题中。
六、教学反思本节课采用了多种教学方法，通过引入实际问题、讨论、实例演练等方式，让学生理解无穷小与无穷大的概念和运算性质，掌握无穷小的运算方法和比较方法。
但是，在教学过程中，有些学生对无穷小的概念和运算性质还存在一定的困难和不理解，需要在后续的教学中加强。
同时，在教学中，也需要更加注重培养学生的创新意识和探索精神，提高学生的自主研究能力和实际问题解决能力。
教案大学无穷大与无穷小
一、教学目标1. 知识目标：（1）理解无穷大与无穷小的概念，掌握无穷小量的性质。
（2）了解无穷大与无穷小之间的关系，掌握无穷大的分类。
（3）掌握无穷小量的运算规则。
2. 能力目标：（1）能够运用无穷小与无穷大的概念分析实际问题。
（2）能够运用无穷小与无穷大的知识解决函数极限问题。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的数学思维。
（2）培养学生团结协作、勇于探索的精神。
二、教学内容1. 无穷小与无穷大的概念2. 无穷小量的性质3. 无穷大与无穷小之间的关系4. 无穷小的运算规则5. 无穷小与函数极限的关系三、教学过程（一）导入1. 回顾函数极限的基本概念，引导学生思考无穷小与无穷大的关系。
2. 提出问题：如何理解无穷大与无穷小的概念？它们在数学中有何应用？（二）新课讲解1. 无穷小与无穷大的概念（1）通过实例讲解无穷小与无穷大的概念，使学生理解无穷小与无穷大的含义。
（2）强调无穷小与无穷大是变量，不能与很大的数或很小的数混淆。
2. 无穷小量的性质（1）介绍无穷小量的性质，如：有限性、无穷性、无界性等。
（2）举例说明无穷小量的性质在数学中的应用。
3. 无穷大与无穷小之间的关系（1）讲解无穷大与无穷小之间的关系，包括正无穷、负无穷、无穷大与无穷小的转化等。
（2）举例说明无穷大与无穷小之间的转化。
4. 无穷小的运算规则（1）介绍无穷小的运算规则，如：乘法、除法、乘除混合运算等。
（2）通过实例讲解无穷小运算的步骤，使学生掌握无穷小运算的方法。
5. 无穷小与函数极限的关系（1）讲解无穷小与函数极限的关系，如：无穷小乘以无穷大等于无穷小、无穷小除以无穷大等于0等。
（2）通过实例讲解无穷小与函数极限的关系，使学生理解无穷小在函数极限中的应用。
（三）课堂练习1. 给出一些无穷小与无穷大的实例，让学生判断其是否为无穷小或无穷大。
2. 通过无穷小与无穷小的运算，求解一些函数极限问题。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调无穷小与无穷大的概念、性质、运算规则以及与函数极限的关系。
高等数学(上册)教案04 无穷小于无穷大、无穷小的比较
第1章 函数、极限与连续无穷小与无穷大【教学目的】：1. 了解无穷小与无穷大的定义；2. 掌握无穷小的性质；3. 掌握无穷小和无穷大的关系；4. 学会两个无穷小量的比较；5. 熟练使用等价无穷小计算极限。
【教学重点】：1. 掌握无穷小的性质；2. 学会两个无穷小量的比较；3. 熟练使用等价无穷小计算极限。
【教学难点】：1. 学会两个无穷小量的比较；2. 熟练使用等价无穷小计算极限。
【教学时数】：2学时【教学过程】：1.3.1 无穷小量1、无穷小量定义1 如果当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 的极限为0，那么就称函数)(x f 为0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小．记作()0lim 0=→x f x x （或()0lim =∞→x f x ） 注意：（1）)(x f 是否为无穷小量与自变量的变化过程密切相关．0→x 时，x sin 是无穷小量，而2π→x 时，x sin 不是无穷小量. （2）无穷小量不是一个很小的数，而是极限为零的一个变量．特殊地，函数0)(≡x f ，它在自变量的任何变化过程中均为无穷小量．2、无穷小的性质性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量．性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量．性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量．特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量．例1 求xx x 1sin lim 0→． 解 因为0lim 0=→x x ，所以x 是0→x 时的无穷小；而|x 1sin |≤1，所以x 1sin 是有界函数，根据无穷小的性质3，可知01sin lim 0=→xx x ．1.3.2 无穷大量定义2 如果当0x x →时，函数)(x f 的绝对值无限增大，那么称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，简称无穷大.如果函数)(x f 为当0x x →时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，也称“函数的极限是无穷大”，并记作∞=→)(lim 0x f x x 例如：当0→x 时，x 1无限增大，所以当0→x 时x1是无穷大量．即∞=→x x 1lim 0. 定理1 在自变量的同一变化过程中，如果函数)(x f 是无穷大量，那么)(1x f 是无穷小量；反之，如果函数)(x f 是无穷小量，且)(x f ≠0，那么)(1x f 是无穷大量．1.3.3 无穷小的比较定义3 设βα,均为x 的函数0lim 0=→x x α，0lim 0=→βx x ，且0≠β（0x 可以是∞±或∞）， (1) 如果0lim 0=→βαx x ，则称当0x x →时α是β的高阶无穷小，或称β是α的低阶无穷小，记作)(βαo =，(0x x →)； (2) 如果C a x =→βαlim ，(0≠C )，则称当0x x →时α与β是同阶无穷小；特别地，当1=C 时，称当0x x →时α与β是等价无穷小，记作βα~(0x x →)．常用的等价无穷小为：当x → 0时：x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，221~cos 1x x -， x e x ~1-，x x ~)1ln(+，x nx n 1~11-+. 例6 求x x e x x x 2sin )cos 1()1(lim 20--→．解 因为x →0时 x e x~1-， x 2sin ~2x ， x cos 1-~x 221， 所以 1221lim 2sin )cos 1()1(lim 22020=⋅⋅=--→→x x x x x x e x x x x .【教学小节】：无穷小与无穷大是极限运算的重要工具。
无穷大与无穷小教案[1]
![无穷大与无穷小教案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/fbc2507ccec789eb172ded630b1c59eef9c79a48.png)
高等数学1 教案编号：4教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以与如何启发思维等）复习函数极限的定义与其性质.新课一、无穷小定义1如果函数f(x)当x x0(或x)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x x0(或x)时的无穷小.特别地以零为极限的数列{x n }称为n 时的无穷小 例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x 时的无穷小. 因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x 1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n 时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在x x 0(或x )的过程中 极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程xx 0(或x )中, 函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x )=A +a其中a 是无穷小. 类似地可证明x 时的情形.例如, 因为333212121xx x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 二、无穷大如果当x ®x 0(或x ®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大, 就称函数f (x )为当x ®x 0(或x ®¥)时的无穷大 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x ®x 0(或x ®¥)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x Û"M >0, $d >0, 当0<|x -0x |<d 时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线. 例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )¹0, 则)(1x f 为无穷大.。
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（1）
（2）y=2x-1
（3）
（4）
学生阅读自主讨论
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
无穷小性质
（1）四条无穷小性质中最重要的是什么？
a)有限个无穷小的代数和是无穷小
b)无穷小与无穷小的积是无穷小
c)常数与无穷小的积是无穷小
d)有限个无穷小的积是无穷小
（3）计算
例
教师引导法
学生练习法
学生演示
学生讨论
15分钟
5
（操练
案例）
案例1求
案例2求
案例3求 在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。
教师提示，引导学生注意
学生讨论
30分钟
作业
22页 2 5 6
课后
体会
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段学生活动Fra bibliotek时间分配
1
（告知）
本单元学习目标：
无穷小，无穷大
陈述
板书
识记
5分钟
2
（引入
任务1）
学生阅读，无穷小概念
极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小。特别注意，无穷小不知很小很小的数。
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1 无穷小概念
任务2 阅读课本，学习无穷小性质及应用
任务3 学习无穷大概念，理解无穷大与无穷小关系
案例1求
案例2求
案例3求 在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大。
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
2.2无穷小 无穷大单元教学设计
一、教案头
单元标题：
无穷小 无穷大
单元教学学时
4
在整体设计中的位置
第3次
授课班级
略
上课地点
略
教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解无穷小的概念
➁能够应用无穷小性质计算某些函数极限
➂能够理解无穷大的概念
➃能够掌握无穷小和无穷大的倒数关系，并相互求解
无穷小
无穷大
➀深刻思维能力
例
例
教师启发讲解
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
无穷大
在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。
（1）无穷大就是很大很大的一个数吗？
（2）无穷大与无穷小什么关系
无穷大与无穷小是倒数关系。
下列函数在怎么样的情况下是无穷大？
（1）
（2）y=2x-1
（3） ,
（4）
（5）y=lnx