《经济数学基础》教案1
经济数学基础教学大纲
《经济数学基础》教学大纲课程编号：课程名称：经济数学基础学时安排：72学时学分: 4一、课程的性质和任务本课程是财经类、管理类及相关专业的一门必修的基础理论课程。
众所周知，高等数学在经济数学、管理科学中有着广泛的应用。
著名的边际分析和弹性分析就是以微积分理论为基础的。
因此，《经济数学基础》这门课程以“数学为体，经济为用”，教材内容突出实用性和职业性，涵盖了学校财经类、管理类及相关专业必要的数学基础。
本课程力求使学生系统地获得微积分的基础知识、必要的基础理论和常用的运算方法。
通过本课程的学习，使学生受到基本数学方法的训练和运用这些方法解决简单的财经、管理等实际问题的初步训练，为学生学习财经类、管理类各专业的后续课程和进一步扩大数学知识打好必要的数学基础。
二、课程的教学内容和基本要求第一章函数教学目的和基本要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示法.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念.5.会建立简单应用问题中的函数关系式.教学内容：函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性反函数、复合函数、隐函数、分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数第二章极限与连续教学目的和基本要求：1.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念.2.了解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小的比较方法.了解无穷大的概念及其与无穷小的关系.3.了解极限的性质与极限存在的两个准则.掌握极限的性质及四则运算法则，会应用两个重要极限.4.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续）.5.了解连续函数的性质和初等函数的连续性. 了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理和介值定理）及其简单应用.教学内容：数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小和无穷大的概念及关系无穷小的基本性质及阶的比较极限四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限函数连续与间断的概念初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质第三章导数与微分教学目的和基本要求：1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）.2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.教学内容：导数的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则第四章中值定理及导数的应用教学目的和基本要求：1.理解罗尔（Rolle）定理、拉格朗日( Lagrange)中值定理、柯西（Cauchy)中值定理的条件和结论，掌握这三个定理的简单应用.2.会用洛必达法则求极限.3.掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握极值、最大值和最小值的求法（含解较简单的应用题）.4.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会求函数图形的渐近线.5.掌握函数作图的基本步骤和方法，会作某些简单函数的图形.教学内容：微分中值定理及其应用洛必达（L'Hospital）法则函数单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点、浙近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值第五章不定积分教学目的和基本要求：1，理解原函数与不定积分的概念.2，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式.3，掌握计算不定积分的换元积分法和分部积分法.教学内容：原函数与不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式不定积分的换元积分法和分部积分法第六章定积分教学目的和基本要求：1.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法.了解变上限定积分定义的函数并会求它的导数.2.会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题.3.了解广义积分的概念，会计算广义积分，了解广义积分的收敛与发散的条件.教学内容：定积分的概念和基本性质定积分中值定理变上限定积分定义的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式定积分的换元积分法和分部积分法广义积分的概念和计算定积分的应用第七章无穷级数教学目的和基本要求：1.了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念.2.掌握级数的基本性质和级数收敛的必要条件.掌握几何级数及p级数的收敛与发散的条件.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法.3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及它们之间的关系.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域.5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数.6.掌握特殊函数幂级数的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展成幂级数.教学内容：常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与p级数以及它们的收敛性正项级数收敛性的判别任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式第八章多元函数微积分教学目的和基本要求：1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的直观意义，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,掌握求多元复合函数偏导数和全微分的方法,会用隐函数的求导法则.4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件。
经济数学基础教学导案
备课教案备课教案备课教案备课教案备课教案备课教案举例说明：x →1时，函数无限接近于多少？ 观察：当：x →1时，f(x)=x+1，无限接近2当：x →1时，g(x)=112--x x ，无限接近2f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义 1 如果当x → x 0时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A , 则称A 为函数)(x f 当 x → x 0时的极限,记作0lim x x →f(x)=A 或 A x f →)((当 x →x 0时).此时也称)(lim 0x f x x →存在。
如果当x → x 0时, 函数)(x f 不趋近于任何一个确定的常数,则称)(lim 0x f x x →不存在。
如 ： 2)1(lim 1=+→x x ，又如1lim →x 112--x x = 2注意 ： f(x)=112--x x 在处无定义, 但当时,函数f(x)=112--x x 无限趋近于一个确定的常数2,所以1lim →x 112--x x =2。
结论：函数)(x f 当 x → x 0时的极限是否存在，与)(x f 在点0x 处是否有定义无关.如上举例f(x)=112--x x 在处无定义, 但 1lim →x 112--x x = 2.定义2 右极限 当x →x 0+，有A x f x x =+→)(lim 0定义3 左极限 当x →x 0-，有A x f x x =-→)(lim 0函数的左极限和右极限统称为函数的单侧极限。
定理1 [极限存在的充分必要条件]函数 )(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是，)(x f 当0x x →时的左右极限都存在并且相等.即 ⇔=→A x f x x )(lim 0=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0注：求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。
例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限，逆命题也成立。
经济数学教案设计(基础课版)
教案（2013/2014学年第 1 学期）系部：基础公共课程部教研室：数学教研组教师姓名：课程名称：经济数学课程类型：公共基础课学分： 2专业班级：普专商务13-1、普专会计13-7 计划课时： 28学习课题经济中常用的函数包含章节第一章第一节授课地点普通教室教学方法讲授法课时 2学习目标1.理解函数的概念；2.掌握函数的五种基本性质；3.理解反函数，基本初等函数，复合函数，初等函数的概念。
学习重点及难点重点：函数的概念，会求函数的定义域。
难点：函数的概念，定义域的求法。
学生学习基础高中起点，有较好的基础，和自主学习的能力。
教学资源教材参考资料知识点：第一节：函数与初等函数一、函数与反函数：1函数的定义2函数的两个要素3函数的记号4函数的表示法二、函数的几种特性：1有界性2单调性3奇偶性4周期性三、反函数四，复合函数五．初等函数，几种基本的初等函数教学设计、组织实施、时间安排：首先介绍什么是高等数学？ 5分钟如何学习高等数学？1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.初等数学---研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学---研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.笛卡儿 (1596～1650)法国哲学家, 数学家, 物理学家,他是解析几何奠基人之一 .1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 把几何问题化成代数问题 ,给出了几何问题的统一作图法,从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.2. 学数学最好的方式是做数学.第一节：函数的概念一、回忆复习有关对应的知识，（师生共同完成） 20分钟1.介绍函数的概念；2、函数的两个要素（1）对应规律（2）定义域,讲解例题P23、函数的记号4、函数的表示法讲解例题P3二、函数的几种特性 40分钟讲解例题P4三、反函数概念的讲解 10分钟四、作业评讲与布置 5分钟教学反思学习课题 初等函数 包含章节 第一章，第一节 授课地点普通教室教学方法讲授法课时2学习目标1、理解分段函数，基本初等函数的概念；2、掌握复合函数的概念；3、掌握初等函数的概念，能分析复合函数的复合结构。
经济数学基础下教案
经济数学基础下教案教案标题：经济数学基础下教案教学目标：1. 理解经济学中的数学概念和方法，为学生在经济领域的学习和研究奠定基础。
2. 培养学生解决经济问题的数学思维和分析能力。
3. 培养学生运用数学工具解决经济实际问题的能力。
教学内容：1. 经济学中的数学概念和方法介绍：a. 数学模型在经济学中的应用b. 利润、成本、收入等经济指标的数学表达c. 经济曲线的数学表达和分析d. 经济方程的建立和求解e. 经济学中的最优化问题及其数学求解方法2. 数学工具在经济学中的应用：a. 微积分在经济学中的应用b. 线性代数在经济学中的应用c. 概率论与统计学在经济学中的应用教学步骤：第一课：经济学中的数学概念和方法介绍1. 引入经济学中的数学概念和方法的重要性和应用价值。
2. 介绍数学模型在经济学中的应用，并举例说明。
3. 解释利润、成本、收入等经济指标的数学表达，并进行实际案例分析。
4. 分析经济曲线的数学表达和分析方法，并进行实例演练。
5. 讲解经济方程的建立和求解方法，并进行实例讲解。
第二课：数学工具在经济学中的应用1. 介绍微积分在经济学中的应用，并讲解相关概念和方法。
2. 讲解线性代数在经济学中的应用，并进行实例演练。
3. 介绍概率论与统计学在经济学中的应用，并进行实际案例分析。
第三课：经济学中的最优化问题及其数学求解方法1. 引入经济学中的最优化问题的概念和意义。
2. 讲解最优化问题的数学建模方法，并进行实例分析。
3. 介绍最优化问题的数学求解方法，如微积分中的极值求解方法等。
教学评估：1. 课堂小测，检验学生对经济数学基础概念的理解。
2. 经济案例分析作业，要求学生运用所学数学工具解决实际经济问题。
3. 期末考试，综合考察学生对经济数学基础知识和应用能力的掌握情况。
教学资源：1. 经济学教材和参考书籍2. 数学教材和参考书籍3. 经济案例和实例分析材料4. 多媒体教学工具教学反思：根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和教学方法，确保学生能够理解和掌握经济数学基础知识，并能够运用数学工具解决实际经济问题。
经济数学基础教案设计
实用文档备课教案备课教案例如：0x yxy e+-=有的隐函数可以转化成显函数，由隐函数转化成显函数的过程叫做隐函数的显化。
二、函数的几种特性： 1、函数的有界性设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使对任一x ∈X , 有f (x )≤K 1, 则称函数f (x )在X 上有上界, 而称K 1为函数f (x )在X 上的一个上界. 图形特点是y =f (x )的图形在直线y =K 1的下方.如果存在数K 2, 使对任一x ∈X , 有f (x )≥ K 2, 则称函数f (x )在X 上有下界, 而称K 2为函数f (x )在X 上的一个下界. 图形特点是, 函数y =f (x )的图形在直线y =K 2的上方.如果存在正数M , 使对任一x ∈X , 有| f (x ) |≤M , 则称函数f (x )在X 上有界; 如果这样的M 不存在, 则称函数f (x )在X 上无界. 图形特点是, 函数y =f (x )的图形在直线y = -M 和y = M 的之间.函数f (x )无界, 就是说对任何M , 总存在x 1∈X , 使| f (x ) | > M . 例如(1)f (x )=sin x 在(-∞, +∞)上是有界的: |sin x |≤1.(2)函数xx f 1)(=在开区间(0, 1)是无上界的. 或者说它在(0, 1)有下界, 无上界.这是因为, 对于任一M >1, 总有x 1:1101<<<Mx , 使M x x f >=111)(,所以函数无上界.函数xx f 1)(=在(1, 2)是有界的.2、函数的单调性 设函数y = f (x )的定义域为D , 区间I ⊂D . 如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2, 当x 1<x 2时, 恒有f (x 1)< f (x 2), 则称函数f (x )在区间I 上是单调增加的.如果对于区间I 上任意两点x 1及x 2, 当x 1<x 2时, 恒有 f (x 1)> f (x 2), 则称函数f (x )在区间I 上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例:函数y = x 2在区间(-∞, 0]上是单调增加的, 在区间[0, +∞)上是单调减少的, 在（-∞, +∞）上不是单调的. 3、函数的奇偶性设函数f (x )的定义域D 关于原点对称(即若x ∈D , 则-x ∈D ). 如果对于任一x ∈D , 有f (-x ) = f (x ), 则称f (x )为偶函数. 如果对于任一x ∈D , 有f (-x ) = -f (x ), 则称f (x )为奇函数.备课教案备课教案备课教案备课教案规定：01 x 从x 0的左右两侧无限接近于x 0,记x →x 002 x 从x 0的左两侧无限接近于x 0,记x →x 0-03 x 从x 0的右两侧无限接近于x 0,记x →x 0+04 x 无限增大时，用记号x →+∞05 x 无限减小时，用记号x →—∞ 06 x 无限增大时，用记号x →∞（2）点x 的δ邻域N(x ，δ)=(x —δ，x+δ)，其中很小的正数，X 的去心δ邻域N(xˆ，δ)=),(),(0000δδ+-x x x x Y . 1、 x →x 0时函数的极限举例说明：x →1时，函数无限接近于多少？观察：当：x →1时，f(x)=x+1，无限接近2当：x →1时，g(x)=112--x x ，无限接近2f(x)在x=1有定义，g(x)在x=1处无定义定义 1 如果当x → x 0时,函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A , 则称A 为函数)(x f 当 x → x 0时的极限,记作0lim x x →f(x)=A 或 A x f →)((当 x →x 0时).此时也称)(lim 0x f x x →存在。
《经济数学基础》课件
欢迎来到《经济数学基础》PPT课件！这个课程将帮助您回顾数学基础，深入 了解微积分、线性代数和概率论的基本概念以及它们在经济学中的应用。准 备好迎接数学的魅力了吗？让我们开始吧！
课程介绍
在本节中，我们将介绍《经济数学基础》课程的目标和大纲，并讨论学习数 学在经济学中的重要性。
数学基础回顾
1
代数与方程
通过回顾代数和方程的基本概念，我们将建立数学思维的基础。
2
几何与图形
了解几何和图形的基本原理，为后续的微积分和线性代数打下坚实的基础。
3
函数与图像
研究函数的性质和图像，掌握函数在经济学建模中的应用。
微积分基础
1 极限与连续
学习极限和连续的概念， 理解微积分的基本原理。
2 导数与微分
概率论基础
随机变量与概率分布
学习随机变量和概率分布的基本概念，掌握它 们在经济学中的应用。
假设检验与置信区间
应用假设检验和置信区间解释经济学中的统计 结果。
期望值与方差
了解期望值和方差的含义，并学习如何计算和 解释它们。
应用案例分析
通过实际经济应用案例，将概率论与经济学联 系起来。
经济应用举例
经济数据分析
通过图表和数据分析，探索经济 学中的数学方法。
金融市场建模
应用数学建模技巧解决金融市场 中的实际问题。
优化问题求解
利用数学优化方法解决经济学中 的优化问题。
课程总结
我们回顾了数学基础，学习了微积分、线性代数和概率论的基本概念，并将 它们应用于经济学中。希望这门课程对您的学习和职业发展有所帮助！
掌握导数和微分的定义， 并学习如何应用它们解决 经济学问题。
3 积分与面积
《经济数学基础》 teaching_01_01
1.1 函 数1.1.1 函数的概念一类量在考察的过程中不发生变化，只取一个固定的值，我们把它称作常量；另一类量在所考察的过程中是变化的，可以取不同数值，我们把它称作变量．常量习惯用字母d c b a ,,,等表示；变量习惯用w v u z y x ,,,,,等表示． 2.函数的概念及表示法定义1.1 设x 和y 是两个变量，若当变量x 在非空数集D 内任取一数值时，变量y 依照某一规则f 总有一个确定的数值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作)(x f y =．这里，x 称为自变量，y 称为因变量或函数．f 是函数符号，它表示y 与x 的对应规则．有时函数符号也可以用其他字母来表示，如)(x g y =或)(x y ϕ=等．集合D 称为函数的定义城，相应的y 值的集合则称为函数的值域． 当自变量x 在其定义域内取定某确定值0x 时，因变量y 按照所给函数关系)(x f y =求出的对应值0y 叫做当0x x =时的函数值，记作0xx y|=或)0(x f ．例1 已知x x x f +-=11)(， 求：)0(f ，)21(f ，)(x f -，)1(xf ，)1(+x f ，)2(x f ．解 10101)0(=+-=f ，31211211)21(=+-=f ， x x x x x f -+=-+--=-11)(1)(1)(，111111)1(+-=+-=x x xx x f ， xx x x x f +-=+++-=+2)1(1)1(1)1(，22211)(x x x f +-=．例2 求下列函数的定义域．(1) xx x f 253)(2+=；(2) 29)(x x f -=； (3) )34lg()(-=x x f ； (4) )12arcsin()(-=x x f ；(5) )12arcsin()34lg()(---=x x x f .解 (1)在分式x x 2532+中，分母不能为零，所以0252≠+x x ，解得52-≠x ，且0≠x ，即定义域为),0()0,52()52,(+∞---∞ ．(2)在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有092≥-x ，解得33≤≤-x ，即定义城为]3,3[-．(3)在对数式中，真数必须大于零，所以有034>-x ，解得43>x ，即定义域为),43(+∞．(4)反正弦或反余弦中的式子的绝对值必须小于等于1，所以有1121≤-≤-x ，解10≤≤x ，即定义域为]1,0[．(5)该函数为(3)，(4)两例中函数的代数和，此时函数的定义域应为(3)，(4)两例中定义域的交集，即]1,43(]1,0[),43(=+∞ ．函数表示法有解析法(又称公式法)、表格法和图形法． (1) 23x y -=这是一个用解析式子表示的函数．(2)某商店一年中各月份毛线的销售量(单位:102kg)的关系如表所示．这是用表格表示的函数．(3)下图是气象站用自动温度记录仪记录下来的某地一昼夜气温变化曲线．这是用图形表示的函数．例 某市电话局规定市话收费标准为：当月所打电话次数不超过30次时，只收月租费25元，超过30次的，每次加收．则电话费y 和用户当月所打电话次数x 的关系可用下面的形式给出：象这样把定义域分成若干部分，函数关系由不同的式子分段表达的函数称为分段函数．绝对值函数可以表示成例3 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,30,2,0,1)(2x x x x x x f yO C/︒2-1.144812162024x⎩⎨⎧>+≤=.30,23.025,30,25x x x y ⎩⎨⎧<-≥==.0,,0,||x x x x x y例4 设函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<≤-=.3,15,31,1,14,sin )(x x x x x x f求)(π-f ，)1(f ，)5.3(f 及函数的定义域． 解 因为)1,4[-∈-π，所以0)sin()(=-=-ππf ； 因为)3,1[1∈， 所以1)1(=f ； 因为),3[5.3+∞∈，所以5.161)5.3(5)5.3(=-⨯=f ； 函数)(x f 的定义域为),4[+∞-.例5 用分段函数表示函数|2|3x y --=，并画出图形．解 根据绝对值定义可知，当2≤x 时，x x -=-2|2|；当2>x 时，2|2|-=-x x ．于是有即⎩⎨⎧>-≤+=.2,5,2,1x x x x y⎩⎨⎧>--≤--=,2),2(3,2),2(3x x x x y1.1.2 函数的几种特性1.函数的有界性定义1.2 设函数)(x f y =在集合D 上有定义，如果存在一个正数M ，对于所有的D x ∈，恒有M x f ≤|)(|，则称函数)(x f 在D 上是有界的．如果不存在这样的正数M ，则称)(x f 在D 上是无界的．函数)(x f y =在区间),(b a 内有界的几何意义是：曲线)(x f y =在区间),(b a 内被限制在M y =和M y -=两条直线之间．2.函数的奇偶性定义1.3 设函数)(x f y =在集合D 上有定义，如果对任意的D x ∈，恒有)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数；如果对任意的D x ∈，恒有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数．由定义可知，对任意的D x ∈,必有D x ∈-，否则，)(x f -没有意义.因此函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的．偶函数的图象是对称于y 轴的．oyx)(x f y =奇函数的图象是对称于原点的.例6 判断下列函数的奇偶性： (1) 753)(24+-=x x x f ； (2) x x x f sin 2)(2+=； (3) ()1,0)(21)(≠>-=-a a a a x f x x．解 (1)因为7)(5)(3)(24+---=-x x x f)(75324x f x x =+-=所以753)(24+-=x x x f 是偶函数． 解(2)因为)(sin 2)sin()(2)(22x f x x x x x f ≠-=-+-=-， 同样可以得到)()(x f x f -≠-，所以x x x f sin 2)(2+=既非奇函数，也非偶函数． 解(3)因为)(x f -)(21)(x x a a ----=)(21x x a a --= )(21x x a a --=-)(x f -=所以)(21)(x xa a x f -=-是奇函数． 3.函数的单调性定义 设函数)(x f y =在区间),(b a 内有定义，如果对于),(b a 内的任意两点1x 和2x ,当21x x <时，有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在),(b a 内是单调增加的；如果对于),(b a 内的任意两点1x 和2x ，当21x x <时，有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在),(b a 内是单调减少的.单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数．单调增加的函数的图象是沿x 轴正向逐渐上升的；单调减少的函数的图象是沿x 轴正向逐渐下降的． 例7 验证函数23-=x y 在区间),(+∞-∞内是单调增加的．证 在区间),(+∞-∞内任取两点21x x <于是0)(3)23()23()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ，即)()(21x f x f <，所以23-=x y 在区间),(+∞-∞内是单调增加的． 4.函数的周期性定义1.5 对于函数)(x f y =，如果存在正数a ，使)()(a x f x f +=恒成立，则称此函数为周期函数．满足这个等式的最小正数a 称为函数的周期．1.1.3 反函数定义 设)(x f y =是x 的函数，其值域为R ，如果对于R 中的每一个y 值，都有一个确定的且满足)(x f y =的x 值与之对应，则得到一个定义在R 上的以y 为自变量，x 为因变量的新函数，我们称它为)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -=．并称)(x f y =为直接函数．通常把)(1y f x -=改写为)(1x f y -=．求反函数的过程可以分为两步：第一步从)(x f y =解出)(1y f x -=；第二步交换字母x 和y ．例8 求14-=x y 的反函数． 解 由14-=x y 得到41+=y x ，然后交换x 和y ，得41+=x y ．即41+=x y 是14-=x y 的反函数．函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称．例8中的一对反函数的图象如图所示．1.1.4 基本初等函数c y =它的定义域是),(+∞-∞，它的图象是过点),0(c 平行于是x 轴的一条直线．它是偶函数．αx y =(α为实数)我们只讨论0≥x 的情形.当0>α时，函数的图象通过原点)0,0(和点)1,1(在),0(+∞内单调增加且无界.当0<α，图象不过原点，但仍通过点)1,1(，在),0(+∞内单调减少、无界，曲线以x 轴和y 轴为渐进线．ycy =cOxay x)1a=a,0(≠>它的定义域是)-∞，它的图象全部在x轴上方，且通过点)1,0(．(+∞,当1a时，函数单调增加且无界，曲线以x轴负半轴为渐近线；>当1<a时，函数单调减少且无界，x以轴正半轴为渐近线，0<ax=ay,0>()1log≠a它的定义域是)-∞．无论a取何(+∞,0(+∞，图象全部在y轴右方，值域是),值，曲线都通过点)0,1(．当1a时，函数单调增加且无界，曲线以y轴负半轴为渐近线；>当1<a时，函数单调减少且无界，曲线以y轴正半轴为渐近线．0<对数函数x y a log =和指数函数x a y =互为反函数，它们的图象关于x y =对称．以无理数8281718.2e =…为底的对数函数x y e log =叫做自然对函数，简记作x y ln =三角函数的自变量x 采用弧度制，π弧度︒=180函数x y sin =的定义域为),(+∞-∞，值域]1,1[-，奇函数，以π2为周期，有界.函数x y cos =的定义域为),(+∞-∞，值域为，]1,1[-偶函数，以π2为周期，有界.函数x y tan =的定义域为)2,1,0(2⋅⋅⋅±±=+≠k k x ππ，值域为),(+∞-∞，奇函数，以π为周期，在每一个连续区间内单调增加，以直线),2,1,0(2⋅⋅⋅±±=+=k k x ππ为渐近线．函数x y cot =的定义域为,1,0(±=≠k k x π)2⋅⋅⋅±，值域为),(+∞-∞，奇函数，以π为周期，在每一个连续区间内单调减少，以直线x ),2,1,0(⋅⋅⋅±±==k k π为渐近线． 6.反三角函数x y arcsin =，定义域是]1,1[-,值域]2,2[ππ-,是单调增加的奇函数，有界.6.反三角函数x y arccos =，定义域是[]1,1-,值域[]π,0, 是单调减少函数，有界.6.反三角函数x y arctan =，定义域是),(+∞-∞,值域)2,2(ππ-,是单调增加的奇函数，有界.6.反三角函数x y cot arc =，定义域是()+∞∞-,,值域),0(π,是单调减少的函数，有界.1.1.5 复合函数与初等函数1.复合函数定义1.7 设y 是u 的函数)(u f y =，u 是x 的函数)(x u ϕ=．如果)(x u ϕ=的值域或其部分包含在)(u f y =的定义域中，则y 通过中间变量u 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作)]([x f y ϕ=，其中，x 是自变量，u 称作中间变量．不是任何两个函数都可以构成一个复合函数，例如u y ln =和12+-=xx u 就不能构成复合函数，因为12+-=xx u 的值域是0<u ，而u y ln =的定义域是0>u ，前者函数的值域完全没有被包含在后者函数的定义域中．复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量． 例9 已知u y =，523+=x u 将y 表示成x 的函数． 解 将523+=x u 代入u y =，可得523+=x y ．例10 已知u y ln =，24v u -=，x v cos =，将y 表示成x 的函数． 解)cos 4ln()4ln(22x v y -=-=．例11 指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的． (1) )4sin(3+=x y ； (2) xy 1cot 5=．解 (1)设43+=x u 则)4sin(3+=x y 由u y sin =，43+=x u 复合而成．(2)设x u 1cot =，则u y 5=；设xv 1=，则v u cot =，所以，x y 1cot 5=可以看成是由u y 5=，v u cot =，xv 1=三个函数复合而成的．由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合而成的函数叫做初等函数， 一般来说，初等函数都可以用一个解析式子表示．例如x x y sin 1sin 1arctan -+=，53cos ln x y =，3arccot e xy =，xx x x y x sec )13(log 53232--++=都是初等函数．⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=++++=,0,1,0,0,0,1,132x x x y x x x y都不是初等函数．。
经济数学基础教学大纲
经济数学基础教学大纲第一编一元函数微分学一、基础知识(一)教学内容1.预备知识数系、绝对值。
一次方程、二次方程。
数轴与直角坐标系。
直线方程。
一次、二次不等式及图示法。
2.集合与区间3.函数常量与变量，函数概念，复合函数，初等函数，分段函数。
4.幂函数、多项式函数一次、二次函数(二次曲线)，幂函数，多项式函数，有理函数。
5.指数函数和对数函数指数与对数运算法则，指数函数，对数函数，以e为底的指数，自然对数函数。
6.三角函数正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数。
7.经济函数举例需求、成本、平均成本、收入、利润函数等。
重点：函数概念(二)教学要求1.明白得常量、变量以及函数概念，了解初等函数和分段函数的概念。
熟练把握求函数的定义域、函数值的方法，把握将复合函数分解成较简单函数的方法。
2.了解幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的差不多特点和简单性质。
(三)教学建议1.这部分内容的数学知识多为中学学习过的知识，课上要少讲多练，专门是指数函数和对数函数。
2.变量和函数关系应重点讲授。
通过几何图形讲解函数的性质。
3.通过讲解经济实例，认识经济分析如何应用函数关系。
二、微分学(一)教学内容1.极限极限的定义，极限的四则运算，无穷小量与无穷大量，两个重要极限。
2.连续函数连续函数的定义和四则运算，间断点。
3.导数导数和微分定义。
导数的几何意义，可导与连续的关系。
4.求导法则导数的四则运算法则，复合函数求导法则，导数公式、微分公式，隐函数求导数举例。
5.高阶导数二阶导数的概念及简单运算。
6.导数应用(1)函数单调性判别，函数极值及判定，函数最大、最小值及求法。
(2)导数在几何中的应用；(3)导数在经济中的应用〔边际分析，需求弹性，平均成本最小，收入、利润最大〕。
*7.二元函数偏导数二元函数概念，一阶偏导数，偏导数在经济中的应用(边际成本、边际需求，边际生产率等)。
重点：导数概念和导数的运算难点：导数的应用(二)教学要求1.了解极限、无穷小（大）量的有关概念，把握求极限的常用方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 [教学目标] 理解常量、变量以及函数概念，了解初等函数和分段函数的概念。熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法，掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。了解幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基本特征和简单性质。了解极限、无穷小（大）量的有关概念，掌握求极限的常用方法。了解函数连续性概念，会求函数的间断点。理解导数概念，会求曲线的切线方程，熟练掌握导数基本公式和求导数的常用方法，会求简单的隐函数的导数。知道微分概念，会求微分。会求二阶导数。 [重难点]函数概念、导数概念和导数的计算 [教学内容] 第一编 微分学 第1章 函数 一、试着回答下列问题： 问题1：在某过程中由两个变量，其中一个量x变，另一个量y也变，那么变量y是变量x的函数，此话对吗？ 问题2：一个函数可以由哪些要素唯一确定？ 问题3：函数的定义域、对应关系和值域中的任意两个因素，是否可将函数唯一确定呢？ 问题4：如果y是x的函数y=f(x)，是否y与x之间的关系只能用一个解析式子表示？ 答：问题1：不对。根据函数定义，变量x变，变量y也变，并没有说明y是如何随x的变化而变化，也没有说明每给x一个值，就有唯一的y值与之对应，因此还不能说y是x的函数。 问题2：任一函数，都可由其定义域D和对应关系f这两个要素确定。有的教材讲，确定函数有三个要素：定义域、对应关系和值域，实际上，只要定义域和对应关系确定了，值域也就随之确定了。 问题3：不一定。例如y=sinx与y=cosx，它们的定义域相同，值域也相同，但对应关系不同，它们不是同一个函数。 问题4：不一定。表示函数的方法有：公式法、图示法和列表法。即使对于公式法，也不一定必须用一个解析式表示，如分段函数：
包含了两个式子，但分段函数仍是一个函数。 二、主要内容归纳： （一）、函数概念 1、 常量与变量——在所研究的问题中，保持同一确定数值的量，称为常量。而能取不同数值的量，称为变量。 注意：常量与变量是相对的，条件改变时，可以相互转化。 2、函数定义： y=f(x) 其中x叫做自变量，y叫做因变量，x的变域D称为函数的定义域。用图示说明如下：
Y D （ y的变化范围） （x的变化范围） 函数的实质是两个变量（x与y）及其对应规则f( ) （二）、初等函数
4x2 ,921 ,1222xxx
y
x ) f(法则一一对应 2
微积分研究的对象主要是初等函数，但初等函数是由基本初等函数构成的。 1、 基本初等函数 常数函数 y=C (C是常数) 幂函数 y=xa （a为实数） 指数函数 y=ax (a>0,a≠1) 对数函数 y=log ax (a>0,a≠1) 三角函数 y=sinx , y=cosx y=tanx , y=ctgx 2、 复合函数 y=f(u),u=φ(x)且u=φ(x)的值域是y=f(u)的定义域的子集，则y是x的复合函数： y=f[φ(x)]. 其各量的关系图示如下：
3、 初等函数 初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的函数。 注意：要掌握好将一个初等函数分解成较简单函数，其步骤是自外层向内层逐层分解，切忌漏层。 4、 常见函数的定义域的基本求法 求一元函数y=f(x)的定义域D，即是求使函数有意义的自变量x的变化范围。 常见解析式的定义域求法有： （1）、分母不能为零； （2）、偶次根号下非负； （3）、对数式中的真数恒为正； （4）、分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集。 5、 对应规则f( ) 从以上分析，对应规则f( )往往表现为各种运算，已知f( ) 求f( a)，只须用a取代x，代入对应规则运算即成。但应注意分段函数不同区间有不同的对应规则。 （三）、函数的奇、偶性 判断函数y=f(x)的奇、偶性常见有以下方法： （1）、定义法：即在对称区间上若满足f(-x)=f(x) ，则y=f(x)为偶函数，若满足f(-x) = -f(x) ，则y=f(x)为奇函数，否则y=f(x)为非奇非偶函数。
(x)u y u )f(u y (x)]f[yuxu
x则：y
y 3
（2）、符合法：记偶为②，记奇为①，则有： ②×②＝②，②÷②＝② ①×①＝②，①÷①＝② ②×①＝①，②÷①＝① 即“同号”相乘除为②，“异号” 相乘除为①。
记住这些常见函数的奇、偶性，用符合法可以判断很多函数的奇、偶性。 （3）、图象法： 奇函数关于原点对称 偶函数关于y轴对称
图象法即利用奇函数关于原点对称、偶函数关于y轴对称来判断函数的奇、偶性。 （四）、经济中常用的函数 1、需求函数：qd =q(p), qd——需求量，p——价格 2、供给函数：qs=q(p), qs——需求量，p——价格 3、总成本函数：C(x)=C1+C2(x), q——产量 C1为固定成本，C2(x)为变动成本
4、收入函数：R(q)=q.p(q), q——销售量，p——价格 6、 利润函数：L（q）=R(q) －C(q) 三、重点、难点： 重点：1、函数y=f(x)的两要素；
2、 函数的奇偶性； 3、 基本初等函数； 4、 经济中常用的函数。 难点：经济中常用的函数。 四、实例分析： 例1、 求下列函数定义域
（1）、分析：应同时要求分母≠0，偶次根号下非负，于是
为奇函数。为偶函数；注意：如 tan,sin,1,,, cos,, 332xyxyxyxyxyxyxyxyaxyyxoyxo
qqCqC)(）（平均成本函数：
qqRqR)(）（平均收入函数：
qqLqL)(）（平均利润函数：
)2lg(1)()2( 141)()1(2xxxfxxxf、、 4
解：要使函数有意义，必须使： （2）、分析：要求分母≠0且对数真数>0、偶次根号下非负，于是 解：要使函数有意义，必须使：
对照练习1、求下列函数定义域： 例2、求分段函数的定义域： 分析：分段函数的定义域应是各段定义域的并集
对照练习2、求分段函数的定义域： 例3、 函数f(x)的定义域是[1，2]，求函数f(x+1)的定义域。 分析：已知f(x)的定义域为[1，2]， ∴ 有f(x+1)的定义域要求1≤x+1≤2, 即0≤x≤1, 即f(x+1)的定义域为D=[0，1] 对照练习3、函数f(x)的定义域是[2，3]，求函数f(x+1)的定义域。
例4、 设g（t）=t3－6,求g（t2）, [g（t）]2 分析：函数关系为g( )=( )3－6，（1）用t2代t，即求出g（t2）；（2）求[g（t）]2即是求该函数的平方。 解：g（t2）＝(t2 )3－6＝t6－6
,22,1 1214010422Dxxxxxx定义域
,1 12112211lg)2lg(210)2lg(0201Dxxxxxxxxxxxx定义域
)4ln()()2( 291)()1(2xxfxxxf、、
53 , )1ln(3 , 9)(2xxxx
xf
5,35,33,3 5,3 3,33332121DDDDDxx定义域
解：由
10 , 81 , 1 )(2xxxe
xfx 5
[g（t）]2=（ t3－6）2 对照练习4、设f(x)= x2+5,求f(1/x)，f[f(x)]
求f(0) ，f(2) ，f(4) 分析：求分段函数的函数值应将自白变量的取值代入所在区间对应的表达式中。 解：f(0)= 02+1=1 f(2) 无意义 （2不在f(x)的定义域内） f(4)=9－42=－7 对照练习5、在上例中，求f(1) ，f(5) 例6、下列函数对中，（ ）表示相同函数
分析：两个函数相同是当且仅当其定义域和对应规则分别相同。 解：选择A，因为f(x)与g(x)的定义域均为（-∞，+∞），对应规则也相同（∵sin2x+cos2x=1） 对照练习6、下列函数对中，（ ）表示相同函数
例7、找出下列函数的奇函数
对照练习7、找出下列函数的偶函数
42 , 9 21- , 1 )(522xxxx
xf、设例
111ln2ln)())()sin(cos)(22222xyxxuDxyxyCttxxBxxgxxxxfA，、，、，（、，、
23222ln2ln)()cos)(sin1)(xyxxuDxyxyCttxxBxxgxxfA，、，、，（、，、
1)a0(a sin)1010(21 cos22且、、、、xxxxayDxxyCyBxxyA D222为奇函数为偶函数为奇函数，解：选择为奇函数分析：由符号法可知：xxxxaaxxay