不等式及简易逻辑
高一数学知识点：不等式和简易逻辑_知识点总结
高一数学知识点：不等式和简易逻辑_知识点总结
(1)集合的分类
(2)集合的运算
①子集，真子集，非空子集;
②A∩B={x|x∈A且x∈B}
③A∈B={x|x∈A或x∈B}
④ A={x|x∈S且x A}，其中A S.
2、不等式的解法
(1)含有绝对值的不等式的解法
①|x|0) -a
|x|>a(a>0) x>a，或x ②|f(x)|
|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x) ③|f(x)| ④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：|x+3|-|2x-1|
3、简易逻辑知识
逻辑联结词“或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。
(2)复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示.
p 非p
真假
假真
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.
(3)四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的.
(4)充分、必要条件的判定
①若p q且q p，则p是q的充分不必要条件;
②若p q且q p，则p是q的必要不充分条件;
③若p q且q p，则p是q的充要条件;
④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.。
第一章 集合、不等式、简易逻辑
2.真子集 对于两个集合A与B，如果A B，并且B中至少 有一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集，记作 A是集合B的真子集，记作A B 或 B A.
例如, {1,2,3} {1,2,3,4,5};N Z 等,显然,空集是任何非 空集的真子集.
例如,(1)所有的直角三角形组成的集合可表示为:{直 角三角形};
(2)抛物 线 y x2 上的所有点 组成的集合 可表示 为 ：
{(x, y)| y x2}或{(x, y): y x2 }或{(x, y); y x2}。
(2)中的集合里，“|”或“：”或“；”的左边表示集合所含 元素的一般形式，右边表示集合中的元素所具有的特定性质。
解 (1)A B={1,2,4,5,9} {3,6,7,8,10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
(2)A B={1，2，4，5，9} {3，6，7，8，10}=；
(3) 因为 B C={3，6，7，8，10} {3，5，7}={3，7} 所以 A （B C）={1，2，4，5，9} {3，7}={1，2， 3，4，5，7，9}. 3.全集和补集 在研究集合与集合之间的关系时，我们所研
补集是相对全集而言的,同一个集合,由于所取的全集不同,它的 补集也不同.
(!牢记集合间的“交”、“并”、“补”运算定义以及各运算符号 的表示.A 的补集采用 A.)
例 如 , 设 ={1,2,3,4,5},A={1,3,5}, 则 A ={2,4}; 若
={1,3,5,7,9},则C
A
={7,9}.
例1 用列举法或描述法表示下列集合.
（1）大于 3 小于 17 的偶数；（2）不等式x2 40的整数解
2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业
集合、简易逻辑与不等式一、单选题1．“sin x ＝1”是 “cos x ＝0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：当时，由得即；当时，由，得，即，因此由不能得到，因此“ ”是“”的充分不必要条件，故答案为A ．考点：1、同角三角函数的基本关系；2、充分条件、必要条件的应用． 2．已知集合{}221xA x -=，}{13B x x =+<，则A B ⋂=（ ）A ．(),4-∞-B ．(),2-∞-C ．()4,2-D ．()2,2-【答案】C 【解析】分析：首先求得集合A 和集合B ，然后结合交集的定义求解交集即可求得最终结果. 详解：求解指数不等式221x ->可得：20,2x x ->∴<， 求解绝对值不等式13x +<可得：313,42x x -<+<∴-<<， 结合交集的定义可得：()4,2A B ⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义及其运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．已知集合{}2|0A x x x =->，{|B x x =<<，则（ ） A ．AB =∅ B ．A B R =C ．B A ⊆D ．A B ⊆【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合A ,再根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{2|0|01|A x x x x x x B x x =->=<>=<<或，A B R ∴⋃= ，选B 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合的并集运算，是基础题. 4．已知2x 3y 3.+=若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是( ) A ．53B ．83C ．8D ．24【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可得，()32132233x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开整理后利用基本不等式即可求解． 【详解】23 3.x y x +=，y 均为正数，则()321321942312833y x x y xy x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当94y x x y =且233x y +=即34x =，12y =时取等号， 32x y∴+的最小值是8． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．5．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则34z x y =-的最小值为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】B 【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求解目标函数的最小值.详解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 由34z x y =-，则344z y x =-， 结合图象可知，平移直线344z y x =-经过点B 时，直线344zy x =-的截距最大， 此时z 取得最小值， 由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)B ，所以目标函数的最小值为min 31411z =⨯-⨯=-，故选B.点睛：本题主要考查了利用线性规划求最小值问题，其中正确作出不等式组所表示的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想解答是求解的关键，着重考查了数形结合思想和推理、运算能力.6．已知集合- ( 是虚数单位)，若 ，则 ( ) A ．1 B ．－1C ．±1D ．0【答案】C 【解析】试题分析：因为 ，所以 中的元素为实数．所以 即 . 考点：1.集合的运算；2.复数的运算.7．“a ∥α，则a 平行于α内任一条直线”是( ) A ．真命题 B ．全称命题 C ．特称命题 D ．不含量词的命题【答案】B 【解析】 【分析】命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题【详解】当a α，则a 不一定与α内的所有直线平行，故该命题为假命题，排除A 又因为该命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题，排除C D ， 故选B 【点睛】本题主要考查了全称命题和特称命题的判断，掌握全称量词和特称量词是解答本题的关键，属于基础题。
二次型不等式方法总结
（1）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ）A.73 B.37 C.43 D.34（2）已知D 是由不等式组2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为（ ）A.4π B.2πC.34πD.32π（3）在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为（ ）A.-5B.1C.2D.3（4）y 2x 0x y 2y x 0x y 30-≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩若m 在区域内取得最大值的最优解有无穷个，则m 的值为（5）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为不等式应用1、设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .。
若将题目改成：设0,0>>y x ，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ，2x y +取值范围为____________.变式1、若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的取值范围是_____________.变式2、已知正数y x ,满足,14222=++y xy x 则y x 2+的取值范围为__________.变式11、已知实数y x ,满足,4441=++y x则y x 22+的最大值为＿＿＿＿＿．课后作业：2、若正数x ，y 满足3x+y=5xy ，则4x+3y 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5变式1：若,2ln 8ln 2ln ,0,0=+>>y x y x 则yx 311+的最小值为________变式2：已知a ＞0，b ＞0且a≠1，若函数y=log a x 过点（a+2b ，0），则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2变式3、设实数m ，n 满足m ＞0，n ＜0，且，则4m+n （ ）A ．有最小值9 B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1变式4、已知x ＞0，y ＞0，且x+8y ﹣xy=0．求：（∈）xy 的最小值； （∈）x+y 的最小值．变式5．设a ＞0，b ＞0．若4a+b=ab ，则a+b 的最小值是（ ）A ．1B ． 5C ． 7D ． 9变式6、已知a ＞0，b ＞0，且a+3b=ab ，则ab 的最小值为（ ）A ． 6B ． 12C ． 16D ．224、若b a ,为实数，满足522=+b a ，求b a 2+的最大值变式1：2522=+b a ，求b a ab 25++的最大值为_____________.变式2：已知,122=+b a 求)2)(1(++b a 的最大值。
不等式的运算法则及公式
不等式的运算法则及公式一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种关系式，用于表示两个数之间的大小关系。
不等式的基本形式为：a < b（表示a小于b）、a > b（表示a大于b）、a ≤ b（表示a小于等于b）、a ≥ b（表示a大于等于b）。
其中，符号“<”称为小于号，符号“>”称为大于号，符号“≤”称为小于等于号，符号“≥”称为大于等于号。
二、不等式的运算法则1. 加减法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：(1) 如果a < b，那么a + c < b + c；(2) 如果a > b，那么a + c > b + c；(3) 如果a ≤ b，那么a + c ≤ b + c；(4) 如果a ≥ b，那么a + c ≥ b + c；(5) 如果a < b，那么a - c < b - c；(6) 如果a > b，那么a - c > b - c；(7) 如果a ≤ b，那么a - c ≤ b - c；(8) 如果a ≥ b，那么a - c ≥ b - c。
2. 乘法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则：(1) 如果a < b，且c > 0，那么ac < bc；(2) 如果a < b，且c < 0，那么ac > bc；(3) 如果a > b，且c > 0，那么ac > bc；(4) 如果a > b，且c < 0，那么ac < bc；(5) 如果a ≤ b，且c > 0，那么ac ≤ bc；(6) 如果a ≤ b，且c < 0，那么ac ≥ bc；(7) 如果a ≥ b，且c > 0，那么ac ≥ bc；(8) 如果a ≥ b，且c < 0，那么ac ≤ bc。
3. 除法法则：对于任意实数a、b和c，有以下运算法则（其中c≠0）：(1) 如果a < b，且c > 0，那么a/c < b/c；(2) 如果a < b，且c < 0，那么a/c > b/c；(3) 如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c；(4) 如果a > b，且c < 0，那么a/c < b/c；(5) 如果a ≤ b，且c > 0，那么a/c ≤ b/c；(6) 如果a ≤ b，且c < 0，那么a/c ≥ b/c；(7) 如果a ≥ b，且c > 0，那么a/c ≥ b/c；(8) 如果a ≥ b，且c < 0，那么a/c ≤ b/c。
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理
集合,常用逻辑用语与不等式知识点整理一、逻辑用语1.假设2.推断3.因此4.由此可见5.举例说明6.反证法7.反推法8.只如果...才...9.除非...才...10.既然...就...11.与其...不如...12.既不是...也不是...二、不等式知识点1.不等式的定义不等式是数学中一个重要的概念，指的是两个表达式或数之间大小关系的一种表示方法。
不等式通常用符号<（小于）、>（大于）、≤（小于或等于）、≥（大于或等于）等来表示。
2.不等式的性质（1）两个相等数的和（或积）与它们的任一数的和（或积）相等。
即若a=b，则a+c=b+c，a×c=b×c。
（2）两个不等数的和（或积）与它们的任一数的和（或积）的大小关系与原不等式的大小关系相反。
即若a>b，则a+c>b+c，其中a,b,c都是实数。
（3）若a>b，则-a<-b；若a<b，则-a>-b。
（4）若a>0，b>0，则a>b与1/a<1/b之间存在着等价关系。
（5）若a>0，b>0，则a>b与1/a<1/b之间存在着等价关系。
（6）若a>0，则a²>0。
3.不等式的解法不等式的解法与方程式的解法有相似之处，但也有一些独特的地方。
解不等式问题时，需注意以下几个要点：（1）对不等式两边进行相同的变换；（2）如果要乘以负数，记得改变不等式的方向；（3）特殊要点：对分式不等式的解法有所不同，要先确定分母的正负性，并作出讨论。
文章在数学领域，逻辑推理和不等式是两个重要的知识点。
逻辑推理是数学中最基本的推理方法，通过假设、推断、举例等方式进行逻辑推理，以得出正确的结论。
而不等式是数学中表达数之间大小关系的一种重要形式，通过不等式可以描述数的大小关系。
下面我们将通过整理逻辑用语和不等式知识点，来探讨它们在数学中的应用和意义。
高中数学会考复习资料基本概念和公式
高中数学会考基础知识汇总 第一章 集合与简易逻辑：一．集合1、 集合的有关概念和运算（1）集合的特性：确定性、互异性和无序性；（2）元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；2、子集定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ3、真子集定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂；4、补集定义：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；5、交集与并集 交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或6、集合中元素的个数的计算： 若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是 。
二．简易逻辑：1．复合命题： 三种形式：p 或q 、p 且q 、非p ； 判断复合命题真假：2.真值表：p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真；非p ，真假相反。
3.四种命题及其关系：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若⌝p 则⌝q ； 逆否命题：若⌝q 则⌝p ； 互为逆否的两个命题是等价的。
原命题与它的逆否命题是等价命题。
4.充分条件与必要条件：若q p ⇒，则p 叫q 的充分条件； 若q p ⇐，则p 叫q 的必要条件； 若q p ⇔，则p 叫q 的充要条件；第二章 函数一． 函数1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。
2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R ；②分式：分母0≠，0次幂：底数0≠； ③偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=；④对数：真数0>，例：)11(log xy a -=4、求值域的一般方法：①图象观察法：||2.0x y =；②单调函数法： ]3,31[),13(log 2∈-=x x y ③二次函数配方法：)5,1[,42∈-=x x x y ， 222++-=x x y④“一次”分式反函数法：12+=x xy ；⑥换元法：x x y 21-+= 5、求函数解析式f （x ）的一般方法：①待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②配凑法：,1)1(22xx xx f +=-求f （x ）；③换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ） 6、函数的单调性：（1）定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。
高中数学精品例析：常见解不等式的解法
不等式的解法高考要求不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论一．解不等式中的简易逻辑思想例1 已知)0(012:2|311:|22>≤-+-≤--m m x x q x p ，；¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 30≤<m二、解不等式中的换元思想例2．解不等式11111261x x x +-≤≤+。
解集是[3，8] 三、解不等式中的数形结合思想例3．设a<0为常数，解不等式22a ax x a -+>。
解集是(34a,+∞) 四、解不等式中的函数方程思想例4 求a ，b 的值，使得关于x 的不等式a 2x +bx+2a -1≤0的解集分别是： (1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．五、解不等式中的分类类讨论思想解不等式2221011xx x x -+>++ x ＞33- 六、解不等式中的构造思想例6、解不等式 05110)1(833x ＞x x x --+++ －1＜x ＜2或x ＜－2 七、解不等式中的转化化归思想例7 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p-3恒成立，试求x 的取值范围.(-∞,-1)∪(3,＋∞)八、解不等式中的整体思想例8、已知f(x)=ax 2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的范围。
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不等式及简易逻辑
一、探索
1.绝对值不等式
问题：解下列不等式
①2a < ②24a < ③215a +<
思考：一般地ax b c +≤（或ax b c +≥）的解题模式。
2.一元一次不等式
问题：已知27y x =-（如何利用此式求得270,270,270x x x ->-<-=的取值）提示：列表，画图。
思考：一般地，如果直线y ax b =+与x 轴交点是()0,0x ，那么 ①0ax b +=的解为 ②当0a >时
0ax b +>的解集为 0ax b +<的解集为 ③当0a <时
0ax b +>的解集为 0ax b +<的解集为 3.一元二次不等式 ①问题：
由二次函数2
6y x x =--求得2
2
2
60,60,60x x x x x x -->--<--=的取值（参考一次函数）
思考：一般地，由抛物线2
y ax bx c =++与x 轴交点，可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集（提示与△有关）
20ax bx c ++> 20ax bx c ++< 20ax bx c ++=
②问题：()()410x x +-<的解法。
思考：
0x a
x b
+>+的解法思路及()()()()0x a x b x c x d ----<的解题思路？（a b c d >>>）
二、概念
1.逻辑联接词
2.命题
3.简单命题
4.复合命题及形式
5.逆命题
6.否命题
7.逆否命题 三、例题
1.填表（真值表）
2.建立原命题，否命题，逆命题，逆否命题间的关系。