高一数学期末复习-集合与简易逻辑复习2不等式.doc
高一数学知识点：不等式和简易逻辑_知识点总结
高一数学知识点：不等式和简易逻辑_知识点总结
(1)集合的分类
(2)集合的运算
①子集，真子集，非空子集;
②A∩B={x|x∈A且x∈B}
③A∈B={x|x∈A或x∈B}
④ A={x|x∈S且x A}，其中A S.
2、不等式的解法
(1)含有绝对值的不等式的解法
①|x|0) -a
|x|>a(a>0) x>a，或x ②|f(x)|
|f(x)|>g(x) f(x)>g(x)或f(x) ③|f(x)| ④对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式，利用“零点分段讨论法”去绝对值. 如解不等式：|x+3|-|2x-1|
3、简易逻辑知识
逻辑联结词“或”、“且”、“非”是判断简单合题与复合命题的依据;真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据，理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很大帮助;掌握好反证法证明问题的步骤。
(2)复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示.
p 非p
真假
假真
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示.
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示.
(3)四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的.
(4)充分、必要条件的判定
①若p q且q p，则p是q的充分不必要条件;
②若p q且q p，则p是q的必要不充分条件;
③若p q且q p，则p是q的充要条件;
④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件.。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
第1章集合、逻辑用语、不等式专练2-集合与简易逻辑用语(二)-2021届高三数学一轮复习
第一章专练2—集合与简易逻辑用语（二）一、单选题1．设集合A ＝{x |x 2﹣4≤0}，B ＝{x |2x +a ≤0}，且A ∩B ＝{x |﹣2≤x ≤1}，则a ＝（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．42．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＞x 2”的否定形式是（ ）A ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ≤x 2C ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ≤x 2D ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≤x 2 3．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，则对实数a ，b ，a ＞b 是f （a ）＞f （b ）的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列四个命题：p 1：任意x ∈R ，2x ＞0；p 2：存在x ∈R ，x 2+x +1＜0，p 3：任意x ∈R ，sin x ＜2x ；p 4：存在x ∈R ，cos x ＞x 2+x +1．其中的真命题是（ ）A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 3，p 4D ．p 1，p 4 5．已知函数f （x ）＝x +，g （x ）＝2x +a ，若∀x 1∈[，1]，∃x 2∈[2，3]，使得f （x 1）≥g（x 2），则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤1B ．a ≥1C ．a ≤2D ．a ≥2 6．设命题p ：函数21()lg()4f x ax x a =-+的定义域为R ；命题q ：不等式3x ﹣9x ＜a 对一切正实数均成立．如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[0，1]C．[0，+∞）D．（0，1）7．命题p：函数y＝log2（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y＝的值域为（0，1），下列命题是真命题的为（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q8．命题p：存在a∈R且a≠0，对于任意的x∈R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；命题q1：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；命题q2：f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，则下列说法正确的是（）A．只有q1是p的充分条件B．只有q2是p的充分条件C．q1，q2都是p的充分条件D．q1，q2都不是p的充分条件二、多选题9．已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（）A．p：m＜﹣2或m＞6；q：y＝x2+mx+m+3有两个不同的零点B．():1()f xpf x-=；q：y＝f（x）是偶函数C．p：A∩B＝A；A⊆U，B⊆U，∁U B⊆∁U AD．p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ10．下列四个条件中，p是q的充分条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2＝c为双曲线，q：ab＜0 C．p：a＞b，q：2a＞2bD．p：ax2+bx+c＞0，q：20c bax x-+>11．下列叙述中不正确的是（）A．若a≠0，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充要条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ac2＞bc2”的充要条件是“a＞b”C．“a＜0”是“方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根”的充分不必要条件D．“a＞1”是“＜1”的充分不必要条件12．给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（）A．集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合B．正整数集是闭集合C．集合M＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合D．若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合三、填空题13．设U为全集，A、B是U的子集，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝ϕ”的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）14．设,m n为非零向量，则“存在负数λ，使得m nλ=”是“0m n<”的条件．（从“充分不必要条件、必要不充分条件、充分条件、既不充分也不必要”中选填一个）15．集合A、B是实数R的子集，定义{|A B x x A-=∈，且}x B∉，*()()A B A B B A=--叫做集合的对称差，若集合2{|(1)1A y y x ==-+，03}x ，2{|1B y y x ==+，13}x ，则*A B = ．16．函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A ＝{y |y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]，0≤x ≤1}，则A 中元素个数是 个，所有元素的和为 ．四、解答题17．已知全集为R ，函数()log (2)f x x π=-的定义域为集合A ，集合2{|60}B x x x =--．（1）求A B ；（2）若{|1}C x m x m =-<，R C B ⊆，求实数m 的取值范围．18．已知集合{|42A y y x ==-，13}x -<<，{|3121}B x m x m =-<<+．（Ⅰ）若A B A =，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若{|}A B x a x b =<<且2b a -=，求实数m 的取值范围．19.（1）已知命题p ：a ≤x ≤a +1，命题q ：x 2﹣4x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，求a的取值范围；（2）已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 02+4x 0+a ＝0”若命题“p ∧q ”是真命题，求实数a 的取值范围．20．已知函数2()a f x x x=+，g （x ）＝﹣x ﹣ln （﹣x ）其中a ≠0， （1）若x ＝1是函数f （x ）的极值点，求实数a 的值及g （x ）的单调区间；（2）若对任意的x 1∈[1，2]，∃x 2∈[﹣3，﹣2]使得f （x 1）≥g （x 2）恒成立，且﹣2＜a ＜0，求实数a 的取值范围．集合与简易逻辑用语（二）答案1．解：集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤﹣a}，由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得﹣a＝1，则a＝﹣2．故选：B．2．解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2的否定∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2，故选：C．3．解：已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减．当a＞b＞0时，满足f（a）＞f（b）．故a＞b时，f（a）＞f（b）不成立．当f（a）＞f（b）时，不能确定a，b的大小．故选：D．4．解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x+）2+≥，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x＝﹣时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．5．解：当x1∈[，1]时，由f（x）＝x+得，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2，令f′（x）＜0，解得：x＜2，∴f（x）在[，1]单调递减，∴f（1）＝5是函数的最小值，当x2∈[2，3]时，g（x）＝2x+a为增函数，∴g（2）＝a+4是函数的最小值，又∵∀x1∈[，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）在x1∈[，1]的最小值不小于g（x）在x2∈[2，3]的最小值，即5≥a+4，解得：a≤1，故选：A．6．解：若命题p为真，即恒成立．则，有，∴a＞1．令，由x＞0得3x＞1，∴y＝3x﹣9x的值域为（﹣∞，0）．∴若命题q为真，则a≥0．由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0≤a≤1．故选：B．7．解：令t＝x2﹣2x，则函数y＝log2（x2﹣2x）化为y＝log2t，由x2﹣2x＞0，得：x＜0或x＞2，所以，函数y＝log2（x2﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．函数t＝x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝1，所以，函数t＝x2﹣2x在定义域内的增区间为（2，+∞）．又因为函数为y＝log2t是增函数，所以，复合函数y＝log2（x2﹣2x）的单调增区间是（2，+∞）．所以，命题p为假命题；再由3x＞0，得3x+1＞1，所以，所以，函数y＝的值域为（0，1），故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，pVq为真命题，p∧（￢q）为假命题，￢q为假命题．故选：B．8．解：对于命题q1：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，当a＞0时，此时x+a＞x，又因为f（x）单调递减，所以f（x+a）＜f（x）又因为f（x）＞0恒成立时，所以f（x）＜f（x）+f（a），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题q1⇒命题p，对于命题q2：当f（x）单调递增，存在x0＜0使得f（x0）＝0，当a＝x0＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x0）＝0，又因为f（x）单调递增，所以f（x+a）＜f（x），所以f（x+a）＜f（x）+f（a），所以命题p2⇒命题p，所以q1，q2都是p的充分条件，故选：C．9．解：A．若命题q为真命题：则△＝m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2，∴命题p是q的充分必要条件；B．若命题q是真命题：y＝f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），∴由p⇒q，反之不成立，因此p是q的充分不必要条件；C．由A∩B＝A⇔A⊆B⇔A⊆U，B⊆U，∁U B⊆∁U A，满足p是q的充分必要条件；D．对于命题p：取α＝β＝满足cosα＝cosβ；而q：tanα＝tanβ无意义．反之也不成立，例如取α＝，β＝，满足tanα＝tanβ，而cosα＝cosβ不成立．因此p是q的既不充分也不必要条件．故选：AC．10．解：对于选项A：a＝﹣1，b＝﹣2，所以a2＜b2，所以p不是q的充分条件；对于选项B：ax2+by2＝c为双曲线，则ab＜0，所以p是q的充分条件；对于选项C：由于a＞b，所以2a＞2b，所以p是q的充分条件；对于选项D．由：+a＞0，得到ax2+bx+c＞0，所以p是q的必要条件；故选：BC．11．解：A．错误，当a＜0时，“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”错误；B．错误，若a，b，c∈R，“a＞b”且c＝0时，推不出“ac2＞bc2“，故错误；C．错误，方程x2+x+a＝0有一个正根和一个负根⇔△＝1﹣4a＞0，x1x2＝a＜0⇔a＜0，故错误；D．正确，“a＞1”⇒“＜1”但是“＜1”推不出“a＞1”，故正确．故选：ABC．12．解：根据对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a﹣b∈M，对于A．当集合M＝{﹣4，﹣2，0，2，4}时，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．对于B．设a，b是任意的两个正整数，当a＜b时，a﹣b＜0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．对于C ．当M ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }时，设a ＝3k 1，b ＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则a +b ＝3k 1+3k 2＝3（k 1+k 2）∈Ma ﹣b ＝3k 1﹣3k 2＝3（k 1﹣k 2）∈M ，所以集合M 闭集合．对于D ．设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }是闭集合，且3∈A 1，2∈A 2，而2+3∉A 1∪A 2，此时A 1∪A 2不为闭集合．所以，说法中不正确的是ABD ；故选：ABD ．13．解：若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则可以推出A ∩B ＝∅；若A ∩B ＝∅，由Venn 图（如图）可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C ． 故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． 故答案为：充要条件14．解：,m n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”，则向量m ，n 共线且方向相反，可得0m n <．反之不成立，非零向量的夹角为钝角，满足0m n <，而m n λ=”， 则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n <”的”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要15．解：2{|(1)1A y y x ==-+，03}{|15}x y y =，2{|1B y y x ==+，13}{|210}x y y =，则{|12}A B y y -=<，{|510}B A y y -=<， 则*()(){|12A B A B B A y y =--=<或510}y <，故答案为：{|12y y <或510}y <16解：∵函数f （x ）＝[x ]的函数值表示不超过x 的最大整数， ∴对于A ＝{y |y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]，0≤x ≤1}，①当0≤x ＜时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+0+0＝0；②当≤x ＜时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+0+1＝1；③当≤x ＜时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+1+1＝2；④当≤x ＜1时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝0+1+2＝3；⑤当x ＝1时，y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]＝1+2+3＝6；∴A ＝{y |y ＝[x ]+[2x ]+[3x ]，0≤x ≤1}＝{0，1，2，3，6}， A 中共5个元素，且A 中所有元素的和为0+1+2+3+6＝12．故答案为：5，12．17．解：（1）由20x ->得，函数()log (2)f x x π=-的定义域{|2}A x x =>， 260x x --，(3)(2)0x x -+，得{|2B x x =-或3}x ， {|3}A B x x ∴=，{|23}R B x x =-<<，（2）{|23}C x x ⊆-<<，()i 当C =∅时，满足需求，此时1m m -，解得12m ； ()ii 当C ≠∅时，要{|23}C x x ⊆-<<，则1123m m m m -<⎧⎪--⎨⎪<⎩， 解得132m <<； 由()i 、()ii 得，实数m 的取值范围是：(,3)-∞．18．解：（Ⅰ）集合{|42A y y x ==-，13}(6,10)x -<<=-，{|3121}B x m x m =-<<+， A B A =，B A ∴⊆，当B =∅时，即3121m m -+时，解得2m ，此时满足题意，当B ≠∅时，即3121m m -<+时，解得2m <，则3162110m m --⎧⎨+⎩，解得5932m -， 综上所述m 的取值范围为5[3-，)+∞； （Ⅱ）集合(6,10)A =-，10(6)16--=，若{|}A B x a x b =<<且2b a -=，①{3121}A B m x m =-<<+时，21(31)23162110m m m m +--=⎧⎪--⎨⎪+⎩，解得0m =；②{|3110}A B x m x =-<<时，10(31)2211010316m m m --=⎧⎪+>⎨⎪>->-⎩，此时满足条件的m 不存在；③{|521}A B x x m =-<<+时，21(6)231662110m m m +--=⎧⎪-<-⎨⎪-<+<⎩，解得52m =-，综上得，m的取值范围为5{2，0}．19.解：（1）命题p：a≤x≤a+1，命题q：x2﹣4x＜0，令M＝{x|a≤x≤a+1}，N＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．∵p是q的充分不必要条件，∴M⫋N，∴解得0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．（2）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0，1]，a≥e x，得a≥e；由∃x0∈R，知△＝16﹣4a≥0，得a≤4，∴e≤a≤4．∴实数a的取值范围是[e，4]．20．解：（1）∵，其定义域为（﹣∞，0）和（0，+∞），∴；又x＝1是函数f（x）的极值点，∴f'（1）＝0，即1﹣a2＝0，∴a＝1或a＝﹣1；经检验，a＝1或a＝﹣1时，x＝1是函数f（x）的极值点，∴a＝1或a＝﹣1；g（x）的定义域是（﹣∞，0），g′（x）＝﹣1﹣＝，令g′（x）＞0，解得：x＜﹣1，令g′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减；（2）假设存在实数a，对任意的x1∈[1，2]，∃x2∈[﹣3，﹣2]都有f（x1）≥g（x2）成立，等价于对任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]时，都有[f（x）]min≥[g（x）]min，当x∈[﹣3，﹣2]时，g′（x）＝﹣1﹣＜0，∴函数g（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数．∴[g（x）]min＝g（﹣2）＝2﹣ln2．∵＝，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，①当﹣1＜a＜0且x∈[1，2]时，，∴函数在[1，2]上是增函数．∴[f（x）]min＝f（1）＝1+a2．由1+a2≥2﹣ln2，得a≤﹣，又∵﹣1＜a＜0，∴a≤﹣不合题意．②当﹣2＜a≤﹣1时，若1≤x＜﹣a，则，若﹣a＜x≤2，则，∴函数在[1，﹣a）上是减函数，在（﹣a，2]上是增函数．∴[f（x）]min＝f（﹣a）＝﹣2a≥2﹣ln2，得，∴．综上，存在实数a的取值范围为．。
高考数学必修1总复习《集合与简易逻辑》
具体化（具体求出相关的集合,
Venn 图、
函数的图像等，即数形结合的思想）.
考点三 集合的运算
【例3】 (2010·全国)设全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则 ∁U(A∪B)＝( )
A. {1,4} B. {1,5} C. {2,4} D. {2,5}
解 ∵A＝{1,3}，B＝{3,5}，∴A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}，故选C.
考点二 集合之间的关系 【例2】 已知集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，且A M⊆B，则满足上述 条件的集合M有________个． 解 ∵A M， ∴M中一定含有A的全部元素1,2，且至少含有一个不属于A的元素． 又∵M⊆B， ∴M中的元素除了含有A的元素1,2外，还有元素3,4,5中的1个、2个或3 个．故求M的问题转化为研究集合{3,4,5}的非空子集的问题，显然所求集 合M有23－1＝7个．
正整数 集
整数集
有理数 集
实数集 复数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
C
(4)集合的表示法： __列__举__法__、 __描__述__法__、 V__e_n_n_图_法__ 、 __区__间____、 __不__等__式__． 2. 集合间的基本关系
表示 关系
文字语言
符号语言
子集 相等 真子集
A中任意一个元素均为B中的元 素
(1)若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________；
(2)若A∩B≠A，则实数a的取值范围是________；
(3)若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________．
解析：A＝{x|－2≤x≤4}，B＝{x|x＞a}，将集合A、B表示在数轴上(注：集 合B表示的范围随着a值的变化而在移动)，如图所示，要注意的就是对于端 点值的取舍．
高一上学期数学复习要点：集合与逻辑
高一上学期数学复习要点：集合与逻辑最新的人教版高一上学期数学复习测验一、集合与常用逻辑用语1.了解集合的含义、元素及其属性，掌握集合的表示方法。
2.理解交集、并集、补集等常用逻辑用语，并能正确使用它们描述集合之间的关系。
3.掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义，并能进行简单的推理证明。
二、一元二次函数、方程和不等式1.理解一元二次函数的性质，掌握其图像的绘制方法。
2.掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法等。
3.理解一元二次不等式的解法，能运用它解决实际问题。
三、函数的性质和基本初等函数1.了解函数的定义、性质和表示方法，能绘制简单的函数图像。
2.掌握指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质和图像，能运用它们解决实际问题。
四、三角函数与解三角形1.理解三角函数的定义、性质和图像，能进行简单的三角函数计算。
2.掌握解三角形的方法，能运用它解决实际问题。
五、平面向量与复数1.了解平面向量、向量的表示和基本运算。
2.理解复数的概念和表示法，能进行简单的复数计算。
六、数列与推理证明1.了解数列的概念和基本性质，能识别等差数列和等比数列。
2.掌握简单的推理证明方法，能运用它们解决实际问题。
七、线性规划与基本不等式1.了解线性规划的基本概念和图解法，能运用它解决实际问题。
2.理解基本不等式的概念和性质，能运用它解决最值问题。
八、空间几何体与三视图1.了解空间几何体的基本形状及其性质，能识别简单几何体的三视图。
2.掌握三视图的基本画法和技巧，能通过三视图识别简单几何体。
九、统计与概率1.了解统计的基本概念和数据处理方法，能进行简单的数据分析和解释。
2.理解概率的基本概念和计算方法，能进行简单的概率计算和分析。
十、数系的扩充与复数的引入1.了解数系的扩充过程和复数的引入背景，能理解复数的几何意义。
2.掌握复数的四则运算和简单的复数方程求解方法。
十一、算法初步与流程图1.了解算法的基本概念和流程图的绘制方法。
高中数学知识点总结(集合,不等式,函数))
上海教材高中数学知识点总结一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2．对数式b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b nl o g l o g =a bl o g 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换 平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．7．基本公式 同角1cos sin22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈ 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a s i n :s i n :s i n ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π。
高一数学集合与简易逻辑复习
第一章集合与简易逻辑【知识网络】1．1 集合的性质与运算【考点透视】一、考纲指要1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相等关系的意义.2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.二、命题落点1．集合的基本概念和关系、集合之间的运算是近几年的的高考热点.是每年高考必考内容之一. 如例1，例3.2．对集合语言和集合思想的运用，如方程与不等式的解集，函数的定义域和值域.如例2.【典例精析】例1：（2005·浙江）设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }，则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( ) A ．{0，3} B ．{1，2} .C ． (3，4，5) D ．{1，2，6，7}解析：ˆP ={0,1,2},N ðˆP ={n ∈N|n ≥2},Q ∧={1,2,3},NðQ ∧={n ∈N|n=0或n ≥4}, 故P ∧∩N ðQ ∧={0},Q ∧∩N ðP ∧={3},得(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝{0,3},答案:A ．例2：（2005•上海）已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|解析：{}R x x x M ∈≤≤-=,31| ， {}Z x x x P ∈≤≤=,40|P M ={}Z x x x ∈≤≤,30|．D :B ．例3：设全集{}1,2,3,,9,A B I =、是I 的子集,若{}A B=123，，,就称集对( A, B)为好集，那么所有好集的个数为（ ）. A ．6！B ． 26C ． 62D ． 63解析：要使{}AB=123，，,必须满足集合A,B 中都含有元素1,2,3, 且对全集中的其它6个元素4,5,6,7,8,9中的每个元素,要么在集合A 中,要么在集合B 中或不在集合A 、B 中，这三种情况只能选其一，于是这6个元素所处集合的不同情况为63333333⨯⨯⨯⨯⨯=.而这6个元素所处不同集合的个数即为好集的不同个数. 答案:D ．【常见误区】1．解题粗心大意，不考虑元素的特征，对数集，点集理解有误；如{}{}{}222,(,)x y x y y x x y y x ===就表示完全不同的三个集合，如不注意它们的区别，很容易出错.2．不能准确把握子集、真子集、相等、补集等相关概念，在转化命题时往往出现错误; 3．对空集理解不正确或忽视空集在解题中的地位和作用而产生错误.【基础演练】1．(2005•全国1)设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则 下面论断正确的是（ ）A ．Φ=⋃⋂）（321S S S C IB ．123I I SC S C S ⊆⋂（） C ．Φ=⋂⋂）321S C S C S C I I ID ．123I I S C S C S ⊆⋃（）2．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（ C U A ）∩B= （ ） A ．{0} B ．{－2，－1} C ．{1，2} D ．{0，1，2} 3．（2005•全国2）已知集合{}47M x x =-≤≤，{}260N x x x =-->，则M N 为 （ ）A ．{42x x -≤<-或}37x <≤ B ．{42x x -<≤-或}37x ≤<C ．{2x x ≤-或}3x >D ．{2x x <-或}3x ≥4．（2006•陕西）已知集合P={x ∈N|1≤x ≤10},集合Q={x ∈R|x 2+x －6≤0}, 则P ∩Q 等于 （ ） A ．{2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 5．（2005•重庆）集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A = .6．（2004•上海）设集合A={5,log 2(a +3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A ∪B= 7．（2004•辽宁)设全集U=R （1）解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （2）记A 为（1）中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B ，若（U ðA ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.8．(2004•上海) 记函数()f x =132++-x x 的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1） 求A ；（2） 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.9．设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |212+-x x <1}，若A ⊆B ，求实数a 的取值范围. 1．2命题【考点透视】一、考纲指要1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2．理解四种命题及其相互关系. 二、命题落点1．对命题真假的判断或考查一命题的否定与非命题如例1，例2，例3 .【典例精析】例1（2005•天津）给出下列三个命题 ① 若1a b ≥>-，则11a ba b≥++；② 若正整数m 和n 满足m n ≤2n ； ③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1。
高一数学集合与简易逻辑综合知识精讲
高一数学集合与简易逻辑综合【本讲主要内容】集合与简易逻辑综合集合、子集、交集、并集、补集等概念，绝对值不等式、一元二次不等式的解法，简易逻辑。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合；2. 子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合；3. 交集：一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的交集；4. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的并集；5. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）；6. )0a (a x ><的解集是。
{}a x x |x <<-；)0a (a |x |>>的解集是{}a x a x |x -<>或；7. 一元二次不等式的解法；8. 简易逻辑：命题：可以判断真假的语句叫做命题。
逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。
简单命题和复合命题不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。
简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题。
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。
四种命题及它们的关系【解题方法指导】例1. 已知全集{}的质数不大于20U ，A ，B 是U 的两个子集，且满足{}5,3B C A U = ，{}19,7A C B U = ，（U C A ） (U C B)＝ {}17,2。
求集合A 和B 。
解法一：（直接解法）依题意，{}5,3B C A U = ，则{}A 5,3⊆，且{}B C 5,3U ⊆。
从而知3，5A ∈，且∉B 。
同理，由B A C U {}19,7，知7，19，且7，19∉A由（A C U ） （U C B ）{}17,2，知2，17∉A ，且2，17 ∉B因为{}19,17,13,11,7,5,3,2U ，观察11和13这两个元素，不外乎下面几种情况：①若11 ，11 ，则A C U ，且 U CB ，这与（AC U ） （U C B ）＝{}17,2矛盾；②若11∈A ，11B ∉，则 U C B ，这与A U C B ＝{}5,3矛盾；③若11 ∉A ，11∈B ，则A C U ，这与B AC U ＝ {}19,7矛盾；④若11 ∈A ，11 ∈B ，则11∈（A B ）。
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,求实数a的取值范围，分别使：
（1） ;（2）
例题4：已知不等式 的解集为
求不等式 的解集。
例题5：解关于x的不等式:
例题6：已知函数 的最小值不小于a，求a的取值范围
班级
高一
姓名
学号
作业时间
一．选择题
1．不等式｜x＋2｜<3的解集是（）。
（A）－5<x<1（B）x<－5或x>1（C）x<－5（D）x>1
12．不等式x2－ x＋3≤0的解集是。
13．函数y= 中，自变量x的取值范围是。
14．已知集合P＝{x|x≥2,x∈R}，Q＝{x|x2－x－2<0,x∈N}，则P∩Q=。
15．若二次函数y=x2＋x＋m的图象总在x轴上方, 那么m的取值范围是。
16．使抛物线y=x2－2x－3在直线y=x＋4下方时，x的取值范围是。
17．如果不等式x2－2ax＋1≥ (x－1)2对一切实数x都成立，a的取值范围是。
18．设集合A＝{x| 1≤x≤4}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠φ，则实数a的取值范围是
19．已知函数y=－ x2－3x－ ，若y=0，则x=；若y>0，则x；若y<0，则x。
20．如果对于任何实数x，不等式kx2－kx＋1>0 (k>0)都成立，那么k的取值范围是。
（A）y=2x2＋2x＋1（B）y=2x2－2x＋12（C）y=2x2＋2x－12（D）y=2x2－2x－12
5．不等式｜ax＋1｜≤b的解集是－1≤x≤5，那么（）。
（A）a=－ ,b=－ （B）a= ,b= （C）a=－ ,b= （D）a=－ ,b=－
6．已知方程kx＋2=5x＋k的解为正数，那么k的取值范围是（）。
S甲=0.1x+0.01x2 S乙=0.05x+0.005x2
问超速行驶应负月要责任的是谁？
课时设计活页纸
主备人：仲坚
总 课 题
集合与简易逻辑复习
总课时
2
第 2 课 时
课 题
不等式
课 型
复习
教学目标
复习与回顾含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法
通过典型例题的讲练，达到掌握基本技能的目的
培养学生综合应用知识解决问题的能力
教学重点
基本概念、基本技能
教难点
综合应用知识解决问题的能力的培养
教学过程
（A）k>5（B）k<2（C）k>5或k<2（D）2<k<5
7．不等式x2＋(a＋b)x＋ab<0 (a<b)的解集是（）。
（A）a<x<b（B）b<x,a（C）－a<x<－b（D）－b<x<－a
8．方程mx2－(1－m)x＋m=0有两个不等实根，则m的取值范围是（）。
（A）－1≤m≤ （B）－1≤m≤ 且m≠0（C）－1<m< （D）－1<m< 且m≠0
2．不等式｜2x－1｜>2的解集是（）。
（A）x>1或x<－1（B）x<－ 或x> （C）－ <x< （D）－ <x<
3．如果二次不等式mx2＋8mx＋60<0的解集是－5<x<－3，那么m的值为（）。
（A）2（B）3（C）4（D）5
4．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是x>3或x<－2，则二次函数y=2x2＋mx＋n的表达式是（）。
9．二次不等式kx2－2x＋3k<0 (k≠0)的解集是全体实数，则（）。
（A）k> 或k<－ （B）k.> （C）k<－ （D）－ <k<0
10．不等式组 的解集是（）。
（A）－4≤x≤2（B）x>3或x<－2（C）－4≤x≤－2（D）－4≤x<－2
二．填空题：
11．如果方程组 的解x,y都是正数，且m≠6，那么m的取值范围是。
教学内容
备课札记
知识要点：
1）含绝对值的不等式的解法
2）一元二次不等式的解法（参见书P38---P39）
教学过程：
知识点小结
例题选讲：
例题1： 解下列不等式:
（1） ; （2） ;
（3） ; （4）
（5） ; （6）
（7） ; （8）
教学过程
教学内容
备课札记
例题2：解下列不等式:
（1） （2）
（3） （4）
三、解答题：
21．对于任意实数x，代数式(5－4a－a2)x2－2(a－1)x－3的值恒为负值，求a的取值范围。
22．设α、β是关于方程x2－2(k－1)x＋k＋1=0的两个实根，求y=α2＋β2关于k的解析式，并求y的取值范围。
23. 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素。在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了。事发后现场测得甲车的刹车距离略过12米，乙车的刹车距离略过10米，又知甲、乙两种车型的汽车刹车距离S(米)与车速x（千米/小时）之间分别有如下关系：