分式方程的解题方法
初二数学分式方程解题思路
初二数学分式方程解题思路
一、分式方程总体思路
1、要解决分式方程，必须先将分式方程转化为一元一次方程，即化为二元一次方程的形式，然后再利用了解二元一次方程的解法进行求解；
2、计算分式的值，首先分子分母都不能为零，然后再计算值；
3、利用分式的性质乘法，两边分母相等，然后求出分子相等，再利用解二元一次方程的解法求解；
4、如果分式方程出现了两个未知数，则可以采用先给一个未知数求值的方法来求解。
二、具体解题方法：
1、先将分式方程化为二元一次方程的形式，即让两边分母相等，来求出分子相等的形式；
2、计算分式的值，首先分子分母都不能为零，然后再计算值；
3、解二元一次方程的解法为：先算出两边分母的最大公约数，然后把两边分母同时除以它的最大公约数，得到最简分式形式；
4、再把两边的分子乘以各自的分母，再加起来，就得到了二元一次方程；
5、最后，先求等号右边的表达式的值，然后代入到方程中求出未知数的值；
6、如果分式方程出现了两个未知数，可以采用先给一个未知数求值的方法，比如先给x求值，然后代入到等式中求出y的值。
分式方程的几种解法
分式方程的几种解法分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。
一、 去分母法方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。
例1：解方程：4121235222---=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。
把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。
∴原方程的根为6=x 。
二、 换元法方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。
例2：解方程：21333322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则ax x 13332⨯=-，原方程变形为： 2133=+a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 212=a当6=a ，即632=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 23,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 23-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。
∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 23-=x 三、 通分法方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。
分式方程解法
分式方程解法分式方程是一种特殊的方程形式，其中包含未知数的分式表达式。
解决分式方程的关键是寻找未知数的值，使得该方程成立。
本文将介绍几种常见的分式方程解法。
一、通分法通分法是解决分式方程的基本方法之一。
对于一个分式方程，我们可以找到方程两边的最小公倍数，然后将方程两边都乘以最小公倍数的逆元，以消去分母，从而得到一个简化的方程。
下面以一个例子来说明通分法的解题过程。
例子：解方程 (3/x) + (2/(x + 1)) = 5首先，我们找到分式方程两边的最小公倍数为 x(x + 1)，然后将方程两边都乘以 x(x + 1)，得到：3(x + 1) + 2x = 5x(x + 1)化简得：3x + 3 + 2x = 5x^2 + 5x合并同类项：5x + 3 = 5x^2 + 5x移项得：5x^2 + 5x - 5x - 3 = 05x^2 - 3 = 0因此，解方程的根为x = ±√(3/5)二、代换法代换法是解决一些复杂分式方程的有效方法。
在使用代换法时，我们可以将分式方程化简为一个含有一个未知数的简单方程，然后通过求解这个简单方程来得到分式方程的解。
下面以一个例子来说明代换法的解题过程。
例子：解方程 1/(x + 1) + 1/(2x + 3) = 1/2首先，我们令 y = x + 1，得到新的方程：1/y + 1/(2y + 1) = 1/2化简得：(2y + 1 + y)/(y(2y + 1)) = 1/2合并同类项：(3y + 1)/(y(2y + 1)) = 1/2交叉乘法得：2(3y + 1) = y(2y + 1)化简得：6y + 2 = 2y^2 + y2y^2 - 5y - 2 = 0因此，解方程的根为 y = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4(2)(-2))) / (2(2)) = (5 ±√57) / 4将 y 的解代回原方程，得到x = (5 ± √57 - 3) / 4 = (2 ± √57) / 4三、提取公因式法提取公因式法是解决包含多个分式的方程的有效方法。
分式方程的解法
分式方程的解法分式方程是含有一个或多个分式的方程，求解分式方程需要借助一些特定的方法和规则。
本文将介绍分式方程的常见解法，帮助你更好地理解和解决这类问题。
一、消去分母法对于分式方程而言，最常用的解法就是消去分母。
具体步骤如下：1. 将分式方程两边的分母去掉，得到一个关于未知数的多项式方程。
2. 整理方程，将同类项合并，得到一个简化的多项式方程。
3. 使用常规的代数方法解决这个多项式方程。
4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
二、通分法在某些情况下，分式方程可以通过通分的方法进行求解。
具体步骤如下：1. 对于含有多个分式的方程，将所有分式的分母找到其最小公倍数，并将方程两边的分子进行相应的操作。
2. 使用通分后的方程，将分母相同的项合并，并将方程化简为一个关于未知数的多项式方程。
3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。
4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
三、代入法有时候，分式方程的解可以通过代入法求得。
具体步骤如下：1. 从分式方程中选取一个变量，用一个合适的值代入该变量。
2. 计算代入后得到的方程，并求解这个新的方程。
3. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
四、等价方程法等价方程法是另一种常用的求解分式方程的方法。
具体步骤如下：1. 对于给定的分式方程，将方程两边同时乘以分母的乘法逆元，以消去分母。
2. 处理等式两边得到的新方程，将其化简为一个关于未知数的多项式方程。
3. 使用常规的代数方法解决得到的多项式方程。
4. 检查得到的解是否满足原始的分式方程，若满足，则是原方程的解；若不满足，则是无效解。
综上所述，分式方程的解法主要包括消去分母法、通分法、代入法和等价方程法。
根据具体情况选择合适的方法，可以更高效地求解分式方程。
在解题过程中，要注意化简方程，查验解的有效性，以确保得到正确的结果。
分式方程的几种特殊解法
分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：781222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：13242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。
解分式方程方法汇总
解分式方程方法汇总一、解分式方程的基本思想解分式方程的基本思想就是设法将分式方程“转化”为整式方程。
二、解分式方程的基本方法——去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程，但要注意，可能会产生增根，所以，必须验根。
例1 1x 21x 12-=-解：方程两边都乘()()1x 1x -+，约去分母，得：1x ,21x ==+。
检验：当1x =时，()()01x 1x =-+。
所以：1x =是增根，即：原方程无解。
小结：用去分母法解分式方程的一般步骤：（1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解所得的整式方程；（3）验根；（4）得结论。
三、解分式方程的其它方法1. 拆项法例2 解方程：8x 6x 6x 4x 5x 3x 9x 7x --+--=--+--。
解：8x 28x 6x 26x 5x 25x 9x 29x -+-+-+-=-+-+-+-， 即8x 216x 215x 219x 21-++-+=-++-+， 移项，整理，得5x 16x 18x 19x 1---=---，()()()()5x 6x 6x 5x 8x 9x 9x 8x --+--=--+--，()()()()5x 6x 18x 9x 1--=--，去分母，得()()()()8x 9x 5x 6x --=--，解得：7x =。
经检验，7x =原方程的根。
∴原方程的根是7x =。
2. 通分法例3 解方程：3x 2x 2x 1x 5x 4x 4x 3x ++-++=++-++。
方程两边分别通分，得()()()()()()()()()()3x 2x 2x 3x 1x 4x 5x 4x 5x 3x 22+++-++++-+＝＋＋，即()()()()2x 3x 14x 5x 1++-=++-，∴()()()()3x 2x 4x 5x ++=++， 解得27x -=。
经检验，27x -=是原方程的根。
分式方程与分式不等式的解法
分式方程与分式不等式的解法分式方程和分式不等式是涉及分数的方程和不等式，其解法与一般的代数方程和不等式有一些不同之处。
本文将介绍分式方程和分式不等式的解法，并给出一些实例说明。
一、分式方程的解法分式方程是包含有分数的方程，一般形式为：$\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=c$解分式方程的一般步骤如下：1. 将方程的两边通分，以消去分母。
2. 将分子相加，将方程转化为一个整式方程。
3. 解得整式方程的解。
4. 检验解，将解代入原方程验证是否成立。
例如，解方程$\frac{3}{x}-\frac{2}{y}=5$：解：首先将方程的两边通分，得到$3y-2x=5xy$。
接着整理方程，得到$5xy+2x-3y=0$。
将该方程转化为整式方程：$5xy+2x-3y=0$。
解得整式方程$5xy+2x-3y=0$的解。
程$5xy+2x-3y=0$的解。
二、分式不等式的解法分式不等式是包含有分数的不等式，一般形式为：$\frac{a}{x}>\frac{b}{y}$解分式不等式的一般步骤如下：1. 将不等式的两边通分，以消去分母。
2. 根据分数的正负和大小关系确定不等式符号。
3. 将分子相减，得到一个整式不等式。
4. 解得整式不等式的解。
5. 检验解，将解代入原不等式验证是否成立。
例如，解不等式$\frac{5}{x}>\frac{2}{y}$：解：首先将不等式的两边通分，得到$5y>2x$。
根据分数的正负和大小关系，确定不等式符号为>。
接着整理不等式，得到$2x-5y<0$。
将该不等式转化为整式不等式：$2x-5y<0$。
解得整式不等式$2x-5y<0$的解。
等式$2x-5y<0$的解。
结论本文简要介绍了分式方程和分式不等式的解法。
对于分式方程，我们通过通分和整理方程，将其转化为整式方程来求解。
对于分式不等式，我们通过通分和整理不等式，将其转化为整式不等式来求解。
分式方程的应用题解题技巧
分式方程的应用题解题技巧
以下是 8 条分式方程的应用题解题技巧：
1. 找准等量关系呀，这就像在大海中找到灯塔一样关键！比如，一辆汽车从 A 地到 B 地，去的时候速度是每小时 60 千米，回来的时候速度是每
小时 40 千米，来回时间差 1 小时，那等量关系不就出来了吗，设个路程为x，列方程 x/40 - x/60 = 1。
2. 单位要统一呀，可别稀里糊涂的！像计算做一批零件，有的给你分钟，有的给你小时，咱就得统一一下，不然怎么算呀！
3. 设未知数要巧妙呀，这就跟走捷径一样！比方说，甲乙两人干活，已知两人效率比，那就设个份数，多方便呀！
4. 计算过程要认真，可别粗心大意呀！就像盖房子，一砖一瓦都得稳当，一个数字算错了，全白费啦！比如算一个分式方程，约分都约错了，那不就悲剧了！
5. 一定要检验呀，这可不能偷懒！万一算出来个负数长度啥的，那不是搞笑嘛！像那种算出人数是小数的，肯定不对呀，得检查检查。
6. 注意隐含条件呀，别视而不见！比如一个水池一边进水一边出水，水池总量是不是固定的，这就是隐藏信息呀！
7. 多画图呀，形象直观！就跟地图一样，一下子就清楚啦！像那种行程问题，画个图，一切都明了了。
8. 要耐心呀，解题不能急躁！分式方程有时候是有点麻烦，但你别急，慢慢算，肯定能算出来的！就像爬山，一步一步来，总会登顶的！
总之，分式方程应用题不难，只要掌握这些技巧，多练习，就一定能搞定！。
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【知识精读】
１、解分式方程得基本思想：把分式方程转化为整式方程。
２、解分式方程得一般步骤:
(1）在方程得两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根:把整式方程得根代入最简公分母，瞧结果就就是否等于零,使最简公分母等于零得根就就是原方程得增根,必须舍去,但对于含有字母系数得分式方程,一般不要求检验。
3、列分式方程解应用题与列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得得解就就是否为原方程得根，以及就就是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程得分式方程得解法及其应用。
【分类解析】
例１、解方程:
分析:首先要确定各分式分母得最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根
解:方程两边都乘以,得
例2、解方程
分析:直接去分母,可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式得分母发现得值相差1，而分子也有这个特点,因此，可将分母得值相差1得两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等得两个分式，利用分式得等值性质求值。
解：原方程变形为:
方程两边通分,得
经检验:原方程得根就就是
例3、解方程:
分析:方程中得每个分式都相当于一个假分数，因此,可化为一个整数与一个简单得分数式之与。
解:由原方程得:
即
例4、解方程:
分析:此题若用一般解法,则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同得因式,于就就是可先约分。
解:原方程变形为:
约分,得
方程两边都乘以
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。
５、中考题解:
例1、若解分式方程产生增根，则m得值就就是( )
A、ﻩﻩ
B、
Ｃ、ﻩD、
分析:分式方程产生得增根，就就是使分母为零得未知数得值。
由题意得增根就就是：化简原方程为：把代入解得,故选择D。
例2、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用得时间与乙班种６６棵树所用得时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？
分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解:设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种(x+２)棵树,
由题意得:
答:甲班每小时种树２0棵,乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程得根。
6、题型展示:
例１、轮船在一次航行中顺流航行8０千米,逆流航行42千米,共用了7小时；在另一次航行中,用相同得时间，顺流航行４0千米,逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中得速度与水流速度
分析:在航行问题中得等量关系就就是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水，
取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。
解:设船在静水中得速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时
由题意，得
答:水流速度为3千米/小时，船在静水中得速度为１7千米／小时。
例2、m为何值时，关于x得方程会产生增根?
解:方程两边都乘以,得
整理,得
说明：分式方程得增根,一定就就是使最简公分母为零得根。