分式解题技巧
分式方程应用题及解题技巧
分式方程应用题及解题技巧分式方程是代数中的重要内容之一，它的应用广泛而且深远。
分式方程常常出现在实际生活中的各种问题中，比如物体的速度、加速度、浓度、比例关系等等。
学习分式方程的应用，不仅可以帮助我们解决实际生活中的问题，还可以提高我们的数学分析和解决问题的能力。
在本文中，我们将介绍分式方程的应用题，并给出解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识。
一、分式方程的应用题1.速度问题小明骑自行车以每小时10公里的速度向前行驶，小李以每小时8公里的速度向前追赶小明，问小李追上小明需要多长时间？解：设小李追上小明需要t小时，那么小明与小李的相对速度为10-8=2公里/小时，根据速度=路程/时间，可得速度的分式方程为：10t = 8t + 8解得t=4，所以小李追上小明需要4小时。
2.浓度问题一瓶含有30%酒精的溶液200毫升，现在加了一些蒸馏水，使得酒精浓度变为20%，问加了多少蒸馏水？解：设加了x毫升的蒸馏水，那么酒精的量为0.3*200，水的量为x，根据浓度=溶质的量/溶液的总量，可得浓度的分式方程为：0.3*200 / (200+x) = 0.2解得x=100，所以加了100毫升的蒸馏水。
二、分式方程的解题技巧1.设未知数在应用题中，需要根据实际情况设立未知数，一般来说，设立一个未知数是最为合适的。
比如速度问题中，可以设小明与小李相对速度t小时后能相遇；浓度问题中，可以设加了x毫升的蒸馏水。
2.建立方程根据实际情况，可以建立出分式方程，一般是根据速度=路程/时间，浓度=溶质的量/溶液的总量等公式建立分式方程。
3.求解方程利用分式方程的性质，将方程化简为一元方程，然后求解，得到未知数的值。
4.检验解将求得的未知数代入原方程中，检验是否符合实际情况，如果符合则说明解是正确的。
通过以上的介绍，相信大家对分式方程的应用题及解题技巧有了一定的了解。
在解决实际问题时，我们可以根据问题中的实际情况设立未知数，建立分式方程，并通过求解方程来得到问题的解。
分式运算的八种技巧
分式运算综合题1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷112-x ，其中x=22、先化简，再求值：21+-a a ·12422+--a a a ÷112-a ，其中a 满足a 2-a=12。
3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2232y x yx --。
4、化简：12+x x -1422-+x x ÷1222+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。
5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=224x y xy-，用“＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。
请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。
6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b1)的值。
7、已知两个式子：A=442-x ，B=21+x ＋x-21，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.A 大于B8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋xx ||化简的结果是（ ）A.－1B.1C.2D.39、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +ba= 。
10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。
11、已知3-x m －2+x n =)2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。
12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1+b b ，N=11+a ＋11+b ，试确定M ，N 的大小关系。
13、先化简，再求值：（x-13+x x ）÷1222++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0.14、已知A=（x-3）÷4)96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x,(2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。
分式的方法与技巧
1、整体通分法
分析：像这样的，一个分式，后面是整式时，将后面的整式看作一个整体，来进行整体通分，可以简单求解。
2、逐项通分法
分析：通过观察各分母的特点，分母为整式时，想一想符合不符合乘法公式的运用特点，从左到右依次通分。
3、先约分，再通分
分析：像这样分子分母都是含有分母的整式时，想到能不能先约分，就要现将分子、分母先分解因式，能月份的先约分后再根据题目的特点进项必要的变化后求值。
4、裂项相消法
分析：通过观察，后两个分式的分母是两个因数的积，并且这两个因式相差1，而分子是一个还相同，这是就应该想到裂项法解题，就是将每一个分式拆成两项的差，前后抵消后再计算。
5、整体代入法
分析：先将条件进行整理，然后整体代入求代数式的值值。
6、公式法
分析：遇到这种特点的题目，先将条件式进行变形，利用完全平方公式再对要求的式子进行整理，然后代入求值。
7、设辅助参数法
分析：利用条件式设一个辅助参数，将一些代数式用所设的参数表示，然后再将这些代数式代入到所求的式子中去，起到化简的目的。
8、倒数变换法
分析：像这种分子比较简单，分母比较复杂事时，这时可以想到把条件式整体取倒数，使条件变简单，再求值。
9、特殊值法
分析：由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入所求的式子求出结果。
这种方法多用在填空题、选择题中。
分式方程的几种特殊解法
分式方程的几种特殊解法白云中学：权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。
但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。
下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。
一、加减相消法。
例1、解方程：20172018112017201811222++-=++-+x x x x x 。
分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。
如果我们发现方程两边都加上分式2017201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。
解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：112=+x 去分母，得：12+=x解得：1=x经检验，1=x 是原分式方程的解。
二、巧用合比性质法。
例2：解方程：781222++=++x x x x 。
分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。
解：由合比性质可得：77-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 71112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （解得：23-==x x 或经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。
三、巧用等比性质法。
例3、解方程：13242344++=++x x x x 。
分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。
解：由等比性质可得：1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。
∴ 13242++=x x 化简得： 02=x∴ 0=x经检验，0=x 是原分式方程的解。
分式方程的应用题解题技巧
分式方程的应用题解题技巧
以下是 8 条分式方程的应用题解题技巧：
1. 找准等量关系呀，这就像在大海中找到灯塔一样关键！比如，一辆汽车从 A 地到 B 地，去的时候速度是每小时 60 千米，回来的时候速度是每
小时 40 千米，来回时间差 1 小时，那等量关系不就出来了吗，设个路程为x，列方程 x/40 - x/60 = 1。
2. 单位要统一呀，可别稀里糊涂的！像计算做一批零件，有的给你分钟，有的给你小时，咱就得统一一下，不然怎么算呀！
3. 设未知数要巧妙呀，这就跟走捷径一样！比方说，甲乙两人干活，已知两人效率比，那就设个份数，多方便呀！
4. 计算过程要认真，可别粗心大意呀！就像盖房子，一砖一瓦都得稳当，一个数字算错了，全白费啦！比如算一个分式方程，约分都约错了，那不就悲剧了！
5. 一定要检验呀，这可不能偷懒！万一算出来个负数长度啥的，那不是搞笑嘛！像那种算出人数是小数的，肯定不对呀，得检查检查。
6. 注意隐含条件呀，别视而不见！比如一个水池一边进水一边出水，水池总量是不是固定的，这就是隐藏信息呀！
7. 多画图呀，形象直观！就跟地图一样，一下子就清楚啦！像那种行程问题，画个图，一切都明了了。
8. 要耐心呀，解题不能急躁！分式方程有时候是有点麻烦，但你别急，慢慢算，肯定能算出来的！就像爬山，一步一步来，总会登顶的！
总之，分式方程应用题不难，只要掌握这些技巧，多练习，就一定能搞定！。
解分式方程的特殊方法与技巧
解分式方程的特殊方法与技巧1.将分式化简为整式：在解分式方程之前，我们通常会将其化简为整式方程。
化简的方法包括：合并同类项、消去括号、约分等。
通过化简，我们可以将分式方程转化为更简单的整式方程，更易于解答。
2.通分：如果分式方程中含有多个分母，并且不能直接消去分母，可以考虑通分。
通分可以将分式方程转化为整式方程，更容易解答。
通分的方法是找到分母的最小公倍数，然后对方程两边乘以最小公倍数的倒数。
3.交叉相乘法：在一些情况下，可以使用交叉相乘法来解分式方程。
交叉相乘法是将方程两边的分式相乘，然后进行约分。
这样可以得到一个新的整式方程，再进行求解。
4.增减交换法：在一些情况下，我们可以通过增加或减少方程的一些项，来简化分式方程。
通过增减交换法，我们可以得到一个更简单的方程，进而解答。
5.变量代换：有时候，我们可以通过引入新的变量或代换来简化分式方程。
比如，我们可以将一个复杂的分式方程转化为一个关于新变量的整式方程，进而解答。
变量代换可以帮助我们更好地理解问题，简化方程，并找到求解的途径。
6.等式的性质：在解分式方程时，一些等式的性质也是很有用的。
比如，等值代换定理、等价无穷大定理等。
这些性质可以在解分式方程中发挥重要作用，简化方程，找到解的方法。
7.化简符号：有时候，我们可以通过化简符号来简化分式方程。
比如，我们可以通过代入一些特定的数值，去掉绝对值符号、根号符号等。
化简符号可以帮助我们更好地理解问题，并将分式方程转化为整式方程。
8.分数相关的性质：在解分式方程时，我们可以利用一些分数相关的性质来简化问题。
比如，利用两分数的和差的性质，相除的性质等等。
分数的性质可以帮助我们更好地理解问题，并找到解的途径。
9.齐次方程：齐次方程指的是方程两边的分母相等。
解齐次方程时，我们可以让方程中的两个分式相减，从而得到一个整式方程。
解齐次方程可以帮助我们简化问题，并更好地理解问题的本质。
以上是解分式方程的一些特殊方法和技巧。
分式方程应用题解题技巧和方法
分式方程应用题解题技巧和方法一、概述分式方程是数学中重要的概念之一，它在许多实际问题中都有着广泛的应用。
解决分式方程应用题需要掌握一定的解题技巧和方法，下面我们将介绍一些解题技巧和方法，帮助大家更好地解决分式方程应用题。
二、分式方程应用题解题技巧和方法1.明确问题：在解题之前，首先要明确题目中所给的分式方程代表的是什么实际问题，了解问题背景和要求，这样有利于我们更好地理解题目并找出解题思路。
2.建立方程：根据问题的描述，建立相应的分式方程。
通常情况下，我们可以通过设定变量，列出方程来表示问题中的条件和要求。
3.化简方程：对建立的分式方程进行化简，通常可以通过消去分母等方法来简化分式方程，使得方程更加直观和便于求解。
4.求解方程：利用解方程的方法，通常是通过移项、通分等方法来求解分式方程。
有时候，我们需要对方程进行整体化简或者变形，以便更好地进行求解。
5.验证解：在得到方程的解之后，需要将解代入原方程进行验证，确保所得的解符合实际问题的要求，这是解题过程中必不可少的一步。
6.注意事项：在解题过程中，还需要留意一些常见的易错点和特殊情况，比如分母为零的情况、方程无解或者有多解等情况，对这些情况要有相应的处理方法。
三、分式方程应用题解题实例接下来，我们通过几个实际问题来演示分式方程应用题的解题过程。
实例1：有一条长600米的跑道，甲乙两人分别在跑道的两端以等速度开始跑步，甲乙两人相向而跑，当甲乙相遇时，甲跑了4分钟，乙跑了6分钟。
求甲、乙两人的速度。
解：我们设甲、乙两人的速度分别为v1、v2，根据题意，可以列出分式方程：600/(v1 + v2) = 4/60 v1+4/60 v2 = 6 （1）根据方程（1），我们可以逐步化简，并求解得到甲、乙两人的速度。
实例2：一条小船下游顺流以每小时10千米的速度行驶，返航逆流以每小时8千米的速度行驶，如果小船返航的时间比下游多2小时，求河水的流速。
解：设河水的流速为v，根据题意，可以列出分式方程：10 - v = 8 + v10/(10 - v) = 8/(8 + v) + 2 (2)接下来，我们可以根据方程（2）逐步化简，并求解得到河水的流速。
分式求值五技巧
分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题以下向同学们介绍了几种常用的技巧一、巧用整体代换例1：已知：x 1=2，求221x 的值 分析：用x 1表示221x ，用已知式整体代换所求式 解：由x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4所以221x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2••x 1=4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4求2222n mn m mn m +--的值分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222cb a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了 解：设2a =3b =4c =则a=2b=3c=4代入求值式：原式=2221694424332k k k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a a1=5则1242++a a a 为________ 分析：由a a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来即2241a a a ++=24a a 22a a 21a=a 221a 1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -21 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若x 1-y 1=31，求yxy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义（2）尽量找整数，利于求值计算解：令=2代入已知等式得，y=6把=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+ 原式=4028-=-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活。
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J ____ __ B
卜
J l + x* 1-K B
式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法
求解，将会得到较为理想的效果.
解 局部通分得 d ）（D 丘-恥-2）'
去分母，得x 2— 7x + 10=x 2 — 9x + 18.故2x=8..°. x=4.经检验知x=4是原方程的 解.
分式运算中的“七巧”
1.巧用公式的基本性质
z-1
解原式（化为警分式）
—（沁本性励
（X -一） • Z
£
例B 化简 ;— +
2
+ T
2.
巧用逐步通分法
：I 分析若
一次性完成通分，运算量很大，注意到（1 — x ）（1 + x ）=1 —X 4,可以用逐步通分法化简.
巧解分式方程
、裂项法 例1解方程三+三・三+三 X-6 - C X -4 Z - 0
分析 方程中每一个 分式的分母加1都等于它的分子•根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项, 然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为 解原方程可化为 匕公）U t^-e ） + 1 _（3 J4）+ 1 （A -6） +J K — 2 A
- 3 （A
- 4） x - 6 Bn 1 1 1 1 移项得土「土匚士一 通分得宀 解之得x=5 .经检验x=5是原方程的解. 2 2
•・x — 14x + 48=x — 6x +
8,
、局部通分法
分析用去分母化整 例1廿算—一仗--）
_IL L ~^1
而(1 — x 2)(1 + x 2)=1
解
1-X
1 閔 型
2龙 1
3•巧用运算律
例3计算 ' I ： I ：! 1 ■ -：!'：分析
1 1 力 4” 折
可以先用加法交换律整理顺序如下： 1-工1十工1十1十兀* 1十严
再用逐步通分法化简.
< y 2 x 、 x （ -- +
- +
---- ）中"1
例4化简 x f 宀y +硼 y +矽解原式
（-）a + 2（丄）+ 1（乘法分配律）
x x
4.巧用已知条件 例5当x 2 — 4x + 1=0时,
解原式二十-宁害
K - 1 耳（JE 一 1）
（云十
1）（號_1）
X （K - 1）
为了求岀代数式的值，将己知条件变形为疋+1 =伉 则原式二竺=4
x
原式卜卜矗一詞诗】]怡"◎■诗
6 •巧变形 例7计算
[ ] 1
尹证而+乔丽弓+…刁丽匚丽 分析 我们注意一个事实
求角"士）呃
5 •巧用乘法公式
例6计算 b a b J 『
（丁吋計）
解应用立方和公式
x （x+y ） x+y y （x+y ）
解设・=必则咅三丄 原式=
丄・2) + (1」
a b u
u
u
u
U ■'一 1
, U 2 - 2u.十 1 11十1
U
ll
u
b 3
(u +1) (u — 1)审 U
. U u
口
(耳- ⑴4 D U T
通过换元，降低了式子中字母的次数，便于计算.
0十1)@+ 2)0 斗 3伍亠 4) 41
例9计算
/十为朽
解 把分子括号适当搭配［(a +
2 2 2
1)(a + 4)][(a + 2)(a + 3)] + 1=(a + 5a + 4)(a + 5a + 6) + 1 .这时若把 a + 5a + 5 看作
m 贝U a 2 + 5a + 4=m- 1 a 2 + 5a + 6=n + 1
二原式_血-如1) + 1
m 2
-1+1
= =m
IIL
m
=a + 5a + 5
讨论分式问题的四点注意 1.讨论分式有无意义时，要注意对原分式进行讨论，不能在约分后再讨 论.因为约分后常会使未知数取值范围扩大.
y + 9
例1当蠶取何值时，分式 a
r W 意义.
X - K - 6
由x 一3工0得XM 3. •••当x^3时，原
2 5-
3 1 1
3x5 "3x5 ■ ■ 3 亏
■4 7-3 1
- -
1
3x7 3x7 3 7'
一般地有
f
a h \ \
ab
ab ab b a
解：原式=
+
+ ....... +
j-1 J -2 沙 2 誥和
沙
99 r + 10Q
1 1 1
虻1；附2) i+： W
_ 1 1
4 ii -i
4 il +
x + 1 i + 100 1 1 1
.
99
(屮 9驰 HOO)卄99 x+100
91)估+ 100)
原式二 一
—-1
错解 原式=
针对本题
3丿 八
( ------ )r (—丰 -----2}
7 •巧换元 例8化简 「 ■ ■ 7
分式有意义. 分析 上述解法是错误的，事实上当x=-2时，原分式也没有意 义.
2.讨论分式的值为零时，不但要使分子的值为零，而且还要注意使分母的
x=1时，分式的分母为零，分式无意义.
3. 讨论繁分式有无意义时，不能只讨论最后一层分母，而且要注意对每层
例3北为何值时，繁分式有意义-
1 + -----
分母都要讨论.
x-1
错解由x —
1工0得XH 1 .
•••当XH1时，原繁分式有意
分析原分式中1 +亠是分母，当潭值使每一层的分母的值
义.
；1
都不为零
时，繁分式才有意义.
4. 讨论分式方程的解时，不但要使各分母的值不能为零，还要注意分子为
例4解关于龙的方fi-^- = 4-a.
零的特殊情况.
^7
错解 方程两边同乘以x — 1
得. (4 — a)(x — 1) = 2a ， 即(4 — a)x=4 + a .
当 a=4时，原方程无
井析当割=0吋・廉方程变为-^ = 4,愛取任何值都不满足这个方
解. 疋一1
程.错
解只注意对a=4的讨论.而忽视了对a=0的特殊情况的讨论.
值不能为零.
例戈当曲何值时，分式亠二的值为零.
错解由X 2—
仁0,得 x=± 1. 二当…时分式求昙的值样
分析当。