物理必修2《万有引力》典型例题

【1】天体的质量与密度的估算 下列哪一组数据能够估算出地球的质量

A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离

B.地球表面的重力加速度与地球的半径

C.绕地球运行卫星的周期与线速度

D.地球表面卫星的周期与地球的密度 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，卫星的运行周期为T ，轨道半径为r

根据万有引力定律：r T

4m r Mm G 2

22π=……①得：23

2G T r 4M π=……②可见A 正确

而T r

2v

π=

……由②③知C 正确 对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R ……④ 由于3

R 4M 3

π=

ρ

……⑤结合②④⑤得：

G

3T 2π

=

ρ 可见D 错误 球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2

R Mm

G mg =得：G g R M 2=

可见B 正确

【2】普通卫星的运动问题

我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h ，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是赤道平面,周期为24 h 。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？

解析：由开普勒第三定律T 2∝r 3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大

又根据牛顿万有引力定律r v m

ma r

Mm G 2

2==得：

2r M

G

a =，可见“风云一号”卫星的向心加速度大， r

GM v =，可见“风云一号”卫星的线速度大，

“风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h ，即第二天上午8点钟。

【探讨评价】由万有引力定律得：2

M

a G r

=，v =

ω=

2T π

=

【3】同步卫星的运动

下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：

A 、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上

B 、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h

C 、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上

D 、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。

解析：同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h ，角速度ω一定

根据万有引力定律r T 4m

r mM G 2

2

2π=得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故B 正确，C 错误。 不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A 错误。

由r v m

m a r

Mm G 2

2==知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。

故正确答案是：B 、D 【4】“双星”问题

天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。设双星的质量分别是m 1、m 2，星球球心间距为L 。问：

⑴两星体各做什么运动？

⑵两星的轨道半径各多大？⑶两星的速度各多大？ 解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律

⑴由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。因此它们只能做匀速圆周运动。 ⑵由牛顿定律2

2

21212

21r m r m L m m G

ω=ω=……① 得：1221m m r r = 又L r r 21=+……②

解得：L m m m r L m m m r 2

11

2

2

12

1

+=+=……③

⑶由①得：)m m (L G

m L r Gm r v 212

21211+==

ω=

)m m (L G m L r Gm r v 211

2

2122+==

ω=

【5】“两星”问题

如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是

T 1、T 2，(T 1＜T 2)，且某时刻两卫星相距最近。问： ⑴两卫星再次相距最近的时间是多少？ ⑵两卫星相距最远的时间是多少？

解析：本题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及其卫星的运动规律 ⑴依题意，T 1＜T 2，周期大的轨道半径大，故外层轨道运动的卫星运行一周的时间长。设经过△t 两星再次相距最近 则它们运行的角度之差πφ

2=?……①

π=π

-π2t T 2t T 2:

2

1即 ……② 解得：122

1T T T T t -=

2

⑵两卫星相距最远时，它们运行的角度之差()πφ

12+=?k ……③

()π+=π-π1k 2t T 2t T 2:

2

1即……④ k=0.1.2…… 解得：1

22

1T T T T 21k 2t -?

+=

……⑤ k=0.1.2……

【6】同步卫星的发射问题

发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。设轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，

⑴比较卫星经过轨道1、2上的Q 点的加速度的大小；以及卫星经过轨道2、3上的P 点的加速度的大小

⑵设卫星在轨道1、3上的速度大小为v 1、v 3 ，在椭圆轨道上Q 、P 点的速度大小分别是v 2、v 2/，比较四个速度的大小

解析：⑴根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由于地球吸引卫星的引力产生的。即：ma r

Mm

G

2=可见 卫星在轨道2、3上经过P 点的加速度大小相等；

卫星在轨道1、2上经过Q 点的加速度大小也相等；但P 点的加速度小于Q 点的加速度。 ⑵1、3轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力做匀速圆周运动

由r v m

r

Mm G 2

2=得：r

GM

v =

可见：v 1＞v 3

由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，近地点Q 速度大，远地点速度小，即：

v 2＞v 2/

卫星由近地轨道向椭圆轨道运动以及由椭圆轨道向同步轨道运动的过程中，引力小于向心力，

r v m

r

Mm G 22=，卫星做离心运动，因此随着轨道半径r 增大，卫星运动速度增大，它做加速运动，

可见：v 2＞v 1，v 3＞v 2/ 因此：v 2＞v 1＞v 3＞v 2/

【7】 “连续群”与“卫星群”

土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一部分，即土星的“连续群”，还是土星的“卫星群”，可以通过测量环中各层的线速度v 与该层到土星中心的距离R 之间的关系来判断：

A 若v ∝R ，则该层是土星的连续群

B 若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群

C 若v 2∝R ，则该层是土星的卫星群

D 若R

1

v ∝

，则该层是土星的连续群

解析:⑴该环若是土星的连续群，则它与土星有共同的自转角速度，R v ω=，因此v ∝R

⑵该环若是土星的卫星群，由万有引力定律R v m R

Mm G 2

2

=得：

R

1

v 2∝

故A 、D 正确 【8】宇宙空间站上的“完全失重”问题

假定宇宙空间站绕地球做匀速圆周运动，则在空间站上，下列实验不能做成的是： A 、天平称物体的质量 B 、用弹簧秤测物体的重量

C 、用测力计测力

D 、用水银气压计测飞船上密闭仓内的气体压强

E 、用单摆测定重力加速度

F 、用打点计时器验证机械能守恒定律

解析：宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时，地球对飞船的引力提供了向心加速ma r Mm

G

2

=，可见2

r M

G

a =……① 对于飞船上的物体，设F 为“视重”，根据牛顿第二定律得：a m F r

Mm G /2

/

=-……② 解得：F=0，这就是完全失重

在完全失重状态下，引力方向上物体受的弹力等于零，物体的重力等于引力，因此只有C 、F 实验可以进行。其它的实验都不能进行。 【9】黑洞问题

“黑洞”问题是爱因斯坦广义相对论中预言的一种特殊的天体。它的密度很大，对周围的物质（包括光子）有极强的吸引力。根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时，也将被吸入，最多恰能绕黑洞表面做圆周运动。根据天文观察，银河系中心可能有一个黑洞，距离可能黑洞为6.0×1012m 远的星体正以2.0×106m/s 的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少？（保留一位有效数字）

解析：设光子的质量为m ，黑洞的质量为M ，黑洞的最大可能半径为R ，光子的速度为c

根据牛顿定律R

c m R Mm G 2

2=……①得：对银河系中的星体,设它的质量为m /,它也在绕黑洞旋转 因此r v m

r Mm G 22

=……② 由①②解得：m 103r c v R 8

22

?≈= 【10】宇宙膨胀问题

在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G 在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比较，⑴公转半径如何变化？⑵公转周期如何变化？⑶公转线速度如何变化？要求写出必要的推理依据和推理过程。

解析：设M 为太阳的质量，m 为地球的质量，r 为地球公转的半径，T 为地球公转的周期，v 为地球公

转的速率。

⑴根据r v m r Mm G 22=得：G ↓→2r Mm G F =引↓→r v m r

Mm G 2

2

= →地球做离心运动→轨道半径r ↑→星球间距增大→宇宙膨胀→很久以前地球公转半径比现在要小。

⑵根据r T 4m

r mM G 22

2π=得：GM

r 4T 3

2π= G ↓、r ↑→T ↑→很久以前地球公转周期比现在要小

⑶根据：r v m r

Mm G 2

2

=知：r

GM

v = G ↓、r ↑→v ↓→很久以前地球公转的速率比现在要大

【11】月球开发问题

科学探测表明，月球上至少存在氧、硅、铝、铁等丰富的矿产资源。设想人类开发月球，不断地月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采以后，月球和地球仍看做均匀球体，月球仍然在开采前的轨道运动，请问：

⑴地球与月球的引力怎么变化？⑵月球绕地球运动的周期怎么变化？⑶月球绕地球运动的速率怎么变化？ 解析：⑴由万有引力定律2

r Mm

G

F

=结合数学知识得：Mm 2m M ≥+ 2

m

M Mm +≤

，当m=M 时，积Mm 最大。可见M 、m 相差越大，积越小，而r 一定，故F 就越小 ⑵由r T 4m

r mM G 222π=得：GM

r 4T 3

2π= G 、r 一定，M 增大，T 减小

⑶由r v m r

Mm G 2

2

=知：r

GM

v = G 、r 一定，M 增大，v 增大

【12】“宇宙飞船”及能量问题

宇宙飞船要与正在轨道上运行的空间站对接。⑴飞船为了追上轨道空间站，应采取什么措施？⑵飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，重力势能如何变化？动能如何变化？机械能又如何变化？

解析：⑴根据r v m r

Mm G 2

2

=知：在同一运行轨道上，宇宙飞船与轨道空间站的运行速率是相同的，它不可能追上轨道空间站。

当飞船在较小的轨道上运行时满足：122

1r v m

r Mm G

=

当飞船在较小的轨道上加速运动．．．．

时，1

22

1

r v m

r Mm

G = 随着速度增大，飞船将做离心运动，运行轨道半径增大，逐渐靠近外层轨道r 2才能追上飞船。 可见飞船为了追上轨道空间站，应该从较低的轨道上加速运行。

⑵飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，需要制动减速．．．．，其运动的轨道半径逐渐减小。 由于轨道变化比较慢，制动的阻力又在切线方向,阻力引起的速度的变化很小，所以仍然满足

r

GM

v =

，可见，飞船的动能增加；

由于飞船离地的高度逐渐降低，因此飞船的重力势能减小； 由于飞船需要克服大气阻力和制动力做功，因此飞船的机械能减小。

13、（2009山东高考）2008年9月25日至28日我国成功发射了“神舟”七号载人航天飞船并实现了航天员首次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米

的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是（）

A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

【解析】飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确。飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期

24小时，根据

2

T

π

ω

=可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C正确。飞

船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确。答案：BC

14、（2009安徽高考）大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于137亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对1A型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀，面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径R 和宇宙年龄的关系，大致是下面哪个图像？（）

【解析】图像中的纵坐标宇宙半径R可以看作是星球发生的位移x，因而其切线的斜率就是宇宙半径增加的快慢程度。由题意，宇宙加速膨胀，其半径增加的速度越来越大。故选C

15、（2008山东高考）.据报道，我国数据中继卫星“天链一号Ol星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经770赤道上空的同步轨道。关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（）

A．运行速度大于7.9 km／s C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

B．离地面高度一定，相对地面静止 D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

【解析】由题目可以后出“天链一号卫星”是地球同步卫星，运行速度要小于7.9km/s,而他的位置在赤道

上空，高度一定，A 错B 对。由可知，C 对。由可知，D 错。

16、（2009安徽高考） 2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33”卫星在西伯利亚上空约805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（ ）

A. 甲的运行周期一定比乙的长

B. 甲距地面的高度一定比乙的高

C. 甲的向心力一定比乙的小

D. 甲的加速度一定比乙的大

【解析】由r GM

v =

可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故B 错；由公式GM

R 2T 3

π

=可

知甲的周期小故A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故C 错；碎片的加速度是指引力加速度由

ma R m GM =2得a R

GM

=2

，可知甲的加速度比乙大，故D 对。 17、（2009四川高考）据报道，2009年4月29日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为3.39年，直径2～3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈155°的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为（ ） A.13

3.39

-

B.12

3.39

-

C.32

3.39

D.23

3.3.9

【解析】小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有

2GMm R ＝2

2()m R T

π，可知小行星和地球绕太阳运行轨道半径之比为R 1:R 2＝

2

12

2T T 又根据V GM

R

，联立解得V 1:V 2＝

1

2

T T 已知1

2

T T ＝13.39

，则V 1

:V 2

＝13.39

。

18、（2009福建高考） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为r ，运行速率为v ，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时（ ） A.r 、v 都将略为减小 B.r 、v 都将保持不变

C.r 将略为减小，v 将略为增大

D. r 将略为增大，v 将略为减小

【解析】当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。答案：C

19、（2007海南高考）设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为Ｒ，速度为v ，则太阳的质量可用v 、Ｒ和引力常量Ｇ表示为 。太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度约为地球公转速度的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍。为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为 。

【解析】 根据万有引力定律和牛顿第二定律有R v m R Mm G

2

2

=，整理得G

R v M 2=

太阳绕银河系运动也是由万有引力充当向心力。同理可得

M G

R v G R v M 112109210108.910249≈?=??='。

20、（09年全国高考）)如图，P 、Q 为某地区水平地面上的两点，在P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P 点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G 。

（1）设球形空腔体积为V ，球心深度为d （远小于地球半径），PQ =x ，求空腔所引起的Q 点处的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L 的范围内发现：重力加速度反常值在δ与k δ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

【解析】（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力g m r

Mm

G ?=2………①来计算,式中的m 是Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量,V

M ρ=……………②

而r 是球形空腔中心O 至Q 点的距离2

2x d r

+=………③

g ?在数值上等于由于存在球形空腔所引起的Q 点处重力加速度改变的大小.Q 点处重力加速度改变的方向

沿OQ 方向,重力加速度反常g '?是这一改变在竖直方向上的投影g r

d

g ?=

'?………④ 联立以上式子得2

/322)(x d Vd G g +=

'?ρ,…………⑤

（2）由⑤式得,重力加速度反常g '?的最大值和最小值分别为

()2max d

V

G g ρ='?……⑥

()2

/322min )(L d Vd G g +=

'?ρ……………⑦ 由提设有

()δk g ='?max 、()δ='?min g ……⑧

联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为

1

3/2-=

k L d ,)1(3

/22-=k G k L V ρδ

答案：（1）223/2

()

G Vd

d x ρ+；（2）1

3

/2-=k L d ,)1(3/22-=

k G k L V ρδ

21、（2009北京高考）已知地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，不考虑地球自转的影响。 （1）推导第一宇宙速度v 1的表达式；

（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h ，求卫星的运行周期T 。 【解析】（1）设卫星的质量为m,地球的质量为M,

在地球表面附近满足

mg R Mm

G

=2

得 g R GM 2

= ① 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 22

1R

Mm

G R v m = ②

①式代入②式，得到Rg v =

1

（2）卫星受到的万有引力为 22

2)()(h R mgR h R Mm G F +=+= ③

由牛顿第二定律)(422

h R T

m F +=π ④ ③、④联立解得g

)h R (R 2T

3+π=

答案：（1）Rg v =1 （2）g

)h R (R 2T 3

+π=

22、（2009天津高考）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50?102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2

星的运行周期为15.2年。

(1)

若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50?102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是

太阳质量M s 的多少倍(结果保留一位有效数字)；

(2)

黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服

黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为E p =-G

Mm

R

(设粒子在离黑洞无限远处的势能为零)，式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7?10-11

N ·m 2/kg 2，

光速c=3.0?108

m/s ，太阳质量M s =2.0?1030kg ，太阳半径R s =7.0?108m ，不考虑相对论效应，利用上问结

果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径g R 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。 【解析（1）S2星绕人马座A *

做圆周运动的向心力由人马座A *

对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为

m S2，角速度为ω，周期为T ，则r m r m M G

S S A 2

2

22ω= ① T

πω2= ②

设地球质量为m E ，公转轨道半径为r E ，周期为T E ，则E E E

E

S r m r m M G

22

ω= ③ 综合上述三式得

2

3

??

?

?????? ??=T T r r M M E E S A

式中T E =1年 ④ r E =1天文单位 ⑤

代入数据可得

6104?=S

A

M M ⑥ （2）

0212<-R

Mm G mc ⑦ 依题意可知A R R

=，A M M = 可得2

2c GM R A

A <

⑧

代入数据得m 102.110?

R

17

A

R R ⑩ 23、（2008宁夏高考）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T ，两颗恒星之间的距离为r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G ）

【解析】设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2，做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，角速度分别为w 1,w 2。 根据题意有w 1=w 2

①

r 1+r 2=r

②

根据万有引力定律和牛顿定律，有G

121

12

2

1r w m r

m m = ③ G

12

212

21r w m r

m m = ④

联立以上各式解得2

121

m m r m r +=

⑤ 根据解速度与周期的关系知T

w w π221

=

= ⑥

联立③⑤⑥式解得3

22214r

G T m m π=+

24、（2008全国高考）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M 和m ，地球和月球的半径分别为R 和R 1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r 和r 1，月球绕地球转动的周期为T 。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M 、m 、R 、R 1、r 、r 1和T 表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影）。

【解析】设探月卫星的质量为m 0,万有引力常量为G ，根据万有引力定律有

2

22Mm G m r r T π??

= ??? ① 121

02

10r T 2m r mm G ）（π= ② 式中，T 1是探月卫星绕月球转动的周期。由①②式得23

11T r M T m r ??

??= ? ?

??

?? ③

设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有

1t T αβ

π

-= ④

式中，α=∠CO ′A ，β=∠CO ′B 。由几何关系得

1cos r R R α=- ⑤ 11cos r R β= ⑥

由③④⑤⑥式得

）（r

R arccos r R R arccos mr r M T t 1

13

31--π= ⑦ 或者）（r

R R arccos r R arccos mr r M T t 1

13

31--π=的也同样给分。

25、（2007广东高考）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A 和B 与土星中心距离分别位r A =8.0×104km 和r B =1.2×105km 。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

（1）求岩石颗粒A 和B 的线速度之比。 （2）求岩石颗粒A 和B 的周期之比。

（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N ，推算出他在距土星中心3.2×105km 处受到土星的引力为0.38N 。已知地球半径为6.4×103km ，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

【解析】（1）设土星质量为M 0,颗粒质量为m ,颗粒距土星中心距离为r ,线速度为v,根据牛顿第二定律和万

有引力定律:r

mv r m GM 2

2

0= ① 解得:r

GM v 0

=

。

对于A 、B 两颗粒分别有:

A

A r GM v 0=

和B

B

r GM v 0=

，得:

2

6=B A v v ②

（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T ,则:v

r T

π2=

③

对于A 、B 两颗粒分别有:

A

A

A v r T π2=

和B

B B

v r T π2=

得:

9

6

2=

B A T T ④ （3）设地球质量为M ,地球半径为r 0,地球上物体的重力可视为万有引力,探测器上物体质量为m 0,在地球表面重力为G 0,距土星中心r 0′=5

102.3?km 处的引力为G 0′,根据万有引力定律:

20

0r GMm G =

⑤

2'0

0'0r m GM G =

⑥

由⑤⑥得：950

=M

M ⑦