微分方程一般概念10
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程知识点
高数第七章微分方程的知识点主要包括：
1. 微分方程的基本概念：微分方程是包含导数或微分的方程，一般形式为
f(x, y', ..., y^{(n)}) = 0。
微分方程的阶数是指微分方程中所含导数或微分的最高阶数。
微分方程的解是指使微分方程成立的函数，不含任意常数的解称为特解，若微分方程的解中所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，称这个解为通解。
2. 高阶微分方程：高阶微分方程是阶数大于一的微分方程。
例如，二阶常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + py' + q = 0 (p, q为常数)的方程。
3. 齐次方程：齐次方程是一种特殊的微分方程，可以通过变量代换化为另一种形式的一阶微分方程。
一阶齐次方程的形式为dydx=φ(yx)，或者可化为这种形式的方程。
4. 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程是包含一个未知函数及其导数的一次幂的方程，形式为 dydx+P(x)y=Q(x)。
如果Q(x)=0，则方程为齐次的，反之为非齐次的。
以上内容仅供参考，建议查阅高数教材或咨询专业人士以获取更准确的信息。
微分方程公式大全
以下是一些常见的微分方程公式和概念：
1.一阶线性微分方程：y' + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
2.一阶齐次线性微分方程：y' = f(y/x)，其中f是已知函数。
3.二阶线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x)，q(x)和f(x)是已知
函数。
4.二阶齐次线性微分方程：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
5.可分离变量的微分方程：如果方程可以整理成g(y)dy = f(x)dx的形式，则称
为可分离变量的微分方程。
此时对两边同时积分，就可以得到通解。
6.齐次方程：如果一阶微分方程的右边为0，即y' = f(y/x)，则称为齐次方程。
可以通过令u = y/x进行变量替换，将其化为可分离变量的微分方程。
7.伯努利方程：形如y' + P(x)y = Q(x)y^n的微分方程称为伯努利方程。
可以通
过令z = y^(1-n)进行变量替换，将其化为一阶线性微分方程。
8.全微分方程：如果一阶微分方程的左边恰好是某个函数的全微分，即dy/dx =
f(x,y)，则称为全微分方程。
此时可以通过积分得到通解。
以上是一些常见的微分方程公式和概念，掌握这些公式和概念对于解决微分方程问题非常重要。
当然，还有许多其他的微分方程类型和公式，需要在实际学习和应用中不断积累和掌握。
常微分方程总结7页
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2yy y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y '=。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。
注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在0x 点连续⇔()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
ห้องสมุดไป่ตู้
第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
考研微分方程知识归纳
考研微分方程知识归纳
一、微分方程的基本概念：
1. 微分方程：含有导数或微分的方程称为微分方程。
2. 一阶微分方程：只含有一阶导数的微分方程。
3. 二阶微分方程：含有二阶导数的微分方程。
4. n阶微分方程：含有n阶导数的微分方程。
二、常见的微分方程类型：
1. 可分离变量的方程：可将微分方程写成形如dy/dx = f(x)g(y)的形式，通过分离变量并积分求解。
2. 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)的方程，通过变量替换和分离变量求解。
3. 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)的方程，可以利用积分因子或常系数法进行求解。
4. 高阶线性常系数齐次方程：形如anyn + an-1yn-1 + ... + a1y' + a0y = 0的方程，可以通过特征方程、待定系数法或常系数法进行求解。
三、常见的解法方法：
1. 积分法：将微分方程两边同时积分，然后求解常数项。
2. 变量替换法：通过对变量进行适当的变换，将原方程化简成更简单的形式，再进行求解。
3. 积分因子法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的线性方程，可以乘以积分因子μ(x)后使其变为可积分的形式。
4. 常系数法：对于高阶线性常系数微分方程，根据特征方程的根的情况，可以得到方程的通解。
5. 欧拉方程：对于形如x^n(d^n/dx^n)y + x^m(d^m/dx^m)y = 0
的方程，通过变量替换可以将其转化为常系数方程进行求解。
微分方程及其分类
一定是方程
的解
程右端的级数是收敛的）．
（当然要假定这个方
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进将方程(10.2.11)化为 这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程 (10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为 此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3.当判别式
注：上式中用小写字母
代表常系数，以便与
我们不妨令
大写字母代表某函数区别开来, 例如
．为了化简，
从而有
(10.4.2)
其中 由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简 (10.4.3) 式中 均为常系数．若令
则有 (10.4.4) (10.4.5) 其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.7)
椭圆型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数) (10.4.8) 还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解
微分方程知识点
微分方程知识点微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中许多现象的变化规律。
它是关于未知函数及其导数之间的关系式。
在物理、工程、经济等领域中，微分方程广泛应用。
本文将介绍微分方程的基本概念和常见类型，帮助读者对微分方程有更深入的了解。
一、微分方程的定义微分方程是包含一个或多个未知函数及其导数的方程。
一般形式为：F(x, y, y', ..., y^(n)) = 0其中，x 是自变量，y 是未知函数，y' 是 y 对 x 的导数，y^(n) 是 y 的 n 阶导数（n 为正整数）。
二、常见的微分方程类型1. 一阶微分方程一阶微分方程是只包含一阶导数的微分方程。
常见的一阶微分方程类型包括：（1）可分离变量型dy/dx = f(x)g(y)这类微分方程可以通过变量分离的方法求解。
（2）齐次型dy/dx = f(y/x)这类微分方程可以通过令 y = ux 来化简，得到一阶线性微分方程。
（3）一阶线性微分方程dy/dx + P(x)y = Q(x)其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
该类型的一阶微分方程可以通过积分因子法求解。
2. 二阶线性微分方程二阶线性微分方程是包含二阶导数的微分方程。
一般形式为：a(d^2y/dx^2) + b(dy/dx) + cy = f(x)其中 a、b、c 是常数，f(x) 是已知函数。
这类微分方程可以通过特征方程的根的情况来分类，并利用特解和齐次解的线性叠加原理求解。
3. 高阶线性微分方程和常系数线性微分方程除了二阶线性微分方程，还存在高阶线性微分方程。
当系数为常数时，称之为常系数线性微分方程。
求解方法与二阶线性微分方程类似，但需要考虑更多的特征方程根的情况。
4. 线性微分方程组线性微分方程组是多个未知函数相互依赖的微分方程的集合。
一般形式为：dy1/dx = a11y1 + a12y2 + ... + a1ny_n + F1(x)dy2/dx = a21y1 + a22y2 + ... + a2ny_n + F2(x)...dyn/dx = an1y1 + an2y2 + ... + anny_n + Fn(x)其中，a_ij 和 F_i(x) 是已知函数。
总结微分方程知识点
总结微分方程知识点一、微分方程的基本概念微分方程是一个涉及未知函数及其导数的方程。
一般来说，微分方程可以分为一阶微分方程和高阶微分方程两种。
其中，一阶微分方程是指方程中最高阶导数为一阶的微分方程，高阶微分方程则是指方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x是自变量，y是未知函数，y'是y对x的一阶导数，y''是y对x的二阶导数，y^(n)是y对x的n阶导数，F是关于x、y、y'、y''、...、y^(n)的函数。
二、微分方程的分类根据微分方程的性质和形式，微分方程可以分为很多种类。
其中，常见的微分方程包括：1. 隐式微分方程：形式是F(x,y,y')=0，其中y是未知函数；2. 显式微分方程：形式是y'=f(x,y)；3. 线性微分方程：形式是y^(n)+a(n-1)y^(n-1)+...+a1y'+ay=f(x)或y'=p(x)y+q(x)；4. 非线性微分方程：形式是y'=f(x,y)或F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0，且不满足线性微分方程的条件；5. 高阶微分方程：方程中最高阶导数大于一阶的微分方程。
三、微分方程的解法解微分方程是求解微分方程的一个重要问题。
根据微分方程的类型和形式，可以采用不同的解法进行求解。
常见的解微分方程的方法包括：1. 可分离变量法：当微分方程可以变换为u(x)dy=v(y)dx的形式时，可以使用分离变量法求解微分方程；2. 线性微分方程的解法：对于一阶线性微分方程，可以使用积分因子法或者直接积分法求解。
而对于高阶线性微分方程，可以采用常系数线性齐次微分方程的特征方程法来求解；3. 变换微分方程：通过适当的变换，可以将微分方程化为更简单的形式，从而更容易求解；4. 特殊形式的微分方程的解法：例如可降阶的微分方程、恰当微分方程、齐次微分方程等，都有其特定的解法；5. 数值解法：对于一些难以解析求解的微分方程，可以采用数值解法来进行求解，常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
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kt
kt
课堂 练习
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一、引例
预备 知识
目的 要求
引例2 银行帐户中的余额计算数学模型 某银行帐户以当年余额的3%的年利率连续每年 盈利利息.假设最初存入的数额为1万元，并且这 之后没有其他数额存入和取出，求帐户中余额所 满足的方程.
解：设 y 为时刻 t 时的余额，并且这以后没有存入 和取出，那么余额的变化率就等于利息，即
目的 要求
重点 难点
复习 指导
g sin 0 ( g , l 为常数). 2 dt l
一阶的
课堂 练习
一阶的 说明 dy du 引例 1中的dt = -k(u – 25)引例2中 0.03 y 都是微分方 . 未知函数是一元函数的微分方程 , 叫常微分方程 dt 程 ，且是常微分方程。 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
第八章 常微分方程
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背
预备 知识
景
1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的 冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微 分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类
目的 要求
重点 难点
似的实例还有很多．在微分方程的发展史中，数学 家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、
拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
1 dy dy 0.03dt 0.03 y 将方程写成 y dt 两边积分，得 ln y 0.03t C1,
y e0.03t C1 eC1 e0.03t
第八章 常微分方程
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一、引例
引例2 银行帐户中的余额计算数学模型
预备 知识
y e
通解 特解 说明
课堂 练习
引例2中， y Ce u=25 + c e u=25 + 125 e 引例1 中， dy 都是 du 0.03 y 的解 都是 dt dt = -k(u – 25) 的解
0.03 t kt
0.03t kt y 10000 e 和 和
第八章 常微分方程Fra bibliotek9/16
复习 指导
课堂 练习
第八章 常微分方程
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一、引例
预备 知识
引例1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置在空气温度为 25℃的环境中冷却，在
时刻 t = 0 时，测量得它的温度为 u0 =150℃，10 分 钟后测量得温度为 u1 =100 ℃ , 我们要求决定此物 体的温度 u 和时间 t 的关系. 解 根据牛顿冷却定律：物体温度的变化率与物体和 当时空气温度之差成正比例。设物体在时刻t 的温度 du 为 u = u ( t )， 则温度的变化率以 来表示，因物体将
第八章 常微分方程
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二、微分方程的基本概念
预备 知识
主要问题——求方程的解
目的 要求
重点 难点
复习 指导
2、微分方程的解 定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式 的函数，都叫做该方程的解. 微分方程的解的分类： 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解 为该方程的通解 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解， 称为方程的特解.
重点 难点
复习 指导
量之间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676 年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程， 直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科 . 微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世
课堂 练习
界的重要工具． 1846年,数学家与天文学家合作，通过 求解微分方程，发现了一颗有名的新星——海王星．
二、微分方程的基本概念
预备 知识
3、初始条件 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称
为初始条件. 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为 初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
目的 要求
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
说明
dy 引例2 是求方程 dt 0.03 y 满足初始条件
y t 0 10000 的解
0.03t
可解得
0.03t
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C 10000
于是帐户中的余额所满足的方程为：
y 10000 e
第八章 常微分方程
二、微分方程的基本概念
1、微分方程
预备 知识
定义1 凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微 分方程。 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶.
二阶的 d 2
d ( u 25) u 25
重点 难点
= - kdt
1
复习 指导
两边积分，得 ln(u – 25) = -kt + c1 kt c 令 ec1 =c，即得 由对数有定义，得 (u – 25) = e u=25 + c e 当 t = 0时，u =u0 代入左式得 c = u0-25=150-25=125 由此 u=25 + 125 e
0.03t C1
e e0.03t
C1
目的 要求
y e e
C1
0.03t
c1 C e 如果设任意常数
就得到：
重点 难点
y Ce
0.03t
因为最初存入的是1万元，所以
复习 指导
y t 0 10000 即 y 0 10000
将此条件代入
课堂 练习
y Ce
du 随时间而逐渐冷却， 故温度变化率dt du 立起函数u( t )满足的微分方程 dt
目的 要求
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
dt
恒负，由此可建
= -k(u – 25)
第八章 常微分方程
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一、引例
引例1 物体冷却过程的数学模型
预备 知识
du dt
= -k(u – 25)
目的 要求
为了决定物体的温度u和时间t的关系，将上式改写成
预备 知识
目的 要求
重点 难点
一、引例 二、微分方程的基本概念
复习 指导
三、小结
课堂 练习
第八章 常微分方程
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背
预备 知识
景
函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的
目的 要求
一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许 多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系，却
比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变
第八章 常微分方程
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二、微分方程的基本概念
预备 知识
目的 要求
例1 设一物体从Ａ点出发作直线运动，在任一时 刻的速度大小为运动时间的两倍．求物体的运动方程． 解 设物体的运动方程为 s s( t ) 由题意，知 s(t ) 2t