杭二中高一期中数学试题卷
浙江省杭州二中高一数学上学期期中试题【会员独享】.doc
杭州二中第一学期高一年级期中考试数学试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题和填空题）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分， 满分100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答卷．．相应空格中） 1. 满足{}1,1{1,0,1}A-=-的集合A 共有（ ）A.2个B. 4个C. 8个D. 16个2. 三个数20.520.5,log 0.5,2a b c ===之间的大小关系是 （ ） A ．a c b << B. b c a << C. b a c << D. a b c <<3. 下列函数中是偶函数的是 ( ) A .3y x=-B.]3,3(,22-∈+=x x yC.x y 2log =D.2-=x y 4. 已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－3D ．35. 已知函数()833-+=x x f x，用二分法求方程()33801,3x x x +-=∈在内近似解的过程中，取区间中点02x =，那么下一个有根区间为 ( ) A ．（1,2） B ．（2,3） C ．（1,2）或（2,3）都可以 D ．不能确定6. 函数y =）A ．[1,)+∞B ．2(,)3+∞ C ．(,1]-∞ D ．2(,1]37. 已知()f x 为R 上奇函数，当0x ≥时,2()2f x x x =+，则当0x <时，()f x =( ).A.22x x - B. 22x x -+ C. 22x x + D. 22x x -- 8. 甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地，途中都使用两种不同的速度1v 与2v （1v ＜2v ）.甲前一半的路程使用速度1v ，后一半的路程使用速度2v ；乙前一半的时间使用速度1v ，后一半时间使用速度2v .关于甲、乙二人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系，有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时间，纵轴s 表示路程，C 是AB 的中点），则其中可能正确的图示分析为 （ ）A .（1） B. （2） C.（3） D . （4） 9. 已知函数(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩满足:对任意实数21,x x ,当12x x <时,总有12()()0f x f x ->,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ． [11,)73B ． 1(0,)3C ．11(,)73D ．[1,1)710. 定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数||2x y =的定义域为[],a b ，值域为[]1,2，记区间[],a b 的最大长度为m , 最小长度为n ．则函数)2()(n x m x g x +-=的零点个数是 （ ）A ．1B ．2C ．0D ．3二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分 ．把答案填在答卷中相应横线上） 11.函数2y =的值域是 ▲ . 12. 已知集合{}{222,,M y y x x x R N x y ==-++∈==，那么集合MN为 ▲ .13. 设函数2 0()() 0.x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，，， ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 ▲ .14. 方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的范围是 ▲ .15. 已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是 ▲ .16. 定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，例如，121*=，则函数2()(1)f x x x =*-的最大值为▲ . 17. 下列说法：①函数()212log 23y x x =--的单调增区间是(),1-∞；②若函数()y f x =定义域为R 且满足()()11f x f x -=+，则它的图象关于y 轴对称；③函数()()1||xf x x R x =∈+的值域为(1,1)-；④函数2|3|y x =-的图象和直线 ()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值可能是0,2,3,4；⑤若函数2()25(1)f x x ax a =-+>在[]1,3x ∈上有零点，则实数a 的取值范围是,3].其中正确的序号是 ▲ .杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答题卷 一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. . 12. . 13. . 14. .15. . 16. . 17. .三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值.19. （本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．20. （本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知幂函数(2)(1)(),k k f x xk Z -+=∈，且()f x 在()0,+∞上单调递增.（Ⅰ）求实数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式；（II ）若()2()43F x f x x =-+在区间[2,1]a a +上不单调．．．，求实数a 的取值范围； （III ）试判断是否存在正数q ，使函数()1()(21)g x qf x q x =-+-在区间[1,2]-上的值域为17[4,]8-. 若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由.杭州二中第一学期高一年级期中考试数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11. [02]，. 12. []3,2- . 13. 14-. 14. 5[2,)2.15. 12{|}33x x <<. 16. 32. 17. ③ ④ ⑤.三、解答题（本大题共4小题，共39分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）18. ( 本小题满分8分）(Ⅰ) 2213log lg1481192lg1)2132710044-⎛⎫-++=--+=- ⎪⎝⎭（Ⅱ）已知11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值. 解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=， ∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=， ∴2212472453734x x x x --+--==+--19.（本小题满分8分）若集合2{|log (2)2,01}a A x x x a a =--<>≠且，（Ⅰ）若2=a ，求集合A ；（Ⅱ）若3A ∈，求实数a 的取值范围．解:（Ⅰ）若2=a ，22log (2)2x x --<，则2024x x <--<得21x -<<-或 23x <<所以{|2123}A x x x =-<<-<<或（Ⅱ）因为3A ∈，所以2log (332)2a --<，log 42a <，当1a >时，24a >，2a ∴>；当01a <<时，24a <，∴01a << 所以实数a 的取值范围是(0,1)(2,)+∞. 本小题满分11分）已知函数4()nf x x x=-，且(4)3f =. （Ⅰ）判断()f x 的奇偶性并说明理由；（Ⅱ）判断()f x 在区间()0,+∞上的单调性，并证明你的结论；（Ⅲ）若在区间[1,3]上，不等式()221f x x m >++恒成立，试确定实数m 的取值范围. 解：（Ⅰ）由(4)3f =得： 1n =()(),00,-∞+∞∴函数()f x 在()(),00,-∞+∞上为奇函数。
2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（ ） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ）A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√1778．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（ ） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)12．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝CC 1＝4，P 为棱B 1C 1的中点，Q 为棱BB 1上的动点，平面APQ 与棱A 1C 1交于点R ，则下列说法中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使得A 1Q ⊥APB ．线段C 1R 长度的取值范围是[0，2]C ．当点Q 与点B 重合时，四棱锥C ﹣AQPR 的体积为16D ．设截面AQPR ，△APR ，△APQ 的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 12S 2S 3∈[4，92]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于 ．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 ． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ． （1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值； （2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ． （1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．20．（12分）在三棱锥P ﹣ABC 中，面P AC ⊥面ABC ，AP ⊥PC ，PC ＝2BC ＝2，∠ACP ＝∠ACB ＝45°． （1）求证：BC ⊥BP ；（2）求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，面ABC ⊥面BCC 1B 1，且B 1C ⊥AB ，点D 为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．2022-2023学年浙江省杭州二中等四校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1．化简PA →−PB →+AB →所得的结果是（ ） A ．2AB →B ．2BA →C ．0→D ．PA →解：∵PA →−PB →+AB →=BA →+AB →=0→． 故选：C ．2．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD ．若m ∥α，m ⊥β，则α⊥β解：对于A ，平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，也可以相交，故A 错误， 对于B ，若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α或者m ⊂α，故B 错误，对于C ，若α⊥β，α⊥γ，不能得到β∥γ，例如正方体一个顶点处的三个平面分别为α，β，γ，故C 错误，对于D ，若m ∥α，m ⊥β，则由面面垂直的判定可知，α⊥β，故D 正确， 故选：D ．3．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A ．145π3B ．116π3C ．65πD ．52π解：如图，作AD ∥BC ，在Rt △ADE 中， AD =√AE 2−ED 2=√52−(5−2)2=4， 即圆台的高为4，则该圆台的体积为V =13π（22+52+2×5）×4＝52π． 故选：D ．4．已知O 是原点，点A （﹣2，4），B （1，a ），若∠ABO 为钝角，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，2） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，3）D ．（﹣∞，1）∪（3，+∞）解：点A （﹣2，4），B （1，a ）， BO →=（﹣1，﹣a ），BA →=（﹣3，4﹣a ），若∠ABO 为钝角，则BO →，BA →不共线，且BO →•BA →＜0， ∴3+a （a ﹣4）＜0，且a ﹣4≠3a ，∴1＜a ＜3． 故选：C ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：∵a cos B ＝c ，∴由正弦定理得：sin A cos B ＝sin C ， ∴sin A cos B ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴cos A sin B ＝0，∴A =π2．又∵△ABC 是直角三角形⇔A =π2或B =π2或C =π2．∴“a cos B ＝c ”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件． 故选：B ．6．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，点P ，Q 分别是线段BB 1，AC 1上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．对于任意一点Q ，直线D 1Q 与直线BB 1是异面直线 B ．对于任意一点Q ，存在一点P ，使得CP ⊥D 1QC ．对于任意一点P ，存在一点Q ，使得CP ⊥D 1Q D ．以上说法都不正确解：对于A ：当点Q 为AC 1中点时，直线D 1Q 即直线D 1B ，与BB 1共面，故A 错误；对于B ：当BP =95时，△CBP 与△C 1CB 相似，CP ⊥BC 1， 所以CP ⊥AD 1，因为CP ⊂面BCC 1B 1，C 1D 1⊥面BCC 1B 1， 所以CP ⊥C 1D 1，又因为C 1D 1∩AD 1＝D 1，C 1D 1⊂面AC 1D 1，AD 1⊂面AC 1D 1， 所以CP ⊥面AC 1D 1，D 1Q ⊂面AC 1D 1， 所CP ⊥D 1Q ，故B 正确；对于C ：长方体中C 1D 1⊥面BCC 1B 1，CP ⊂面BCC 1B 1 所以对任意点P ，CP ⊥C 1D 1， 而D 1Q 与C 1D 1不平行，所以不存在点Q 使得对任意点P ，CP ⊥D 1Q ，故C 错误； 对于D ：B 选项正确，故D 错误， 故选：B ．7．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4，E 是AC 的中点，则DE 的长度为（ ） A ．2√377B ．2√177C ．√377D ．√177解：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，AB ＝3，AC ＝4， 所以BC =√AB 2+AC 2=5，sin B =ACBC =45， 因为BD CD=AB AC=34，又BD +CD ＝5，所以解得BD =157，在△ABD 中，又∠BAD ＝45°， 由正弦定理BDsin∠BAD=ADsinB，可得157√22=AD45，解得AD =12√27， 在△ADE 中，AE ＝2，∠EAD ＝45°，由余弦定理可得DE 2＝AE 2+AD 2﹣2AE •AD •cos ∠EAD ，可得DE 2＝22+（12√27）2﹣2×2×12√27×√22=14849， 所以DE =2√377． 故选：A ．8．已知正四面体P ﹣ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足AD ＝3DB ．若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A ．[2√3，4]B ．[2√2，4]C ．[2√2，6]D ．[2√3，6]解：设正四面体棱长为a ，球半径为R ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝3π，r =√3， 设PH ⊥平面ABC 于H ，则H 是△ABC 中心，且球心在PH 上， 连接CH ，并延长与AB 交于点G ，连接OG ，OD ，DH ， PH ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PH ⊥AB ，AB ⊥GC ， ∵PH ∩GC ＝H ，∴AB ⊥平面OGC ， ∵OG ⊂平面OGC ，∴AB ⊥OG ，HC =23×√32a =√33a ，PH =√a 2−(33a)2=√63a ， 则R 2＝（√63a −R ）2+（√33a ）2，解得R =√64a ，当截面过球心时，R =√3，此时棱长最短，故R =√64a =√3，a ＝2√2， 当OD ⊥截面时，棱长最长，此时OD 2＝OG 2+GD 2＝OH 2+GH 2+GD 2＝（√612a ）2+（√36a ）2+（a 4）2， 解得OD =√34a ，∴R 2＝3+（√34a ）2＝（√64a ）2，解得a ＝4． 综上，a 的取值范围是[2√2，4]． 故选：B ．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列命题正确的是（ ） A ．若a →⋅c →=b →⋅c →，则a →=b →B ．若a →∥b →，则a →⋅b →=|a →||b →| C ．若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⊥b →D ．若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →∥b →解：对于A ，由a →⋅c →=b →⋅c →，得c →⋅(a →−b →)=0， 则a →=b →或c →⊥(a →−b →)，选项A 错误；对于B ，a →⋅b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞，当a →，b →反向时，a →⋅b →=−|a →||b →|，选项B 错误； 对于C ，若|a →+b →|=|a →−b →|，则a →2+2a →⋅b →+b →2=a →2−2a →⋅b →+b →2， 化简可得a →⋅b →=0，则a →⊥b →，选项C 正确；对于D ，若a →⋅c →=b →⋅c →=0，则a →⊥c →，b →⊥c →，则a →∥b →，选项D 正确． 故选：CD ．10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则（ ） A ．AC ⊥B 1D 1 B ．A 1F ⊥AB 1 C ．BD 1⊥平面B 1EFD ．D 1F ∥平面A 1DE解：对于选项A ，连接BD ，∵DD 1＝BB 1，DD 1∥BB 1，∴四边形B 1D 1DB 是平行四边形，∴BD ∥B 1D 1， 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥B 1D 1，故A 正确； 对于选项B ，连接A 1B ， ∵BF ⊥平面ABB 1A 1∴BF ⊥AB 1， 又∵A 1B ⊥AB 1，∴AB 1⊥平面A 1BF ， ∴AB 1⊥A 1F ，故B 正确；对于选项C ，连接BD ，AC ，AB 1，CB 1，∵DD 1⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BD 1D ， ∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1， ∵AC ∩AB 1＝A ，∴BD 1⊥平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面B 1EF 不成立，故C 错误； 对于选项D ，若D 1F ∥平面A 1DE ，又∵平面A 1DE ∩平面AD 1F ＝LG ，∴D 1F ∥LG ， ∵L 是线段AD 1的中点， ∴LG 是△AD 1F 的中位线， ∴G 是线段AF 的中点， 又∵E 是线段AB 的中点，∴EG 是△ABF 的中位线，∴EG ∥BC ， 又∵AD ∥BC ，∴EG ∥AD ， 这与EG ∩AD ＝D 相矛盾， 故假设不成立，故D 错误． 故选：AB ．11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√2，则下列选项正确的是（ ） A ．若B =π4，1＜b ＜√2，则△ABC 有两解B ．若B ∈(π2，π)，b ＞√2，则△ABC 无解 C ．若A +B ＝2C ，则a +b 的最大值为2√2D ．若△ABC 为锐角三角形，且B ＝2C ，则sinA ∈(√24a ，12a)解：对于A ，因为B =π4，1＜b ＜√2，所以c sin B ＜b ＜c ，则△ABC 有两解，A 正确； 对于B ，因为B ∈(π2，π)，b ＞√2，所以△ABC 有且仅有一解，B 错误； 对于C ，由{0＜π−3C ＜π20＜2C ＜π20＜C ＜π2得π6＜C ＜π4，则sinC ∈(12，√22)，因为asinA =csinC，所以sinA=asinCc∈(√24a，12a)，D正确；对于D，因为A+B＝2C，所以C=π3，又因为asinA =bsinB=csinC=√2√32=2√63，所以a=2√63sinA，b=2√63sinB，则a+b=2√63sinA+2√63sinB=2√63sinA+2√63sin(2π3−A)=2√63(32sinA+√32cosA)=2√2sin(A+π6 )，由0＜A＜2π3，得π6＜A+π6＜5π6，所以当A+π6=π2，即A=π3时，a+b取得最大值2√2，C正确．故选：ACD．12．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝CC1＝4，P为棱B1C1的中点，Q为棱BB1上的动点，平面APQ与棱A1C1交于点R，则下列说法中正确的是（）A．存在点Q，使得A1Q⊥APB．线段C1R长度的取值范围是[0，2]C．当点Q与点B重合时，四棱锥C﹣AQPR的体积为16D．设截面AQPR，△APR，△APQ的面积分别为S1，S2，S3，则S12S2S3∈[4，92]解：∵CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），A1（4，0，4），B1（0，4，4），P（0，2，4），设点Q （0，4，a ），R （b ，0，4），其中0≤a ≤4，0≤b ≤4，对于A ，若存在点Q ，使得A 1Q ⊥AP ，且A 1Q →=（﹣4，4，a ﹣4），AP →=（﹣4，2，4）， A 1Q →⋅AP →=16+8+4（a ﹣4）＝0，解得a ＝﹣2，不合题意，故A 错误； 对于B ，设AR →=mAP →+n AQ →，其中m ，n ∈R ，即（b ﹣4，0，4）＝m （﹣4，2，4）+n （﹣4，4，a ）， 即{−4m −4n =b −42m +4n =04m +an =4，可得b =16a−8+4，∵0≤a ≤4，则﹣8≤a ﹣8≤﹣4， ∴b =16a−8+4∈[0，2]，故B 正确；对于C ，当点P 与点B 重合时，a ＝0，b ＝1， 此时R 为A 1C 1的中点，如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，则AB ∥A 1B 1，且A 1B 1＝AB ， ∴P 、R 分别为B 1C 1、A 1C 1的中点，则PR ∥A 1B 1，且PR =12A 1B 1，∴PR ∥AB ，且PR =12AB ，同理C 1R ∥AC ，且C 1R =12AC ，C 1P ∥BC 且C 1P =12BC ， ∴PR AB=C 1P BC=C 1R AC=12，∴几何体ABC ﹣RPC 1为三棱台，S △ABC =12AC ×BC =8，S △C 1PR =12C 1P ⋅C 1R =2， V ABC−GEC 1=13(S △ABC +S △C 1PR +√S ABC S △RPC 1)•CC 1=13×14×4=563， V C−RPC 1=13S △RPC 1⋅CC 1=13×2×4=83， ∴V C−ARPQ =V ABC−RPC 1−V C−RPC 1=16，故C 正确； 对于D ，AP →=(−4，2，4)，AQ →=(−4，4，a)，则点Q 到直线AP 的距离为d 1=√|AQ →|2−(|AP →⋅AQ →||AP →|)2=√5a 2−68a−13，AR →=（b ﹣4，0，4），则R 到直线AP 的距离为d 2=√|AR →|2−(|AR →⋅AP →||AP →|)2=4√5a 2−68a−13(8−a)， ∴S 2S 3=d 2d 1=48−a， ∴S 12S 2S 3=(S 2+S 3)2S 2S 3=S 2S 3+S 3S 2+2=48−a +8−a4+2，令t ＝8﹣a ，0≤a ≤4，则t ∈[4，8]， 则y =4t +t4+2， 由双勾函数的性质知y =4t +t4+2在t ∈[4，8]上单调递增， 则当t ＝4时，y min ＝4，当t ＝8时，y max =92， ∴S 12S 2S 3∈[4，92]，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卷的相应位置． 13．已知平面向量a →=(4，3)，|b →|=2，a →与b →的夹角为60°，则|a →+b →|= √39 ． 解：易知|a →|=√42+32=5，a →⋅b →=|a →||b →|cos60°=5×2×12=5， 则|a →+b →|=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√25+10+4=√39． 故答案为：√39．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，那么异面直线BD 和AF 所成角的余弦值等于710．解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，D ，F 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 连接DF ，取BC 的中点E ，连接EF ，EA ，所以异面直线BD 和AF 所成角就是∠EF A ，设棱长为2，可得EF ＝BD =√1+4=√5，AF =√1+4=√5，AE =√4−1=√3， 所以cos ∠EF A =5+5−32×√5×√5=710．故答案为：710．15．在△ABC 中，∠ABC ＝60°，点D 在边AC 上，CD ＝1，AD ＝BD ＝3，则sin A 的值是 √217． 解：由AD ＝BD ＝3得∠ABD ＝∠BAD ， 设∠ABD ＝∠BAD ＝θ，则∠BDC ＝2θ， △ABC 中，由正弦定理得BC sinθ=AC sin∠ABC，所以BC =4sinθsin π3=8√33sin θ， △BDC 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2+CD 2﹣2BD •CD •cos2θ， 即64sin 2θ3=10﹣6cos2θ＝10﹣6（1﹣2sin 2θ），故sin 2θ=37=sin 2A ， 由A 为三角形内角得sin A =√217．故答案为：√217． 16．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长是3，E 是DD 1上的动点，P 、F 是上、下两底面上的动点，Q 是EF 中点，EF ＝2，则PB 1+PQ 的最小值是 3√6−1 ．解：以A ，B ，C ，D 为顶点构造棱长为2的正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′，由对称得PB ′＝PB 1，PB 1+PQ ＝PB ′+PQ ， 因为E 是DD 1上的动点，F 是下底面上的动点，则△D 1EF 是直角三角形，Q 是EF 中点，且EF ＝2，故QD 1＝1， 所以PB ′+PQ 取最小值时，D 1，Q ，P ，B ′四点共线， 则D 1B′=3√6，此时PB 1+PQ =3√6−1， 故答案为：3√6−1，四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，EC ＝2DE ，AE 交BD 于点F ． （1）若AF →=λAB →+μAD →，求λ和μ的值； （2）设P 是线段BC 的中点，求AF →⋅AP →的值．解：（1）因为在菱形ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝AB ，EC ＝2DE ， 所以DF FB=DE AB=13，由平面向量基本定理，可得AF →=AD →+DF →=AD →+14DB →=AD →+14(AB →−AD →)=14AB →+34AD →，所以λ=14，μ=34；（2）∵P 是线段BC 的中点，∴AP →=AB →+BP →=AB →+12AD →，∴AF →⋅AP →=(14AB →+34AD →)⋅(AB →+12AD →)=14AB →2+38AD →2+78AB →⋅AD →=14×4+38×4+78×2×2×12=1+32+74=174． 18．（12分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点． （1）求证：直线DE ∥平面ABC 1；（2）若∠A 1AC ＝60°，点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，求三棱锥D ﹣ABC 1的体积．（1）证明：方法一：连接CE 交AC 1于点G ，连接CD 交BC 1于点H ，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1C 1∥AC ，BB 1∥CC 1， ∴EG GC =EC 1AC =12，∴DH HC=BD CC 1=12，∴EG GC=DH HC，DE ∥HG ，又∵EF ⊄面ABC 1，HG ⊂面ABC 1， ∴直线EF ∥平面ABC 1．方法二：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 取B 1C 1中点F ，连接DF ，EF ，∵D 和E 分别是BB 1和A 1C 1的中点， ∴DF ∥BC 1，EF ∥A 1B 1，∴EF ∥AB ，又∵DF ⊄面ABC 1，BC 1⊂面ABC 1，EF ⊄面ABC 1，AB ⊂面ABC 1， ∴DF ∥面ABC 1，EF ∥面ABC 1，又∵DF ∩EF ＝F ，∴面DEF ∥平面ABC 1． ∵DE ⊂面DEF ，∴直线DE ∥平面ABC 1． （2）解：∵直线DE ∥平面ABC 1，∴V D−ABC 1=V E−ABC 1，又点B 到平面ACC 1A 1的距离为√3，设为h B =√3，∴V E−ABC 1=V B−AEC 1=13S △AEC 1⋅ℎB =13×12×1×√3×√3=12．19．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ． （1）求角A ；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7，求△ABC 的面积．解：（1）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足c tan A ＝2a sin C ， 由正弦定理，可得：sin C tan A ＝2sin A sin C ， 则cosA =12，又0＜A ＜π，∴A =π3；（2）若b ＝2c ，点D 为边BC 的中点，且AD =√7， 在△ACD 中，AC 2＝AD 2+CD 2﹣2AD •CD •cos ∠ADC ， 在△ABD 中，AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD •cos ∠ADB ， ∵CD ＝BD ，∠ADC ＝π﹣cos ∠ADB ，∴AC 2+AB 2＝2AD 2+2BD 2，∴(2c)2+c 2=2⋅√72+2BD 2，∴BC 2＝10c 2﹣28， 在△ABC 中，BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC =c 2+(2c)2−2c ⋅2c ⋅12， ∴BC 2＝3c 2＝10c 2﹣28，∴c ＝2， ∴S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =2√3．20．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，面P AC⊥面ABC，AP⊥PC，PC＝2BC＝2，∠ACP＝∠ACB＝45°．（1）求证：BC⊥BP；（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．（1）证明：过P作PH⊥AC交AC于H，连接HB，∵PH⊥AC，面P AC⊥面ABC，面P AC∩面ABC＝AC，∴PH⊥面ABC，∴PH⊥BC，∵∠ACP＝45°，∴CH=PC⋅sin∠ACP=√2，在△BCH中，HB=√CH2+BC2−2CH⋅BC⋅cos45°=1，∴CH2＝BC2+BH2，∴BC⊥BH，又∵PH∩HB＝H，∴BC⊥面PHB，∴BC⊥BP．（2）解：方法一：过H作HD⊥AC交AB于D，以H点为原点，分别以HD，HC，HP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，−√2，0)，C(0，√2，0)，P(0，0，√2)，B(√22，√22，0)， ∴PC →=(0，√2，−√2)，PB →=(√22，√22，−√2)， 设面PBC的一个法向量n →1=(x 1，y 1，z 1)，则n →1⋅PB →=n →1⋅PC →=0，{√22x 1+√22y 1−√2z 1=0√2y 1−√2z 1=0，∴n →1=(1，1，1)，∵PC →=(0，√2，−√2)，PA →=(0，−√2，−√2)，设面P AC 的一个法向量n →2=(x 2，y 2，z 2)，则n →2⋅PA →=n →2⋅PC →=0，{√2y 2−√2z 2=0−√2y 2−√2z 2=0，∴n →2=(1，0，0)， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→||=1√3⋅1=√33． 方法二：过H 作HM ⊥PB ，HN ⊥PC ，∵BC ⊥面PHB ，∴面PBC ⊥面PBH ， 又∵HM ⊥PB ，面PBC ∩面HPB ＝PB ， ∴HM ⊥面PBC ，∴∠MNH 即为二面角A ﹣PC ﹣B 的平面角， 在△PBH 中，PH =√2，HB ＝1，PH ⊥HB ，∴HM =√63，在△PHC 中，PH =HC =√2，PH ⊥HC ，∴HN ＝1， ∴sin ∠MNH =HMHN =√63，∴cos ∠MNH =√33．21．（12分）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD =√5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD ＝θ，θ∈（π2，π）．（1）当cos θ=−√55时，求小路AC 的长度；（2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．（本题满分为14分）解：（1）在△ABD 中，由BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD •cos θ，得BD 2＝14﹣6√5cos θ，又cos θ=−√55，∴BD ＝2√5．∵θ∈（π2，π）， ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−(−√55)2=2√5， 由BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ，得：2√52√5=3sin∠ADB ，解得：sin ∠ADB =35， ∵△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠CDB =π2，且CD =BD =2√5，∴cos ∠ADC ＝cos （∠ADB +π2）＝﹣sin ∠ADB =−35，在△ACD 中，AC 2＝AD 2+DC 2﹣2AD •DC •cos ∠ADC ＝（√5）2+（2√5）2﹣2×√5×2√5×(−35)=37， 解得：AC =√37．（2）由（1）得：BD 2＝14﹣6√5cos θ，S ABCD ＝S △ABD +S △BCD =12×3×√5×sinθ+12BD 2=7+3√52×sinθ−3√5cos θ ＝7+3√52（sin θ﹣2cos θ）＝7+152sin （θ﹣φ），此时，sin φ=25，cos φ=15，且φ∈(0，π2)， 当θ﹣φ=π2时，四边形ABCD 的面积最大，即θ＝φ+π2，此时cos θ=25，sin θ=15， ∴BD 2＝14﹣6√5cos θ＝14﹣6√5×5)=26，即BD =√26． 答：（1）当cosθ=−√55时，小路AC 的长度为√37百米；（2）草坪ABCD的面积最大时，小路BD的长度为√26百米．22．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，面ABC⊥面BCC1B1，且B1C⊥AB，点D为棱A1B1的中点．（1）求证：直线B1C⊥面ABC；（2）若AB＝1，AC=√3，BB1＝3，求直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值．（1）证明：∵AB⊥AC，∴作AH⊥BC交BC于点H．∵AH⊥BC，面ABC⊥面BCC1B1，面ABC∩面BCC1B1＝BC，∴AH⊥面BCC1B1，∴AH⊥B1C，又∵B1C⊥AB，∵AH∩AB＝A，∴B1C⊥面ABC．（2）解：∵AB⊥AC，AB⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴AB⊥面AB1C，AB⊂面ABB1A1，∴面ABB1A1⊥面AB1C．过点C作CE⊥AB1，交直线AB1于点E．则CE⊥面ABB1A1．∴直线CD与面ABB1A1所成角即∠CDE，∵B1C⊥面ABC，∴B1C⊥AC，B1C⊥BC，B1C⊥面A1B1C1，∴B1C⊥A1B1．又AB＝1，AC=√3，BB1＝3，∴BC＝2，B1C=√5，AB1=2√2，CD=√212，CE=√304．∴sin∠CDE=√7014，即直线CD与面ABB1A1所成角的正弦值为√7014．。
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设集合{}N 12A x x =∈-≤≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （）A ．{}2,1,0,1,2--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}12．若函数()1f x +的定义域是{}10x x -<<，则函数()f x 的定义域为（）A ．{}01x x <<B ．{}21x x -<<-C ．{}10x x -<<D ．{}20x x -<<3．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则函数2y ax bx c =+-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知()e e x x xf x a -=+是偶函数，则a =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：0x ∃≥，111x x +<+，则（）A ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是真命题B ．命题p 的否定为0x ∃≥，111x x +≥+，且p 是真命题C ．命题p 的否定为0x ∀≥，111x x +≥+，且p 是假命题D ．命题p 的否定为0x ∀<，111x x +≥+，p 是假命题6．已知函数2()32x a x f x ax x ⎧≤=⎨+>⎩，，是R 上的增．函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1a >B ．13a <<C ．13a -≤≤D ．13a <£7．已知,,abc 为正数，且22a b c ++=，则14a b b c +++的最小值为（）A ．52B ．52C ．92D ．948．已知函数341()=41x x f x x -++，则不等式(21)()0f x f x -+<的解集为（）A ．(1,)+∞B ．(,1)-∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞二、多选题9．设,R a b ∈，若0a b ->，则下列结论正确的是（）A ．0b a ->B ．0b a +>C ．220a b ->D ．330a b +<10．某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A ．三项比赛都参加的有2人B ．只参加100米比赛的有3人C ．只参加400米比赛的有3人D ．只参加1500米比赛的有3人11．设R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，如][1.51, 1.52⎡⎤=-=-⎣⎦，记{}[]x x x =-.则下列说法正确的有（）A ．R,Z x n ∀∈∈，都有[][]n x n x +=+B ．,x y ∀∈R ，都有[][][]xy x y ≥C ．*R,N x n ∀∈∈，都有[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．若存在实数x ，使得23[]1,[]2,[]3,...,[]n x x x x n ====同时成立，则正整数n 的最大值为4.三、填空题12．设集合(){}22,2,N,N A x y x y x y =+≤∈∈，则A 中元素的个数为13．如果2339x x --<，则x 的取值范围为.14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12x x D ∈,当12x x <时，有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0;f =②1()()32x f f x =；③(1)()1f x f x -+=.则21((55f f +=四、解答题15．已知命题22:R,60p x x x a ∃∈-+=，当命题p 为真命题时，实数a 的取值集合为A .(1)求集合A ；(2)设集合{}321B a m a m =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．已知函数()4(0)4x xa f x a =+≠(1)当1a =时，根据定义证明函数()f x 在(0,+∞）上单调递增.(2)若()f x 有最小值4，求a 的值.17．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为7502m 的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m 的小路，中间,,A B C 三个矩形区域将种植牡丹､郁金香､月季（其中,B C 区域的形状､大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为m x ，鲜花种植的总面积为2m S .(1)用含有x 的代数式表示a ，并写出x 的取值范围；(2)当x 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？18．设函数()222f x x tx =-+，其中R t ∈.(1)若1t =，（i ）当[0,3]x ∈时，求()f x 的最大值和最小值;（ii ）对任意的[]0,2x a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；(2)若对任意的12,[0,4]x x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.19．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2()4f x x x =-+.(1)求()f x 的解析式；(2)当()f x 的定义域为[,]a b （0a ）时，()f x 的值域为[,]a b ，求,a b 的取值.(3)是否存在实数,a b ，使得当()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为88[,b a，如果存在，求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.。
2019-2020学年浙江省杭州二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|2x <1}，B ={x|x 2<3}，则A ∩B =( )A. {x|−√3<x <12}B. {x|x <√3}C. {x|−3<x <12}D. {x|x <3} 2. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是( )A. y =1xB. y =e −xC. y =−x 2+1D.3. 已知log 12x >0，那么x 的取值范围是( )． A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (0,1)D. (−∞,1) 4. 函数f(x)=3x +2x −7的零点所在区间为( ) A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 5. 若2x 2+1≤(14)x−2，则函数y =2x 的值域是( ) A. [18,2)B. [18,2]C. (−∞,18]D. [2,+∞) 6. 函数f(x)=2x 1−x 2的图象大致是( )A. B.C. D.7. lg(−1100)2=( ) A. −4B. 4C. 10D. −10 8. 已知函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (54,+∞)B. (19,1)∪(54,+∞)C. (2,+∞)D. (12,1)∪[2，+∞) 9. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=3−2x ，则不等式f(x)>0的解集为 A. (−32,32) B. (−∞,−32)⋃(0,32)C. (−∞,−32)⋃(32,+∞)D. (−32,0)⋃(32,+∞) 10. 二次函数f(x)=ax 2+bx +1的最小值为f(1)=0，则a −b =( )A. −2B. −1C. 1D. 3二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.集合M={y|y=x2−1,x∈R}，集合N={x|y=√3−x2}，则(∁R M)∩N=______．)=__________．12.已知幂函数的图象过点(2,√2)，则f(1413.已知函数f(x)满足f(x−1)=x2−x+1，则f(2)=__________．14.计算：log832−7log73=________．15.已知函数f(x)=1+log a(2x−3)(a>0且a≠0)恒过定点(m,n)，则m+n=______．16.已知f(x)=|x2−1|+x2+kx在(0,2)上有两个零点，则实数k的取值范围是______．17.已知f(x+7)是定义在R上的奇函数，当x<7时，f(x)=−x2，则当x>7时，f(x)=__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）<0}，U=R．18.已知集合A={x|x2−2x−8≤0}，B={x|x−6x+1(1)求A∪B；(2)求(∁U A)∩B；(3)如果非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，且A∩C=⌀，求m的取值范围．19.某企业生产甲、乙两种产品，根据市场调查与预测，甲产品的利润与投资成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润与投资的单位：万元)．(Ⅰ)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(Ⅱ)该企业筹集了100万元资金投入生产甲、乙两种产品，问：怎样分配这100万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？(a>0)在(0,+∞)上的单调性，并给出证明．20.判断函数f(x)=x+ax21.已知函数g(x)=4x−a是奇函数，f(x)=lg(10x+1)+bx是偶函数．2x(1)求a+b的值．(2)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．22.设函数f(x)的定义域为I，对于区间D⊆I，若∃x1，x2∈D(x1<x2)满足f(x1)+f(x2)=1，则称区间D为函数f(x)的V区间．+lgx的V区间；(1)证明：区间(0,2)是函数f(x)=12)x的V区间，求实数a的取值范围；(2)若区间[0,a](a>0)是函数f(x)=(12(3)已知函数f(x)=sinx−ln(1+x)在区间[0,+∞)上的图象连续不断，且在[0,+∞)上仅有2个零点，e x证明：区间[π,+∞)不是函数f(x)的V区间．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于简单题．根据交集的定义求解．【解答】}，B={x|−√3<x<√3}，解：集合A={x|x<12}，则A∩B={x|−√3<x<12故选A．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，属于中档题．根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数，再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减，从而得出结论．【解答】为奇函数；解：y=1xy=e−x为非奇非偶函数；y=−x2+1符合条件，y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数．故选C．3.答案：C解析：【分析】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的性质，属基础题．依题意，根据对数函数的性质求解即可．【解答】解：因为，根据对数函数的性质得0<x<1，故选C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点存在性定理，属于基础题．由f(1)<0，f(2)>0，结合零点存在性定理可得．【解答】解：∵函数f(x)=3x+2x−7，∴f(1)=3+2−7<0，f(2)=9+4−7>0，满足f(2)×f(1)<0，又因为f(x)是递增的连续函数，∴f(x)的零点在区间(1,2)内，故选C．5.答案：B)x−2，解析：解：∵2x2+1≤(14∴2x2+1≤2−2x+4，∴x2+1≤−2x+4，解得−3≤x≤1，,2]，∴函数y=2x的值域为：[2−3,2]即[18故选B．)x−2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y=2x的值域即先由不等式2x2+1≤(14可得出答案．本题考查了函数的值域，属于基础题，关键是先由指数不等式正确求出函数x的取值范围．6.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用，难度较易．可采用特殊值代入排除得答案．解：取x =12，f(12)=11−14=43，排除D ，x =5时，f(x)<0，排除B ，C ．故选A ．7.答案：A解析：解：lg(−1100)2=lg10−4=−4．故选：A ．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的性质，不等式的求解，属于中档题．先考虑函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，再利用复合函数的单调性得出{a >1(a +1)22−2−7>0求解即可． 【解答】解：设函数t(x)=(a +1)x 2−x −7，∵a >0，∴x 0=12(a+1)<2，∴t(x)=(a +1)x 2−x −7，在[2,3]上是增函数，∵函数f(x)=log a [(a +1)x 2−x −7]在[2,3]上是增函数，∴{a >1(a +1)22−2−7>0a >54， 故选：A 9.答案：B解析：【分析】本题考查函数的奇偶性．作出f(x)的图象，由图可得不等式f(x)>0的解集．解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以它的图象关于原点对称，且f(0)=0，作出函数图象如图所示，从图象知不等式f(x)>0的解集为．故选B．10.答案：D解析：解：二次函数f(x)=ax2+bx+1的最小值为f(1)=0，=1，且a>0，∴b−2a∴b=−2a，∴f(1)=a+b+1=0，解得a=1，b=−2，∴a−b=3，故选：D根据二次函数的性质即可求出a，b的值，问题得以解决．本题考查了二次函数的性质，属于基础题．11.答案：[−√3,−1)解析：解：M={y|y=x2−1,x∈R}={y|y≥−1}，故∁R M={y|y<−1}，集合N={x|y=√3−x2}={x|−√3≤x≤√3}，则(∁R M)∩N=[−√3,−1)，故答案为：[−√3,−1)．求出M的补集，从而求出其和N的交集即可．本题考查了集合的运算，考查补集，交集的定义，考查二次函数、二次根式的性质，是一道基础题． 12.答案：12解析：【分析】本题考查幂函数，设幂函数的解析式，根据幂函数的图象过点(2,√2)，求出解析式，然后将14代入求解即可．【解答】解：设幂函数为f(x)=x α，因为图象过点(2,√2)，所以√2=2a ，解得α=12，所以f(x)=x 12，则f(14)=(14)12=12． 故答案为12． 13.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7． 14.答案：−43解析：【分析】此题重点考查了对数的运算性质和对数恒等式，是一个基础题，难度不大．【解答】解：由对数的运算法则有：log 832−7log 73=log 2325−7log 73=53−3=−43，故答案为−43． 15.答案：3解析：【分析】本题主要考查函数的图象经过定点问题，对数函数的图象过定点问题，属于基础题．由条件利用log a 1+1=1为定值，求出n 的值，可得2x −3=1，求得m 的值，从而求得m +n 的值．【解答】解：令2x −3=1，解得：x =2，故f(2)=1+0=1，故m =2，n =1，故m +n =3，故答案为：3．16.答案：(−72,−1)解析：【分析】本题考查函数零点的转化问题，带绝对值的函数化简，考查数形结合思想，构造函数与转化问题的能力，综合性强．由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，由x 的范围化简g(x)，在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象，由图求出两个函数图象有两个交点时，实数k 的取值范围即可．【解答】解：由题意设g(x)=|x 2−1|+x 2，ℎ(x)=−kx ，则g(x)=|x 2−1|+x 2={1,0<x ≤12x 2−1,1<x <2, 在同一个直角坐标系中画出函数g(x)和ℎ(x)的图象如图，当直线ℎ(x)处在两条虚线之间时，函数g(x)和ℎ(x)的图象由两个交点， 把点(2,7)和(1,1)代入求出k =−72、k =−1，所以f(x)=|x 2−1|+x 2+kx 在(0,2)上有两个零点时，实数k 的取值范围是(−72,−1)，故答案为：(−72,−1)． 17.答案：−(x −14)2解析：【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x +7)是定义在R 上的奇函数，∴f(x +7)=−f(−x +7)，∴f(x)=−f(−x +14)， ∴当x >7时，−x +14<7，故f(x)=−f(−x +14)=−(−x +14)2=−(x −14)2， 故答案为−(x −14)2．18.答案：解：(1)集合A={x|x2−2x−8≤0}={x|−2≤x≤4}，<0}={x|−1<x<6}；B={x|x−6x+1∴A∪B={x|−2≤x<6}；(2)全集U=R，∴∁U A={x|x<−2或x>4}，∴(∁U A)∩B={x|4<x<6}；(3)非空集合C={x|m−1<x<2m+1}，∴2m+1>m−1，解得m>−2；又A∩C=⌀，∴m−1≥4或2m+1≤−2，；解得m≥5或m≤−32∴m的取值范围是−2<m≤−3或m≥5.2解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．(1)化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B；(2)根据补集与交集的定义写出(∁U A)∩B；(3)根据非空集合C与A∩C=⌀，得关于m的不等式，求出解集即可．19.答案：解：(1)设投资x万元，利润y万元，则甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，故甲x；的函数关系式为y=14乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，设方程为y=k√x，因为过点(4,6)，所以k=3，故乙的函数关系式为y=3√x；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元(100−x)+3√x(0≤x≤100)故y=14=0，∴x=36求导函数，y′=−142√x∴函数在(0,36)上，y′>0，函数单调增，(36,100)上，y′<0，函数单调减，∴x=36时，函数取得极大值，且为最大值，y max=34答：应投资36万元，最大利润34万元．解析：(1)根据甲产品的利润与投资成正比，过(1.8,0.45)，可得甲的函数关系式；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，过点(4,6)，可得乙的函数关系式；(2)设应给乙投资x万元，则给甲投资(100−x)万元，从而可得函数关系式，求导函数，确定函数的单调性，即可求得最大利润．本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，单峰函数极值就是最值，属于中档题． 20.答案：解：结论：f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且0<x 1<x 2，则f (x 1)−f (x 2)=(x 1+a x 1)−(x 2+a x 2)=x 1−x 2x 1x 2(x 1x 2−a )，当0<x 1<x 2≤√a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1−x 2<0，所以f (x 1)−f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f(x)在(0,√a]上是减函数，当√a ≤x 1≤x 2时，x 1x 2>a ，又x 1−x 2<0，∴f (x 1)−f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴函数f(x)在[√a,+∞)上是增函数，综上可知，函数f(x)在(0,√a]上是减函数，在[√a,+∞)上是增函数．解析：本题考查函数的单调性和判断，考查运用定义证明单调性的方法，考查运算能力，属于基础题．运用单调性定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．21.答案：解：(1)∵g(x)=4x −a 2x 是定义在R 上的奇函数， ∴由g(0)=0得1−a =0，得a =1， 则g(x)=4x −12x ，经检验g(x)是奇函数，由f(−1)=f(1)得lg(10−1+1)−b =lg(10+1)+b ，即2b =lg(1110×111)=lg(110)=−1，即b =−12，则f(x)=lg(10x +1)−12x ，经检验f(x)是偶函数∴a +b =12(2)∵g(x)=4x −12x =2x −12x ，且g(x)在(−∞,+∞)单调递增，且g(x)为奇函数．∴由g(t 2−2t)+g(2t 2−k)>0恒成立，得g(t 2−2t)>−g(2t 2−k)=g(−2t 2+k)，∴t 2−2t >−2t 2+k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立即3t 2−2t >k ，在t ∈[0,+∞)上恒成立令F(x)=3t 2−2t ，在[0,+∞)的最小值为F(13)=−13∴k <−13∴k 的取值范围是(−∞,−13)．解析：(1)根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．(2)根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，根据条件建立方程求出a ，b 的值以及利用函数单调性之间的关系是解决本题的关键．22.答案：解：(1)设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，若f(x 1)+f(x 2)=1，则12+lg x 1+12+lg x 2=1，所以lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，取x 1=45，x 2=54，满足定义，所以区间(0,2)是函数f(x)=12+lg x 的V 区间；(2)因为区间[0,a]是函数f(x)=(12)x 的V 区间， 所以，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，因为f(x)=(12)x 在[0,a]上单调递减，所以(12)x 1>(12)a ，(12)x 2⩾(12)a ，(12)x 1+(12)x 2>2(12)a =(12)a−1，所以(12)a−1<1，a −1>0，a >1，故所求实数a 的取值范围为a >1；(3)因为f(π2)=1−ln(1+π2)e π2>0，f(π)=−ln(1+π)e π<0，所以f(x)在(π2,π)上存在零点，又因为f(0)=0，所以函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，因为函数f(x)=sin x−ln (1+x)e x 在区间[0,+∞)上仅有2个零点，所以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，又因为f(π)<0，所以所以∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)，f(x 1)+f(x 2)<0， 即因此不存在∀x 1，x 2∈[π,+∞)(x 1<x 2)满足f(x 1)+f(x 2)=1， 所以区间[π,+∞)不是函数f(x)的V 区间．解析：本题主要考查了函数单调性以及新定义，属于较难题．(1)根据题意设x 1，x 2∈(0,2)(x 1<x 2)，得到lgx 1+lgx 2=lgx 1x 2=0，x 1x 2=1，即可得解；(2)根据题意得到，x 2∈[0,a](x 1<x 2)使得(12)x 1+(12)x 2=1，得到(12)a−1<1，a −1>0，a >1，即可得解；(3)根据题意得到f(x)在(π2,π)上存在零点，函数f(x)在[0,π)上至少存在两个零点，以f(x)在[π,+∞)上不存在零点，即可得解．。
杭州二中 第二学期高一年级期中考试数学
杭州二中 第二学期高一年级期中考试数学试卷时间 90分钟注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系 4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58-D.79-A.D.C. B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+ 9.若关于x 的方程2sin223cos 310x x m -++-=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,13]--B.(0,13]-C.(1,23]-D.(0,13]+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α为第三象限角，化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j +，2 3i j +，3 2i j -，2 i j -的坐标表示的点共圆.第15题第8题④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中2010学年第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||b t a +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+b a ，于是77272||||(cos ==⋅+=a b a a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t b t a ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(.18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值； （3）设)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅b a 恒成立，求实数m的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3sin(20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m b =，)2,0(π∈x1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立， 因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .20．（本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有2011个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92sin 4)cos (sin 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4sin(0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92sin 4)cos (sin 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t 或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有2009个根，]503,0[π有2013个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有2011个根.。
浙江省杭州二中高一数学第二学期期中考试.doc
杭州二中第二学期高一年级期中考试数学试卷注意：本试卷不得使用计算器一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某扇形的半径为r ，圆心角α所对的弧长为2r ，则α的大小是A.30B.60C. 1弧度D.2弧度 2.要得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需将函数cos2y x =的图象A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位3.若非零平面向量 a b c ，，满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，则 A.,a c 一定共线 B. ,a b 一定共线 C. ,b c 一定共线 D. ,,a b c 无确定位置关系4.在同一直角坐标系中，作出sin ,,tan y x y x y x ===在区间(,)22x ππ∈-的图象,正确的是5.已知(0,)απ∈，17cos()cos()225παπα---=，则tan α的值为A.247-B.247-或724-C. 724-D. 2476.lnsin(2)3y x π=-+的单调递减区间为A. 52(,],123k k k Z ππππ++∈ B. 5(,],612k k k Z ππππ++∈ C. 5(,],1212k k k Z ππππ++∈ D. [,),126k k k Z ππππ-+∈7.设a ，b 是一组非正交的基底，为得到正交基底，可在集合{|}a tb t R +∈中找一个向量与a 组成一组正交基底，根据上述要求，若(1,2)a =，(2,3)b =，则t 的值为A. 38-B.511-C.58- D.79-A. D.C.B.8.已知函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如下，则它的解析式为 A.52sin()126y x ππ=+B.2sin()66y x ππ=+ C.2sin()126y x ππ=+ D.2sin()66y x ππ=+或52sin()126y x ππ=+9.若关于x的方程2sin210x x m -++=在区间[0,]2π上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是A.(1,1--B.(0,1-C.(-D.(0,1+10.已知函数()cos (0)f x x ωω=>，其图象关于点6(,0)7M π对称，且在区间[0,]2π是单调函数，则ω的值为A.74 B. 78 C.74或712 D. 712二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.若角θ的终边经过点(1,1)P -，则cos2θ的值 . 12.已知α的结果为 .13.设()sin f x x =，()cos g x a x =+，[0,2]x π∈，若()f x 的图象与()g x 的图象交点的个数有且仅有一个，则a 的值为 . 14.设函数()cos2sin2f x x a x =+，若55()()88f x f x ππ-=+，那么a 等于 . 15.在ABC ∆中，D 是BC 上一点，2DC DB =-， 若||2,||3AB AC ==，则||AD 的取值范围为 . 16.给出下列4个命题： ①保持函数sin(2)3y x π=+图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为sin()6y x π=+.②在区间[0,)2π上，0x 是tan y x =的图象与cos y x =的图象的交点的横坐标，则064x ππ<<.第15题第8题③在平面直角坐标系中，取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i ,j 作为基底，则四个向量 2i j + 3j + 2j -，2 i j -的坐标表示的点共圆. ④方程33cos sin 1x x -=的解集为{|2,}2x x k k Z ππ=-∈.其中正确的命题的序号为 .杭州二中第二学期高一年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中的横线上．11． 12．13． 14．15. 16.三、解答题：本大题共4小题．共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）已知||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为60. （1）求a b +与a 的夹角的余弦值；（2）当||a tb +取得最小值时，试判断a tb +与b 的位置关系，并说明理由.18.（本小题满分10分）设()sin(2)2sin cos 6f x x m x x x R π=++∈，.（1）当0m =时，求()f x 在[0,]3π内的最小值及相应的x 的值；（2）若()f x 的最大值为12，求m 的值.19.（本小题满足12分）已知定义在R 上的函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>≤，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数sin(2)3y x π=+图象所有的对称中心都在()y f x =图象的对称轴上. （1）求()f x 的表达式； （2）若003()([,])2222x f x ππ=∈-，求0cos()3x π-的值； （3）设((),1)6a f x π=-，(1,cos )b m x =，(0,)2x π∈，若30a b ⋅+≥恒成立，求实数m 的取值范围.本小题满分14分）已知()(|sin ||cos |)4sin29f x a x x x =+++，若9()134f π=-（1）求a 的值；（2）求()f x 的最小正周期（不需证明）； （3）是否存在正整数n ，使得方程()0f x =在区间[0,]n π内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由.杭州二中第二学期高一年级期中考试数学参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有11． 0 12． αtan 2-13 14． 115. )37,31( 16. ○2○3 三．解答题:本大题共4小题，共46分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知1||=，2||=，与的夹角为60. （1）求b a +与a 的夹角的余弦.（2）当||t +取得最小值时，试判断b t a +与b 的位置关系，说明理由. 解：（1）设b a +与a 的夹角为θ，于是160cos ||||=⋅=⋅ b a b a ，7||===+，于是77272||||cos ==⋅+=a b a θ. （2）令43)41(4124||22++=++=+t t t t ，当且仅当41-=t 时，取得最小值，此时04)(=+⋅=⋅+t b a b b t a ，所以b b t a ⊥+)(. 18.（本小题满分10分）设R x x x m x x f ∈++=，cos sin 2)62sin()(π.（1）当0=m 时，求)(x f 在]3,0[π内的最小值及相应的x 的值；（2）若)(x f 的最大值为21，求m 的值. 解：（1）因为]3,0[π∈x ，则]65,61[62πππ∈+x ，所以 21min =f ，此时30π或=x .（2）令)2sin(41)23(2cos 212sin )23(cos sin 2)62sin()(2ϕπ+++=++=++=x m x x m x x m x x f ，其中 2321tan +=m ϕ，于是41)23()(2max ++=m x f ，令2141)23(2=++m ，得：23-=m . 19．（本小题满分12分）已知定义在R 上的函数)2||,0,0)(cos()(πϕωϕω≤>>+=A x A x f ，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，函数)32sin(π+=x y 图象所有对称中心都在)(x f 图象的对称轴上.（1）求)(x f 的表达式；（2）若])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，求)3cos(0π-x 的值； （3）设)1),6((π-=x f ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x ，若03≥+⋅恒成立，求实数m 的取值范围.解；(1)依题意可知：π==T A ,2，)32sin(π+=x y 与f(x)相差Z k kT T∈+,4，即相差Z k k ∈+,4ππ，所以)32cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=+++=x A k x A x f 或)342cos(]3)4(2sin[)(ππππ+=++-=x A k x A x f （舍），故)32cos(2)(π+=x x f . （2）因为])2,2[(23)2(00ππ-∈=x x f ，即43)3cos(0=+πx ，因为]65,6[30πππ-∈+x ，又4323)6cos(>=-π，y=cosx 在]0,6[π-单调递增，所以]2,0[30ππ∈+x ，所以47)43(1)3s i n (20=-=+πx ，于是 83212347214332sin )3sin(32cos )3cos()323cos()3cos(0000-=⋅+⋅-=+++=-+=-πππππππx x x x（3）因为)1),6((π-=x f a ，)cos ,1(x m =，)2,0(π∈x 1cos cos 43cos 2cos 23cos )6(32++=++=++-=+⋅x m x x m x x m x f b a π，于是 01cos cos 42≥++x m x ，得x x m cos 1cos 4--≥对于)2,0(π∈x 恒成立， 因为4)cos 1cos 4(max -=--xx ，故4-≥m .本小题满分14分）已知函数92sin 4|)cos ||sin (|)(+++=x x x a x f ，若2913)49(-=πf . （1）求a 的值； （2）求)(x f 的最小正周期（不需证明）；（3）是否存在正整数n ，使得0)(=x f ，在区间],0[πn 内恰有个根.若存在，求出n 的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）令49π=x ，得2913942-=++a ，得9-=a . （2）解：)(92sin 4|)cos ||sin (|99)(2sin 4|))cos(||sin((|9)(x f x x x x x x x f =+++-=++++++-=+ππππ所以)(x f 的最小正周期为π. （3）不存在n 满足题意. 当]2,0[π∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(+++-=x x x x f .设]2,1[)4sin(2cos sin ∈+=+=t x x x t ，π，则1cos sin 22sin 2-==t x x x ，于是59492sin 4)cos (sin 9)(2+-=+++-=t t x x x x f ，令05942=+-t t ，得451==t t 或]2,1[∈，于是2,0π=x 或)40(00π<<=x x x 或02x x -=π，其中825)4s i n (0=+πx 当),2(ππ∈x 时，92s i n 4)c o s (s i n 9)(++--=x x x x f .设]2,1()4sin(2cos sin ∈-=-=t x x x t ，π，则21cos sin 22sin t x x x -==，于是1394-92sin 4)cos (sin 9)(2+-=++--=t t x x x x f ，令01394-2=+-t t ，解得1=t或413-=t ]2,1(∉，故)(x f 在),2(ππ∈x 没有实根.综上讨论可得0)(=x f 在),0[π上有4根，而350242011+⨯=，而在]502,0[π有个根，]503,0[π有个根，在故不存在n ，使得0)(=x f 在区间],0[πn 内恰有个根.。
浙江省杭州第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含答案解析
数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
己知集合 A={a,b}, B={a+I,3} (a,beR） ， 若A门 B={2｝ ， 则 AUB= C
A. {2}
B. {3}
2. 与函数J(x）＝ 占7 表示同一函数（ 是
C. {I,2,3}
D. {0,1,2 }
A. a 主8
。 B. 2':9
C. a2".IO
D. a2'= II
c 均有
Hale Waihona Puke A. 0B. �c. -2
D. 1
3
6若2' 2Y <3 x 3 y ， 则（
A. y2 >x2
B.王＜I
y
C. lg(y-x)>0
GJ D.
<r'
7. 己知。＝ log0_2 0.3 , b= log2 0.3 ， 则（
A. a+b<ab<O
B. ab<a+b <0
C. a+b<O<ab
D. ab<O<a+b
，
旦旦 ＝4,
f ( o)
f(2)
f( 4)
则函数y =J (x ）的解析式可以（ 是
；二＜ I A. f(x)=3×2'
5. 设函数f(x）＝｛
B. /(x)=3×4x
C. J(x)=3 × gx
， 则 ！（州））=2 ， 则。＝（
, _l_但L=4 ， ，ε厅 ，
f (2n -2) D. J(x)=4x
8. 若对任意使得关于x的方程。x· 2+bx+C=0(ac cf. 0）有实 数解的。， b '
2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若集合A B 有4个子集，则实数m =（）A ．0、1或3B ．1或3C ．1D ．0或3【答案】D【解析】集合A B 有4个子集，则3m =或m =【详解】由题集合A B 有4个子集，所以A 与B 的交集有两个元素，则3m =或m =当m =0m =或1，当1m =时，集合{1,3,1}A =，{1,1}B =，不满足集合的互异性，故0m =或3． 【点睛】本题主要考查集合中元素的关系，属于简单题．2．下列函数中,既是偶函数,又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．y x x = B ．1y x x=-C ．2xy =D ．2lg y x =-【答案】C【解析】先根据偶函数的定义进行判断,然后判断在()0,∞+时函数的单调性即可. 【详解】选项A ：函数的定义域为全体实数集.((()))f x x x f x f x x x x x ⇒-==-=--=,所以函数是奇函数,不符合题意； 选项B ：函数的定义域为全体非零实数集.111()()()()f x x f x x x f x x x x=-⇒-=--=--=--,所以函数是奇函数,不符合题意；选项C ：函数的定义域为全体实数集. 222()()()x xxy f x f x f x -=⇒-====,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()2xx f x ==,因为底数大于1,故该函数是增函数,符合题意；选项D ：函数的定义域为全体非零实数集.222()lg ()lg()lg ()f x x f x x x f x =-⇒-=--=-=,所以函数是偶函数,当0x >时, 2()lg 2lg f x x x -=-=,该函数是减函数,不符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性,掌握偶函数的定义和基本函数的单调性是解题的关键.3．设3log 2a =，5log 2a =，2log πc =，则（ ）． A ．a c b >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C 【解析】【详解】 因为321log 2log 3a ==，521log 2log 5b ==， 而22log 3log 21c =>=，2log 51>， 所以01a <<，01b <<， 又22log 5log 31>>， 所以2211log 5log 3<， 即01b a <<<， 所以有c a b >>． 故选D ．4．设函数f （x ）=log 2x +2x -3，则函数f （x ）的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】因为函数()2log 23xf x x =+-，所以f （1）=12log 123+-=﹣1＜0，f （2）=22log 223+-=2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B ．点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f (x )在[a ，b ]上单调且f (a )f (b )＜0，则f (x )在[a ，b ]上只有一个零点.5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】 根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a a b a b a <<，故选C. 6．函数()()212x f x e --=（其中常数e=……是一个无理数）的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数()()212x f x e --=的函数值符号及单调性即可作出判断.【详解】 ∵()()212x f x e --=∴()f x 关于直线x=1轴对称，y ＞0，在()1∞+，上单调递减， 故选：A 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．设函数()()log 0,1a f x x a a =>≠,若()1220194f x x x =,则()()()222122019f x f x f x +++的值等于（ ）A ．4B ．8C ．16D ．2019【答案】B【解析】根据函数的解析式,由()1220194f x x x =,得到等式,再把()()()222122019f x f x f x +++化简,运用对数的运算公式结合上个等式,可以求出所求代数式的值. 【详解】 由()1220194f x x x =可得：122019log ()4a x x x =.()()()222222122019122019log log log a a a f x f x f x x x x +++=+++222122019log ()a x x x =⋅⋅1220192log ()8a x x x ==。
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杭二中2012学年第二学期高一年级期中考试
数学试卷
【考生须知】
1. 本科考试时间为120分钟，满分为100分；
2. 本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答；
3. 本场考试不得使用计算器。
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只
有一项是符合题目要求的）
1.已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于（ ） A .35
-
B .
35
C .
45
D .45
-
2.在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于( ) A ．40 Ｂ．42 C ．43 D ．45
3.R c b a ∈,,且b a >，则下列各式中恒成立的是（ ） A ．c b c a ->+ B ．bc ac > C ．
02
>-b
a c
D ．0)(2
≥-c
b a
4.若α是锐角，且满足3
1)6
sin(=
-
π
α,则αcos 的值为( )
A .61
62+ B. 61
62-
C .4
1
32+ D.
4
1
32-
5.已知集合A={x |x 2
－2x －3>0},B={x |x 2
+ax +b ≤0}，若A ∪B=R ，A ∩B=（3，4]则有（ ） A ．a =3,b =4
B ．a =3,b =－4
C ．a =－3,b =4
D ．a =－3,b =－4
6.要得到函数3sin(2)4
y x π
=+的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象（ ）
Ａ．向左平移
8
π
个单位 Ｂ．向右平移
4
π
个单位
Ｃ．向左平移
4
π
个单位 Ｄ．向右平移
8
π
个单位
7.函数cos tan y x x = (2
2π<
<π-x )的大致图象是（ ）
8.函数)3sin()3
cos(3
)(θθ---=
x x x f 是奇函数，则θtan 等于( )
A .3
3 B .-
3
3 C .3 D . -3
9.不等式组⎩⎨
⎧≤≤≥++-3
00))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个（ ）
A ．三角形
B ．直角梯形
C ．等腰梯形
D ．矩形
10.等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +r ，则r 等于 （ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
11. 函数)2cos 2(sin log 2
1x x y +=的递减区间是（ ） A ．))(83,8(Z k k k ∈++πππ
π B ．))(8
1,8
3(Z k k k ∈+-
ππππ C ．))(8
5,8
(Z k k k ∈+
+
πππ
π D ．))(8
,8
(Z k k k ∈+
-
ππππ
12. 定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )=f (x +2)，当x ∈[3，5]时，f (x )=2－|x －4|，则（ ）
A ． f (cos 6π)> f (sin 6π
) B ．f (sin1) < f (cos1) C ． f (sin
3
2π)> f (cos
3
2π) D ．f (cos2) < f (sin2)
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
13.若3
2)sin(-
=-απ,且)0,2
(π
α-
∈,则)2cos(απ-的值是____________.
14．设4
7
10
310
()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于_____________.
15.△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列∠B ＝30°，△ABC 的
A B
D
C
面积为
2
3，那么b 等于_________________.
16. 已知等差数列{}n a 的前n 项和λ2)1(2-+=n S n 则λ=_____________.
17.如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，则这个函数的解析式为___________________. 18.给出下列5个命题，其中正确的为_________________(填序号) ① 若B A 2sin 2sin =，则ABC ∆是等腰三角形； ② 若0cos cos cos <⋅⋅C B A ，则ABC ∆是钝角三角形； ③ 若B A cos sin =，则ABC ∆是直角三角形；
④ 若1)cos()cos()cos(=-⋅-⋅-A C C B B A ，则ABC ∆是等边三角形；
⑤ 在ABC ∆中，已知，，且C A B a b cos cos sin 323==则ABC ∆的形状为锐角三角形.
三、解答题（本大题有6小题，共46分）
19. （本小题满分6分） 定义运算
bc ad d
c
b a -=.若函数m R x m x
x
x x x f ,(c o s 3c o s 2c o s s i n 2)(∈+-=
为实常数).当
]6
,6[π
π-∈x 时，)(x f 的最大值和最小值之和为3.
（Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间。
20. （本小题满分6分）
海面上A 处一缉私艇发现在北偏东
45方向,距离12 km 的C 处有一走私船正以10 km/h 的速度沿东偏南
15方向逃窜.缉私艇的速度为14 km/h, 若要在最短的时间内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东
α+
45的方向去追,.求追击所需的时间和α角的正弦值.
图f
A
B
21. （本小题满分8分）
设二元一次不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为M
(1) 求平面区域M 的面积； (2) 若平面区域M 域被直线43
y kx =+
分为面积相等的两部分，求k 的值；
(3)若函数)1,0(1≠>-=a a a y x 的图象经过区域M ，求a 的取值范围。
22．（本小题满分8分）
在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N
（Ⅰ）设数列{}n b 的通项n n b a n =-，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列}{n nb 的前n 项和n S .
23. （本小题满分8分）
解关于x 的不等式a a x x <+-)1(
24．（本小题满分10分）
已知等比数列{}n a 的公比为q ，首项为1a ，其前n 项的和为n S ．数列2{}n a 的前n 项的 和为n A ， 数列1{(1)}n n a +-的前n 项的和为n B ． （1）若25A =，21B =-，求{}n a 的通项公式； （2）①当n 为奇数时，比较n n B S 与n A 的大小；
②当n 为偶数时，若1q ≠，问是否存在常数λ（与n 无关），使得等式()0n n n B S A λ-+= 恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．。