人口问题的一个偏微分方程模型

∫ W ( t , x ) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ t ≥0 , x ≤ t ,0 ≤ x < A
(18) 8
r1
由 (10) 和 (18) 式即得解 p ( t , x ) 的递推表公式为 :
e∫ p0 ( x - t)
x x-
tq (τ)
dτ (
t
,
人口问题的一个偏微分方程模型①①
张保生
(云南民族学院数学系 , 昆明 , 650031)
摘要 给出一个人口问题的偏微分方程模型 , 用递推方式得到了模型解的表达 式 , 并证明了整体解的存在唯一性. 关键词 人口问题 , 模型 , 定解问题
1 引言
人口问题是当今世界上最令人关注的问题之一. 建立数学模型对人口发展过程进行描 述. 分析和预测 , 进而研究控制人口增长和老化的生育策略具有现实的指导意义 , 本文对 [ 1 ] 、[ 2 ] 给出的人口问题的偏微分方程模型进行了推广.
示) 由 (9) , (14) 得 :
图1
W ( t , x ) = W 0 ( x - t) , ( t , x ) ∈ D1 (15)
( B ) 利用 ( A ) 的结果 :
在区域{ ( t , x ) | 0 ≤ t ≤ r1 , r1 ≤ x < A } 中的解为已知函数 ,故在边界条件 (10) 中 , 右端的函数当 0 ≤ t ≤ r1 时为已知函数.
再考虑区域 D2 = { ( t , x ) | t ≥0. t - r1 ≤ x ≤ t ,0 ≤ x < A } 上的解. 过任意一点 ( t , x ) ∈ D2 ,向 t 减少的方向作特征线. 交 t 轴于点 ( t0 ,0) ,其中 t0 = t - x ∈[0 , r1 ] , 由 [10 ] 和 (14) 得 :
∫ p0’(0) - q (0) p0 (0) = r2 b (ξ) [ p’b (ξ) - q (ξ) p0 (ξ) ]dξ
(20)
r1
那么由 (19) 式给出的函数 p ( t , x ) 是定解问题 (1) - (4) 的唯一整体解.
证明 :先证由 (19) 给出的函数 p ( t , x ) 的整体连续性. 只须证 p ( t , x ) 在直线 x = t 上
条件 (5) 化为 :
∫ W 0 (0) =
r2
B
(ξ)
W 0 (ξ)
dξ ( 13)
r1
下面用特征线法来构造解. (8) 的特征线为直线 x
= t + c , c 为任意常数. 若 W = W ( t , x ) 连续可微 ,则沿
任一特征线 W 为常数. 于是在过点 ( t0 , x 0) 的特征线 x = t + ( x 0 - t0) 上成立 , (见[3 ] , [ 5 ]) :
∫ W ( t ,0) = r2 B (ξ) W ( t ,ξ) dξ, t ≥0
(10)
r1
W ( t , A ) = 0 , t ≥0
(11)
∫ e 其中记 B ( x ) = b ( x )
x 0
q (τ)
dτ
(12)
—2 —
第 1 期 张保生 : 人口问题的一个偏微分方程模型
=
p(
t
,
x)
e2
x 0
q
(τ)
dτ ,
t
≥0 ,0 ≤ x
<
A
(7)
则问题 (1) - (4) 化为 :
5
w
(t
5t
,
x
)
+
5
W(
5
t x
,
x)
= 0 t
≥0 ,0 ≤ x
<
A
(8)
∫ e W (0 , x )
= W0( x)
Χ p0 ( x)
-
x 0
q
(τ)
dτ
,
0
≤x
<
A
(9)
p(t , x
+
dx)
+
p(t, x
+
dx) dx
-
p( t , x)
= b ( t , x ) p ( t , x ) + m ( t , x ) p ( t , x ) - d ( t , x ) p ( t , x )
当 p ( t , x ) 可微时 ,在上式中令 dt →, d x →0 即得 :
(3)
r1
p ( t , A ) = 0 t ≥0
(4)
其中 : p0 ( x ) 还要满足相容性条件.
∫ ∫ p0 (0) = r2 b (0 ,ξ) p (0 ,ξ) dξ = r2 b (ξ) p0 (ξ) dξ
(5)
r1
r1
[ r1 、r2 ] 为育龄区间 (见[4 ]) , x 的实际取值区间为 :
p ( t + dt , x + dt) dx = p ( t , x) dx + b( t , x) p ( t , x) dxdt + m ( t , x) p ( t , x) dxdt -
d ( t , x) p ( t , x) dx dt
上式可写为 :
p ( t + dt , x + dx) dt
第 7 卷第 1 期 云 南 民 族 学 院 学 报 Vol. 7 No. 1 1998 年 4 月 Journal of Yunnan Institute of t he Nationalities Apr. 1998
连续 ,即可由表达式 (19) 推得 p ( t , x ) 的整体连续性. 因为 :
e∫ 当 ( x - t) →0 + 时 , p ( t , x ) → p0 (0)
x 0
q (τ)
dτ
e∫ e∫ 当 ( x - t) →0 - 时 , p ( t , x ) →
x 0
q (τ)
dτ
-
r2 r1
[0 , A ] , A 为人的最大寿命.
3 主要结果
定理 1 设出生率 , 死亡率 、迁入率只与 x 有关. 即 q ( x ) = b ( x ) + m ( x ) - d ( x ) ,其
中 b ( x ) ≥0 , d ( x ) ≥0. 适当光滑. m ( x ) 适当光滑. b ( x ) , m ( x ) 在[0 , A ] 上有界 :在区间
x)
,在
x
=
t 上的连
续性即可证明 p ( t , x ) 的连续可微性. 事实上 ,由 (19) 式易得 :
∫ W ( t , x ) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ, ( t , x ) ∈ D3
(17)
r1
( D) 不断重复以上做法 (如图 2 所示) ,便得到在整个求解区域{ ( t , x ) | t ≥0 ,0 ≤ x <
A } 上的解的递推公式 :
W 0 ( x - t) t ≥0 , t ≤ x < A
∫ W ( t , x ) = W ( t0 ,0) = r2 B (ξ) W ( t - x ,ξ) dξ, ( t , x ) ∈ D2
(16)
r1
其中右端积分中的函数 W ( t - x ,ξ) 为已由 ( A ) 求得的解.
( C) 利用 ( B ) 的结果. 在区域{ ( t , x ) | 0 ≤ t ≤2 r1 , r1 ≤ x < A } 中的解 W ( t , x ) 为 已知 ,故
下递推表达式 :
e∫ p0 ( x - t)
. x
x-
tq (τ)
dτ
t
≥0 , t
≤x
<
A
∫ ∫ p ( t , x) =
ex 0
q
(τ)
dτ
r2 b (ξ)
p( t
-
x ,ξ)
dξ, t
≥0 , x
≤t ,0
≤x
≤A
r1
证明 : 作函数变换
(6) .1
∫ w ( t , x )
则上式可写为
:5
p
(t,
5t
x)
+
5
p
(t,
5x
x
)
=
q( t , x) p( t , x)
初始条件 p (0 , x ) ,其中 p0 ( x ) 为初始人口密度. 在时段[ t , t + dt ] 中出生的婴儿总数
∫ 为 :[

b(
t
,ξ)
p(
t
,ξ)
]
dt
r1
于是得人口问题的偏微分方程模型
x)
∈ D1
∫ ∫ p ( t , x) =
e
x 0
q (τ)
dτ
r2 b (ξ)
p( t
-
x ,ξ) dξ ( t , x )
∈ D0
(19)
r1
—3 —
云南民族学院学报 (自然科学版) 第 6 卷
其中 : D0 = { ( t , x ) | t ≥0 , x ≤ t ,0 ≤ x < A } 定理 2 : 在定理 1 的条件下 , 若还有如下条件成立 :
5 p( t , x) 5t
+
5
p
(t,
5x
x
)
+=
q( t , x) p( t , x) , t
≥0 ,0
≤x
<
∞
(1)
p (0 , x ) = po ( x ) 0 ≤ x ≤ A