二阶偏微分方程模型
热传导方程与波动方程
热传导方程与波动方程热传导方程（Heat conduction equation）和波动方程（Wave equation）是两个经典的偏微分方程模型，在物理学和工程领域中具有重要的应用。
本文将对热传导方程和波动方程进行简要的介绍和比较，并重点讨论它们的数学表达式、物理意义以及解的性质。
一、热传导方程热传导方程描述了物质中热量的传导过程，是研究热传导问题的基本方程之一。
它的数学表达式为：∂u/∂t = k∇²u其中，u是温度场（Temperature field），t是时间，k是热导率（Thermal conductivity），∇²是拉普拉斯算子。
热传导方程描述了温度场随时间的演化规律，指出了温度变化率与热传导速率之间的关系。
它是一个二阶偏微分方程，通常在给定边界和初始条件下求解。
热传导方程具有很多重要的性质。
首先，它满足能量守恒定律，即系统总能量是守恒的。
其次，它可以通过变量分离法、叠加原理等数学技巧求解。
第三，热传导方程有多种类型的边界条件，如固定温度、绝热边界等。
这些边界条件可以反映不同的物理情境，例如材料的热辐射、对流传热等。
二、波动方程波动方程描述了波动现象的传播规律，是研究波动问题的基本方程之一。
它的数学表达式为：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动场（Wave field），t是时间，c是波速（Wave speed），∇²是拉普拉斯算子。
波动方程描述了波动场随时间的演化规律，指出波动速度与波动场的空间分布之间的关系。
与热传导方程类似，波动方程也是一个二阶偏微分方程，通常在给定初始条件下求解。
波动方程具有很多重要的性质。
首先，它满足能量守恒定律，即波动系统的总能量是守恒的。
其次，波动方程具有线性叠加性，可以通过叠加不同频率、不同振幅的波来模拟各种波动现象，如声波、光波等。
第三，波动方程也具有多种边界条件，如固定边界、自由边界等。
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
偏微分方程的分类
偏微分方程的分类偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
根据方程中未知函数的自变量的个数和方程中出现的最高阶导数的个数不同，可以将偏微分方程分为几类。
一、偏微分方程的分类1. 一阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为一阶导数时，我们称之为一阶偏微分方程。
一阶偏微分方程在物理学和工程学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程等。
2. 二阶偏微分方程：当方程中出现的最高阶导数为二阶导数时，我们称之为二阶偏微分方程。
二阶偏微分方程是偏微分方程中最为常见的一种，例如泊松方程、亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程：除了一阶和二阶偏微分方程之外，还存在高阶偏微分方程，即方程中出现的最高阶导数大于二阶导数的情况。
高阶偏微分方程在某些特定的领域中有着重要的应用，如梁-爱因斯坦方程等。
4. 线性偏微分方程：线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是线性关系的偏微分方程。
线性偏微分方程的性质相对容易研究，通常可以通过变量分离、特征线法等方法求解。
5. 非线性偏微分方程：非线性偏微分方程是指方程中未知函数及其导数之间是非线性关系的偏微分方程。
非线性偏微分方程的性质较为复杂，通常需要借助数值方法或者变换方法求解。
6. 椭圆型偏微分方程：椭圆型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数满足某些条件，使得方程在解析性质上类似于椭圆形的偏微分方程。
椭圆型偏微分方程在静电场、稳态热传导等问题中有着重要应用。
7. 抛物型偏微分方程：抛物型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于抛物线的偏微分方程。
抛物型偏微分方程在热传导、扩散等问题中有着广泛的应用。
8. 双曲型偏微分方程：双曲型偏微分方程是指方程的二阶导数中的系数在某些条件下，使得方程在解析性质上类似于双曲线的偏微分方程。
双曲型偏微分方程在波动传播、振动等问题中有着重要的应用。
二、结语偏微分方程的分类为我们理解和研究不同类型的偏微分方程提供了一定的指导。
matlab解二阶偏微分方程
<div align="center">一、Matlab求解二阶偏微分方程(ODE)的基本步骤</div>1. 数学模型：首先要确定求解的方程是哪一类的偏微分方程(ODE)，然后建立其对应的数学模型，使其符合这类微分方程的形式;2. 确定边界条件：确定迭代范围$[a,b]$,边界条件函数 $y(a)=\alpha$ 、$y(b)=\beta$;3. 写出Matlab程序：在该类ODE中，通常会有某一种常用的数值求解方法，一般使用微分方程求解器(ODE)，如ode45等;4. 获得实际结果：开始编写Matlab程序，完成参差和参数的输入以后，可以运行Matlab程序，然后求得结果，再用图像表示出来。
<div align="center">二、具体求解</div>$$\frac{d^2y}{dx^2}+y=6sin(2x)$$微分方程为二阶常微分方程，求解条件如下：$[a,b]=[0,\pi], y(0)=1,y(\pi)=3.$（1）Matlab函数表达式首先建立与二阶非齐次线性常微分方程相符合的数学模型，其Matlab函数表达式为$$ f(x,y,y')=\frac{dy}{dx}-y'-6sin2x $$其中，$y=y(x)$；（2）函数程序在Matlab中，定义函数程序 $myode.m$ ，此程序返回右端函数 $f(x,y,y')$ 的值表达式，程序内容如下。
```MATLAB% 右端函数程序function dy=myode(x,y)dy=[y(2);-y(2)-6*sin(2*x)];end```（3）调用Matlab函数olvede45调用Matlab函数 solvede45 求解二阶ODN，程序内容如下：```MATLAB% 主程序求解% maxstep表示分裂的步长大小% Tolerence表示误差，控制求解精度Maxstep=0.25;Tolerence=1e-4;a=0;b=pi;y0=[1;0];[x,y] = ode45('myode',[a,b],y0,options);```（4）结果展示输入参数之后，运行Matlab程序，得到如下图：此图为$y(x)$随$x$变化的曲线，可以看出，二阶偏微分的求解结果满足了边界条件，即$y(0)=1,y(\pi)=3$ ，如图中红色圆点所示。
偏微分方程数值解
8.Solve菜单 Solve PDE 对当前的几何结构实体 CSC、三角形网格和图形解偏微分方 程。
Parameters…打开PDE对话框，输入解 PDE的参数。 Expeort Solution… 输出PDE方程的解 矢量u。如果可行，将计算特征值1输 出到主工作区间。
Parameters…打开对话框，可以输入解
在MATLAB的命令窗口中输入pdetool命令， 然后单击回车键，就将显示PDE图形界面，如图：
PDE Toolbox 菜单
1.File 菜单 New 更新或建立一个新的几何结果实体模型 Constructive Soild Geometry(CSG), 并取名为 Untitled。 Open … 从硬盘装载M文件。 Save 将在GUI内完成的成果储存到一个M文件 中。
PDE Specifficatiom…打开一个对话框，输入偏微分方程
类型和应用参数。参数的维数决定于偏微分方程的维数。
如果选择专业应用模式，那么特殊偏微分方程和参数将 代替标准偏微分方程系数。每一个参数c、a、f和d皆可 作为有效的MATLAB表达式，以作为计算三角形单元质 量中心的参数值。下面的变量是很有用的。
二阶线性偏微分方程的分类
自变量多于一个微分方程称为偏微分方程。 一般的二阶线性方程总可以写成如下的形状：
若二阶偏导数项的系数 满足： 则称方程在点
则称方程在点
则称方程在点
在区域G中某点
为双曲型的； 为抛物型的； 为椭圆型的。
二阶偏微分方程的解法的方法主要有两大类，其中 每一类又包含若干种方法。
第一类是解析法 分为分离变量法、保角变换法、镜像法和格林函 数法等。
前处理
网格剖分
取定沿x轴和y轴方向的步长 和 ，
二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)
《微分方程数值解法》期中作业实验报告二阶椭圆偏微分方程第一边值问题姓名：学号：班级：2013年11月19日二阶椭圆偏微分方程第一边值问题摘要对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题.课本上已经给出了相应的差分方程。
而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式.以及对系数进行赋值。
解决完这个问题之后.我在利用matlab 解线性方程组时.又出现“out of memory ”的问题。
因为99*99阶的矩阵太大.超出了分配给matlab 的使用内存。
退而求其次.当n=10.h=1/10或n=70.h=1/70时.我都得出了很好的计算结果。
然而在解线性方程组时.无论是LU 分解法或高斯消去法.还是gauseidel 迭代法.都能达到很高的精度。
关键字：二阶椭圆偏微分方程 差分方程 out of memory LU 分解 高斯消去法 gauseidel 迭代法一、题目重述解微分方程：()()2222((,))((,))()(,)()(,)(,)1y x x x y y x y yxxyxye u x y e u x y x y u x y x y u x y u x y y e x e e y x e--+++-+=-++++已知边界:(0,)1,(1,),(,0)1,(,1)y x u y u y e u x u x e ====求数值解, 把区域[0,1][0,1]G =?分成121/100,1/100h h ==.n =100 注：老师你给的题F 好像写错了.应该把22x y y e x e +改成22y x y e x e +。
二、问题分析与模型建立2.1微分方程上的符号说明()()22221y x xy xy y e x e e y x e -++++2.2课本上差分方程的缺陷课本上的差分方程为：举一个例子：当i=2,j=3时.；当i=3,j=3时.。
但是.显然这两个不是同一个数.其大小也不相等。
微分方程预测模型实例
微分方程预测模型实例引言微分方程是数学中的重要概念，用于描述自然界中的各种变化和现象。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
在本文中，我们将介绍微分方程预测模型的概念和实例，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
什么是微分方程预测模型？微分方程预测模型是一种利用已知条件和规律，通过建立微分方程来预测未来变化的方法。
它基于数学原理和统计学方法，通过对已有数据进行拟合和分析，得出一个能够描述系统行为的微分方程，并利用该方程进行未来的预测。
微分方程预测模型的应用微分方程预测模型广泛应用于各个领域，下面我们以经典案例为例介绍其中两个：1. 成长模型成长模型是一类常见的微分方程预测模型。
它通常用于描述人口、生物群体等在时间上的增长情况。
以人口增长为例，我们可以假设人口增长率与当前人口数量成正比，即：dPdt=kP其中，P表示人口数量，k为比例常数。
这是一个一阶线性常微分方程，可以通过求解得到人口数量随时间的变化情况。
通过拟合已有的人口数据，我们可以得到合适的k值，并利用该方程进行未来人口数量的预测。
2. 热传导模型热传导模型是另一个常见的微分方程预测模型。
它通常用于描述物体内部温度随时间和空间的变化情况。
以一维热传导为例，我们可以假设物体内部温度变化率与温度梯度成正比，即：∂T ∂t =α∂2T∂x2其中，T表示温度，α为热扩散系数。
这是一个二阶偏微分方程，可以通过求解得到物体内部温度随时间和空间的变化情况。
通过拟合已有的温度数据和边界条件，我们可以得到合适的α值，并利用该方程进行未来温度分布的预测。
微分方程预测模型实例下面我们以一维热传导模型为例，介绍微分方程预测模型的具体实现步骤。
步骤一：收集数据首先，我们需要收集已有的温度数据。
假设我们有一个金属棒，长度为L，初始时刻t=0时，金属棒上各点的温度分布已知。
步骤二：建立微分方程根据热传导模型的假设，我们可以建立如下的一维热传导方程：∂T ∂t =α∂2T∂x2其中，T(x,t)表示金属棒上某点处的温度，α为热扩散系数。
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tan ux sin ux
cos
1
1
1 tan2 1 ux2
1
1 2
u
2 x
1
u
M0
T ( x0 , t )
0
O x0 图2
x
下面推导弦的位移 u( x, t )所满足的微分方程。为此，任意截取一段
弦 [ x1 , x2 ]，并考察受力情况。（见图 3）
水 平 方
在 x1处的左张力在 x 方向的投影为：
方向一致（没有法向分量）；
4、有弹性 弦的伸长形变与张力服从胡克定律。
二、基本定律：
牛顿第二定律：
F (t) m a m dv dt
作用在物体上的力＝该物体的质量×该物体的加速度
在任一时段内：
t2 t1
F
(t )dt
mv(t2
)
mv(t1
)
作用在物体上的冲量＝该物体的动量的增量
u
O
T1
1
c
c
u a 2u f t
若物体内部无热源，则 f 0 ，得齐次热传导方程
u a 2u t
二、双曲型方程模型
设有一沿水平直线绷紧的弦，以某种方法激发后在垂直平面 内作微小横振动。求弦上各点的运动规律。
一、基本假设：
1、细 弦的截面直径与弦的长度相比可忽略，因此可视为一根 曲线；
2、均匀 线密度是常数； 3、柔软 变形时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力与弦的切线
Q1 c[u( x, y, z,t2 ) u( x, y, z,t1 )]dxdydz
c
t2 t1
u(
x, y t
,
z
,
t
)
dt
dxdydz
t2 t1
c
u(
x, y, t
z,
t
)dxdydzdt
②由 Fourier 热传导定律 ：热流向量 q与温度的梯度
成正比，即 q ku k(u , u , u) x y z
x2 x1
ut
(
x
,
t
)dx
从t1时刻到t2时刻动量的增量:
x2 x1
ut
(
x,
t2
)
ut
(
x, t1
)
dx
x2 x1
t2 t1
utt
(
x
,
t
)dt
dx
由物理学定律, 冲量应等于动量的增量，所以:
t2 t1
T
x2 x1
u xx dx
x2 x1
F ( x, t)dxdt
x2 x1
T ( x1 )cos 1 T ( x1 )
向 受
在 x2处的右张力在 x 方向的投影为：
力 分
T ( x2 )cos 2 T ( x2 )
析 由于各点没有左右偏移，故合力T ( x2 ) T ( x1 ) 0
即 T(x) T
u
1
2
O
T1
T2
x1
x2
x
图3
垂 直 方 向 受 力
在 x1处的左张力在 u方向的投影为：
负号表明热量是由高温向低温流动，
q
n
k 是导热系数，这里为常数。
设 n为 的单位外法向量，则
Q2
t2 dt q nds
t1
t2 dt ku nds
t1
t2 t1
dt
k
nuds
t2 dt ku dxdydz t2 dt kudxdydz
t1
t1
③ 设物体内部热源密度为 F ( x, y, z,t)，则
在G 内任取一小块区域 ，其边界为闭曲面 。
热量 － 热量 ＝ 通过边界的流入量 ＋ 热源的生成量
t=t2
t=t1
t1≤ t ≤t2
t1≤ t ≤t2
Q1
Q2
Q3
数学推导：
①在时间间隔[t1 , t2 ]内，物体的温度由u( x, y, z, t1 )变 到u( x, y, z, t2 )所需要的热量为Q1：
(
x,
t
)dx
u
1
2
O
T1
T2
x1
x2
x
图3
外 设u方向作用在弦上的外力线密度为F ( x,t)，则此段
力
分 弦所受外力为：
析
x2 F ( x, t )dx
x1
在任意时间段(t1 , t2 )中内力和外力产生的冲量为:
t2 t1
T
x2 x1
uxxdx
x2 x1
F
(
x
,
t
)dx
dt
t时刻的动量:
二阶偏微分方程模型
一、抛物型方程模型
物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、各向同性 的物体 G（其边界为分片光滑曲面 ），假定其内部有 热源，并且与周围介质有热交换。研究物体内部温度的 分布和变化。
物理定律：物体内部由于各部分温度不同，产生热 量的传递。热传导过程中遵循 能量守恒定律，即，物 体内部热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与 由物体内部的热源所产生的热量的总和：
f (x,t)
(1)
2u t 2
a
2
2u x 2
f (x,t)
(1)
f(x,t) 表示时刻t 在点x 处, 单位质量的弦所受外力。
x1
x2
2
x
T2
图1
三、数学推导
x 轴——弦的平衡位置；u 轴——弦的振动方向。
u( x,t)——位于 x 处的弦在 t 时刻离开平衡位置的位移；
T( x, t)——位于 x 处的弦在 t 时刻的张力大小；
微小横振动： u 1，因此u 的高阶项可忽略不计。
x
x
s
1
(
u x
)2
x
x
由Hooke定律 T ( x, t ) T ( x)
Q3
t2 dt
t1
F ( x, y, z,t)dxdydz
由能量守恒律，得：
t2 dt c u dxdydz t2 dt ku F( x, y, z, t)dxdydz
t1
t
t1
由[t1 , t2 ]及的任意性知： c u ku F ( x, y, z,t ) t
记a 2 k ， f F ，得三维热传导方程
T
(
x1
)
sin
1
T
u( x1 x
,
t
)
在 x2处的右张力在 u方向的投影为：
分 析
T ( x2 )sin 2
T u( x2 , t ) x
设u对 x 二次连续可微, 则弦 x1 x2 上张力的合力在u方
向的投影为:
T ux ( x2 , t ) ux ( x1 , t ) T
x2 x1
u
xx
Q1 c( x, y, z)( x, y, z)[u( x, y, z, t2 )
u( x, y, z, t1 )]dxdydz
其中c( x, y, z)，( x, y, z)分别为点( x, y, z)处的比热与质 量体密度。由于考虑的是均匀、各向同性的物体，因此 c( x, y, z) c(常数)，( x, y, z) (常数)。
t2 t1
utt
dt
dx
i.e.
t2 t1
x2 x1
[Tuxx
F( x, t)]dxdt
t2 t1
x2 x1
u
tt
dxdt
由t1，t2，x1，x2的任意性得:
T uxx F ( x, t ) utt
记 a2 T , f (x,t) F(x,t), 则有 :
2u t 2
a2
2u x 2