数模资料-偏微分方程模型(可选)
数学建模偏微分方程
数学建模偏微分方程数学建模是数学与实际问题相结合的一种方法，它试图通过数学模型和解析技巧来解决现实生活中的问题。
在数学建模中，偏微分方程是一类非常重要的数学工具。
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是涉及到多个变量的函数而产生的方程。
它包含了未知函数的偏导数和自变量之间的关系，可以用来描述许多科学和工程领域中的问题。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，并且在实际问题的求解中具有重要作用。
偏微分方程的求解过程通常分为两个基本步骤：建立数学模型和求解方程。
建立数学模型是将现实问题抽象化为数学问题，通常涉及到对问题的描述和假设的引入。
在建立数学模型时，我们需要考虑到问题的边界条件和初始条件，并根据问题的特征选择合适的数学方程。
常见的偏微分方程包括：抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
抛物型方程主要处理与时间有关的问题，如热传导方程和扩散方程；椭圆型方程主要处理静态问题，如拉普拉斯方程和泊松方程；双曲型方程主要处理与空间和时间有关的问题，如波动方程和传热方程。
求解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括分离变量法、特征线法、变换法和数值方法等。
分离变量法是将多自变量的偏微分方程转化为一元变量的常微分方程，从而简化求解过程；特征线法是利用特征线的性质来求解偏微分方程；变换法通过对原方程进行合适的变换来得到新的方程，从而简化求解过程；数值方法是通过数值逼近来求解偏微分方程，常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。
在实际应用中，偏微分方程被广泛应用于各个领域。
在物理学中，偏微分方程可以用来描述物体的运动、传热、电磁场等现象；在工程学中，偏微分方程可以用来优化结构、分析流体力学问题等；在经济学中，偏微分方程可以用来描述市场行为、金融衍生品定价等。
通过对这些领域的建模和求解，我们可以更好地理解和预测自然界和社会的行为。
总之，偏微分方程是数学建模中的重要工具，它可以用来描述和解决现实问题。
4.3偏微分方程模型
§4.3 偏微分方程模型如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
本节以人口增长模型和扩散模型为例说明偏微分方程的建模过程以及相应的数值解法。
4.3.1 人口增长模型统计数据表明，世界人口在1800年达到10亿，1930年达到20亿，1960年达到30亿，1974年达到40亿，1987年达到50亿，1999年达到60亿，2011年10月31日突破70亿。
可以看出，人口每增加10亿的时间由100多年缩短为10余年。
人口的剧增导致资源消费量增加，引起资源蓄积量减少甚至枯竭，出现诸如过度开垦土地、沙漠化日益严重、不合理地砍伐森林、绿色空间缩小、能源紧张等问题。
人口剧增还会带来空气污染，引起全球气候变化异常等环境问题，造成全球性生态平衡失调。
而且，这么多数量的人口空间分布极其不均衡。
全球45个发达国家的生育率都低于人口平均增长率。
在世界出生率最低的25个国家中，有22个在欧洲。
人口数量的减少成为这些国家最大的危机，对经济发展和国家安全带来严峻挑战。
同时，世界上人口增长率最高的都是一些最不发达的国家，如阿富汗、布隆迪、刚果、利比里亚等，而发展速度较快的发展中国家，如中国、印度、埃及等，也身负人口增加给经济和环境带来的巨大压力。
中国是世界上人口最多的国家，根据2010年第六次人口普查登记的全国总人口为13.3972亿（不包括港澳台地区），其中，男性人口6.8685亿，女性5287亿；60岁以上人口为1.7765亿，占总人口的13.26%；城市人口为6.6558亿，农村人口为6.7415亿。
老龄化问题、男女比例失调、城镇化建设加速等问题成为我国人口问题的一些新特点，直接影响着我国人口的发展趋势[1]。
准确地对人口进行预测，有效地控制人口增长并制定合理的人口政策，是全面落实科学发展观、实现适当生育水平、提高人口素质、改善人口结构、引导人口合理分布、保障人口安全、促进人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展的重要手段。
数学建模03-偏微分方程方法I_32
=(号)2 (yk+l — 2yk + yk-l), k = 1, • • • , n — 1
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
其中a2 = M， T是弦中的张力 （弦振动时它被当作常数）， M是总质点， 这些研究最终只对 二阶常微分 方程的理论有贡献.
开创了音乐审美.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
传说有一天， 毕达哥拉斯外出散步， 经 过一家铁匠铺， 发现里面 传出打铁的声音,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
要比别的铁匠铺 更加协调、悦耳. 他走进铺子， 量了量铁锤和铁砧的 大小,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
发现了一个规律, 音响的和谐 与发 声体体积的 一定 比例有关.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
而响度较小' 频率 加倍的辅助音 被 称为谐音.
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
飞利浦•拉莫(Jean-Philippe Rameau) 在 1722年
关于和声理论 阐述如下事实：
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
—声音的频率 是基音 频率的整数倍 则称为 乐声是和谐的. 由此激起了人们 运 用数学来研究 乐声 的和谐问题.
(AX)2
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
然后他注意到 当n 变成无穷时， △x趋于0, 方括号 内的表达式 就变 成了悬-
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
因此他推出了 包—a2 包(I 1) dt2 — a dx2 (丄•丄丿 其中 Q2 —岑是常数,
▼历史源头问题-从音乐审美谈起
得到了一个 二阶常微分方程 a x =s讷
_____
利用偏微分方程模型解决工科问题
利用偏微分方程模型解决工科问题自从数学工具被应用到科学研究中以来，偏微分方程模型就成为了研究基础科学和工程技术领域的强大工具。
偏微分方程模型是一种基于微积分和微分方程的数学工具，用来描述物质的变化和传递规律。
在工科领域中，利用偏微分方程模型可以对许多实际问题进行求解。
本文从实际问题入手，介绍利用偏微分方程模型解决工科问题的方法和思路。
一、用热传导方程求解混凝土中的温度场分布混凝土是建筑工程中常见的材料，若想根据混凝土温度场分布来评估其质量和性能，并在施工过程中采取相应措施以避免温度引起的开裂问题，可以利用热传导方程模型对混凝土的温度分布进行推算。
具体来讲，热传导方程模型基于Fourier 定律，描述了物质内部的热传导过程，它的基本形式为：$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} – \nabla \cdot\kappa\nabla T = q$$其中，$\rho$ 是混凝土密度，$c_p$ 是混凝土比热容，$\kappa$ 是混凝土导热系数，$q$ 是混凝土生成热源的速率。
$T$ 是混凝土的温度场，$t$ 是时间，$\nabla$ 是空间梯度算子。
以混凝土的加热过程为例，常常假设输入能量密度为均匀恒定的，即 $q = const.$，则热传导方程模型简化为：$$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} – \kappa\nabla^2 T = q$$通过对该热传导方程模型进行数值求解，可以得到混凝土中任意时间点的温度分布，进而实现对混凝土温度场分布的可视化展示和定量分析，从而保障混凝土性能和质量。
二、利用扩散方程模型解决低温灭菌问题低温灭菌是医疗保健领域中常见的重要技术，利用工程设备和设施将物品暴露在低温环境中，通过控制温度和时间实现对存活的微生物进行消杀。
其中，利用扩散方程模型解决冷冻过程中微生物的扩散问题是保证低温灭菌效果的重要环节。
数学建模第八讲：偏微分方程数值解
2 (t )
其中：u
t
0
(
x
),
u t
t0
(x)
为初值条件
u x0 1 (t ), u xt 2 (t ) 为边值条件
当该波动方程只提供初值条件时，称此方程为波动方程的初值问题，二
。 者均提供时称为波动方程的混合问题
5.3.1 波动方程求解
t
t
x 0 a)初值问题
x
0
l
b)混合问题
对于初值问题，是已知t=0时，u与u 依赖于x的函数形式，求解不同位置， t
un1 i , j,k
t 2 t nt , xix , y jy,zkz
( t )2
2u x 2
t nt , xix , y jy,zkz
un i1, j,k
2uin, j,k (x)2
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2u y2
t nt , xix , y jy,zkz
un i , j1,k
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21
A11 I
A
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A22 I
I AN 2 ,N 2 I
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其中
4 1
f ( x, t)
u
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xi
x
un1 i
方程离散化
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数学建模解偏微分方程
数学建模解偏微分方程【原创版】目录一、引言二、数学建模与偏微分方程三、差分算法求解偏微分方程四、数值模拟在环境数据分析中的应用五、结论正文一、引言随着科技的发展，数学建模在各个领域的应用越来越广泛。
其中，偏微分方程作为数学建模的一个重要工具，其在实际应用中的地位和作用日益凸显。
本文将围绕数学建模解偏微分方程的主题，介绍差分算法在求解偏微分方程中的应用以及数值模拟在环境数据分析中的应用。
二、数学建模与偏微分方程数学建模是一种通过数学方法和工具对现实世界中的问题进行描述和求解的过程。
在建模过程中，偏微分方程作为一种重要的数学工具，可以描述许多复杂的现象和过程，例如流体力学、热力学、电磁学等。
偏微分方程在实际应用中有着广泛的应用，如天气预报、环境数据分析等。
三、差分算法求解偏微分方程差分算法，又称为有限差分方法或网格法，是一种求解偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。
其基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量离散化，然后将偏微分方程转化为离散形式的代数方程组，通过求解该代数方程组得到数值解。
差分算法具有良好的数值稳定性和收敛性，适用于大多数偏微分方程的求解。
四、数值模拟在环境数据分析中的应用数值模拟是数学建模的一个重要环节，通过对现实世界中的问题进行数值模拟，可以得到近似解，从而为实际问题提供科学准确的决策指导和服务。
在环境数据分析中，数值模拟技术的应用已经取得了显著的成果。
例如，在气象预报领域，数值天气预报的诞生曾经给天气预报领域带来跨越式的发展。
通过巨型计算机进行数值计算，再用流体力学和热力学的方程组进行求解，进而预测未来一定时段的大气运动状态，为人们的生产生活提供科学准确的决策指导和服务。
五、结论总之，数学建模在解决实际问题中发挥着重要作用，其中偏微分方程作为数学建模的一个重要工具，在实际应用中具有广泛的应用。
差分算法作为一种求解偏微分方程的数值方法，具有良好的数值稳定性和收敛性。
数学建模解偏微分方程
数学建模解偏微分方程
摘要：
1.数学建模简介
2.偏微分方程的基本概念
3.解偏微分方程的方法
4.数学建模在实际应用中的案例
5.总结与展望
正文：
数学建模是一种用数学方法解决实际问题的过程，它涉及到多个领域，如物理学、生物学、经济学等。
在这个过程中，偏微分方程是一类非常重要的数学模型，用于描述各种自然现象和工程问题。
本文将简要介绍数学建模解偏微分方程的相关知识。
首先，我们需要了解偏微分方程的基本概念。
偏微分方程是一种包含多个变量的微分方程，可以用来描述各种物理现象，如波动、热传导、电磁场等。
根据偏微分方程的性质，可以将其分为多种类型，如线性偏微分方程、非线性偏微分方程、椭圆型偏微分方程、双曲型偏微分方程等。
解偏微分方程是数学建模的关键步骤之一。
根据偏微分方程的类型和问题的具体条件，可以采用不同的方法求解。
常用的方法有分离变量法、矩方法、有限元法、有限差分法等。
这些方法各有优缺点，需要根据实际情况进行选择。
数学建模在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在天气预报中，可以通过
数学模型预测未来的天气状况；在生物医学领域，可以通过数学模型研究病毒传播、药物代谢等问题；在经济学中，可以通过数学模型分析市场供求、价格波动等现象。
这些实际问题都可以转化为偏微分方程或相关数学模型进行求解。
总之，数学建模解偏微分方程是一种重要的数学方法，可以用来解决实际问题。
了解偏微分方程的基本概念和解法，以及数学建模在实际应用中的案例，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题。
偏微分方程模型
偏微分方程模型一、弦的微小横振动给定一根两端固定且拉紧的均匀,柔软的细弦,其长度为L .在垂直于弦线的外力作用下,弦在其平衡位置附近作微小的横振动,求弦的运动规律.术语及假设:柔软:抗拉伸,不抗弯曲,从而拉力与弦线相切.均匀:弦的线密度为常数,可设为kg/m. 细:弦的截面直径比长度远远小于1,可视为理想的曲线.外力:已知,外力密度可表示为).,(t x f 弦:有弹性,且在其弹性限度内.弦的振动是一种机械运动.其基本定律是质点力学的牛顿运动学第二定律:.ma F 然而弦不是质点,该定律对整根弦并不适用.但整根弦可以细分为许多极小的小段,每小段可以抽象为质点,即每个小段(质点)可以运用上述定律.差分方程及其模型)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=∆+1. 差分的定义定义1设函数称为函数的一阶差分；t y 一、差分方程的基本概念,2,1,0),(==t t f y t称2()t t y y ∆=∆∆1t ty y +=∆-∆211()()t t t t y y y y +++=---212t t ty y y ++=-+为函数t y 的二阶差分. 为三阶差分. 同样，称32()t t y y ∆=∆∆依此类推,函数的n 阶差分等.定义2含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称为差分方程.差分方程的一般形式为F(t,y t ,∆y t ,⋅⋅⋅, ∆n y t )= 0. (1)差分方程中可以不含自变量t和未知函数y,但必须t含有差分.式(1)中, 当n = 1时, 称为一阶差分方程；当n = 2时, 称为二阶差分方程.例如,差分方程∆2y t+ 2∆y t= 0可将其表示成不含差分的形式:∆y t= y t+1-y t, ∆2y t= y t+2-y t+1+ y t,代入得y t+2-y t= 0.由此可以看出, 差分方程能化为含有某些不同下标的整标函数的方程.定义3含有未知函数几个时期值的符号的方程, 称为差分方程.其一般形式为G(t,y t,y t+1, ⋅⋅⋅, y t+n) = 0. (2)定义3中要求y,y t+1, ⋅⋅⋅, y t+n不少于两个.t例如,y+y t+1= 0 为差分方程,t+2y t= t 不是差分方程.差分方程式(2)中, 未知函数下标的最大差数为n, 则称差分方程为n 阶差分方程.t S t t S r ,)1(1t t t t S r rS S S +=+=+,,2,1,0 =t t S ,)1(0S r S tt +=,,2,1,0 =t 0S 例1（存款模型)为期存款总额，利率，按年复利计息，则与有如下关系式：这是关于的一个一阶常系数齐次线性差分方程，其中为初始存款总额.为存款其通解为设r 差分方程在经济问题中的简单应用例3（筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育. 并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完全部资金.要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%，10年后子女大学毕业用完全部资金.该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年分析解设从现在到20年内共要筹措x 元资金，第n 个月每月存入资金a 元. 同时.投资账户资金为I n 元，也设20 年后第n 个月投资帐户资金为S n 元，于是，20 年后，关于S n 的差分方程模型为每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元，10内用完所有资金..95.194=a 以及从而有即要达到投资目标，20 年内要筹措资金90073.45 元，平均每月要存入银行194.95 元.,45.90073200005.11240240=-=a C I .020010=-=a C I。
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dx=dt，由上式可导出： ，由上式可导出：
∂p ∂p + = −d (t , x) p (t , x) ∂t ∂x
k(t,x)女性性别比
（3.38） b(t,x)女性生育率 （3.39）
[x1,x2]妇女生育期
初始条件: 初始条件 边界条件: 边界条件
P(0,x)=P0(x)
x2 x1
P(t , 0) = ∫ b(t , x)k (t , x) p (t , x)dx
例 人口问题的偏微分方程模型
人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素， 人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用 分布参数法来建立人口问题的数学模型。 分布参数法来建立人口问题的数学模型。 时刻年龄为x的人口密度 时人口总数为： 令p(t,x)为t时刻年龄为 的人口密度，则t时人口总数为： 为 时刻年龄为 的人口密度， 时人口总数为
P(t ) = ∫ p (t , x)dx
0 A
其中A为人的最大寿命。 其中 为人的最大寿命。 为人的最大寿命 设t时刻年龄为 的人的死亡率为 时刻年龄为x的人的死亡率为 时刻年龄为 的人的死亡率为d(t,x)，则有： ，则有：
p (t + dt , x)dx − p (t , x − dt )dx = − d (t , x − dt ) p (t , x)dxdt
偏微分方程模型（分布参数法） 偏微分方程模型（分布参数法）建模
前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假 这种方法建模被称为集中参数法。 设。这种方法建模被称为集中参数法。 考虑个体差异（或分布差异） 考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参 数法。分布参数法用于连续变量的问题时， 数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是 偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。 偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单 例子，来说明这种方法的应用。 例子，来说明这种方法的应用。
0≤u≤uj
uf为自由速度，uj为出现完全堵塞时的车流密度 。 为自由速度， 有：u =u /2，q =u u /2 m j m f m ），利用复合函数求导 将Greenshields的基本方程代入（3.41），利用复合函数求导 Greenshields的基本方程代入（ 的基本方程代入 ）， 法则并注意到u 均为常数，可得： 法则并注意到 f、uj均为常数，可得： 2u f u ∂u ∂u (t , x ) + (u f − ) (t , x ) = 0 ∂t u j ∂x 2u f ∂h ∂h (t , x) + h (t , x) = 0 方程可简化为： 令 h = uf − u ，方程可简化为： uj ∂t ∂x 2u f 初值条件： 初值条件： h(0, x) = u f − u0 ( x ) uj
利用经验公式导出基本方程。 利用经验公式导出基本方程。 是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线, 图3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线 是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线 其中u的单位是车辆数 每英里， 的单位为车辆数 每小时。 的单位是车辆数/每英里 的单位为车辆数/每小时 其中 的单位是车辆数 每英里，q的单位为车辆数 每小时。图 中可以看出： 中可以看出： 的值较小时， 较小（ （1）当u的值较小时，公路利用率较低，q较小（u=0时公 ） 的值较小时 公路利用率较低， 较小 时公 路是空置的，车辆率q为零）；随着 的增大， 为零）；随着u的增大 路是空置的，车辆率 为零）；随着 的增大，公路利用率逐 渐提高， 逐渐增大 逐渐增大。 渐提高，q逐渐增大。 增大到一定程度（ 达到最大； 继续 （2）u增大到一定程度（达到 m）时，q达到最大；u继续 ） 增大到一定程度 达到u 达到最大 增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车 增大时，车辆流 将减小， 将减小 辆率，使之下降，（出现堵塞）。 ，（出现堵塞 辆率，使之下降，（出现堵塞）。
q
根据美国公路实际统计： 根据美国公路实际统计： 当u≈75辆/每英里可达到最大车辆流 辆 每英里可达到最大车辆流 英里时， 当u≈225辆/英里时，q≈0，即堵塞。 辆 英里时 ，即堵塞。
0 um 图3-28 uห้องสมุดไป่ตู้ u
根据图3-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合q=q(u)。 中曲线的特征，可用多种函数来拟合 根据图 中曲线的特征 。 Greenshields用二次函数来拟合。 用二次函数来拟合。 用二次函数来拟合 他令： 他令：q = u u (1 − u / u ) f j
dP = ( B − D) P(t ) dt P(0) = P0
∫ D(t ) =
A
0
d (t , x) p (t , x)dx
此即Malthus模型 此即Malthus模型 Malthus
无关， 若B(t)、D(t)与t无关，则可得 、 与 无关 则可得:
问题的两个角度： 问题的两个角度： 司机或旅客 交通管理部门 集中参数法： 集中参数法：
例 交通流问题
安全、 安全、快速地到达目的地 尽可能多的人安全地通过
假设车流量是均匀分布 目标使车流密度保持在安全的范围之内， 目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽 可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。 可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。
现实生活中可能吗？ 现实生活中可能吗？
车流密度和车速不可能是常数 分布参数法： 分布参数法： x轴表示公路，x轴正向表示车流方向。 轴表示公路， 轴正向表示车流方向 轴正向表示车流方向。 轴表示公路 如果采用连续模型， 为时刻t时车辆按 如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻 时车辆按 方向分布 为时刻 时车辆按x方向分布 的密度，再设q(t,x)为车辆通过 点的流通率。 为车辆通过x点的流通率 的密度，再设 为车辆通过 点的流通率。 车辆数守恒，有： 车辆数守恒，
u (t + dt , x)dx − u (t , x)dx = q(t , x)dt − q (t , x + dx)dt
假设函数连续可微， 假设函数连续可微，有： ∂u
∂q (t , x) + (t , x ) = 0 （3.41） ∂t ∂x
由于安全上的原因， 是 的函数 的函数， 由于安全上的原因，q是u的函数，该函数关系称为基本 方程或结构方程。 方程或结构方程。
x2
A
令： B(t ) = ∫0 b(t , x)k (t , x) p(t , x)dx
P(t )
A
P(t ) B(t)、D(t)分别为 时刻的生育率和死亡率。则有： 分别为t时刻的生育率和死亡率 、 分别为 时刻的生育率和死亡率。则有：
dP = ( B(t ) − D(t )) P (t ) dt
（3.40）
积分， 对（3.38）式关于 从0到A积分，得： ）式关于x从 到 积分
A dP = P (t , 0) − ∫ d (t , x) p (t , x)dx 0 dt
= ∫ b(t , x)k (t , x) p (t , x)dx − ∫ d (t , x) p(t , x)dx
x1 0