随机变量的数字特征练习题
随机变量的数字特征练习题(优.选)
1.设随机变量X的概率分布为X 1234p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×1/8=61/8;E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为;;;.因此E(X)=0×7/24+1×21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;∴D (X )=E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100.3.一批零件中有9个合格品与3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为P (X =0)=9/12=3/4 ;;;.所以由数学期望公式得到E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ;∴D (X )=E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319.4.射击比赛,每人射四次(每次一发),约定全部不中得0分,只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.,,,,.所以=54.05.5.设随机变量X的概率分布密度函数为,求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知; 又因为;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2 .6.设随机变量X的概率分布密度函数为.求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知, 又根据密度函数的性质得到∴A=15/16 即E(X)=1.又∵;∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7.7.设随机变量X的概率分布密度函数为,且已知方差D(X)=1, 求常数a和b. 解.显然常数a＞0.由密度函数的性质可知①根据数学期望公式得到;;∴由已知D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1②解方程①②得到 .解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知8.设随机变量X的概率分布密度函数为,求X的方差.∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=1/6-0=1/6.最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成word文本--------------------- 方便更改。
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
高三数学选修2-3(B版)_《随机变量的数字特征》同步练习2
2.3.2 离散型随机变量的方差一、选择题1．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则D (X )的值为（ ）A ．2B ．1 C.12 D.14[答案] B[解析] ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴D (X )＝4×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1，故选B 。
2．若X 的分布列为X 0 1 Ppq 其中p ∈(0，1)，则（ A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2 D ．D (X )＝pq 2 [答案] C[解析] 由两点分布的方差公式D (X )＝p (1－p )＝p －p 2，故选C 。
3．下列说法正确的是（ ）A ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ的取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 [答案] C[解析] 由离散型随机变量的期望与方差的定义可知，C 正确，故选C 。
4．已知随机变量ξ的分布列为ξ1234则Dξ的值为（ A.2912 B ．121144 C.179144 D ．1712[答案] C[解析] ∵Eξ＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴Dξ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17122×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5122×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7122×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19122×14＝179144，故选C 。
5．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3ξ＋5)＝（ ） A ．6 B ．9 C ．3 D ．4[答案] A[解析] E (ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2， D (ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23， ∴D (3ξ＋5)＝9D (ξ)＝6，故选A 。
随机变量与数字特征练习题及答案
1 第8章 随机变量与数字特征一、填空题⒈ 设随机变量X 的概率分布为则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<<<x x 时，}{21x X x P ≤≤= .⒊ 设),(~p n B X ，且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则n = .4．设)10,5(~2N X ，若5.0)5(=<-a X P ，则a = .5. 设随机变量X 的期望方差分别为E X ()和D X ()，令Y aX b =+，则有E Y ()= ，D Y ()= .二、单项选择题⒈ 设X 是连续型随机变量，其密度函数为 ⎩⎨⎧∉∈=],1(0],1(ln )(b x b x x x f 则常数b =（ ）.A . eB . e + 1C . e - 1D . e 2⒉ 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ ）~)1,0(N . A .10050-X B . 1050-X C . 50100-X D . 5010-X ⒊ 设),2(~2σN X ，已知4.0)42(=≤≤x P ，则=≤)0(x P （ ）. A . 0.4 B . 0.3 C . 0.2 D . 0.14. 已知X N ~(,)222，若aX b N +~(,)01，则有（ ）A . a b ==-22,B . a b =-=-21,C . a b ==-121, D . a b ==122, 5. 已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E （ ）. A . 30 B . 9 C . 6 D . 366. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（ ）A .xf x x ()-∞+∞⎰d B . x f x x 2()-∞+∞⎰d C . xf x x 2()-∞+∞⎰d D . (())()x E X f x x --∞+∞⎰2d 三、解答题1．设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它， 求：⑴ P X (..)1525<<； ⑵ E X ().2．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.3．设)5.0,3(~2N X ，求)6.32(≤≤X P .已知9772.0)2(,8849.0)2.1(=Φ=Φ.4．在一次数学考试中，其分数服从均值为65，标准为10的正态分布，求分数在60~75的概率. (6915.0)5.0(=Φ，8413.0)1(=Φ)。
第四章随机变量数字特征习题
第四章随机变量的数字特点一、填空题：1. 设随机变量 ~B(n,p) , 且E 0.5 ，D 0. 45 ，则 n= , p= 。
2. 设随机变量表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的2概率为，则E( ) = 。
3. 已知随机变量的概率密度为12x 2 x 1 (x) e （x ），则E( ) ，D( ) 。
14. 设随机变量~ U (a,b) ，且E( ) 2，D( ) ，则a ，b 。
35. 设随机变量 ,有E 10 ，D 25 ，已知E(a b) 0 ，D(a b) 1则 a= , b= , 或 a= , b= 。
6. 已知失散型随机变量听从参数为 2 的普哇松散布，则随机变量3 2 的数学希望E 。
27. 设随机变量 1 ~ U [0,6] ， 2 ~ N (0,2 ) ，且 1 与 2 互相独立，则D( 1 2 2 ) 。
2 8. 设随机变量 1 , 2 , , n 独立，而且听从同一散布。
数学希望为a , 方差为， n1令in 1，则E ，D 。
i19. 已知随机变量与的方差分别为D 49 ，D 64 ，相关系数0.8 ，则D( ) ，D( ) 。
10. 若随机变量的方差为D( ) 0.0 0 4，利用切比雪夫不等式知P E 0.2 。
二、选择题：1. 设随机变量的函数为a b ，（a , b 为常数），且E ，D 均存在，则必有（）。
A. E aEB. D aDC. E aE bD. D aD b2. 设随机变量的方差D 存在，则D(a b) （）（a , b 为常数）。
2 A. aD b B. a D2C. a D bD. a D23. 假如随机变量 ~ N( , ) ，且E 3，D 1，则P( 1 1) （）.A. 2 (1) 1B. (2) (4)C. ( 4) ( 2)D. (4) (2)4. 若随机变量听从指数散布，且D 0 .25 ，则的数学希望E （） .A.12 B. 2 C.14D. 40, x 05. 设随机变量的散布函数为3F (x) x , 0 x 1 ，则E( ) （）.1, x 14 A. x dx12B. 3x dxC.1x D. 3x dx 4 dx xdx4dx xdx21 026. 设随机变量的希望E 为一非负值，且E( 1) 2 ，21 D( 1) ，则2 22E （）。
考研数学三随机变量的数字特征-试卷1_真题-无答案
考研数学三（随机变量的数字特征）-试卷1(总分60,考试时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1. 设随机变量X～E(1)，记Y=max(X，1)，则E(Y)=A. 1．B. 1+e-1．C. 1-e-1．D. e-1．2. 已知随机变量X与Y均服从0-1分布，且EXY=，则P{X+Y≤1}=A. B.C. D.3. 设随机变量X与Y独立同分布，记U=X-Y，V=X+Y，则随机变量U与YA. 不独立．B. 独立．C. 相关系数不为零．D. 相关系数为零．4. 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A. P{Y=-2X-1}=1．B. P{Y=2X-1}=1．C. P{Y=-2X+1}=1．D. P{Y=2X+1}=1．5. 已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y相关系数ρ=1的充要条件是A. Cov(X+Y，X)=0．B. Cov(X+Y，Y)=0．C. Cov(X+Y，X-Y)=0．D. Cov(X-Y，X)=0．2. 填空题1. 已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为戈的指数分布，则E(XY)=_________．2. 已知某零件的横截面是一个圆，对横截面的直径进行测量，其值在区间(1，2)上服从均匀分布，则横截面面积的数学期望为_______，方差为_________.3. 设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(-3，4)，则随机变量Z=-2X+3Y+5的概率密度为f(z)=_________．4. 将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥_________．5. 设随机变量X的概率密度为则随机变量X的二阶原点矩为________．6. 设试验成功的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_________．7. 已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1-e-1，则E(X1+X2)2=_______．8. 已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察，观察值X+Y不超过1出现的次数为Z，则EZ2=________．9. 设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=________．10. 设随机变量X1，…，Xn相互独立同分布，EXi=μ，DXi=8(i=1，2，…，n)，则概率11. 已知随机变量X与Y的相关系数，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X-Y｜≥}≤________．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
随机变量的数字特征历年真题数学
随机变量的数字特征历年真题数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π则EX = ，DX = 。
2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。
3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。
4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0<X <1, |y |<x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。
5（91，3分）设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且=<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则。
6（92，3分） 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2xe X E。
7（93，6分）设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(|| （1） 求EX 和DX ；（2） 求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分）已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2223,21Y X Z XY +=-=设ρ。
（1） 求EZ 和DZ ；（2） 求X 与Z 的相关系数;XZ ρ（3） 问X 与Z 是否相互独立？为什么？9（95，3分） 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2X E =。
10（96，3分） 设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
11（96，6分） 设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,31)(ηξηξξ=====Y X i i P 又设 （1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律； （2） 求EX 。
随机变量的数字特征
第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方 差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是 （ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩， ，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。
第3章随机变量的数字特征_答案_
第3章随机变量的数字特征_答案_第3章随机变量的数字特征⼀.填空题1.(90-1-2)已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布22{},0,1,2...!k P X k e k k ?===则随机变量32Z X =?的数学期望E (Z)= (4)解: ()()()()~(2), 2,32323224X P E X E Z E X E X ==?=?=×?=2.设随机变量X 的密度函数为+=0)(B Ax x f 则且其它,127)(,10=≤≤X E x A =_____,B =______. (1,1/2)解:1()112f x dx A B +∞∞=?+=∫, 7117()123212EX xf x dx A B +∞∞==?+=∫, 11,2A B ∴==3. (92-1-3)已知随机变量X 服从参数为1的指数分布, 则数学期望()2XE X e+= (4/3)解:()()()()222300, 011~(1), 1, , 330, 0x X x x x x e x X E E X f x E e e f x dx e e dx e x ?+∞+∞+∞∞?>=====?=?≤?∫∫ ()211/34/3X E X e ?+=+=4.(95-1-3)设X 表⽰10次独⽴重复射击命中⽬标的次数，每次射中⽬标的概率为0.4，则2x 的数学期望()2E X= (18.4)解:()()()()()()222~(10,0.4),100.44,(1)100.410.4 2.4, 2.4418.4X B E X D X np p E X D X E X =×==?=×?==+=+=5. (99-4-3)设~(),X P λ已知[(1)(2)]1E X X ??=,则λ= (1) 解:()()()()()222~(),,,X P E X D X E XD XE X λλλλλ===+=+,222[(1)(2)][132)]()3()2211E X X E X X E X E X λλλ??=?+=+=?+=?=?6. (95-4-3)设X 是随机变量，其概率密度为1,10()1, 010,x x f x x x +?≤≤??=?<≤,则⽅差DX 为 (1/6)解:()()00110123231100101111(1)(1)02323E X xf x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()0011012222343411001011111(1)(1)34346E X x f x dx x x dx x x dx x x x x +∞∞?==?++??=++?=∫∫∫()()()221/601/6D X E X E X =?=?=7.(90-4-3)设随机变量X 和Y 独⽴,~(3,1),~(2,1)X N Y N ?,则27, Z ~Z X Y =?+ (0,5)N 解:()()2()732270,()()4()145~(0,5)E Z E X E Y D Z D X D Y Z N =?+=??×+==+=+=∴8.设两个相互独⽴的随机变量X 和Ｙ均服从(1,1/5)N ,若随机变量X aY ?满⾜条件2()[()]D X aY E X aY ?=?，则a = . (1) 解:()0,()()01101E X aY E X aE Y a a ??=??==?=9.(03-3-4) 随机变量 X 与Y 的相关系数为0.9,若0.4Z X =?则Y 与Z 的相关系数为 (0.9) 解:()()0.4,,cov(,)cov(,0.4)cov()cov(),Z X D Z D X Y Z Y X Y X X Y =?==?==,,0.9YZ ρ===10.(03-4-4)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，2202EX EY EX EY ====，，试求2E X Y +（）= (6) 解: 2202EX EY EX EY ====∵，，()()()222,D X E X E X ∴=?= ()()()222D Y E Y E Y =?=0.5,0 ()0.51XY XY EX EY E XY ρρ====?===222222)2()()2226E X Y E X XY Y E X E XY E Y +=++=++=++=（）（）（⼆.选择题1.(91-3-3)若随机变量X 与Y 的协⽅差()()()E XY E X E Y =，则下列结论必正确的是( ). 解B (A ) ()()()D XY D X D Y =; (B ) ()D X Y DX DY +=+; (C ) X 与Y 独⽴; (D ) X 与Y 不独⽴2.若随机变量X 与Y 的协⽅差(,)0Cov x y =，则下列结论必正确的是( ). 解C (A ) X 与Y 独⽴; (B )()()()D XY D X D Y =; (C )()D X Y DX DY +=+; (D )()D X Y DX DY ?=?.3.(90-4-3)已知()()~(,), 2.4, 1.44X B n p E X D X ==则,n p 的值( ). 解B (A )4,0.6n p ==; (B ) 6,0.4n p ==; (C ) 8,0.3n p ==; (D ) 24,0.1n p ==. 解:()()1.44, 2.4,1 1.44/2.40.60.4,6D X npq E X np q p p n =====?==?==4.(97-1-3)设两个相互独⽴的随机变量X 和Y 的⽅差为4和2,则随机变量32X Y ?的⽅差是( ) 解D (A) 8; (B)16; (C)28; (D)44 分析: ()329()4()944244D X Y D X D Y ?=+=×+×=5.(95-3-3)设随机变量X,Y 独⽴同分布,记,U X Y V X Y =?=+,则U 和V 必然( ) 解D (A )独⽴; (B)不独⽴; (C ) 相关系数不为0; (D )相关系数为0. 分析: X,Y 独⽴同分布,()(),D X D Y =cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)()()00U V X Y X Y X X X Y Y X Y Y D X D Y ρ=?+=+??=?=?=6.(08-1,3,4-4) (0,1),(1,4),1XY X N Y N ρ=～～，则（）. 解D (A)(21)1P Y X =??=. (B)(21)1P Y X =?=. (C)(21)1P Y X =?+=.(D)(21)1P Y X =+=. 分析:,1,0XY Y aX b a ρ=+=∴>,排除A,C,()0,()1,()101E X E Y EY aE X b a b b ===+?=?+?=∵,选D三.计算题 1. 设随机变量X 的分布函数()0, 10.2, 100.5, 011, 1x x F x x x，求EX ，DX （0.3，0.61）解：分析，由()F x 是离散型的分布函数，先求分布律（直接计算分段点的跳跃度（值差）即可）()10.210.50.3EX =?×+×=，()22210.210.50.7EX =?×+×=，2220.70.30.61DX EX E X =?=?=2. 若已知是分布函数()0, 10, 011, 1x F x x x x ?≤=≤，求EX ，DX （1/2，1/12）(思考：如何判别分布函数()F x 是离散型还是连续型？)解：分析，由()F x 是连续型的分布函数，先求导数，()1, 01'()0, x F x f x ≤其他，1120 011122EX x dx x =?==∫， 112230 011133EX x dx x =?==∫，2221113212DX EX E X ??=?=?=3.(89-4-3)设随机变量2123~(0,6),~(0,2),~(3)X U X N X P 相互独⽴，令32132X X X X +?=,求EX ,DX (12, 46) 解:12306 ()()2()3()2033122E X E X E X E X +=?+=×+×= 22123(60)()()4()9()42934612D X D X D X D X ?=++=+×+×=4、设[]~2,6X U ，对X 进⾏20次独⽴观测，Y 表⽰20次观测值中事件{}5X >发⽣的次数，求()2 YE （115/4）.解：[]~2,6X U ，()1, [2,6]40, x f x ?∈?=其他，{} 6 511544P X dx >==∫.，据题意 (,)Y B n p ～，120,4n p == 1315205,5444EY np DY npq ==×===×=，()222153528E Y DY E Y =+=+= 5.(02-4-3) 已知随机向量(X ,Y )的联合分布律为,求,,(,),EX DX Cov X Y xy ρ (0.6,0.24,0,0)X -1 0 11/3 0.2 0.3 0.5解:0.6,EX =20.6,EX =220.60.360.24DX EX E X =?=?=,()10.1510.350.2EY =?×+×=(1,1)(1,1)()0.080.20.12E XY xy xy ?=×+×=, (,)0,0xy Cov X Y ρ=∴= 6、已知随机变量),(Y X 服从区域()}{,01,D x y x x y x =<解：依题意，()11, (,),0, x y Df x y d ?=∈?=其他（注意，函数区间利⽤⼆重积分计算）2222(,((,EX xf x EX x f DX EX E X EY yf x y +∞+∞∞∞+∞+∞∞∞+∞∞===?==∫∫∫∫∫()(,EXY xyf Cov X Y EXY +∞+∞∞∞==?∫∫∫7. (05-1,3,4-9)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()1,01,02,0,x y xf x y <<<其他 1)求边缘概率密度()X f x ,()Y f y . 2)判断X,Y 的独⽴性(补). 3)判断X,Y 的相关性(补解: 1) 01 x <<，()()20,12xX f x f x y dy dy x +∞∞===∫∫2, 01()0, X x x f x <02y <<,()()1/2,112Y y y f y f x y dx dx +∞∞===?∫∫,1, 02()20, Y yy f y ??<2) 显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?,X Y ∴，不独⽴.3) 121122002()(,)23E X xf x y dxdy xdxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫, 1211222000012()(,)223xx E Y yf x y dxdy ydxdy y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫1211223000011()(,)222xx E XY xyf x y dxdy xydxdy x y dx x dx +∞+∞∞∞=====∫∫∫∫∫∫显然(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠∴Y X ,相关.8. (07-1,3,4-11)设⼆维随机变量 (X,Y) 的密度函数为()2,01,01,0,x y x y f x y ??<<<其他1) 求{2}P X Y >, 2)判断X,Y 的独⽴性(补), 3)判断X,Y 的相关性(补) (7/24, 不独⽴.相关) 解1) ()1/220001{2}2(2)2x x P X Y x y dxdy y xy y dx >==∫∫∫1205157()822424x x dx =?=?=∫ 2)112001301()(,)(2)(2)22X x f x f x y dy x y dy y xy y x +∞∞≤≤==??=??=?∫∫，,3/2, 01()0, X x x f x ?≤≤?∴=??其他112001301,()(,)(2)(2)22Y y f y f x y dx x y dx x x xy y +∞∞≤≤==??=??=?∫∫3/2, 01()Y y y f y ?≤≤?∴=?显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠?, X Y ∴，不独⽴3)1123003315()()()()24312X E X xf x dx x x dx x x +∞?∞==?=?=∫∫,1123003315()()()()24312Y E Y yf y dy y y dy y y +∞?∞==?=?=∫∫11111222320000011211()(,)(2)()()23326E XY xyf x y dxdy xy x y dxdy xy x y xy dx x x dx +∞+∞∞∞==??=??=?=∫∫∫∫∫∫ (,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =?≠X Y ∴，相关. 9.(94-1-6)设22~(1,3),~(0,4),X N Y N 且1,2XY ρ=?设32X YZ =+，1)求(),().E Z D Z 2)求XZ ρ,3)问X,Z 是否相互独⽴?为什么? (1/3, 0, 独⽴) 解:1) 22~(1,3),~(0,4),X N Y N 1,2XY ρ=?32X Y Z =+111()()()323E Z E X E Y ?=+= 1(,)3462Cov X Y ρ==?××=?,111111()(,)916(6)3943943D Z DX DY Cov X Y ∴=++=×+×+?=2)111111(,)(,)(,)()(,)9(6)032323232X Y Cov X Cov X X Cov X Y D X Cov X Y +=+=+=?+?=cov ,0XZ X Z ρ∴==3) X,Z 相互独⽴0XZ ρ?=(⼆维正态独⽴的充要条件)10.飞机场送客汽车载有20位乘客，离开机场后共有10个车站可以下车，若某个车站⽆⼈下车则该车站不停车。
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1.设随机变量X的概率分布为
X 1234
p1/81/41/21/8求E(X),E(X2),E(X+2)2. 解.由离散型随机变量的数学期望公式可知
E(X)=1×1/8+2×1/4+3×1/2+4×1/8=21/8;
E(X2)= 12×1/8+22×1/4+32×1/2+42×
1/8=61/8;
E(X+2)2=E(X2+4X+4) =E(X2)+4E(X)+4=61/8+4×21/8+4=177/8.
2.某种产品共有10件,其中有次品3件.现从中任取3件,求取出的3件产品中次品数X 的数学期望和方差. 解.由题意可知,随机变量X的取值范围是0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
;
;
;
.
因此E(X)=0×7/24+1×
21/40+2×7/40+3×1/120=9/10;
E(X2)=02×7/24+12×21/40+22×7/40+32×1/120=13/10;
∴
D (X )=
E (X 2)-(E (X ))2=13/10-(9/10)2=49/100.
3.一批零件中有9个合格品与3个废品
,
在安装机器时,从这批零件中任取1个,如果取出的是废品就不再放回.求在取得合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差.
解. 随机变量X 表示在取得合格品之前,已经取出的废品数.
所以 X 的所有可能取值为0, 1, 2, 3,且取这些值的概率为
P (X =0)=9/12=3/4 ;
;
;
.
所以由数学期望公式得到
E (X )=0×3/4+1×9/44+2×9/220+3×1/220=0.3 ;
E (X 2)= 02×3/4+12×9/44+22×9/220+32×1/220=9/22 ;
∴
D (X )=
E (X 2)-(E (X ))2=9/22-0.32=0.319.
4.射击比赛,每人射
四次(每次一发),约定全部不中得0分,
只中一弹的得20分,中两弹得40分,中三弹得70分,中
解. 随机变量X 表示此人的得分. 根据题意,可得
四弹得100分.某人每次射击的命中率均为3/5,求他得分的数学期望.
,
,
,
,
.所以
=54.05.
5.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的数学期望和方
差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知
; 又因为
;
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=π2/12-1/2 .
6.设随机变量X的概率分布密度函数为
.
求X的数学期望和方差. 解.根据连续型随机变量的数学期望和方差公式可知
, 又根据密度函数的性质得到
∴A=15/16 即E(X)=1.
又∵
;
∴D(X)=E(X2)-(E(X))2=8/7-1=1/7.
7.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
且已知方差D(X)=1, 求常数a和b. 解.显然常数a＞0.
由密度函数的性质可知
①
根据数学期望公式得到
;
;
∴由已知D(X)=E(X2)-(E(X))2=a3b/6=1②
解方程①②得到 .
解.根据连续型随机变量的数学
期望和方差公式可知
8.设随机变量X的概率分布密度函数为
,
求X的方差.
∴
D(X)=E(X2)-(E(X))2=1/6-0=1/6.。