2.1.1合情推理与演绎推理-合情推理

归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
具体问题实验观察经验归纳猜想结论证明
归纳推理的基础
观察、分析发现新事实、获得新结论
归纳推理的作用
注意
归纳推理的结论不一定成立
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且 a n +1
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数
“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, „， 1000＝29+971， 1002=139+863,
an = 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
分析：数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系。为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项；然后，再根据其特征归纳推理出它的通项公式。
当n=1时，解： a1=1;
1 1 a2 ; 11 2
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 n -1 猜想 a = 2 n 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
类比推理
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）； ⑵ 用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤:
观察、比较联想、类推猜想新结论
类比推理的特点类比推理
由特殊到特殊的推理
的作用
注意
以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能
课堂小结：
1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
原问题

原问题解法

类比
类比问题
类比问题的解法
猜想

2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。
小结
1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法. . 3.由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方向.
单位元
a+0=a
通过例2，例3你能得到类比推理的一般模式吗？
类比推理的一般模式:
A类事物具有’,
(a,b,c与a’,b’,c’相似或相同）所以B类事物可能具有性质d .
’
运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象基本原则是：要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象。
4 3
与圆心距离相等的两弦相等与球心距离相等的两截面面积相等与圆心距离不相等的两弦不相与球心距离不相等的两截面面积等,距圆心较近的弦较长不相等,距球心较近的面积较大以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
当n=4时，
1 a3 1 4 1 3 1 3
当n=2时，
观察可得，数列的前当n=3时， 4项都等于相应序号 1 的倒数，由此猜想， 1 a3 2 1 3 这个数列的通项公式 1 1 为： 2 an n
2、类比推理：
1、据说春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
⑶谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”。等等。合情推理 3.分类：推理
演绎推理
二、合情推理
合情推理
归纳推理类比推理
1、归纳推理：哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3 ＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;等等。
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
类比推理的定义:
圆
弦直径周长面积
球
截面圆大圆表面积体积
利用圆的性质类比得出球的性质圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2 球的体积 V = πR3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 简之：由部分到整体，由个别（特殊）到一般的推理。（结论只是猜测）例如：由铜、铁、铝、金等金属能导电归纳出“一切金属都导电”；由直角三角形，等腰三角形，等边三角形的内角和是1800，归纳出“所有三角形的内角和都是 0。 180 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
例4：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
c2=a2+b2
c
a
Ｃ
s1 o s2 s3
b
Ａ
B
C
2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC
2.1合情推理与演绎推理
2.1.1.合情推理
一、推理的定义及分类 1.推理是人们思维活动的过程，是根据一个或多个已知的判断来确定一个新的思维过程。 2.日常生活中的例子 ⑴看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象。我们会推断—天要下雨啦；
⑵某同学今天没有来上课。我们会推断—某同学生病啦；
由两类对象具有某些类似特征，和其中一
类对象的某些已知特征，推出另一类对象
也具有这些特征的推理称为类比推理
（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
类比推理的特点：
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
例3 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度运算结果实数的加法若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果；具有发现的功能; 结论不一定成立.
小结
☞
观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想
归纳推理和类比推理的过程
从具体问题出发
归纳推理合情推理类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
方法感悟
1．归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能．在数列问题中，常用归纳推理猜测、求解数列的通项公式． 2．类比推理的关键是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，为了提高所得结论的准确性，常采用下列技巧 (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性． (3)这些共同 (相似 )属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
思考：平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象
构成几何体的元素数目：三角形平面图形（二维）点
四面体
立体图形（三维）点或线
线
平面直角坐标系
线或面
空间直角坐标系
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想．

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2020高中数学第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理讲义 2-2

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

2.1.1合情推理-归纳推理[1]

归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想（找反例或证明）。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
an = 1 + an
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
…
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
要说明猜想错误，只要一个反例。说明正确就要证明。可是，几百年也没有找到反例。而为了证明这个猜想，数学家们作了很多努力。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年的结果，称为陈氏定理(Chen„s Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ” 的形式。哥德巴赫猜想还是猜想，有志于此乎？
作业：1、《三维设计》P42，题组集训1、2、3、4、5
2、课本P84B组第1题
2.1合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理
问题：在“狼来了”故事中，那个小孩最后喊“狼来了”时，听到的人们是怎样想的？为什么会这样想？
请列举生活中推理的例子。
如：锯子的发明传说；警察办案；天气预报; 文物考察；数学命题探索论证等等
歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”
定义：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个理解;

2.1.1合情推理---归纳推理类比推理演绎推理学案

12.1.1 合情推理（1）---归纳推理学习目标1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.学习过程学习探究探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1．哥德巴赫猜想：哥德巴赫观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……,50=13+37, ……1000=29+971，, …… 猜测：问题2：铜、铁、铝、金、银等金属能导电，归纳出：问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……归纳出n 边形的内角和是新知1归纳推理：有某类事物的部分对象具有的特征，推出该类事物的叫做归纳推理。

简言之：，归纳推理是的推理归纳推理的一般步骤1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。

2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）。

典型例题例1观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23， 1+3+5+7=16=24，1+3+5+7+9=25=25， ……你能猜想到一个怎样的结论？变式1 观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， …… 你能猜想到一个怎样的结论？例2.已知数列{}n a 的第一项11a =，且nnn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式例3.在学习等差数列时，我们是怎么样推导首项为1a ，公差为d 的等差数列{a n }的通项公式的？例4.设2()41,f n n n n N +=++∈计算(1),(2),(3,)...(10)f f f f 的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确。

动手试试练1..练2. 观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，由此可以归纳出什么规律？三、总结提升学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.知识拓展四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.当堂检测1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2. 已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为（）.A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+课后作业1.已知1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,……1+2+3+……+n=(1)2n n+，观察下列立方和：13，13+23，13+23+33，13+23+33+43，……试归纳出上述求和的一般公式。

2.1.1合情推理

1、归纳推理
2、类比推理
考察以下事例中的推理：（1）1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的；（2）我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油；
…
----歌德巴赫猜想
归纳推理的一般步骤： 1.通过观察个别情况发现某些相同性质； 2.从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。一般地，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题就越可能为真。
(二)活学活用:
例1 用推理的形式表示等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前 n项和Sn的归纳过程。解：对等差数列1，3，5，---，（2n-1），---的前1，2，3，4， 5，6项和分别进行计算： S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = 1=12 1 + 3 = 4 = 22 1 + 3 + 5 = 9 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 1+3+5+7+9= 25 = 52 1+3+5+7+9+11=36=62
, f (9) 9 2 9 41 131 , f (10) 102 10 41 151
43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数。 ----------------------------------------------------------------------

数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)

2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

2.1.1合情推理(一)

2
1
3
13
设 an为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
a n ＝1时， 1 ＝1 n＝2时，a2＝3
第1个圆环从1到3.
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.
a n＝3时， 3 ＝7
前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
猜想 an= 2n -1
大胆猜想小心求证
16
3.(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且若用f(n)表示这n条直线交点的个数. 当n ≥3 时, f(n)= .(用n表示)
仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.
1 2 ( n n 2) 2

归纳推理归纳推理的基础归纳推理的作用注意
2
1
3
14
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
观察到都是质数,进而猜想:
任何形如的数都是质数这就是著名的"费马猜想"
半个世纪后,欧拉发现第5个费马数
欧拉
15
宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个, 却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.
an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，·· ·)， 1 an
1 an 请归纳出这个数列的通项公式为________. n
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.
10
2.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.

合情推理与演绎推理

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法
(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；
(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；
(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．
[典例] 12 ＝ 1
(1)(2013· 陕西高考)观察下列等式
12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 „„
等式左右两边的项、上下式变化有什么规律？代入求值，观察归纳解析式
照此规律，第 n 个等式可为________． x (2)已知函数 f(x)＝ (x＞0)．如下定义一列函数： f1(x)＝f(x)， x＋2
[类题通法]
演绎推理的结构特点
(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．
n＋1nn＋1
2
.
x (2)依题意得，f1(x)＝， x＋2 x x＋2 x x f2(x)＝ x ＝＝ 2 2， 3x＋4 2 －1x＋2 ＋2 x＋2
x 3x＋4 x x f3(x)＝ x ＝＝ 3 3，„， 7x＋8 2 －1x＋2 ＋2 3x＋4 x 由此归纳可得 fn(x)＝ n n(x＞0)． 2 －1x＋2

合理推理与演绎推理

【思路分析】可通过画当直线条数n为3，4，5时，分别计算出它们将平面分成
的区域数
S n ，从中发现规律，再归纳出结论。
【解析】设平面被n条直线分成
S 1 =1＋1=2；当n=2时，
S n 部分，则当n=1时，
S 2 =1＋1＋2=4；当n=3时，
S 3 =1＋1＋2＋3=7；当n=4时，
S 4 =1＋1＋2＋3＋4=11．据此猜想，得
在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理。
合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类。
1.
归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类
事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一
般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般
的推理，归纳推理简称归纳。
(2). 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比。
完全归纳是指没有办法穷尽全部被研究的对象，得出的
的特征进行归纳。归纳是指通过对特例的分析来引出普
陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍
结论只能算猜想结论的正确与否有待于进一步证明或举
遍结论的一种推理形式，它由推理的前提和结论两部分
性的陈述、判断。归纳分为完全归纳与不完全归纳，不
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2.1 合情推理与演
绎推理
2023
01 一.推理的概念：根据一个或几个已知事实（或假设）得出一个判断，这种思维方式叫做推理。从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设）叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论。

2.1合情推理与演绎推理

从构成几何体的元素数目看,三角形由3条直线围成，它是平面内由数目最少的基本元素（直线）围成的封闭图形。
从这个角度看,我们可以把三角形作为四面体的类比对象。
15
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中
四面体性质的猜想。
P
解:考虑到直角三角形的两 B
条边互相垂直,我们可以选取有3个面两两互相垂直 a c
的四面体，作为直角三角形的类比对象。
Cb A E
S2 D S1
S3
F
如图,Rt△ABC中有勾股定理:a2+b2=c2。类似地,在四面体P-DEF中,∠PDF= ∠PDE= ∠EDF=900。设S1,S2，S3和S分别表示△PDF， △PDE， △EDF 和△PEF的面积。
……
根据上述过程,歌德巴赫大胆地猜想:任何一个
不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 5
现在,我们来考察一下歌德巴赫提出猜想的过程: 通过对一些偶数的验证，他发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例。于是，提出猜想——“任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和”。
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事物概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。
8
归纳推理所得的结论仅是一种猜想,未必可靠，还需证明例如,法国数学家费马观察到
2 2 1 1 5 ,2 2 2 1 1 7 ,2 2 3 1 2 5 7 ,2 2 4 1 6 5 5 3 7
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
22n 1(nN*) 的数都是质数。
——这就是著名的费马猜想。半个世纪之后,善于计算的欧拉发现，第5个费马数

数学：2.1.1《合情推理与演绎推理-合情推理》PPT课件(新人教选修2-2)

归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a
n +1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.
1 2
+
1 3
+ L + 5 2
1 n
(n Î
N )计算得 7 2
*
f(2)=
,f(4)>2,f(8)> 2时 ,有
, f ( 1 6 ) > 3 , f (3 2) >
-----------------.
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen„s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

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