2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级(上)期中数学试卷解析版

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的

1．（3分）在下列图形中是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（3分）下列计算正确的是（）

A．a4+a2＝a6B．（ab5）2＝ab10

C．a4?a3＝a7D．a10÷a2＝a5

3．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）

A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD

4．（3分）若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，则m的值为（）

A．﹣4B．4C．﹣2D．2

5．（3分）如图，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，BC＝13，AB＝5，且E为BC上一点，∠AED＝90°，AE＝DE，则BE＝（）

A．13B．8C．6D．5

6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（）

A．15B．30C．45D．60

7．（3分）等腰三角形的一个角是80°，则它的底角是（）

A．50°B．80°C．50°或80°D．20°或80°

8．（3分）如图的方格纸中每一个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点的个数有（）

A．8个B．9个C．10个D．11个

二、填空题（共8题，每小题3分，共24分

9．（3分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为．

10．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠C＝65°，则∠BAD的度数为．

11．（3分）计算＝．

12．（3分）如图，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若BD＝3，则DE＝．

13．（3分）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，则a＝．

14．（3分）已知，如图AB＝AC，∠BAC＝40°，D为AB边上的一点，过D作DF⊥AB，交AC于E，交BC延长

线于点F，则∠F＝°．

15．（3分）已知，如图，AB＝BC＝6，∠A＝15°，则△ABC的面积为．

16．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为4，过AB边上一点P作PN⊥AC于点N，Q为BC延长线上一点，取CQ＝P A，连接PQ交AC于M，则MN的长为．

三、解答题（共7小题，共52分）

17．（5分）如图，B、C、E、F同一直线上，AB∥CD，BF＝CE，∠A＝∠D．

求证：△ABE≌△DCF

18．（12分）计算下列各题

（1）（x﹣3y）（﹣6x）；

（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2；

（3）（x﹣1）（x+2）；

（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）

19．（5分）已知△ABC，A（﹣4，1）、B（﹣1，﹣1）、C（﹣3，2）．

（1）请在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

（2）请在同一平面直角坐标系中画出△A1B1C1关于直线m（直线m上各点的横坐标都是1）对称的△A2B2C2，并直接写出点A2，C2的坐标；

（3）直接写出△ABC边上一点M（x，y），经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标．

20．（6分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作△ADE，AE ＝AD，∠DAE＝90°，连接CE．

（1）如图1，若点D在段BC上．求证：∠B＝∠ACE；

（2）若BC＝5，CE＝2，直按写出CD的长度．

21．（8分）（1）先化简再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）+2y2，其中x＝﹣1，y＝2；

（2）已知a2+b2＝3，a﹣b＝1，求①ab；②a+b的值．

22．（8分）如果5a＝b，那么称a为b的幂指数，记为a＝λ（b）

（1）因为52＝25，所以λ（25）＝2，根据上述规定：λ（5）＝；

（2）已知幂指数有如下运算性质：

若m，n为正数，则λ（mn）＝λ（m）+λ（n），λ（）＝λ（m）﹣λ（n）．

根据以上运算性质：＝（x为正数）．

若λ（2）≈0.4，则λ（4）≈，λ（10）≈，λ（）≈；（答案精确到小数点后一位）（3）已知λ（3）＝a，λ（0.14）＝b，λ（）＝c，试用等式表示a，b，c之间的数量关系，并说明理由．

23．（8分）在等边△ABC的外侧作直线AP，∠CAP＝α，点C关于AP的对称点为D，连接CD、BD、AD．（1）如图1，若α＝70°，直接写出∠BDC的度数；

（2）如图2，若0＜α＜60°，过点D作DE⊥BD交直线AP于点E，

①依题意补全图形；

②直接写出∠ADB的度数（用含α的代数式表示）；

③求证：AE＝BD．

二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）

24．（3分）已知x+＝4，则x2+的值是．

25．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△ABC面积为12，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD的周长的最小值为．

26．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D在线段AB上运动（D不与A，B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．若△CDE是等腰三角形，则∠ADC的度数是．

27．（4分）如图1，在平面直角坐标系中，我们把d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝AC+BC定义为A（x1，y1）和B （x2，y2）两点之间的非常距离，在图2，图3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如图2，d（D，E）＝d（D，F）＝3，d（E，F）＝4，我们把到M、N两点非常距离相等的所有点组成的图形叫做M，N两点间的

“非常垂直平分线“．如图3，d（M，N）＝，并在图3中画出M、N两点间的“非常垂直平分线”．

28．（6分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），PD⊥AB于D，PE⊥AC 于E，对于△ABC所在平面内一点M，K M＝，我们把K M称为点M的“特征值”．

（1）若BP＝CP，则点P的特征值k p＝；

（2）若BP＝3CP，则点A的特征值k A＝；

（3）试确定点Q的位置，使得当点P运动时，总有点Q的特征值k Q为定值，直接写出这个定值，并证明．

2019-2020学年北京市海淀区清华附中八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的

1．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；

B、是轴对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即

不满足轴对称图形的定义．不符合题意；

D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即

不满足轴对称图形的定义．不符合题意．

故选：B．

2．【解答】解：a4与a2不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；

（ab5）2＝a2b10，故选项B不合题意；

a4?a3＝a7，正确，故选项C符合题意；

a10÷a2＝a8，故选项D不合题意．

故选：C．

3．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；

D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；

故选：D．

4．【解答】解：（2x+m）（x+2）

＝2x2+4x+mx+2m

＝2x2+（4+m）x+2m，

∵若2x+m与x+2的乘积中不含的x的一次项，

∴4+m＝0，

解得：m＝﹣4，

故选：A．

5．【解答】解：在△ABE和△ECD中

∴△ABE≌△ECD（AAS）．

∴CE＝AB＝5．

∴BE＝BC﹣CE＝13﹣5＝8．

故选：B．

6．【解答】解：作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，

∵∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝DC＝5，

∴△ABD的面积＝×AB×DE＝45，

故选：C．

7．【解答】解：①当顶角是80°时，它的底角＝（180°﹣80°）＝50°；

②底角是80°．

所以底角是50°或80°．

故选：C．

8．【解答】解：图中的黑点为C点所在位置，这样的C点共有10个．

故选：C．

二、填空题（共8题，每小题3分，共24分

9．【解答】解：分两种情况：

当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；

当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．

故答案为：17．

10．【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵∠C＝65°，

∴∠BAD＝25°．

故答案为：25°

11．【解答】解：原式＝（﹣4×）2018×4×1＝4，

故答案为4

12．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD是AC边的中线，

∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，∠DBE＝∠ABC＝30°．

∵CD＝CE，

∴∠CDE＝∠E．

∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的外角，

∴∠CDE+∠E＝60°．

∴∠CDE＝∠E＝30°，

∴∠DBE＝∠DEB＝30°，

∴DE＝BD＝3．

故答案为3．

13．【解答】解：（x﹣2）（x+3）

＝x2+3x﹣2x﹣6

＝x2+x﹣6，

∵（x﹣2）（x+3）＝x2+ax﹣6，

∴a＝1，

故答案为：1．

14．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB＝90°，

∴∠B+∠BAG＝90°，

∵DF⊥AB，

∴∠BDF＝90°，

∴∠B+∠F＝90°，

∴∠F＝∠BAG，

∵AB＝AC，AG⊥BC，

∴∠BAG＝∠BAC，

∴∠F＝∠BAC＝20°，

故答案为：20

15．【解答】解：∵AB＝BC＝6，∠A＝15°，∴∠ACB＝∠A＝15°，

∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝30°，

过C作CD⊥AB交AB的延长线于D，

∴∠D＝90°，

∴CD＝BC＝3，

∴△ABC的面积为AB?CD＝×6×3＝9，故答案为：9．

16．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，

∴∠PFM＝∠QCM，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，

∵PN⊥AC，

∴AN＝NF，

∵AP＝PF，AP＝CQ，

∴PF＝CQ．

∵在△PFM和△QCM中，

，

∴△PFM≌△QCM（AAS），

∴FM＝CM，

∵AN＝NF，

∴NF+FM＝AN+CM，

∴AN+CM＝MN＝AC，

∵AC＝4，

∴MN＝2．

故答案为：2．

三、解答题（共7小题，共52分）

17．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）

∵BF＝CE（已知），

∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF．

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（AAS）．

18．【解答】解：（1）（x﹣3y）（﹣6x）

＝﹣6x2+18xy；

（2）（6x4﹣8x2y）÷2x2

＝3x2﹣4y；

（3）（x﹣1）（x+2）

＝x2+2x﹣x﹣2

＝x2+x﹣2；

（4）（x+y﹣3）（x﹣y+3）

＝[x+（y﹣3）][x﹣（y﹣3）]

＝x2﹣（y﹣3）2

＝x2﹣y2﹣9+6y．

19．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2，C2的坐标分别为（6，﹣1）和（5，﹣2）；

（3）点M（x，y）关于x轴对称的点M1的坐标为（x，﹣y），点M1关于直线m对称的点M2的坐标为（﹣x+2，

﹣y）．

∴经过上述两次图形变换后得到△A2B2C2上的对应点M2的坐标为（﹣x+2，﹣y）．20．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE；

（2）解：∵△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE＝2，

∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3．

21．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+2y2＝2x2+4xy+2y2，当x＝﹣1，y＝2时，原式＝2﹣8+8＝2；

（2）①∵a2+b2＝3，a﹣b＝1，

∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，即3﹣2ab＝1，

解得：ab＝1；

②∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝3+2＝5，

∴a+b＝±．

22．【解答】解：（1）因为5a＝b，所以λ（5）＝a．

故答案为a．

（2）因为λ（mn）＝λ（m）+λ（n），

所以＝＝2．

∵λ（2）≈0.4，

∴λ（4）＝λ（2）+λ（2）≈0.4，

λ（10）＝λ（2）+λ（5）≈0.4+1＝1.4，

λ（）＝λ（8）﹣λ（25）＝3λ（2）﹣2λ（5）≈3×0.4﹣2＝﹣0.8，

故答案为2，0.4，1.4，﹣0.8；

（3）λ（0.14）＝λ（14）﹣λ（100）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（10）＝λ（7）+λ（2）﹣2λ（2）﹣2＝λ（7）﹣λ（2）﹣2＝b，

λ（）＝λ（63）﹣λ（2）＝λ（7）+λ（9）﹣λ（2）＝λ（7）+2λ（3）﹣λ（2）＝c，

∴c＝b+2+2a．

23．【解答】解：（1）∵点C关于AP对称点为D，

∴AD＝AC，∠CAP＝∠DAP＝70°，

∴∠ACD＝∠ADC＝20°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠BAD＝360°﹣70°﹣70°﹣60°＝160°，

∴∠ADB＝10°，

∴∠BDC＝∠ADB+∠ADC＝30°．

答：∠BDC的度数为30°．

（2）①如图即为补全的图形．

②如图，同（1）∠CAP＝∠DAP＝α，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝60°+2α，

∵AB＝AD，

∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝60°﹣α．

答：∠ADB的度数为60°﹣α．

③∵AD＝AC＝BC，

∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣（60°﹣α）＝α，

∴∠CBD＝∠DAE＝α，

∵DE⊥BD，

∴∠BDC+∠CDE＝90°，

∵点C关于AP对称点为D，

∴CD⊥AP，

∴∠CDE+∠AED＝90°，

∴∠BDC＝∠AED，

∴△BDC≌△AED（AAS）

∴BD＝AE．

二、附加题（24，25每题3分，26，27每题4分，28题6分，共20分）24．【解答】解：x2+＝＝16﹣2＝14．故答案为：14．

25．【解答】解：如图，连接P A．

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝DC＝3，

∵S△ABC＝?BC?AD＝12，

∴AD＝4，

∵EF垂直平分AB，

∴PB＝P A，

∴PB+PD＝P A+PD，

∵P A+PD≥AD，

∴P A+PD≥4，

∴P A+PD的最小值为4，

∴△PBD的最小值为4+3＝7，

故答案为7．

26．【解答】解：△CDE可以是等腰三角形，

∵△CDE是等腰三角形；

①当CD＝DE时，

∵∠CDE＝30°，

∴∠DCE＝∠DEC＝75°，

∴∠ADC＝∠B+∠DCE＝105°，

②当DE＝CE时，∵∠CDE＝30°，

∴∠DCE＝∠CDE＝30°，

∴∠ADC＝∠DCE+∠B＝60°．

③当EC＝CD时，

∠BCD＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，

∴此时，点D与点A重合，不合题意．

综上，△ADC可以是等腰三角形，此时∠ADC的度数为60°或105°．故答案为60°或105°．

27．【解答】解：由题意：d（M，N）＝4+2＝6，

满足条件的点组成的图形如图所示：

故答案为6．

28．【解答】解：（1）如图1中，连接P A．

∵AB＝AC，BP＝PC，

∴∠P AB＝∠P AC，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，

∴PD＝PE，

∴K P＝＝1，

故答案为1．

（2）如图2中，设AB＝BC＝AC＝4a，则PB＝3a，PC＝a．

∵PE⊥AC，PD⊥AB，

∴∠PEC＝∠PDB＝90°，

∵∠B＝∠C＝60°，

∴∠DPB＝∠CPE＝30°，

∴BD＝PB＝1.5a，EC＝Pc＝0.5a，

∴AD＝2.5a，A＝3.5a

∴K A＝＝＝．

故答案为．

（3）如图3中，作AQ⊥BC于Q，连接P A，DQ，QE，取P A的中点Q，连接OD，OQ，OE．

∵∠ADP＝∠AQP＝∠AEP＝90°，AO＝OP，∴OD＝OA＝OP＝OQ＝OE，

∴A，D，P，Q，E五点共圆，

∵AB＝AC，AQ⊥BC，

∴∠QAB＝∠QAC，

∴＝，

∴DQ＝QE，

∴K Q＝＝1＝定值，

∴点Q即为所求，K Q＝1．