反比例函数几何综合题型总结

模块一 反比例函数k 的几何意义

1.反比例函数k 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为k 。如图二，所围成三角形的面积为

2

k

2.如图，四条双曲线1C 、2C 、3C 、4C 对应的函数解析式分别为：1k y x =、2k y x =、3k y x =、4k

y x

=，那么1k 、2k 、3k 、4k 的大小顺序为1234k k k k <<<

☞ 利用k 的几何意义求参数的数值或比较参数大小

【例1】 如图，点P 在反比例函数的图像上，过P 点作PA x ⊥轴于A 点，作PB y ⊥轴于B 点，矩形OAPB

的面积为9，则该反比例函数的解析式为

【巩固】反比例函数x

k

y =

的图像如图所示，点M 是该函数图像上一点，MN 垂直于x 轴，垂足是点N ，如果2MON S ∆=，则k 的值为（ ）

反比例函数与几何综合

A. 2

B. 2-

C. 4

D. 4-

【例2】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线m

y x

=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则

m 的值是

_____.

【例3】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数k

y x

=

(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点．若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是（ ）

A ．12S S >

B ．1S =2S

C ．1S <2S

D ．不能确定

【巩固】在函数k

y x

=(0x >)的图像上取三点A 、B 、C ，由这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，设矩形12AAOA 、

12BB OB 、12CC OC 的面积分别为A S 、B S 、C S ，试比较三者大小

.

☞ 反比例函数与方程的思想 【例4】 已知点(1,3)在函数k

y x

=

(0x >)的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的 中点，函数k

y x

=

(0x >)的图像经过A 、E 两点，若45ABD ∠=︒，求E 点的坐标.

模块二 反比例函数与面积的综合

1.若所求图形面积是规则图形，则可以按照相应图形的面积公式直接计算

2.若所求图形面积是不规则图形，则采用割补法

3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义 ☞ 一般面积问题

【例5】 在平面直角坐标系中，函数k

y x

=

(0x >，常数0k >)的图象经过点A (1，2)，B (m ，n )，(1m >)，过点B 作y 轴的垂线，垂足为C ．若ABC ∆的面积为2，求点B 的坐标．

【巩固】如图，直线y kx b =+与反比例函数()10k y x x

=

<′

的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，

，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求AOC ∆的面积．

【例6】 如图，点A 、B 是双曲线3

y x

=

上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S +=

【巩固】如图，在反比例函数2

y x

=

(0x >)的图象上，有点1P ，2P ，3P ，4P 它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，求123S S S ++．

【例7】 如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在

函数k

y x

=(0k >，0x >)的图像上，点P (m ，n )为其双曲线上的任一点，过点P 分别作x 轴、y

轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．

⑴求B 点的坐标和k 的值；

⑵当9

2

S =时，求P 点坐标；

⑶写出S 关于m 的函数关系式．

【巩固】如图，反比例函数8

y x

=

的图象过矩形OABC 的顶点B ，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，

:2:1OA OC =．

（1）设矩形OABC 的对角线交于点E ，求出E 点的坐标； （2）若直线2y x m =+平分矩形OABC 面积，求m 的值．

【巩固】如图，点A 、B 在反比例函数k

y x

=

(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．

模块三 反比例函数与其他几何问题 ☞反比例函数与等腰三角形

1.涉及一般等腰三角形存在性的问题，注意需要分类讨论，

2.如果有等腰直角三角形或者等边三角形，注意考虑它的特殊性质

【例8】 如图，已知反比例函数12k

y x

=的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于A B ，两点，

()1122A n B ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

，，，．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）在x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，请你直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．