第二十九届(2018)“希望杯”全国数学邀请赛初中二年级培训题80题

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2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。

第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（）A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。

(D) $-\frac{3}{5}$.答】B.解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x-\frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y-z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x-\frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。

注：本题也可用特殊值法来判断。

2.当$x$分别取值$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（）A) $-1$。

(B) $1$。

(D) $2007$.答】C.解：$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}=\frac{1}{21}\left(\frac{21}{ 2007}+\frac{21x}{21+x^2}\right)=\frac{1}{21}\left(\frac{1}{1+x ^{-2}}\right)$，所以当$x=1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{200 6},\frac{1}{2007}$时，计算所得的代数式的值之和为$0$，故选（C）。

初中二年级历届“希望杯”二试解答题

初中二年1-17届“希望杯”二试解答题1.1、从自然数354 , , 3 , 2 , 1 中仸取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177。

1.2、平面上有两个边长相等的正方形ABCD 和D C B A ''''，且正方形D C B A ''''的顶点A '在正方形ABCD 的中心。

当正方形D C B A ''''绕A '转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值。

这个结论对吗？证明你的判断。

1.3、用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n 之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n 由小到大排成一列 <<<<4321n n n n ，试求：21n n ⋅之值。

2.1、已知两个正数的立方和是最小的质数，求证：这两个数之和不大于2。

2.2、一块四边形的地（如图2.2所示）（KG OH FK EO //,//）内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的（即两边都是直线）。

但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠以节省工时，那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，幵加以证明。

A B 图2.23.1、若0 , , , >d c b a ，证明：在方程02212=+++cd x b a x ， 02212=+++da x c b x ，02212=+++ab x d c x ，02212=+++bc x a d x 中，至少有两个方程有不相等的实数根。

3.2、（1）能否把1992 , , 3 , 2 , 1 这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明。

2018年度第29届希望杯竞赛初一考前80题以及答案解析

(2018年)第二十九届 “希望杯”初一培训题80题考查内容提要：1,有理数的加、减、乘、除,乘方,正数和负数,数轴,相反数,绝对值,科学记数法,近似数的有效数字. 2、一元一次方程及应用,二元一次方程的整数解3.直线、射线、线段,角的度量、角的比较与运算,余角、补角,对顶角,相交线、平行线、勾股定理和简单勾股数. 4、三角形的边(A)关系、三角形的内角和 5、用字母表示数、合并同类项、代数式求值6·统计表、条形统计图和扇形统计图,抽样调查、数据的收集与整理7·展开与折叠、展开图. 8·简单逻辑推理.9、整式的运算(主要是整式的加、减、乘运算,乘法公式的正用、逆用). 10,数论最初步,高斯记号.11、三视图(北师大版),平面直角坐标系(人教版)、坐标方法的简单应用 12·应用问题.一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内).1. 若322(1)223(1)M -+-=---,则M=( ) (A) 2. (B) ±2. (C) 3. (D) ±3.2.下面有四个判断:(1)正有理数和负有理数统称有理数; (2)若a 是负数,则-a 是正数;(3)0既没有倒数也没有相反数; (4)不存在最小的整数,存在最小的正整数. 其中正确判断的个数是( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.3.若a+b+c=0,abc ≠0,则ab,bc,ca 中,正数的个数是( ) (A)3. (B)2. (C)1. (D)0.4.如图1,大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形,其中位于角上的3个长方形的(A)20 (B)22. (C)18. (D)11.25.5.一光年约等于94605亿千米,将94605保留三位有效数字,用科学记数法可表示为( ) (A)94.60×103, (B)9.46×104 (C)0.95×105. (D)9.461×104.6.在四对数:(1) 23-与32；(2)2与12-；(3)-4与4；(4)2018与12018-中,互为负倒数的有( )(A)1对. (B)2对. (C)3对. (D)4对.7.a=4555,b=6444,c=8333则( )(A)c>b>a. (D)b>a>c. (C)a>c>b. (D)c>a>b.8.如图2,已知AB//FG,CD//EF, ∠ABC=1100. ∠EFG=450,那么∠BCD=( ) (A)450 (B)550 (C)65° (D)7509.有理数a,b,c,d 在单位长度为1的数轴上的位置如图3所示,则错误的关系式是( ) (A) c a>d b(B) c a>b d(C) a c>d b(C) a c<b d10.知有理数a>b>0,那么|-a-b|-|a-b|=( )11.在下列4个方程式:①2x+5=0; ②6x+5=3x+5; ○3x+y=3;○4 43235x x +--=中, ( )是一元一次方程.(A)①②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)②③④. 12.在ABC 中，∠A+∠B=2∠C ，∠A+∠B=∠C ，那么A=( )(A)30° (B)60° (C)90° (D) 120°13.已知5a 4b m c 与73-a n+3b 3c p-2的和是单项式,则m+n+p=( )(A)5. (B)6. (C)7. (D)8.14.If the integer 2345la a a a a is divisidle by11, then a=( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.15.如果x 和y 是两个不同的质数,其中一个比另一个大4,那么下列判断 ○1x ≠7;②y=2017;③x+y=42;④xy=3中,一定是错误的是( ) (A)只有①和③. (B)只有○1和④. (C)只有②和④. (D)只有③和④.16、已知|x+1|+|x-2|=3,则化简||x-3|-4|,得到的结果为( )(A)x+1. (B)-x-1 (C)x-7. (D)7-x17.a,b,c 是三个大于3的质数,则下列判断中一定正确的是( )(A)a+b+c 是偶数.(B)a 2+b 2+c 2是偶数.(C)a+b+c 是3的倍数.(D)a 2+b 2+c 2是3的倍数.18.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表:请你根据表中的数据观察规律,判断当输入数据45时,输出的数应是( )(A) 452024 (B) 452026(C) 452028(D) 45203019.已知a+b=1,则a2-b2+2b的值为( )(A)0. (B)1 (C)2 (D)320.有一列数:-2018,-2012,-2006,-2000,-1994,…,它们按一定的规律排列(相邻两数后数比前数大6),那么这列数的前( )项数的和最小.(A)336． (B)337 (C)338. (D)339.21．一项工作,甲乙两人合作6天完成,丙丁两人合作12天完成,甲丙两人合作8天完成,乙丁两人合作n天完成,则n的值为( )(A)7 (B)8. (C)9. (D)10.22．有长度相等的A,B两根蜡烛,A可点燃2小时,B可点燃3小时,将A,B同时点燃t小时后,A点燃掉的部分和B没点燃的部分长度相等,则t=( )(A) 32 (B) 43(C) 54(D) 6523.已知S=20172+20173+20174+20175+20176+20177+20178,则S除以2018所得的余数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0.24．如图4,一只蚂蚁从O(0,0)出发,每一步沿着箭头走一步到同一个正方形的另一个顶点(如(0,0)→(1,0)→(0,1)→(-1,0)→(-2,0)→(-1,1)→(0,2)→),走了2018步,到达的点的坐标为( )(A)(-38,6) (B)(-37,7) (C)(38,6) (D)(38,7)25. 当x=3时,ax 3+3x 2+bx+327=2018;那么当x=-3时,ax 3+3x 2+bx+327的值为( ) (A)-1311. (B)-1310. (C)-1309. (D)-1308.26.1f y=-x+l and z=4x-2,what is the average of 20x, y and 17z,in terms of x? (A)20x-1. (B)20x-11. (C)29x-1. (D)29x-11.27．任意a,b 满足b ba a+=2,求22222a ab b a ab b -+++=( ) (A)1. (B) 12. (C) 13. (D) 14.28.若正整数x,y,z 满足|x-y|2018+|y-z|2018=1,则|x-y|+|y-z|+|x-z|=( ) (A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.29,从a,b,c,d,e 这五个数中任选三个求和,恰得到7,11,13,14,19,21,22,25,26,28这十个不同的数,则a+b+c+d+e=( )(A)25 (B)31 (C)37 (D)4330,已知[x]表示不超过的最大整数,若[x+0.1]+ [x+0.2]+ [x+0.3]…+++…[x+0.9]=104.则x 的最小值是( )(A)9.5 (B)10.5 (C)11.5 (D)12.5二、填空题31. 2222222222012345671234567891022222222-+-+-+-+-+++++++的值是 .32.已知43535418,8,a b c a b c ==则354a b c =33,三角形的一个内角等于61°,且它的一个外角与它的一个内角相等,那么该三角形中最小的内角等于度.34,书店为了了解同学们每学期购买教辅读物的书籍的花费,随机调查了本校部分同学.根据调查结果,绘制出两个不完整的统计图表.根据以上图表依次回答下列问题:本次参加调查的同学共有人,其中a= ,b= ,m= . 经过调查,每学期购买教辅不少于60元的同学有较高的意向订阅《数理天地》杂志,请问全校1000位同学中,这样的同学大约有人.35.已知|x-1|+x 2+|x+2|=2(1-x),则x 2017= .36. 5点8分时,时针与分针的夹角的度数为度.37.若想x,y满足5x2+4xy+y2+6x+9=0,则x+y= .38.If x+y+z=8,xy+yz+xz=17,xyz=10,then the value of (x+y)(y+z)(z+x) is .39.初中学生小鹏惊讶地发现:今年(2018年)的年龄刚好是自己出生年份的四个数字和加上10,他告诉数学王老师这一发现,王老师想了想说:我今年的年龄也刚好是自己出生年份四个数字的和加10.那么王老师比小鹏年长岁.40.如图6,S△ADE=5,S△ACE=9. S△CDE=12.那么S△BDE= .41.已知a-b=3,b-c=1,ab+bc+ca=-3,则|a+b+c|= .42.一个立方体沿着棱剪开,可以展开为一个结合为一体的平面图形,至少需要剪开条棱,至多需要剪开条棱.43.已知(x-2)5=ax5+bx4+cx3+bx2+ex+f,则16(a+b)+4(c+d)+(e+f)= .44.计算:1010= .45.已知三角形的三个外角α,β,γ满足2344{αβαγβγ+-==,则α,β-Y 对应的三个内角的大小之比为 .46.已知对有理数a,b,c 定义新的运算f:使得f(a,b,c)=a 2+2bc,那么f (1,23,76)+ f (23,76,1)+f(76,123)= .47.已知四位数55ab =5·7·m 2,其中m 是正整数,则m= .48.已知正整数x,y 满足以下条件:x+2y 是一个三位数;且11x+4y 是个五位数,那么y 的最大值为 .49.用0,1,2,3,7这5个数字(可重复使用)组成的两位数中所有质数的平均数是 .50.一个长方体的棱长都是整数,它的三条棱长之和的数值恰与体积的数值相等,则这个长方体的表面积等于 .51.甲、乙共同默写四字成语.结果甲写错了成语总数的19,乙只写对了5个成语.又两人都写对的成语个数是总数的16,则甲写对了个成语.52.若2b a a c b==，则a 2-b 2-bc+ab+2a-2c+2= .53.如图7,矩形ABCD的边AB上有一点E,BC上有一点F,连接CE、DF交于点G,若△CGF 的面积为2,△EGF的面积为3,矩形的面积为30,则△BEF的面积为54.在某次考试中,小明的数学、语文、英语、物理、化学、生物这6科的考试成绩分别为x、85、85、94、89、91,若把这几个科目的成绩制成扇形统计图,小明的数学成绩对应的圆心角的度数为64°,那么小明的数学成绩是 .55.如图8,直线AB//CD，∠BAC的三条四等外线分别交CD于E、F、G. ∠ACD的角平分线分别交AE、 AF、AG、、AB于H、1.J、K.若∠ACD=60°,则图中共有个等腰三角形.56.已知x除以3余2,除以5余4,除以7余4,则满足条件的三位数x最大是 .57.已知p与7p2-4同为质数,则p= .58. 图9是由4个面积为6平方厘米的等圆组成.外围的3个圆都过中间的圆的圆心O,中间的圆过外围任两圆的交点,那么阴影部分的面积总和是平方厘米.是 .60.平面内有7条直线,其中有三条直线两两平行、三条直线相交于一点A.则这7条直线形成的交点最多有个.61.已知a≠0,S1=a,S2=12S, S3=22S,…, S2018=20172S,用含a的代数式表示S2018= .62.如图10,在△ABC中,AB=AC,在AC上取点M,N,使MN=BN,若∠ABM=∠CBN,则∠MBC=63.正数a,b,c满足等式a2b+b2c+ac2+a+b+c=2(ab+bc+ac),则201720162018ca b+= .64.设a,b,c均为非零实数,并且ab=3(a+b),bc=4(b+c),ac=5(a+c),则a= ，b= ，c= .65将1～2018中的每个自然数都写出它的各位数字的乘积(如:一位数5的数字之积就是5;两位数72的数字的乘积是7×2=14,三位数607的数字的乘积是6x0x1=0;等等),则这2018个乘积的和是 .66.如图11,在△ABC中, ∠A=90°.D、E、F分别在AB、BC、CA上,且ED⊥AB，BD=20，CF=18，67.从15以内的质数中任取3个不同的数作为三角形的三条边长,可以构成个三角形.68.在-2≤x ≤1范围内，化简|x-1|+|x+2|+|x-3|+|x+4|=y 3-17,则y= .69. 设325363419{x y z x y z ++=++=则3x-2y+z= .70.有一年,小明一家四口人的年龄是:爸爸30岁,妈妈比爸爸小两岁,哥哥的年龄是小明的3倍,今年全家四口人的年龄和为114,则小明今年的年龄为 .71.If two positive integers a and b satisfy the equation a 2-2b=2018, then the smallest value of a plus b is .72.已知(a-1)2-|b-2|+(c-2018)2=0,则1009257a cb +-= .73.已知222020162017201802016201720182018{x y z x y z x y z ++=++=++= 则x+z= .74.平面直角坐标系中有四个点A(-1,1)、B(5,0),C(3,-3)、D(-3,-2),将A点向下平移一个单位,将C点向上平移一个单位后得到的新的四边形ABCD的面积是 .75.如图12,正六边形ABCDEF的边长为1,作正方形GHMN使得点G在AB上、点M在ED上.则正方形GHMN的面积的最大值是 .三、解答题76.如图13,△ABC中,CP=13BC,CQ=14AC,BQ与AP相交于点N,若△ABC的面积为12,求△ABN的面积 .77.甲、乙两个筐中都装有苹果和梨,共计82个,两个筐中的水果的总数差小于10,其中甲筐里的苹果占25,乙筐里的梨占47,问:甲筐中有梨多少个?乙筐中有苹果多少个?78.象棋比赛共有奇数个选手参加,每位选手都同其他选手比赛一盘,胜一盘得1升,平-盘得0.5外,负一盘得0分;已知其中两名选手共得8分,其他人的平均夯为整数.求参加此次比赛的选手共有多少人?79.若一个三角形的一边长为8,而面积为12,求这个三角形的周长的最小值.80.已知三个实数x,y和x,同时满足等式 (x+y)2+(y+z)2+(x+z)2=94 和(x-y)2+(y-z)2+(x-z)2=26，求：(1)xy+yz+xz的值;(2)(x+2y+3z)2+(y+2z+3x)2+(z+2x+3y)2的值.。

第二十九届“希望杯”初一培训题80题（2018年）及答案

第⼆⼗九届“希望杯”初⼀培训题80题（2018年）及答案第⼆⼗九届 “希望杯”初⼀培训题80题(2018年)考查内容提要：1,有理数的加、减、乘、除,乘⽅,正数和负数,数轴,相反数,绝对值,科学记数法,近似数的有效数字. 2、⼀元⼀次⽅程及应⽤,⼆元⼀次⽅程的整数解3.直线、射线、线段,⾓的度量、⾓的⽐较与运算,余⾓、补⾓,对顶⾓,相交线、平⾏线、勾股定理和简单勾股数. 4、三⾓形的边(A)关系、三⾓形的内⾓和 5、⽤字母表⽰数、合并同类项、代数式求值6·统计表、条形统计图和扇形统计图,抽样调查、数据的收集与整理7·展开与折叠、展开图. 8·简单逻辑推理.9、整式的运算(主要是整式的加、减、乘运算,乘法公式的正⽤、逆⽤). 10,数论最初步,⾼斯记号.11、三视图(北师⼤版),平⾯直⾓坐标系(⼈教版)、坐标⽅法的简单应⽤ 12·应⽤问题.⼀、选择题(以下每题的四个选项中,仅有⼀个是正确的,请将表⽰正确答案的英⽂字母填在每题后⾯的圆括号内).1. 若322(1)223(1)M -+-=---,则M=( ) (A) 2. (B) ±2. (C) 3. (D) ±3.2.下⾯有四个判断:(1)正有理数和负有理数统称有理数; (2)若a 是负数,则-a 是正数;(3)0既没有倒数也没有相反数; (4)不存在最⼩的整数,存在最⼩的正整数. 其中正确判断的个数是( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.3.若a+b+c=0,abc ≠0,则ab,bc,ca 中,正数的个数是( ) (A)3. (B)2. (C)1. (D)0.4.如图1,⼤长⽅形被平⾏于边的直线分成了9个⼩长⽅形,其中位于⾓上的3个长⽅形的⾯积已经标出,则第4个⾓上的⼩长⽅形⾯积等于( )(A)20 (B)22. (C)18. (D)11.25.5.⼀光年约等于94605亿千⽶,将94605保留三位有效数字,⽤科学记数法可表⽰为( ) (A)94.60×103, (B)9.46×104 (C)0.95×105.(D)9.461×104.6.在四对数:(1) 23-与32；(2)2与12-；(3)-4与4；(4)2018与12018-中,互为负倒数的有( )(A)1对. (B)2对. (C)3对. (D)4对.7.a=4555,b=6444,c=8333则( )(A)c>b>a. (D)b>a>c. (C)a>c>b. (D)c>a>b.8.如图2,已知AB//FG,CD//EF, ∠ABC=1100. ∠EFG=450,那么∠BCD=( ) (A)450 (B)550 (C)65° (D)7509.有理数a,b,c,d 在单位长度为1的数轴上的位置如图3所⽰,则错误的关系式是( ) (A) c a>d b(B) c a>b d(C) a c>d b(C) a c10.知有理数a>b>0,那么|-a-b|-|a-b|=( )(A)b. (B)a. (C)2a (D)2b.11.在下列4个⽅程式:①2x+5=0; ②6x+5=3x+5; ○3x+y=3;○4 43235x x +--=中, ( )是⼀元⼀次⽅程.(A)①②③. (B)①②④. (C)①③④. (D)②③④. 12.在ABC 中，∠A+∠B=2∠C ，∠A+∠B=∠C ，那么A=( )(A)30° (B)60° (C)90° (D) 120°13.已知5a 4b m c 与73-a n+3b 3c p-2的和是单项式,则m+n+p=( )(A)5. (B)6. (C)7. (D)8.14.If the integer 2345la a a a a is divisidle by11, then a=( ) (A)0. (B)1. (C)2. (D)3.15.如果x 和y 是两个不同的质数,其中⼀个⽐另⼀个⼤4,那么下列判断○1x ≠7;②y=2017;③x+y=42;④x y=3中,⼀定是错误的是( ) (A)只有①和③. (B)只有○1和④. (C)只有②和④. (D)只有③和④.16、已知|x+1|+|x-2|=3,则化简||x-3|-4|,得到的结果为( )(A)x+1. (B)-x-1 (C)x-7. (D)7-x17.a,b,c 是三个⼤于3的质数,则下列判断中⼀定正确的是( )(A)a+b+c 是偶数.(B)a 2+b 2+c 2是偶数.(C)a+b+c 是3的倍数.(D)a 2+b 2+c 2是3的倍数.18.⼩王利⽤计算机设计了⼀个计算程序,输⼊和输出的数据如下表:请你根据表中的数据观察规律,判断当输⼊数据45时,输出的数应是( )(A) 452024 (B) 452026(C) 452028(D) 45203019.已知a+b=1,则a2-b2+2b的值为( )(A)0. (B)1 (C)2 (D)320.有⼀列数:-2018,-2012,-2006,-2000,-1994,…,它们按⼀定的规律排列(相邻两数后数⽐前数⼤6),那么这列数的前( )项数的和最⼩.(A)336． (B)337 (C)338. (D)339.21．⼀项⼯作,甲⼄两⼈合作6天完成,丙丁两⼈合作12天完成,甲丙两⼈合作8天完成,⼄丁两⼈合作n天完成,则n的值为( ) (A)7 (B)8. (C)9. (D)10.22．有长度相等的A,B两根蜡烛,A可点燃2⼩时,B可点燃3⼩时,将A,B同时点燃t⼩时后,A点燃掉的部分和B没点燃的部分长度相等,则t=( )(A) 32 (B) 43(C) 54(D) 6523.已知S=20172+20173+20174+20175+20176+20177+20178,则S除以2018所得的余数是( )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0.24．如图4,⼀只蚂蚁从O(0,0)出发,每⼀步沿着箭头⾛⼀步到同⼀个正⽅形的另⼀个顶点(如(0,0)→(1,0)→(0,1)→(-1,0)→(-2,0)→(-1,1)→(0,2)→),⾛了2018步,到达的点的坐标为( )(A)(-38,6) (B)(-37,7) (C)(38,6) (D)(38,7)25. 当x=3时,ax 3+3x 2+bx+327=2018;那么当x=-3时,ax 3+3x 2+bx+327的值为( ) (A)-1311. (B)-1310. (C)-1309. (D)-1308.26.1f y=-x+l and z=4x-2,what is the average of 20x, y and 17z,in terms of x? (A)20x-1. (B)20x-11. (C)29x-1. (D)29x-11. 27．任意a,b 满⾜b b a a +=2,求22222a ab b a ab b-+++=( ) (A)1. (B) 12. (C) 13. (D) 14.28.若正整数x,y,z 满⾜|x-y|2018+|y-z|2018=1,则|x-y|+|y-z|+|x-z|=( ) (A)0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.29,从a,b,c,d,e 这五个数中任选三个求和,恰得到7,11,13,14,19,21,22,25,26,28这⼗个不同的数,则a+b+c+d+e=( )(A)25 (B)31 (C)37 (D)4330,已知[x]表⽰不超过的最⼤整数,若[x+0.1]+ [x+0.2]+ [x+0.3]…+++…[x+0.9]=104.则x 的最⼩值是( )(A)9.5 (B)10.5 (C)11.5 (D)12.5⼆、填空题31. 2222222222012345671234567891022222222-+-+-+-+-+++++++的值是 .32.已知43535418,8,a b c a b c ==则354a b c =33,三⾓形的⼀个内⾓等于61°,且它的⼀个外⾓与它的⼀个内⾓相等,那么该三⾓形中最⼩的内⾓等于度.34,书店为了了解同学们每学期购买教辅读物的书籍的花费,随机调查了本校部分同学.根据调查结果,绘制出两个不完整的统计图表.根据以上图表依次回答下列问题:本次参加调查的同学共有⼈,其中a= ,b= ,m= . 经过调查,每学期购买教辅不少于60元的同学有较⾼的意向订阅《数理天地》杂志,请问全校1000位同学中,这样的同学⼤约有⼈.35.已知|x-1|+x 2+|x+2|=2(1-x),则x 2017= .36. 5点8分时,时针与分针的夹⾓的度数为度.37.若想x,y满⾜5x2+4xy+y2+6x+9=0,则x+y= .38.If x+y+z=8,xy+yz+xz=17,xyz=10,then the value of (x+y)(y+z)(z+x) is .39.初中学⽣⼩鹏惊讶地发现:今年(2018年)的年龄刚好是⾃⼰出⽣年份的四个数字和加上10,他告诉数学王⽼师这⼀发现,王⽼师想了想说:我今年的年龄也刚好是⾃⼰出⽣年份四个数字的和加10.那么王⽼师⽐⼩鹏年长岁.40.如图6,S△ADE=5,S△ACE=9. S△CDE=12.那么S△BDE= .41.已知a-b=3,b-c=1,ab+bc+ca=-3,则|a+b+c|= .42.⼀个⽴⽅体沿着棱剪开,可以展开为⼀个结合为⼀体的平⾯图形,⾄少需要剪开条棱,⾄多需要剪开条棱.43.已知(x-2)5=ax5+bx4+cx3+bx2+ex+f,则16(a+b)+4(c+d)+(e+f)= .44.计算:[(3+5+7+…+2017)(2+4+6+8+…+2016)-(1+3+5+7+…+2017)(4+6+8+…+2016)]÷1010=.45.已知三⾓形的三个外⾓α,β,γ满⾜2344{αβαγβγ+-==,则α,β-Y 对应的三个内⾓的⼤⼩之⽐为 .46.已知对有理数a,b,c 定义新的运算f:使得f(a,b,c)=a 2+2bc,那么f (1,23,76)+ f (23,76,1)+f(76,123)= .47.已知四位数55ab =5·7·m 2,其中m 是正整数,则m= .48.已知正整数x,y 满⾜以下条件:x+2y 是⼀个三位数;且11x+4y 是个五位数,那么y 的最⼤值为 .49.⽤0,1,2,3,7这5个数字(可重复使⽤)组成的两位数中所有质数的平均数是 .50.⼀个长⽅体的棱长都是整数,它的三条棱长之和的数值恰与体积的数值相等,则这个长⽅体的表⾯积等于 .51.甲、⼄共同默写四字成语.结果甲写错了成语总数的19,⼄只写对了5个成语.⼜两⼈都写对的成语个数是总数的16,则甲写对了个成语.52.若2b a a c b==，则a 2-b 2-bc+ab+2a-2c+2= .53.如图7,矩形ABCD 的边AB 上有⼀点E,BC 上有⼀点F,连接CE 、DF 交于点G,若△CGF 的⾯积为2,△EGF 的⾯积为3,矩形的⾯积为30,则△BEF 的⾯积为。

初二希望杯数学竞赛培训题

初二希望杯数学竞赛培训题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的） 1．一个多项式经分解后为(2－a 3)(a 3＋2)，那么该多项式是（）（A ）a 6－4（B ）a 9－4（C ）4－a 9（D ）4－a 62．下列多项式：①a 2＋4ab ＋4b 2；②9m 2＋4n 2－12mn ；③4p 2＋q 2－4p ＋2q ；④25a 4＋16b 4＋40a 2b 2；⑤9s 2－12s ＋6．其中是完全平方式的是（）（A ）①，④，⑤ （B ）①，②，⑤ （C ）①，②，④ （D ）①，③，④ 3．当分式1111－＋x 无意义时，x 的取值情况是（）（A ）x ＝1 （B ）x ＝±1 （C ）x ＝±1或x ＝0 （D ）x ＝±1且x ＝04．下列根式中与32a -相同的是（）（A ）a a 2-（B ）a a 2--（C ）32a -（D ）aa 22-- 5．a 是实数，且满足05362＝－－aa ，则a 的值是（）（A ）6（B ）±6 （C ）≠5的数（D ）－66．如果a -是整数，则（）（A ）a 是正整数（B ）a 是非负整数（C ）a 是完全平方数（D ）－a是完全平方数 7．11＋－n n 与1＋＋n n 的关系是（）（A ）相等（B ）互为相反数（C ）互为倒数（D ）互为负倒数8．方程x 2＋3y 2＝16的整数解的组数是（）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）7组以上9．若a ＜b ＜0，则()()22b b a －－÷＝（）（A ）bab －－（B ）bab －（C ）－b (b －a ) （D ）bb a －10．某同学从家到学校的路程为s ，速度为v 1，从学校回家的速度为v 2，那么他来回的平均速度是（）（A ）221v v ＋（B ）212v v s ＋（C ）2121v v v v ＋（D ）21212v v v v ＋11．各边长均为整数且各边长均不相等的三角形周长小于13，则这样的三角形共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个12．三角形的三个外角平分线所在的直线围成的三角形是（）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）直角或钝角三角形13．在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠B ´＋∠C ´＝∠A ´，且b －a ＝b ´－c ´，b＋a ＝b ´＋c ´则这两个三角形（）（A ）不一定全等（B ）不全等（C ）根据“SAS ”全等（D ）根据“ASA ”全等14．下列说法中，正确的是（）（A ）每个命题都有逆命题（B ）每个定理都有逆定理（C ）真命题的逆命题是真命题（D ）假命题的逆命题是假命题 15．等腰△ABC 的顶角A ＝100°，两腰AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则（）（A ）P 点在△ABC 内（B ）P 点在BC 边上（C ）P 点在△ABC 外（D ）P 点位置与BC 边的长度有关16．下列命题中，真命题是（）（A ）两个全等三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形（B ）两个全等的等腰三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形（C ）两个全等的等边三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形（D ）关于某条直线成轴对称的两个三角形一定是全等三角形 17．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，又AD ∥BC ，在AD 上取一点E ，使∠EBC ＝30°，则BE 和BC 的大小关系是（）（A ）BE ＞BC（B ）BE ＜BC（C ）BE ＝BC （D ）不确定的 18．四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形（）（A ）一定是菱形（B ）一定是轴对称图形（C ）一定是平行四边形（D ）可能是平行四边形，也可能是轴对称图形19．如图，D 为等腰△ABC 的腰AB 上的一点，E 为另一腰AC延长线上的一点，且BD ＝CE ，则（）（A ）DE ＝BC （B ）DE ＞BC（C ）DE ＜BC（D ）DE 与BC 大小关系决定于角A 的大小20．设△ABC 的三边为c b a ，，，且满足c b a cb a 5.1225.3222＋＝＋＋，则△ABC 是（）（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）形状不确定的三角形21．分解因式：＝＋－－412422a b a ____________________．22．如果(x －a )(x ＋2)－1能够分解成两个二项式(x ＋3)和(x ＋b )的乘积，那么a ＝______，b ＝_______．AC BDEAC BD E23．分解因式：xy (m 2－n 2)－mm (x 2－y 2)＝_________________． 24．分解因式：＝＋－233x x ___________________． 25．a ，b 均为实数，且满足()0425322＝－－＋＋aa b a ，那么b ＝_________．26．x ，y 均为实数，且4111222＋＋－＋－＝x x x y ，则x ＋y 的值是__________．27．x 是实数，则25101222＋－－＋＋x x x x 的最大值是____________．28．已知m ，n 互为倒数，且m ＋n ＋1998＝0，那么(m 2＋1999m ＋1)(n 2＋1999n ＋1)的值为____．29．已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是___________． 30．若61＝＋yx ，25122＝＋y x ，那么＝∶y x ____________ 31．若3939＝＋，＝＋zy yx ，则xz 9＋的值等于______________．32．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝32，abc ＝8，那么cb a 111＋＋的值等于___________．33．若a 2＋3b 2－4a －12b ＋16＝0，则a ＋b 的值是________． 34．已知N＋＋＋＋＝4141412，则N 的值是___________．35．若实数x ，y ，z 适合方程组⎩⎨⎧0720634＝－＋＝－－z y x z y x ，那么1999y －1997x ＋1993z ＝_______．36．方程组⎩⎨⎧34231232＝－－＝－＋z y x z y x 中的x ，y 满足条件x ＋y ＝6，那么z 的值等于___________．37．a 为实数，那么aa a a 119991999－＋－＋－的值等于_________． 38．已知12－＝x ，那么xx x－－342的值为__________ 39．化简623232－＋＋，结果是_______________．40．方程x x x －＝＋－41682的正整数解是_____________． 41．化简：(6－2)(3＋2)32-＝_____________．42．已知：A ＝53＋，B ＝53－，若存在正整数N ，使N ＜A 3＋B 3＜N ＋1，则N ＝____． 43．116201－的整数部分是__________．44．求值：100999910014334132231221＋＋＋＋＋＋＋＋＝___________．45．若y ≠z ，且满足()()23322＝－＋＝－＋zy x z y x z y ，则x ＋y ＋z 的值等于__________． 46．已知(x ＋2y －1)是二元二次式3x 2＋axy ＋by 2＋x ＋9y －4的一个因式，则a ＝_______，b ＝______．47．大小不超过(3＋2)6的最大整数为_____________．48．若x ＜0，y ＞0，a －b ＞0，M ＝ax ＋by ，N ＝bx ＋ay ，则M 与N 的大小关系是M ______N ．（填“＞”或“＜”）49．5的整数部分是a ，小数部分为b ，则ba 1－的大小是____________．50．已知a ，b ，c 都是正实数，()()c b a c b a y c b a x ＋＋＋＋＋＝，＋＋＝22222，则x 与y 的大小关系是x ______y ．（填“＞”或“＜”）51．如图，a ，b ，c ，d 为数轴上对应点的数，则｜a ＋b －c ｜＋｜d －a ｜－｜c －d ｜＋｜a －d ｜＝_______． 52．如图，AB 、CD 、MN 三条直线相交，交点分别为E 、F 、G ，则∠EFB 的同位角是________． 53．两个对顶角的和是它的一个邻补角的4倍，则这个邻补角的度数是_________． 54．△ABC 的周长是15，若a ＋c ＝2b ，c －a ＝4则a 2＋b 2＋c 2＝____________． 55．如图，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝_____________．56．△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB ＝9，AC ＝5，则AD 的取值范围是__________．（第52题图）（第55题图）（第57题图）（第58题图）57．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AC ＝4厘米，则△BDE 的周长是___________．58．如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，C 、D 、E 在一条直线上，∠ABE ＝20°，则∠CAD 的大小是____________．59．如图，△ABC 中，D 在AC 上，AD ＝AB ，∠ABC ＝∠C ＋30°，则∠CBD ＝_______． 60．如果一个三角形的两条中线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状是___________．c 0 a bd C EFA B D G M N C EF A B D O A D E C B A D CB E第十一届希望杯数学竞赛初二第一试一．选择题1．与的关系是（）。

第19届希望杯初二第2试试题及答案

第19届希望杯全国数学邀请赛试题·解答初中二年级第2试一、选择题 (以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将你认为是正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号)1．将数字“6”旋转180 ，得到数字9；将数学“9”旋转180 ，得到数字6；那么将两位数“69”旋转180 ，得到的数字是（） A ．69B ．96C ．66D ．992．关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩有无数组解，则a ，b 的值为（）A ．0a =，0b =B ．2a =-，1b =C ．2a =，1b =-D ．2a =，1b =3．在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB ，O 是坐标原点，点A 的坐标是()a b ，，底边AB 的中线在1，3象限的角平分线上，则点B 的坐标是（）A ．()b a ，B ．()a b --，C ．()a b -，D ．()a b -，4．给出两列数：⑴1，3，5，7，…，2007；⑵1，6，11，16，…，2006，则同时出现在两列数中的数的个数是（） A ．201B ．200C ．199D ．1985．If one side of a triangle is 2 tines of another side and it has the largest possible area ，then the ratio of its three sides is ( ) A ．1:2:3B ．1:1:2C ．1:3:2D ．1:2:5（英汉小词：possible 可能的；area 面积；ratio 比率，比值）6．有面值为10元、20元、50元的人民币（至少一张）共24张，合计1000元，那么其中面值为20元的人民币有（）张． A ．2或4B ．4C ．4或8D ．2到46之间的任意偶数7．由1，2，3这三个数字组成四位数，在每个四位数中，这三个数字至少出现一次，这样的四位数有（） A ．33个B ．36个C ．37个D ．39个8．如右图，矩形ABCD 的长9AD =厘米，宽3AB =厘米，将它折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是（） A ．5厘米，10厘米 B ．5厘米，3厘米 C ．6厘米，10厘米D ．5厘米，4厘米93FEABDCCDBA9．如右图，函数4y mx m =-的图像分别交x 轴、y 轴于点M ，N ，线段MN 上两点A ，B 在x 轴上的垂足分别为1A ，1B ，若114OA OB +>，则1OA A △的面积1S 与1OB B △的面积2S 的大小关系是（） A ．12S S > B ．12S S =C ．12S S <D ．不确定的10．已知a 是方程3310x x +-=的一个实数根，则直线1y ax a =+-不经过（）A ．第1象限B ．第2象限C ．第3象限D ．第4象限二、填空题11．化简1004200820082008200873153735+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，得到．12．三位数3ab 的2倍等于8ab ，则3ab 等于．13．当2x >时，化简代数式2121x x x x +-+--，得．14．已知()11112f x x x x =--++，并且()0f a =，则a 等于． 15．If the sum of a 4-digit natural number and 17，the difference between it and 72 are allsquare numbers ，then the 4-digit natural number is ．（英汉小词典：4-digit natural number 四位自然数；difference 差；square number 完全平方数）16．将等腰三角形纸片ABC 的底边BC 沿着过B 点的直线折叠，使点C 落在腰AB 上，这时纸片的不重合部分也是等腰三角形，则______A ∠=．17．将100只乒乓球放在n 个盒子中，使得每个盒子中的乒乓球的个数都含有数字“8”，如当3n =时，箱子中的乒乓球的数目可以分别为了8，8，84；若5n =时，有且只有两个箱子中的乒乓球个数相同，那么各箱子中的乒乓球的个数分别是．18．已知一个有序数组()a b c d ，，，，现按下列方式重新写成数组()1111a b c d ，，，，使1a a b =+，1b b c =+，1c c d =+，1d d a =+，按照这个规律继续写出()2222a b c d ，，，，…，()n n n n a b c d ，，，，若10002000n n n na b c d a b c d+++<<+++，则_________n =．19．如右图，一束光线从点O 射出，照在经过()10A ，，()01B ，的镜面上的点D ，经AB 反射后，后经y 轴再反射的光线恰好通过点A ，则点D 的坐标是．20．某条直线公路上有1A ，2A ，…，11A 共11个车站，且212i i A A +≤千S 2S 1B 2A 1BANOy =mx -4mxy OABxy米()1239i = ，，，，，317i i A A +≥ 千米()1238i = ，，，，，若11156A A =千米，则101127______A A A A +=千米．三、解答题21．如下左图，在ABC △中，90ACB ∠= ，10AC BC ==，CD 是射线，60BCF ∠= ，点D 在AB上，AF ，BE 分别垂直CD （或延长线）于F ，E ，求EF 的长．60oF D EBCA21yxA O CB22．如上右图，在直角坐标系中，ABC △满足：90C ∠=，2AC =，1BC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，当A 点从原点开始在x 轴正半轴上运动时，点C 随着在y 轴正半轴上运动．⑴ 当A 在原点时，求原点O 到点B 的距离OB ； ⑵ 当OA OC =时，求原点O 到点B 的距离OB ；⑶ 求原点O 到点B 的距离OB 的最大值，并确定此时图形应满足什么条件？23．已知m ，()n m n >是正整数．⑴ 若3m 与3n 的末位数字相同，求m n +的最小值； ⑵ 若3m 与3n 的末两位数字都相同，求m n -的最小值．参考答案一、选择题 1．A【解析】把数字“69”看做一个图形，则这是一个中心对称图形，旋转180 之后，与原来的数字相同，即得到数字还是69．选A ．2．B【解析】方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩①②2a ⨯+⨯①②，得()()22ab x a +=-+，若20ab +≠，则方程组只有一解，若20ab +=，而20a +≠，则方程组无解，若方程组有无数组解，则2020.ab a +=⎧⎨+=⎩，解得2a =-，1b =．选B ．3．A【解析】因为OAB △是等腰三角形，O 为顶点，所以OA OB =，又AB 为底边，所以AB 垂直于中线即垂直于直线y x =，不妨设2a =，1b =，画图可知()21A ，关于y x =的对称点为()12，，选A ．4．A【解析】由观察可知，同时出现在两列数中的数是1，11，21，…，2001，即每相邻两个数之间相差10，所以总数是20011120110-+=．选A ．5．D译文：若一个三角形的一条边是另一条边的2倍，那么当这个三角形的面积最大时，它的三条边的比值为（） A ．1:2:3B ．1:1:2C ．1:3:2D ．1:2:5【解析】如右图，使AB 边不动，让12AC AB =绕点A 旋转，则BAC ∠可能为直角，也可能是锐角或钝角，很明显，只有当BAC ∠为直角时，ABC △的面积最大，且两条直角边之比为1:2，结合勾股定理，可知此时三条边由小到大的比值为1:2:5．故选D ．6．B【解析】设10元，20元，50元分别有x ，y ，()24x y -+张，则()102050241000x y x y ++--=，即4030200x y +=，4320x y +=．其中x ，y 都是正整数．由1x ≥知316y ≤，所以1613y ≤≤，所以y 只能从1，2，3，4，5中取．又()345y x =-，其中5x -是正整数，3与4是互质的，所以y 中一定有一个因数4．所以y 只能取4．选B7．B【解析】这样的四位数中的四个数码一定是恰好有两个数码相同，如：1，1，2，3．⑴ 如果相同的数码是1，即四个数码为1，1，2，3，那么当两个1相邻时，有1123，1132，2112，3112，2311，3211共6个数，若两个1不相邻有1213，1312，1231，1321，2131，3121，也是有6个数，即恰好有两个1的四位数有12个，同理，恰好有两个2，与恰好有两个3的四位数都有12个，总共有36个四位数．选B ．8．A【解析】如右图，设ED x =，则9AE x =-，BE ED x ==．在直角ABE △中，得()22239x x +-=，C'C"CBAE AD解得5x =，即5ED =厘米．过E 点作EG BC ⊥交BC 于点G ，5BF DE ==厘米，4BG AE ==厘米，所以1FG =厘米．在Rt EFG △中，22223110EF EG GF =+=+=厘米，所以选A ．9．A【解析】设()11A x y ，，()22B x y ，，则114y mx m =-，224y mx m =-．又()1111111422S OA A A x mx m =⋅=-，()2112211422S OB B B x mx m =⋅=-，则()()22121212122S S m x x m x x -=---()()1212142m x x x x =-+-．由题意，知0m <，12x x <，且124x x +>，所以12S S >．选A10．D【解析】当0x ≤时，3310x x +-<，所以0x ≤时，原方程无解；同样当13x ≥时，3310x x +->，所以原方程的实数根只能在103⎛⎫ ⎪⎝⎭，之间，因为a 是方程3310x x +-=的一个实数根，所以103a <<．对于直线1y ax a =+-，0a >，10a ->，所以直线不经过第四象限，选D ．二、填空题 11．1【解析】 ()()200820082007200820082008200820082008200831531537357715++==++，所以原式1004100473137⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．12．374【解析】由题意知()230010100108a b a b ⨯++=++，化简得1074a b +=，所以原来的三位数是374．13.21x -【解析】 2121x x x x +-+--()()12111211x x x x =-+-++---+()()221111x x =-++--因为2x >，所以110x -->．所以原式()()111121x x x =-++--=-．14．2±【解析】 ()()()211121212x f x x x x x x x -=--=++++，所有由()0f a =得220a -=，也就是22a =，得2a =±．15．2008译文：有一个四位自然数，若加上17或减去72，结果都是完全平方数，则这个自然数是．【解析】设这个自然数是a ，由题意得221772a ma n⎧+=⎪⎨-=⎪⎩（m n >，且m ，n 均为自然数）两式相减得2289m n -=，89是一个质数，所以()()891m n m n +-=⨯，只有891m n m n +=⎧⎨-=⎩解得4544m n =⎧⎨=⎩．所以245172025172008a =-=-=．16．36【解析】如右图所示，设折叠后点C 落在D 点，BE 是折痕．则BDE BCE DBC ∠=∠=∠．在等腰ADE △中，若A ∠是顶角，则DE BC ∥，ADE DBC ∠=∠，由前面已证DBC BDE ∠=∠，所以得到90ADE BDE ∠=∠= 矛盾；若AED ∠是顶角，则180180A ADE BDE ACB ∠=∠=-∠=-∠ ，180A ACB ∠+∠=，矛盾．所以ADE ∠是顶角，则()221801802180A ADE A A ∠+∠=∠+--∠÷= ．解得36A ∠= ．17．8，8，18，28，38【解析】 5个盒子中的乒乓球个数都含有数字8，则5个数的个位都为8，或有一个数的十位数为8，但后一种情况不可能．所以每个盒子中各放入8只，再将剩下的60只合理分配在各个箱子中即可，得8，8，18，28，38．18．10【解析】由已知()11112a b c d a b c d +++=+++即11112a b c d a b c d+++=+++．同理得22224a b c da b c d+++=+++．33338a b c d a b c d +++=+++，……，2n n n n na b c d a b c d+++=+++，CB EDA所以10022000n <<，10n =．19．1233⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】如右图，点O 关于AB 的对称点为()'11O ，，点A 关于y 轴的对称点为()10A '-，，AB 所在的直线的方程为1y x =-+A O ''所在直线的方程为()112y x =-．由()1112y x y x =-+⎧⎪⎨=+⎪⎩解得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以点D 的坐标为1233⎛⎫⎪⎝⎭，．20.34【解析】因为1101447710A A A A A A A A =++，317i i A A +≥（千米）所以11017513A A =×≥（千米）．又11156A A =（千米），所以10115A A ≤（千米）．有81117A A ≥（千米），81012A A ≤（千米），所以10115A A ≥（千米）．于是只有10115A A =（千米）．同理125A A =（千米）．而1734A A ≥（千米），所以2729A A ≥（千米），又210565546A A =--=（千米），71017A A ≥（千米），所以2729A A ≤（千米）．所以2729A A =（千米）所以10112734A A A A +=（千米）．三、解答题 21．【解析】在Rt ACF △和Rt CBE △中，AC BC =，906030ACF ∠=-= ，30CBE ∠= ，即ACF CBE ∠=∠，所以ACF CBE △≌△，5CE AF ==，53BE CF ==．所以()531EF CF CE =-=-．22．【解析】 ⑴ 当A 点在原点时，如下左图，AC 在y 轴上BC y ⊥轴，所以点B 的坐标是()12，，于是225OB x y =+=；y xB AOO'A'12x y AO BC321DyxA O CB⑵ 当OA OC =时，如上右图，OAC △是等腰三角形，且2AC =，所以2OA OC ==，1245∠=∠= ，从点B ，C 分别作x 轴，y 辆的垂线，两条直线交于点D ，所以345∠= ，因为1BC =，所以22CD BD ==，得B 点的坐标是23222⎛⎫⎪⎪⎝⎭，．所以22232522OB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑶ 如右图，取AC 的中点E ，连结OE ，BE ，在Rt AOC △中，OE 是斜边AC 上的中线，所以112OE AC ==．在ACB △中，1BC =，112CE AC ==，90BCE ∠= ，所以2BE =．若点O ，E ，B 不在一条直线上，则12OB OE EB <+=+．若点O ，E ，B 在一条直线上，则12OB OE EB =+=+．所以当O ，E ，B 三点在一条直线上时，取得最大值，最大值为12+．23．【解析】 ⑴ 由已知得33m n -是10的倍数，即()33331m n n m n --=-是10的倍数．又3n 与10的互质的，所以只能是31m n --是10的倍数．令m n s -=，所以只要3s 的末位数字是1即可，显然4381=满足条件，所以m n -的最小值是4；取1n =，则5m =，此时m n +最小，最小值为6． ⑵ 由⑴的思路得33m n -是100的倍数，即()33331m n n m n --=-是100的倍数，又3n 与1000是互质的，所以只能是31m n --是100的倍数．令m n r -=，所以只要3r 的末位数字是01即可，因为3r 末位数字为1，所以r -一定是4的倍数，令4r t =（t 是正整数），所以43381r t t ==的末两位数是01．EyxA O CB。

第20届希望杯全国数学邀请赛初二年级组第2试试题及答案解析

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。

B 。

C 。

D 。

2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =．则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________．（英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-，所以 0100x x x y <+<-<，，，则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++，即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数．所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。

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第二十九届（2018）“希望杯”全国数学邀请赛初中二年级培训题80题一、选择题(以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内).1、已知m=∣x -1∣+∣x+2∣,n= -y ²-2y -2,则m -n 的最小值为( )(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.2、若2x ²+2y ²+z ²-2xy -2yz -2x+1=0,则x+y+z=( )(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.3、已知x,y,z 均为正实数，且,zy x ＞y z x ＞+++x z y 则x,y,z 三个数的大小关系是( ) (A) z ＜x ＜y. (B) y ＜z ＜x. (C) x ＜y ＜z. (D) z ＜y ＜x.4、当a=1.66,b=1.62,c=1.16时，() 11bc ab -ac -1222=+---+---+abbc ac c ac ab bc b a (A) 100, (B) 200, (C) 150, (D) 300.5、若x+2y -3z=0,4x+3y -5z=0,则()=-+-+222222327534z y x z y x （A ）1. (B) 0. (C) 31. (D) 1513. 6、若m 2=m+3,n 2=n+3,且m ≠n,则m 5+n 5=( )(A) 59. (B) 60. (C) 61. (D) 62.7、已知(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=8,则x 3+5x 的值为( )(A) -8. (B) -2. (C) 0. (D) -2或-8.8、Known real number a, b, c satisfy 6a+13b+6c=75,9a+9b+2c=60. Then ba cb 2323++=( ) (A) -1. (B) 0. (C) 1. (D) 2.9、三个互不相等的实数，小林将其表示为0，yx ，y 的形式，小李将其表示为1，x+y,x 的形式，则x 2017-y 2017=( )(A) -2 (B) 0. (C) 1. (D) 2.10、已知｛,2x 1==y 是方程组｛,51=+=-by ax by ax 的解，那么a-b 的值是( )(A) 1. (B) 21. (C) -21. (D) 0. 11、在△ABC 中，∠ACB=90°,∠ABC=22.5°.BC=1,则AC 的长为( )(A) 2. (B) 1. (C)2-1. (D)2+1.12、已知△ABC 三边长为a,b,c.且满足a 4+2a 3b+2a 2b 2+2ab 3+b 4-c 4=0.则△ABC 是( ) (A) 钝角三角形. (B) 直角三角形. (C) 锐角三角形. (D) 不能确定. 13、凸四边形ABCD 中，已知AB=AC=AD,∠BCD=110°,则∠A 等于( ) (A) 55°. (B) 70°. (C )110°. (D) 140°. 14、如图1，已知AB=6,在线段AB 上取一点C ，在直线AB 同侧作等边△ACP 和等边△CBQ.当点C 在线段AB 上运动时(不包括端点)PQ 的最小值为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 如图2，已知△ABC ≌△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC 与DE 交于点F,连接CD,BE,则图中还有几对全等三角形( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.16、如图3，平行四边形的顶点与两条对边的中点连接，这些线段围成的阴影部分的面积为3，则平行四边形的面积为( )(A) 12. (B) 18. (C) 24. (D)30.17、以下图形中对称轴的数量最多的是( )(A)三条高分别为3，3，2的三角形. (B) 四条边依次长为2，3，2，3且有一条对角线为7的四边形.(C) 四条边依次长为2,2，3，3的四边形.(D) 四条边依次长2，3，4，3的梯形.18、在平面直角坐标系中，已知点A(-7,4),B(-3,6),点C 在y 轴上，点D 在x 轴上，当四边形ABCD 的周长最短时，△OCD 的面积为( )(A) 4. (B) 4.5. (C) 102. (D) 21.19、平面直角坐标系内的一点P(-m ²-1,n ²+2n+2)一定位于( )(A) 第一象限. (B) 第二象限. (C) 第三象限. (D) 第四象限.20、如图4，将△ABC 绕点C(0,c)逆时针旋转90°，得到△A ′B ′C. 设点A 的坐标为(a,b).则点A ′的坐标为( )(A) (c-b,c-a). (B) (-b,-a). (C) (c-b,c+a). (D) (b+c,a+c).21、点A(-1,a)和点B(-2,b)都在直线y=-m ²x+1上，则a 和b 的大小关系为( )(A) a ＞b. (B) a ＜b. (C) a ≥b. (D) a ≤b.22、点P(2,a)在反比例函数y=x k 的图像上，它关于原点中心对称的点在一次函数y=2x+3的图像上，则K 的值为( ) (A) -1. (B) 1. (C) 21. (D)2. 23、如图5，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB,CD:AB=1:2,O 为对角线的交点，∠ACD=60°.若点S,P,Q 分别为DO,AO,BC 的中点，则△PQS 与△AOD 的面积之比为( ) (A) 87. (B) 1. (C) 23. (D) 2. 24、同时掷两个骰子，它们朝上一面的数字之和小于6的概率是( ) (A)114. (B) 185. (C) 41. (D) 61. 25、王老师根据本班学生国庆期间外出旅游的情况绘制了两张不完整的统计图。

根据以上统计图，下列判断正确的是( )(A) 全班人数是27人. (B) 扇形统计图中，“参观两个景点”对应的圆心角是120°.(C) 参观一个景点的学生人数是9人. (D) 没有旅游的学生占全班学生的35％.26、将一个骰子先后投掷两次，若第一次掷出的点数为a 第二次掷出的点数为b ，则使得关于x,y 的方程组｛,322=+=+by ax y x 只有正数解的概率为( ) (A) 121. (B) 92. (C) 185. (D) 3613. 27、某班进行了数学小竞赛，下表记录了参加竞赛的学生答对题目的情况：已知答对2题以上的人平均每人答对3.5道题；答对5题以下的人平均每人答对2.5道题，则参加这次活动学生人数是( )(A) 21. (B) 22. (C) 23. (D) 24.28、有80人参加了培训班，其中报名参加舞蹈班的有30人，报名参加书法班的有60人，报名参加游泳班的有45人，既参加舞蹈班又参加游泳班的又15人，既参加书法班又参加游泳班的有30人，三个班都参加的有3人，那么只参加舞蹈班的人数是( )(A) 2. (B) 0. (C) 23. (D) 5.29、The number of can make 41262-+x x be a positive integer is ( ) (A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) innumerable.30、若三位数abc (a,b,c 互不相等，且a+b+c ≤10)能被a+b+c 整除，则a+b+c 的不同值有( )(A) 1个. (B) 3个. (C) 5个. (D) 9个.二、填空题31、已知5x n 2m +和8x m -n 5是同类项，3x 1-n 2与x 1m +是同类项,那么mnn +2m =▁▁▁▁. 32、计算：199)1)(991)(991)(991)(9911)(99(99643216842-++++++=▁▁▁▁▁▁▁. 33、将多项式x 2(2y-1)+x 2y+xy 2(1-2y)-y 3分解因式，其结果为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁. 34、若▏x-2y ▏+(a-2b)2=0,则xy b y ab x a xy b y ab x 32223322235232a 3++++=▁▁▁▁▁▁. 35、计算：273-737++++24-6=▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.36、已知不论x 取何值，分式53++bx ax 的值都为一个定值，则分式ba b a 7253++的值为▁▁▁▁▁.37、若实数a,b,c 满足a+b+c=1,31+a +51+b +71+c =0,则(a+3)2+(b+5)2+(c+7)2=▁▁. 38、已知关于x 的方程26+-x kx -1=0无解.则在平面直角坐标系中，直线y=(k-1)x+k 2-2k-1与y 轴交点的纵坐标为▁▁▁▁▁.39、已知：)2)(1(43---x x x =1-x A +2-x B .则BA B A -+=▁▁▁▁▁▁▁. 40、已知：y=12)2-a 5-2(a ÷633-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--a a a ,则y 的最小值为▁▁▁▁▁▁. 41、设｛,36523.1943=++=++z y x z y x 则3x-2y+z=▁▁▁▁▁▁.42、某商店有一批月饼，共25箱，中秋节之前按照30元一箱出售，过完中秋节之后降价出售，价格为28元一箱，共收入740元，那么按30出售了▁▁▁▁箱.43、若关于x 的不等式(2a-b)x+3a-5b ＞0的解集为x ＜-54,则关于x 的不等式ax ＞b 的解集为▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁.44、已知x 6+x 2y 2=46,y 3+x 4y=9,x 4+y 2=▁▁▁▁▁.45、如图7，长方形纸片ABCD 中，CD=5cm,E 是CD 上一点，沿直线AE 把△ADE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，△ABF 的面积为30cm 2,沿折痕剪掉△ADE,则剩余部分的面积是▁▁▁▁▁▁.46、如图8，是由两个正六边形组成的图案，其中小正六边形的边长为23，小正六边形的顶点在大正六边形边的中点上，则阴影部分的面积是▁▁▁▁▁▁.47、两艘船从同一起点开始航行，A 船向正东方向，B 船向正北方向，当航行一段时间后，A 航行了50海里，B 船航行了30海里，这时A 接到任务，将船上的一批货物送到B 船上，此时B 船原地等待，那么A 最少要航行▁▁▁▁▁▁海里才能完成任务.48、如图9，在Rt △ABC 中∠BAC=90°,过顶点A 的直线DE ∥BC,∠ABC,∠ACB 的平分线分别交DE 于点E,D.若BC=26,△ABC 的面积为120.则线段DE 的长为▁▁▁▁▁▁.49、在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(8,0)，点C 的坐标为(0,6)，P 为射线OA 上的动点，点O 关于直线PC 的对称点为B ，当△ABP 为直角三角形时，点P 坐标为▁▁▁▁▁▁.50、如图10，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°,AB=2,AD=DC,E,F 分别是AB,AC 上的点，若∠EDF=90°,则ADE S △+CDF S △=▁▁▁▁▁▁▁.51、△ABC 中，AB,AC 的垂直平分线交于点O ，若∠BAC=n °,则∠BOC 的度数为▁▁▁▁▁.52、如图11，在正方形ABCD 中，AB=2,△BEC 的面积为3-1，则∠ABE=▁▁▁▁▁▁.53、如图12，在△ABC 中，AB=AC,CD ⊥AB 于点D ，CE 平分∠ACB,交AB 于点E 。