弹塑性力学11塑性极限分析
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弹塑性力学10-结构的塑性极限分析与安定性ppt课件
We= P = Pl
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
.
第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
Wi = Mp + 2Mp = 3Mp
由We= Wi 得
Pl+ = 3Mp/l 上限解与下限解相同，该
结果即为完全解。
Pl- = Pl+ = Pl = 3Mp/l
➢ 注意——在确定静力容许的内力场时，若 能考虑到形成破坏机构所需的塑性铰数，
则得到的解答可以接近或等于完全解。若
确定的弯矩绝对值等于Mp的截面数小于形 成破坏机构的塑性铰数，此时应检查其余
10－3 梁的极限分析
【例1】如图所示简支梁，梁截 面的塑性极限弯矩为Mp。由 于在静定梁中无多余约束， 其内力由静力平衡条件唯一 确定，即建立起内力（弯矩） 与外载荷的关系式。而且， 在静定梁中仅需要一个截面 达到全塑性状态（即形成一 个塑性铰）该梁就可成为破 坏机构。取弯矩图中仅有的
一个最大值，并令其等于Mp 就可得到极限载荷的完全解。
第10章 结构的塑性极限分析 与安定性
.
第10章 结构的塑性极限分析与安定性
1. 梁的弹塑性弯曲 2. 塑性极限分析的定理与方法 3. 梁的极限分析 4. 刚架的极限分析 5. 轴对称圆板的极限分析 6. 结构的安定性
➢ 弹塑性结构的塑性极限载荷是表征结构承载能力 的最大值。按塑性极限承载能力进行结构设计， 不仅可以充分发挥材料的塑性性能，而且还可以 得到反映结构真实安全裕度的参数。
➢ 刚架极限分析的方法有静力法、机动法以 及机构叠加法。
➢静力法
（1）先求各截面的控制弯矩，即建立弯矩与 外载的关系；
（2）令控制弯矩中有（ n + 1）处达到塑性 极限弯矩，由此建立起静力容许的内力场， 并求其对应的载荷（即下限解）；
（3）如果内力场为静力容许，且形成破坏机 构，则此下限解即为完全解。
工程弹塑性力学课件
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性变形与极限载荷分析
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A1 A3 A , A2 2 A 。各杆 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0 例
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
s s
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆 3 的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 FN1 FN 2 FN 3 。 时， 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
m
(14 - 6)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
由对 14-1 节中一次超静定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次超静定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
《弹塑性力学》第十一章 塑性力学基础
2021/8/9
30
§11-2 一维问题弹塑性分析
s
-
+
+ -
+ +
s
- = +-
s
M I
y
y y0
x
y0s
y
M I
y
y0 y y0
s
M I
y
y y0
2021/8/9
31
§11-2 一维问题弹塑性分析
2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲:
M
x
y
b
M
z
h
y
具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点： 随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。
（a段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）
N2=P- N1=P-sA 力 P 作用点的伸长取决于b 段杆的变形
b
N2b EA
(P
s A)b
EA
2021/8/9
17
§11-2 一维问题弹塑性分析
b
N2b EA
(P s A)b
EA
Pe s A(1 a b) s A Pe (1 a b)
应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足
屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变
形存在。卸载按线性弹性。
C
s A B
’s s
A
B
C
o
p
e
p
e
o O’
p e
软钢 -
合金钢 -
2021/8/9
5
§11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型
而对于合金钢，无明显屈服，当 s时进
入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变
塑性极限分析
S
按几何方程求得运动场的应变率 ij ， 然后根据屈服条件和流动
法则，求出应力，这个应力称之为运动可能场的应力。
上限定理
• 对于任意运动可能场
~ ~ m Fi vi d Ti vi dS d s vt d ij ij S ~ ~ m Fi vi d Ti vi dS ij d vt d ij S
Q
0 ij dQ Ti vi dS Fi vi dQ 0 vt d ij S Q
S+ Q+ n 速度间断面
t
QS-
上、下限定理
作如下假定： （1）所有外荷载按某个单一参数m>0成比例地单调增大
~ Fi mFi
~ Ti mTi
• 不可压缩条件要求
r z
v(r ) A r
dv v 0 dr r
外力功率=
S
Ti vi ds 2tapv r a 2tp A
max
A r2
Q
dQ ij ij
/ 4 b / cos dr s A s max dQ t 2 rdrd 8t s A d Q 0 0 r r
l A
p
B
II I
D
C
分成两个几何全等的均匀应力区，中间由一应力间断线AC隔开， 区域I: AD是自由边界，对应K点
AC面的法线方向是从AD面的法线方向顺时针旋转450+，
对应M点的坐标 区域II: AB面上的应力对应于Mohr圆II的N点 = (1+sin2)
按几何方程求得运动场的应变率 ij ， 然后根据屈服条件和流动
法则，求出应力，这个应力称之为运动可能场的应力。
上限定理
• 对于任意运动可能场
~ ~ m Fi vi d Ti vi dS d s vt d ij ij S ~ ~ m Fi vi d Ti vi dS ij d vt d ij S
Q
0 ij dQ Ti vi dS Fi vi dQ 0 vt d ij S Q
S+ Q+ n 速度间断面
t
QS-
上、下限定理
作如下假定： （1）所有外荷载按某个单一参数m>0成比例地单调增大
~ Fi mFi
~ Ti mTi
• 不可压缩条件要求
r z
v(r ) A r
dv v 0 dr r
外力功率=
S
Ti vi ds 2tapv r a 2tp A
max
A r2
Q
dQ ij ij
/ 4 b / cos dr s A s max dQ t 2 rdrd 8t s A d Q 0 0 r r
l A
p
B
II I
D
C
分成两个几何全等的均匀应力区，中间由一应力间断线AC隔开， 区域I: AD是自由边界，对应K点
AC面的法线方向是从AD面的法线方向顺时针旋转450+，
对应M点的坐标 区域II: AB面上的应力对应于Mohr圆II的N点 = (1+sin2)
第二章考虑材料塑性的极限分析
第二章考虑材料塑性的极限分析知识要点1.塑性变形在常温下，与时间无关的不可恢复的永久变形称为塑性变形。
塑性变形是不可逆的永久变形，应力超过了材料的线弹性范围，胡克定律不再成立，其应力-应变关系一般呈非线性关系。
塑性变形与加载历程有关，其应力与应变间的对应关系呈多值性。
2.塑性极限分析（1）塑性极限分析的假设①荷载为单调增加的静荷载。
若有多个荷载同时作用，则各个荷载按比例同时由零增至终值。
②结构（或荷载）在达到极限状态前，保持几何不变体系③材料的应力-应变关系理想化为刚塑性模型或理想弹塑性模型，如图2-1（a）（b）所示0 t（2）屈服荷载，极限荷载结构（或构件）开始出现塑性变形的荷载，称为屈服荷载，记为F s ；结构（或构件）开始出现大的塑性变形成为几何可变机构，而处于极限状态时的荷载，称为极限荷载，记为F u。
（3）屈服扭转（或弯矩），极限扭矩（或弯矩）圆轴（或梁）横截面上的最大应力达到材料的屈服极限而开始出现塑性变形时，横截面内的扭矩（或弯矩）称为屈服扭矩（或弯矩）记为T s （或M s）；圆轴（或梁）横截面上的应力全部达到材料的屈服极限，此时横截面各点均发生塑性变形，整个截面进入完全塑性状态达到极限状态时的扭矩（或弯矩）称为极限扭矩（或弯矩）记为T u （或M u）。
（4）塑性铰当梁的某截面达到极限状态时，该截面两侧的两段梁将绕其中性轴作相对转动，犹如在该截面处安另了一个铰链，故称其为塑性铰。
塑性铰并不等同于真实的铰链，而是由于截面达到完全塑性引起的，它能承受弯矩，即截面上的极限弯矩。
（5）残余应力当结构或构件达到极限状态后，卸除荷载至零，构件截面上的应力，称为残余应力。
由于卸载后外荷载为零，故残余应力必自相平衡。
残余应力最大值为材料的屈服极限。
习题详解2-1 一组合圆筒，承受荷载F，如题图（a）所示。
内筒材料为低碳钢，横截面面积为A i，弹性模量为E i，屈服极限为J ；外筒材料为铝合金，横截面面积为A2，弹性模量为E2,屈服极限为匚S2。
弹塑性力学 弹性与塑性力学的解题方法
既能找出变形体中各点的应力分量，也能找出相 对的位移增量分量。
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
➢主应力法
➢ 主应力法是金属塑性成形中所经常使用的 一种简化方法。在分析问题时，认为剪应 力对材料的屈服影响很小，因而在屈服条 件中略去剪应力，这时平面应变问题中的 屈服条件可简化为
x - y = 2k
➢ 在分析中，还假设应力在一个方向的分布 是均匀的。因此在计算中，数学形式比较 简便。
➢ 平面应力问题，平面应变问题，结果转换 ➢ 平面问题的平衡方程（无体力）
x
xy
0
x y
yx x
y
y
0
➢ 艾里（Airy）应力函数
x
2
y 2
,
y
2
x 2
,
xy
2
xy
➢ 用应力函数表示的物理方程
➢ 变形协调条件
x
1 2G(1
)
2
y 2
2
x 2
y
2G
1 (1
)
2
x 2
几种应力函数所对应的边界条件
➢ = ax + by + c 矩形弹性体处于无应力状态，
即在边界上无面力。
➢ = ax2 + bxy + cy2 矩形弹性体受双向荷载。
a > 0, c > 0, b = 0
a = c = 0, b 0
➢ = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 复杂应力状态， 当a = c = b = 0, d 0时，xy = 6dy，为纯弯
2
y 2
xy
1 G
2
xy
4 x
y 4
4 y
x 4
弹塑性力学之结构的塑性极限分析
25
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
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Me
bh2 6
ss
Pe
bh2 6l
ss
Mp
bh2 4
ss
Pp
bh2 4l
ss
8
Pe P PP
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
he 1 3 2P(l x)
h2
Pel
Ms Mp
M Ppl Me Pel
Pe 2 Pp 3
塑性铰是单向铰，梁截面的转动 方向与塑性极限弯矩的方向一致。 否则将使塑性铰消失。
P
x
l 6
o
x
l/2 l/2 z
P x
l/2 l/2 z
7
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑
性极限载荷、弹塑性分界线。
P
解： Mmax Pl
b
o
xh
y
P Mmax l
l z
M max
z
s
塑性极限载荷
M
PP 2
l 2
Me
Pe l 4
l
6
z ss
确定塑性区位置
6
塑性铰：在全塑性阶段，跨中 截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构 （机械）铰链一样的相对转动 －－塑性铰。
特点：
塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能 传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
第11章 结构的塑性极限分析
梁的弹塑性弯曲 塑性极限分析定理和方法 梁的极限分析
1
§11－1 梁的弹塑性弯曲 一．基本假定
平截面假设：在变形过程中，
变形前为平面的横截面，变形
后仍保持为平面，且与变形后
梁的轴线垂直。 x
z
b
h
y
Pz
x l/2 l/2
纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，
1 2
s
ij
ui x j
s
ji
u j x x
体力为零时：
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
ST
V
13
虚功率原理：在外力作用下处于平衡的变形体，若给物 体一微小的虚变形（位移）。则外力的虚功率必等于应 力的虚功率。
sx
sx
横截面上只有正应力。
s x ( x, z),s y s z xy yz zx 0
小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
Pl/4 1 d2w dx2
2
二．弹性阶段
sx
E x
Ez
l 2
x
ss
he h/ 2
z ss P
o
x
l/2 l/2 z
弹塑性区交界线： he 1 3 P(l 2x)
h2
2Me
4
弹塑性区交界线： he 1 3 P(l 2x)
h2
2Me
x x
Me
P 2
l 2
h he 2
he
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
平衡方程： 边界条件：
V
ST
s ij
x j
fi
0
s ij l j Fi
V
Green 公式：
f V x j dV S fl jdS
fiuidV FiuidS fiuidV s ijl juidS
V
ST
ij
Mz I
I bh3 12
s x max
6M bh2
l/2
Mises：屈服条件：s xmax s s b
Me
bh2 6
s
s
弹性极限弯矩
h
y
ke
1
e
Me EI
2s s
Eh
2 s
h
sz
Pe
4Me l
2bh2 3l
s
s
ss
弹性极限载荷
s
P x
l/2 ss
ss
3
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
1 2
ui x j
u j x x
s ij s ji
V
ST
V
fiuidV
V
(s ij ui ) dV
x j
V
s
x
ij j
f
i
ui
dV
s ij
V
ui x j
dV s ij ijdV
V
s ij ij
（3）破坏机构条件：塑性极限状态下结构丧失承载 能力时形成破坏机构的形式。（表征结构破坏时 的运动趋势或规律，要求不引起物体的裂开或重 合－几何方程，且被外界约束的物体表面上满足 位移和速度边界条件。）
塑性极限分析的完全解：
满足平衡条件．极限条件．破坏机构条件的解。
11
二．虚功原理和虚功率原理
l
3
o
x
l z
P x
Mp
Me
ss
h/ 2
z ss
9
§11－2 塑性极限分析定理与方法
一．有关塑性极限分析的基本概念
弹塑性分析方法的缺点：
（1）分析三个状态：弹性状态、弹塑性状态、塑性 状态。
（2）了解整个加载过程。 （3）材料本构关系是非线性的，只能求解简单问题。
塑性极限状态：
理想塑性体承受的载荷达到一定的数值时，即 使载荷不再增长，塑性变形也可自由发展，整个结构 不能承受更大的载荷，这种状态称为塑性极限状态。
Ms Me
塑性区扩展
he
h/2
Ms 2b s xzdz 2b s szdz
0
he
Ms
he
2b
0
zs s
he
zdz
h/2
2b s szdz
he
Ms
bs s
12
3h2 4he2
Me
bh2 6
ss
Ms
Me 2
3
4
he2 h2
Mx
P 2
塑性极限载荷：
塑性极限状态对应的载荷。
10
塑性极限分析的基本假定：
（1）材料是理想刚塑的，不计弹性变形和强化效应。
（2）变形是微小的。
（3）比例加载。（所有外载荷都按同一比例增加。）
结构在塑性极限状态应满足的条件：
（1）平衡条件：平衡微分方程和静力边界条件。
（2）极限条件：达到塑性极限状态时内力场不违背 的条件（屈服条件。）
虚功原理：在外力作用下处于平衡的变形体，
若给物体一微小的虚变形（位移）。则外力的
虚功必等于应力的虚功（物体内储存的虚应变
能）。
fi ui*dV
Fiui*dS
s
ij
* ij
dV
V
ST
V
Fi ST
Su
ui
V
虚变形（位移）：结构约束所允许的无限小位移。
12
证明： fiui*dV
h 2
P x
o
x
l/2 l/2 z
x0
he
h 2
3 Pl 2Me
Me Pl/4
5
四．全塑性阶段
P
x0
he 0
Ms
bs s
12
3h2 4h2 4
ss
M
p
3Me 2
塑性极限弯矩
z ss
x
l 6
h/ 2
PP
4MP l
bh2 l
s