不动点定理
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是函数分析中的一项基本定理，又称为Banach不动点定理。
该定理是由波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫于1922年提出的。
巴拿赫不动点定理可以简单地表述为：在完备度量空间中，连续映射必有不动点。
这个定理的意义在于，对于一些映射或者变换，必然存在一个点不会移动，这个点就被称作“不动点”。
而根据巴拿赫不动点定理，只要一个映射是连续的并且作用于完备度量空间，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多应用，下面列举一些常见的：
1.在求解微积分方程、微分方程、积分方程时，巴拿赫不动点定理是很重要的工具。
2.在数值分析中，巴拿赫不动点定理可以用于求解线性方程组、优化问题以及非线性方程组的数值解。
3.在动力学系统中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些系统存在定点。
4.在实际应用中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些算法的收敛性以及求解某些不动点问题。
总之，巴拿赫不动点定理是数学中的一项重要定理，它的实际应用十分广泛。
角谷静夫不动点定理
一、不动点算法又称固定点算法。
所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。
最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ƒ为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=ƒ（x）。
其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。
设对每一x∈A，ƒ(x)为A的一子集。
若ƒ(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈ƒ(x i)且y i→y0，则有y0∈ƒ(x0),如此的ƒ(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若ƒ(x)为A的一非空凸集，且ƒ(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。
J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。
不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。
例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。
对于一个给定的凸规划问题：min{ƒ(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。
通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。
在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。
1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。
1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。
其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。
H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。
不动点定理
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
brouwer不动点定理
brouwer不动点定理什么是不动点定理？当用户程序处于某个位置时，系统就会开始和停止执行。
如果用户不动，那么系统的运行状态也会发生改变；或者用户想要删除这个程序。
这就是不动点定理的真正含义。
当你的程序启动，因为某个地方没有启动，而返回了之前运行的时候的状态时，这个代码也属于这一类。
而在 brouwer函数中定义了一个不动点，定义如下：通过公式可以看出，这种方法是由一个函数定义了一个状态值不动点而不变的情形。
当然这只是在我们使用过程中出现的一些情况，但是这个定理本身也说明了如果它是在多个地方同时发生变化的话，那它们就不再成立了。
一、当用户处于某个位置时，系统就会开始和停止执行。
这个定理最早由 TheNumber. StatisticServices ()函数给出。
它是一个面向对象程序中执行时间窗口的函数，用于指示程序是否停止执行。
在 Brouwer中定义了一个函数名为RuleName和它所处位置。
在这个函数中，用户就是我们程序中处于位置的人的地址，这个地址是系统上给出给用户执行时间的集合（如果需要),同时执行不同对象执行期间不发生任何变动为该集合中其他所有对象提供服务时不变该集合中所有用户所执行操作所需的状态，包括任何状态变量。
这个函数返回一个 RUN函数执行。
我们可以把 RuleName和 Services两个函数在同一个内存中工作；其中 JavaScript用于控制多线程并发; Dockers用于模拟内存环境; JavaScript用于代码展示工具。
它还具有其它作用。
下面我们来看一下：代码如下：我们从上面不动点定理可以看出这一类程序在不定期会发生变化，比如用户离开原来的位置运行时状态值会发生改变，但是最终会返回到初始位置（如图);而用户离开原有当前位置时没有任何变化。
因此我们认为其是不动点定理：当用户处于当前位置时，系统就会自动开始和停止执行自己状态变化而不断变化的变量运行在系统指定位置中是这个意思是如果程序突然没有响应或者暂时停止了就会有很大影响；但我们可以从后面看到它不动点不变或者是直接被删除；但是仍然可以继续运行这个程序；然后再回来开始下一步执行！这个过程需要用到它自己！所以这里我们来看一个实例：假设我们有一个正在运行的软件，但他突然停止了所有工作状态。
brouwer不动点定理拓扑空间
brouwer不动点定理拓扑空间Brouwer不动点定理是拓扑学中的一条重要定理，它在20世纪初由荷兰数学家L.E.J. Brouwer提出。
该定理给出了一个重要的结果：任何连续映射都至少存在一个不动点。
在这篇文章中，我们将深入探讨Brouwer不动点定理在拓扑空间中的应用和意义。
我们需要了解什么是不动点。
在数学中，对于一个映射f：X→X，如果存在一个点x∈X，使得f(x)=x，那么我们称x是映射f的一个不动点。
简单地说，不动点就是一个元素在映射下保持不变的点。
Brouwer不动点定理告诉我们，对于一个定义在闭凸子集上的连续映射，必然存在一个不动点。
这个定理的应用非常广泛，涉及到许多领域，如经济学、拓扑动力系统、微分方程等。
我们来看一个简单的例子。
考虑一个单位圆盘D，即所有满足x²+y²≤1的点的集合。
现在我们定义一个映射f：D→D，将圆盘中的每个点映射到圆盘上与原点连线的交点。
显然，原点是这个映射的一个不动点，因为任何与原点连线的交点仍然是原点。
不动点的存在性在这个例子中似乎显而易见，但对于一般的映射和拓扑空间而言，不动点的存在性并不总是那么容易证明。
Brouwer 不动点定理的证明非常复杂，涉及到许多高级数学工具和定理，如拓扑学中的同伦和同伦不变性。
在这里，我们不详细介绍其证明过程，而是关注其应用和意义。
Brouwer不动点定理在经济学中有重要应用。
经济学家使用Brouwer 不动点定理来证明一些重要的经济理论，如一般均衡理论和纳什均衡理论。
通过将经济模型转化为映射的形式，可以利用Brouwer不动点定理证明这些经济理论的存在性。
Brouwer不动点定理在拓扑动力系统中也有广泛应用。
拓扑动力系统是研究动力学系统中稳定性和长期行为的一个重要领域。
通过将动力学系统转化为映射的形式，并应用Brouwer不动点定理，可以得到系统的平衡点或周期解的存在性。
Brouwer不动点定理在微分方程中也有重要的应用。
brouwer不动点定理的证明
brouwer不动点定理的证明Brouwer不动点定理的证明Brouwer不动点定理是数学中的一项重要定理，它由荷兰数学家L.E.J. Brouwer于1910年首次提出并证明。
该定理是拓扑学中的基本结果，它描述了连续映射在拓扑空间上的固定点存在性。
不动点是指一个映射将某个元素映射为其本身的点，而Brouwer不动点定理则告诉我们，对于某些特定条件下的连续映射，总能够找到至少一个不动点。
为了更好地理解Brouwer不动点定理的证明过程，我们首先需要了解一些相关的概念。
在拓扑学中，一个拓扑空间是由一组集合及其上的拓扑结构组成的，其中拓扑结构描述了集合中的点之间的邻近关系。
而连续映射则是保持拓扑空间中邻近关系的映射。
Brouwer不动点定理的证明思路是通过反证法来进行的。
假设存在一个连续映射f，它在拓扑空间X上没有不动点，即对于任意的x∈X，都有f(x)≠x。
我们将通过构造一个矛盾来证明这个假设是错误的。
我们定义一个闭球B，它是X中所有与中心点x相距小于等于r的点的集合，即B={y∈X∣d(x,y)≤r}，其中d(x,y)表示x与y之间的距离，r是一个正数。
由于X是一个拓扑空间，我们可以将闭球B 看作一个紧致的子集，即它是有界且闭合的。
接下来，我们考虑由映射f作用在闭球B上得到的映射f(B)。
根据连续映射的定义，f(B)也是一个紧致的子集。
然而，根据我们的假设，映射f在X上没有不动点，所以f(B)中的任意一个点都不可能与原始闭球B中的点重合。
换句话说，f(B)中的每个点都与B中的点距离至少为r。
现在，我们将在X中构造一系列的闭球B1、B2、B3...，其中Bi+1是Bi的子集，且每个闭球Bi的半径为r/i，i是一个正整数。
由于每个Bi都是紧致的，所以根据Cantor定理，存在一个点x∗，它同时属于闭球B1、B2、B3...。
换句话说，x∗是X中的一个聚点。
接下来，我们考虑f(x∗)。
根据我们之前的假设，f(x∗)≠x∗，所以根据连续映射的定义，f(x∗)与x∗之间的距离至少为r。
lefschetz不动点定理
Lefschetz 不动点定理是代数拓扑中的一个重要结果，由所罗门·莱夫谢茨（Solomon Lefschetz）提出。
这个定理提供了一种计算连续映射在紧致空间上不动点数量的拓扑
方法。
不动点是指那些在映射下保持不变的点，即对于映射 \( f: X \to X \)，不动点 \( x \) 满足\( f(x) = x \)。
Lefschetz 不动点定理的一般形式可以表述如下：
设 \(X\) 是一个紧致的三角化空间（也就是说，\(X\) 可以被分解成有限个彼此相接的三角形），且 \(f: X \to X\) 是一个连续映射。
定义Lefschetz数 \(L(f)\) 为：
\[ L(f) = \sum_{i=0}^n (-1)^i \text{trace}(f_{*i}) \]
其中 \(f_{*i}\) 是 \(f\) 在 \(X\) 的第 \(i\) 个奇异同调群 \(H_i(X)\) 上的诱导映射，
\(\text{trace}(f_{*i})\) 是 \(f_{*i}\) 矩阵的迹。
Lefschetz 不动点定理断言，如果 \(L(f) \neq 0\)，那么映射 \(f\) 必有不动点。
更准确地说，\(L(f)\) 给出了 \(f\) 的不动点指标之和，这个和可能包含了正负指标的不动点，因
此 \(L(f)\) 不一定等于不动点的实际数量，但它告诉我们至少存在一个不动点。
这个定理在数学的许多领域都有应用，比如动力系统、代数几何和复杂系统的研究等。
它将拓扑性质（如同调群和它们的迹）与几何性质（如不动点）联系起来，体现了拓
扑学在解决几何问题中的强大能力。
《2024年几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》范文
《几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》篇一一、引言不动点定理在数学分析、微分方程和函数理论等多个领域都有着广泛的应用。
在近几十年里，研究者们通过研究不同的不动点定理，得到了许多重要的结论。
本文将介绍几类经典的不动点定理以及Edelstein不动点定理，并探讨它们之间的联系和统一性。
二、几类经典的不动点定理1. 压缩映射不动点定理压缩映射不动点定理是一种常见的不动点定理，它适用于一些具有压缩性质的映射。
根据该定理，如果一个映射满足压缩条件，那么它必定存在一个唯一的不动点。
该定理在函数逼近、数值计算等领域有着广泛的应用。
2. 抽象空间中的不动点定理在抽象空间中，一些具有特定性质的空间如Banach空间、Hilbert空间等都可以应用不动点定理。
这些不动点定理往往需要一些特定的假设条件，例如自映射的性质等。
它们被广泛应用于各种学科中，如泛函分析、控制论等。
3. 重合度不动点定理重合度不动点定理是研究不动点的另一种重要方法。
该定理将映射的重合度（即，正则性的量化指标）与不动点的存在性联系起来。
通过计算重合度，可以判断出不动点的存在性以及数量。
该定理在微分方程、偏微分方程等领域有着广泛的应用。
三、Edelstein不动点定理Edelstein不动点定理是一种更一般的不动点定理，它适用于更广泛的映射和空间。
该定理的优点在于它不需要像压缩映射不动点定理那样具有特定的压缩性质，因此更具有普适性。
在应用中，Edelstein不动点定理常用于证明某些问题的唯一解或解的存在性。
四、几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一虽然几类经典的不动点定理和Edelstein不动点定理各自有着不同的应用和条件，但它们之间也有着内在的联系和统一性。
事实上，一些特定情况下，Edelstein不动点定理可以视为是其他几种经典不动点定理的特例或推导形式。
因此，从理论上来说，可以将它们统一到一个更为一般的框架下进行研究和应用。
不动点定理在数列中的应用
不动点定理在数列中的应用不动点定理（Fixed-point theorem）是数学中的一个重要定理，它在许多数学领域中都有广泛的应用。
数列是数学中一个重要的概念，在实际问题中也经常涉及到数列的应用。
下面我们就来探讨一下不动点定理在数列中的应用。
不动点定理是说，如果一个函数f在一些区间上连续，并且满足存在一个点c，使得f(c)=c，那么在这个区间上一定存在一个不动点。
而不动点就是满足f(x)=x的点。
不动点定理告诉我们，在一些条件下，可以通过寻找不动点来解决一些问题。
首先，我们来看一个简单的例子，以说明不动点定理在数列中的应用。
考虑一个数列a_1,a_2,a_3,...,a_n，假设该数列满足以下条件：a_n+1=f(a_n)，其中f是一个连续函数。
我们希望找到一个数x，使得f(x)=x。
根据不动点定理，如果x是f的一个不动点，那么x必然是数列的极限点。
因此，我们可以通过数列极限点的方法来求解不动点。
现在我们来具体讨论几个应用。
1.迭代方法求解方程：当我们想求解一个方程f(x)=0时，可以采用迭代方法来逼近方程的根。
假设我们选择一个初始值x_0，然后通过不断地迭代计算x_n+1=f(x_n)，直到满足其中一种停止准则。
根据不动点定理，如果迭代函数f满足一定条件，那么迭代序列{x_n}将收敛到方程f(x)=0的解。
这种方法在数值计算中经常使用，例如牛顿法、二分法等。
2.数值逼近：不动点定理可以用于数值逼近问题。
我们可以通过构造一个递推数列来逼近一些数值解。
假设我们要求解方程f(x)=c的根，我们可以选择一个初始点x_0，并通过迭代计算x_n+1=f(x_n)来逼近方程的解。
这个逼近序列可能会发散，也可能会收敛到一个数值解。
通过不动点定理，我们可以给出一些条件来保证逼近序列的收敛性，并通过不停地迭代来提高逼近的精度。
3.动力系统：不动点定理也在动力系统中有广泛的应用。
动力系统是研究一些变化随时间的系统的一个数学分支。
15 巴拿赫不动点定理
第一章 度量空间11.5 Banach 不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem )，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．1.5.1 Banach 不动点定理及推论定义 1.5.1 不动点(Fixed points)设X 是一个非空集合，:A X X →为映射，如果存在x X *∈满足()A x x **=，则称x *为映射A 的不动点．例如(1)从R 到R 上的映射2:f x x →有两个不动点，即0x =和1x =．(2)从2R 到2R 上的映射:(,)(,)f x y y x →有无穷多个不动点，即直线y x =上的所有点均是不动点．设f 是空间X 到自身的映射，方程()0f x =的求解可转化为求映射:()T x f x x α→+的不动点，其中常数0α≠(显然当Tx x **=时，即()f x x x α***+=，可得()0f x *=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)设X 是一个度量空间，:A X X →为映射，如果存在常数(0,1)α∈，对于任何,x y X ∈，有(,)(,)d Ax Ay d x y α≤则称A 为X 上的压缩映射．称常数α为压缩系数．显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach 于1922年给出的，也称为Banach 不动点定理．定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle )设X 是完备的度量空间，:A X X →是压缩映射，则A 在X 中具有唯一的不动点，即存在唯一的x *，使得()x A x **=．证明 任取0x X ∈，构造点列{}n x ：10()x A x =，21()x A x =，32()x A x =，43()x A x =，…，1()n n x A x -=，…．下面证明 (1)证{}n x 为基本列；(2)证n x x *→，()x A x **=；(3)证x *的唯一性．(1)证{}n x 为基本列．因为A 是压缩映射，所以不妨设(,)(,)d Ax Ay d x y α≤，其中(0,1)α∈，记100(,)d x x c =，于是有1.5 Banach 不动点定理及应用22110100(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；23221210(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤； 34332320(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；…… ……1112120(,)(,)(,)n n n n n n n d x x d Ax Ax d x x c αα------=≤≤．因此对于正整数k 有1121(,)(,)(,)(,)n n k n n n n n k n k d x x d x x d x x d x x +++++-+≤+++110()n n n k c ααα++-≤+++0(1)1n k c ααα-=-01n c αα≤-0→ (n →∞)故{}n x 为基本列．(2)证n x x *→，()x A x **=．因为X 是完备的度量空间，所以基本列{}n x 收敛，不妨设n x x *→(n →∞)；又知压缩映射是连续映射以及1()n n x A x -=，于是lim n n x x *→∞=1lim ()n n A x -→∞=1(lim )n n A x -→∞=Ax *=．(3)证x *的唯一性．若存在1x X *∈且11()x A x **=，那么111(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x α******=≤于是1(1)(,)0d x x α**-≤，从而1(,)0d x x **≤，即1x x **=．□注1 Banach 不动点定理给出了在完备度量空间X 中求解不动点的迭代法，即1x X ∀∈，由1n n x Ax +=(1,2,n =)获得不动点n x x *→．第n 次迭代后的近似解n x 与不动点x *的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知0(,)1nn n k d x x c αα+≤-，于是令k →∞有01000(,)(,)(,)111n n nn d x x c d x x d Ax x αααααα*≤==---．即00(,)(,)1nn d x x d Ax x αα*≤-．注 2 Banach 不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当(,)(,)d Ax Ay d x y <时，未必存在不动点．设:A →R R ，()arctan 2A x x x π=+-，那么,x y ∀∈R ，有(,)d Ax Ay Ax Ay =-(arctan )(arctan )22x x y y ππ=+--+-(arctan arctan )x y x y =---第一章 度量空间32()1x yx y ξ-=--+(由Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈或(,)y x ξ∈)22()1x y ξξ=-+(,)x y d x y <-=．但是，当Ax x =时，方程arctan 2x π=无解，因此映射A 在R 中没有不动点．Lagrange 中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 内可导，那么在(,)a b 内至少存在一点ξ(a b ξ<<)，使得()()()()'f b f a f b a ξ-=-．推论 1.5.1 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →是闭球0(,)B x r 上的压缩映射，并且00(,)(1)d Ax x r α≤-，其中(0,1)α∈是压缩系数，那么A 在0(,)B x r 中具有唯一的不动点．证明 显然0(,)B x r 是完备度量空间X 的闭子集，所以0(,)B x r 是完备的子空间．0(,)x B x r ∀∈，有0(,)d x x r ≤，于是0000(,)(,)(,)d Ax x d Ax Ax d Ax x ≤+0(,)(1)d x x r αα≤+-(1)r r αα≤+-r ≤即0(,)Ax B x r ∈．可见A 是完备度量空间0(,)B x r 到0(,)B x r 上的压缩映射，因此A 在0(,)B x r 中具有唯一的不动点．□设映射:A X X →，记nn A AA A =，那么映射:n A X X →．推论 1.5.2 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →，如果存在常数(0,1)α∈和正整数n ，使得,x y X ∀∈有(,)(,)n n d A x A y d x y α≤那么A 在X 中存在唯一的不动点．证明 显然n A 是压缩映射，所以n A 在X 中存在唯一的不动点x *，即n x A x **=．于是1()()n n n A Ax A x A A x Ax *+***===可得Ax *也是n A 的不动点，由不动点的唯一性知：Ax x **=．同时易得2A x x **=，3A x x **=，…，n A x x **=下面证明x *的唯一性．设存在1x X *∈且11()x A x **=，得112A x x **=，113A x x **=，…，11n A x x **=，那么11(,)(,)d x x d Ax Ax ****==1(,)n n d A x A x **=1(,)d x x α**≤于是1(1)(,)0d x x α**-≤，从而1(,)0d x x **≤，即1x x **=．□1.5 Banach 不动点定理及应用4 1.5.2 Banach 不动点定理的应用◇ 求方程的近似解定理 1.5.2 设:f →R R 是可微函数，且()1'f x α≤<，则方程()f x x =具有唯一解．证明 根据Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈，使得()()()()'f x f y f x y x y ξα-=-≤-，因此f 是完备度量空间R 上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，()f x x =具有唯一解．例 1.5.1 求方程510x x +-=的根．解 显然函数5()1g x x x =+-的导函数为4()510'g x x =+>，即g 单调递增，且115()0232g =-<，(1)1g =，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为 51x x -=由于51x -不是一个压缩映射，即54(1)5'x x -=在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为5(1)x x λλ-=，即为5(1)(1)x x x λλ-+-=，于是当(0.5,1)x ∈及(0,1)λ∈时有54[(1)(1)]15'x x x λλλλ-+-=--1λ<-．令14λ=，531()(1)44f x x x =+-，那么在(0.5,1)上()f x 满足 3()14'f x << 于是得()f x 是(0.5,1)上的压缩映射，取00.75x =，由迭代1()n n x f x +=可得10.7521x =，20.7533x =，30.7540x =，40.7544x =， 50.7546x =，60.7547x =，70.7548x =，80.7548x =，…．若取8x 作为不动点x *的近似解，其误差为80.750.75210.750.000810.75nx x *-≤-=-．□◇ 解线性代数方程组第一章 度量空间5定理 1.5.3 设1111n n nn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1n n x x x ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R ，1nn b b b ⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭R ，若对每个1i n ≤≤，矩阵A 满足11nij j a =<∑，即11max 1nij i nj a α≤≤==<∑，则线性方程组Ax b x +=具有唯一解x *．证明 在n R 上定义距离1(,)max{}i i i nd x y x y ≤≤=-，其中T 12(,,,)n n x x x x =∈R ，T 12(,,,)n n y y y y =∈R ，易验证(,)n d R 是完备的度量空间．令映射:(,)(,)n n T d d →R R 为Tx Ax b =+．记T 12(,,,)n Tx u u u u ==，T 12(,,,)n Ty v v v v ==，于是11111n i j j n n ni j n j a x b u u u a x b ==⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭∑∑，11111n i j j nn ni j n j a y b v v v a y b ==⎛⎫+ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+ ⎪⎝⎭∑∑． 因此1(,)max{}i i i nd Tx Ty u v ≤≤=-11max{()}nij j j i nj a x y ≤≤==-∑111max{}max{}nij j j i ni nj a x y ≤≤≤≤=≤⋅-∑(,)d x y α=由11max 1nij i nj a α≤≤==<∑可知T 是压缩映射，从而存在唯一的不动点x *，即线性方程组Ax b x +=具有唯一解x *，且可根据迭代1n n x Ax b +=+求得方程的近似解．□◇ 证明隐函数存在定理定理 1.5.4 设二元函数(,)F x y 在区域{(,),}x y a x b y ≤≤-∞<<+∞上连续，关于y 的偏导数存在，且满足条件0(,)'y m F x y M <≤≤，其中m ，M 是正常数，则存在连续函数()y f x =，[,]x a b ∈满足：[,]x a b ∀∈，(,())0F x f x =．证明 在完备度量空间[,]C a b 中定义映射T ：()[,]x C a b φ∀∈，1()()()(,())T x x F x x Mφφφ=-． 由于(,)F x y 是连续函数，所以[,]T C a b φ∈，即:[,][,]T C a b C a b →．下面证T 是压缩映射．设,[,]C a b φϕ∈，根据微分中值定理得，存在(0,1)θ∈，使得1.5 Banach 不动点定理及应用611()(,())()(,())T T x F x x x F x x M Mφϕφφϕϕ-=--+ 1()()[(,())(,())]x x F x x F x x Mφϕϕφ=-+- 1()()[(,()(()())](()()'y x x F x x x x x x Mφϕφθϕφϕφ=-++-- (1)()()mx x Mφϕ≤--． 记1mMα=-，显然01α<<，于是有T T φϕαφϕ-≤-，因此 [,](,)max ()()()()x a b d T T T x T x φϕφϕ∈=-[,]max ()()x a b x x αφϕ∈≤-(,)d αφϕ=因此T 是压缩映射，由压缩映射原理知存在唯一的()[,]f x C a b ∈，使得()()()Tf x f x =即(,())0F x f x =，[,]x a b ∈．□◇ 在微分方程方面的应用设(,)f t x 在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤连续，那么存在0M >使得(,)t x D ∀∈有(,)f t x M ≤，进一步假定(,)f t x 关于变量x 满足李普希兹(Lipshitz)条件：存在常数K ，12(,),(,)t x t x D ∀∈有1212(,)(,)f t x f t x K x x -≤-，那么有微分方程为00d (,)d ()xf x t tx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2.4) 定理 1.5.5 (皮卡德Picard 定理)满足上述条件的微分方程(2.4)在区间00[,]t t ββ-+上有唯一解，其中1min{,,}2b a M Kβ=． 证明 设00[,]J t t ββ=-+，则J 上的连续函数组成的空间()C J 是完备的度量空间，显然()C J 的子集0{(),()}E x x C J x t x M β=∈-≤是闭集，于是E 也是完备的度量空间．通过积分可将微分方程(2.4)写成积分方程00()(,())d tt x t x f x τττ=+⎰．()x t E ∀∈定义：00()()(,())d tt Tx t x f x τττ=+⎰，下面验证Tx E ∈．由于(,)f t x 在在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤连续，所以()()Tx t 在00[,]J t t ββ=-+上连续， 00()()Tx t x =，以及00()()(,())d tt Tx t x f x τττ-=⎰(,())d tt f x τττ≤⎰0M t t ≤-M β≤，第一章 度量空间7于是Tx E ∈，即T 映射为:T E E →．再证T 是压缩映射．根据李普希兹条件得1212()()()()(,())d (,())d ttt t Tx t Tx t f x f x ττττττ-=-⎰⎰012max Jt t K x x τ∈≤--12(,)Kd x x β≤又由β的定义知12K αβ=≤，于是1212(,)(,)d Tx Tx Kd x x β≤，即T 是压缩映射．因此T 在E 中存在唯一的不动点x *，即存在00[,]J t t ββ=-+上的连续函数x *，满足积分方程0()(,())d tt x t x f x λτττ=+⎰，两边微分可得x *是微分方程(2.4)的唯一解，并且x *是迭代序列012,,,,,n x x x x 的极限，其中010()(,())d tn n t x t x f x τττ+=+⎰．□◇ 在积分方程方面的应用设(,)K t τ在矩形区域{(,),}D t a t b ττ=≤≤连续，()[,]f x C a b ∈，且[,]t a b ∀∈有(,)d baK t M ττ≤<+∞⎰，那么费雷德霍姆(Fredholm)积分方程为()()(,)()d ba x t f t K t x λτττ=+⎰． (2.5)定理 1.5.6 对于任意的()[,]f x C a b ∈，当1Mλ<时，Fredholm 积分方程(2.5)有唯一连续解()x t *，并且函数()x t *是迭代序列012,,,,,n x x x x 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n ax t f t K t x λτττ+=+⎰．证明 设()()()(,)()d bn aTx t f t K t x λτττ=+⎰，由(,)K t τ的连续性知，T 是从[,]C a b 到[,]C a b 上的映射:[,][,]T C a b C a b →．(),()[,]x t y t C a b ∀∈有(,)max{()()()()}a t bd Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=-max{(,)()d (,)()d }b baaa t bK t x K t y λτττλτττ≤≤=-⎰⎰max{(,)[()()]d }baa t bK t x y λττττ≤≤=-⎰max{(,)()()d }baa t bK t x y λττττ≤≤≤-⎰max{()()}a bM x y τλττ≤≤≤-1.5 Banach 不动点定理及应用8 (,)Md x y λ=由于1M λ<，即T 是压缩映射，根据压缩映射原理知T 在[,]C a b 上存在唯一的不动点()x t *，即为Fredholm 积分方程的唯一连续解，且函数()x t *是迭代序列012,,,,,n x x x x 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n a x t f t K t x λτττ+=+⎰．□◇ 牛顿迭代法的证明牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在 17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要．牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，而且其最大优点是在方程的单根*()0f x =附近具有平方收敛，该法还可以用来求方程的重根、复根，另外该方法广泛用于计算机编程中．定理 1.5.6 设f 是定义在[,]a b 上的二次连续可微的实值函数，*x 是f 在(,)a b 内的单重零点，那么当初值0x 充分靠近存*x 时，由关系式1()n n x g x +=，()()()n n n 'n f x g x x f x =-所定义的迭代序列收敛于*x ．证明 因为*()0f x =，依据中值定理可得***1()()()()'f x f x f x f x x k x x ξ=-=-≤-．由于*x 是f 的单重零点，所以存在*x 的某闭邻域*1()(,)U x a b ⊂，使得*1()x U x ∀∈，()0f x ≠，而且()"f x 连续．于是2()[()]"'f x f x 在*1()U x 上有界2k ，所以*1()x U x ∀∈，有 2*21222[()]()()()()()1()[()][()]'""'''f x f x f x f x f x g x k f x k k x x f x f x -=-=≤≤-． 显然当*1212x x k k -<时，1()2'g x <．令**2121(){}2U x x x x k k =-<以及***12()()()U x U x U x =，于是()g x 在邻域*()U x 内为压缩映射，根据压缩映射原理可知命题成立．□泛函分析导论- 31 -。
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不动点定理
（Fixed-point theorem ）
举例：头皮的旋儿，指纹，地球表面无风处等，搅动杯中咖啡，两张报纸
三维空间中的情况：如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。
地球绕着它的自转轴自转。
自转轴在自转过程中的不变的，也就是自转运动的不动点。
布劳威尔不动点定理
1. 区间[0,1]到[0,1]的连续映射f . 存在0[0,1]x ∈,使得00()f x x =.
2. 矩形[0,1]⨯[0,1]到自身的连续映射F . 存在00(,)x y ∈[0,1]⨯[0,1]，使得0000(,)(,)F x y x y =。
3. 推广到多维情况: Brouwer 不动点定理断言：从有限维欧氏空间中的紧凸集到自身的任意连续映射具有不动点。
据调查统计90%以上的数学家都能叙述这个定理，但只有不到10%的数学家能够给出证明.
由于价格均衡原理Deberu 获得诺贝尔经济学奖（1983）
Nash 在普林斯顿的博士论文中，证明多人博弈平衡点的存在性时用的正是他重新发现的―Brouwer 不动点原理
巴拿赫压缩映像原理
先介绍压缩的含义
一维情况举例
二维情况举例，地图与真实地域关系。
三位情况举例，占满容器的海绵再压缩。
描述高维情况
庞卡莱-伯克豪夫扭转定理
(Poincare-Birkhoff Twist Theorem)
莫泽扭转定理
(Moser Twist Theorem)。