结构稳健可靠性分析的凸集模型

文章编号:100520930(2004)0420383209 中图分类号:TH122,T B114.3 文献标识码:AΞ结构稳健可靠性分析的凸集模型李永华,　黄洪钟,　刘忠贺(大连理工大学精密与特种加工教育部重点实验室,辽宁大连116023)摘要:简明地介绍了稳健可靠性研究的工程背景,将Ben 2Haim 提出的稳健可靠性引入到结构的可靠性分析与设计中,针对Ben 2Haim 提出的稳健可靠性度量指标的不足,定义了一种无量纲的稳健可靠性度量指标,对元件和系统的稳健可靠性进行了分析,给出了基于凸集模型的稳健可靠性设计准则,最后以实例说明系统稳健可靠性的求法以及所提出的稳健可靠性准则的正确性和实用性.关键词:不确定性;凸集模型;结构;稳健可靠性;稳健可靠性准则在结构的可靠性分析与设计中,由于结构系统本身的复杂性以及人们认识上的局限性而产生了诸多的不确定性,这些不确定性往往对结构的性能和响应起着至关重要的作用,所以需要合理地定量处理这些不确定性.从总体上说,结构分析和设计中涉及的不确定性主要有随机性、模糊性和未确知性,与之相对应的处理这些不确定性的数学理论分别为概率论、模糊数学和凸集模型.E lishakoff 教授曾形象地将描述不确定性的数学模型概括为“不确定性三角”[1],三角形的三个顶点分别是:概率论和随机过程、模糊集合、凸集理论或者反优化方法(anti 2optimization approach ).众所周知,研究不确定性最常用的方法是概率方法(这种方法在许多工业领域已经得到成功的应用),其次是模糊数学方法[226].但是在实际应用中这两种方法都存在不足.很多实际应用表明,这两种方法有效应用的前提是均需要有足够的统计数据来确定不确定参数和变量的概率密度函数或隶属函数,而在很多工程实际情况下可能得到的统计数据是有限的.有时统计参数的变化以及分布类型的选择还可能很敏感,需要较多的统计数据才能准确确定随机变量的统计参数(如均值、方差等).已有研究表明[7],概率密度函数非常微小的误差可能会导致计算出来的可靠度存在较大的误差.对于这些情况,基于概率论或者模糊集合的可靠性分析方法无法合理有效地予以应用.基于上述原因,人们试图寻求处理这类不确定性问题的新的有效方法,采用凸集模型(convex m odels )来描述结构的不确定性便是一种尝试.稳健可靠性理论[627](robust reliability theory )是Ben 2Haim 教授于20世纪90年代中期在非概率可靠性模型[1,7,9210]基础上提出来的,它的数学基础是凸集模型.其基本思想是:在缺乏信息或系统未知的情况下,如果系统能够容许较大的不确定性而不失效,也就是说系统对不确定性的变化不敏感,是稳健的,那么该系统是可靠的.反之,如果系统对不确定第12卷4期2004年12月 应用基础与工程科学学报JOURNA L OF BASIC SCIE NCE AND E NGI NEERI NG V ol.12,N o.4December 2004Ξ收稿日期:2004207228;修订日期:2004212220基金项目:国家自然科学基金(59475043);高等学校全国优秀博士学位论文作者专项基金(200232);武器装备预研基金(5147080101JW0901)资助作者简介:李永华(1971—),女,博士研究生.性是脆弱的,那么该系统是不可靠的.也就是说,这里所研究的可靠性是系统对于不确定性的稳健性的度量.从这个角度来讲,将以凸集模型为基础研究的系统可靠性称之为稳健可靠性.稳健可靠度由系统能够容许的不确定性扰动的最大程度来度量.稳健可靠性的优点是对原始数据要求很低,只需知道不确定参量的界限而不要求其具体的分布形式,且不涉及概率的概念,没有必要求其概率密度函数或者隶属函数.当统计数据缺乏或者难以得到实验数据时可首选此方法[6].下面首先简要地介绍稳健可靠性理论的数学基础,然后在文献[8]的基础上定义一种无量纲的稳健可靠性度量指标,在此基础上推导系统的稳健可靠性指标,给出相应的稳健可靠性设计准则,最后以实例说明此方法的有效性以及可行性.1　稳健可靠性的数学基础[8]1.1　凸集模型定义可靠性的每一种定量分析理论都把描述不确定性的数学模型作为起点.稳健可靠性理论是基于凸集模型的.凸集模型是根据凸域来处理不确定参数的,范围从一维一致有界的直线段到多维箱体或者椭球体.下面介绍凸集模型的基本特性[11].一个凸集模型就是函数或者向量的凸集合.集合的每一个元素都表示一个不确定事件的可能实现.当从几何上考虑时,凸集模型具有特殊的形状和尺寸.凸集合的大小反映了事件的可变性,也就是不确定事件的偏离程度,用诸如箱体或者椭球体等特殊形状来描述.譬如研究一个N 维向量函数u (t )代表结构在M 点的时变分布载荷.名义载荷为u (t ),实际载荷可能偏离名义载荷u (t ).如果知道实际载荷偏离名义载荷u (t )的“瞬时能量”上界,那么我们就可以用瞬时能量有界凸集模型来表示此不确定载荷向量,即:U (α)={u (t )∶[u (t )-u (t )]T [u (t )-u (t )]Φα2}(1)这是个N 维函数集合.这个集合的形状是:在N 维欧几里德空间中,以点x =(x 1,…,x N )为中心,以R 为半径的实体球的点集合,表示为:X{α}=x ∶∑Nn =1(x n -x n )2ΦR 2(2)或者,与上式等效的实体球是点x ∈ N 的集合,可以表示为:X{α}={x ∶(x -x )T (x -x )ΦR 2}(3) 用与式(3)相类似的方法,我们把凸集模型U (α)看作是在函数空间中以α为半径的实体球.集合U (α)的不确定性大小为α,类似于实体球的半径R.还有其它的方法表示模型的大小,诸如直径、圆周、体积等,这里不再赘述.凸集模型的尺寸参数被称为集合的扩展参数.凸集合U (α)像一个气球一样随着α增加和减少而扩展和收缩,保持原来的模型形状不变而其尺寸不断变化.在稳健可靠性分析中,如果系统在发生失效前能容许较大的不确定参数的变化值,那么该系统是稳健的,也是可靠的.从本质上说,凸集模型与稳健可靠性间的基本联系在于把集合的扩展参数作为不确定性的度量,并且用其可接受的不确定性量来评估可靠性.1.2　常用的凸集模型进行稳健可靠性分析时常用的凸集模型主要有:483应用基础与工程科学学报 V ol.12(1)能量有界模型积分形式的能量模型为:U (α)=u (t )∶∫L0u T (t )Qu (t )d t Φα2(4)式中Q 为实对称正定矩阵.(2)有界的F ourier 模型在许多情况下,有表征不确定现象的部分谱信息,例如F ourier 展开式的系数,由它们可以构造超椭球体模型,其表达式为:C (α)={c ∶(c -c )T Q (c -c )Φα2}(5)式中c 为F ourier 展开式的系数所构成向量的名义值.(3)区间模型此模型表示未知函数的有界性,其表达式为:G (α)={g (x )∶g 1(x )Φg (x )Φg 2(x )}(6)式中g 2(x )、g 1(x )分别为区间的上、下界.(4)斜率有界模型此模型表示未知函数的导数的有界性,在时间间隔[0,T ]内的表达式为:R =r (t )∶r (0)=r 1,r (T )=r 2,d r d t Ε0(7)2　稳健可靠性理论2.1　稳健可靠性指标的确定2.1.1　Ben 2Haim 的稳健可靠性指标的不足 Ben 2Haim 教授在文献[8]中提出将稳健可靠性指标α^定义为与系统不发生失效相一致的不确定性参数α的最大值.随着α^的增加,系统能够容许的不确定性干扰增加.很显然,这个稳健可靠性指标α^是一个有量纲的量.也就是说,相对于载荷不确定性,它具有力的量纲;相对于位移不确定性,它具有位移的量纲.这样定义的稳健可靠性指标的缺点是系统相对于不同量纲的可靠性指标没有可比性,而且不易给出可靠性的一般设计标准.同时,我们也看到,对于一般结构或系统,其不确定性大多数具有固有的分布规律,不确定性参数在不同的取值范围内出现的频率一般不同.如果这一规律得不到反映,就会造成分析的失真,如果再依据这个分析结果来进行结构或系统的设计,无疑会造成设计结果过于保守.因为影响结构或系统的可靠性的不确定因素可能只在很小的范围内取值,随着区域的不断扩张,其取值的可能性会愈来愈小.依据文献[8],结构系统的可靠性随着α^的增大而线性的增大,这显然是不尽合理的.另外,我们发现Ben 2Haim 的稳健可靠性指标对于所有的不确定变量的变化可以用一个参数表示时是正确的.但是,对于所有的不确定变量的变化不能用一个参数来表示,而是要求用多个不确定性参数来描述不确定变量时,直接应用这个稳健可靠性指标就不尽合理.例如,假设存在两种不确定性变量F 1和F 2,变量F 1的波动很大,稳健可靠性指标为α1=0.26;变量F 2的变化很小,稳健可靠性指标为α2=0.07.这种情况下有可能出现的设计方案:在583N o.4 李永华等:结构稳健可靠性分析的凸集模型不发生失效的前提下,不确定性变量F 1和F 2的变化分别限制在α1=0.24和α2=0.08范围内,根据Ben 2Haim 的稳健可靠性理论,其相应的稳健可靠性指标为α^=0.08.但是,很明显这种设计是不安全的,因为变量F 1的实际变化可能超出α1=0.24的范围.所以,需要进一步深入考虑各种不确定变量,以便获得更加合理的结果.2.1.2　稳健可靠性指标的确定 建立在凸集模型基础之上的稳健可靠性理论是用凸集模型的不确定性参数的最大值来度量系统的稳健可靠性的.稳健可靠性分析通常包括以下三部分[8]:(1)建立反映系统的结构特性和物理规律的数学模型;(2)明确系统失效的条件,给出失效准则;(3)建立不确定性凸集模型,对系统承受的不确定性进行量化处理.这些不确定性可能来自工作环境,也可能来自结构系统的力学模型或者失效准则.综合上述三部分内容,就可以确定系统的稳健可靠性.2.1.3　元件稳健可靠性指标的确定基于2.1.1节对Ben 2Haim 的稳健可靠性指标不足的分析,可以用不确定性参数α的变异系数β来代替不确定性参数α,将其表示为:β=ασ(8)式中σ与稳健可靠性指标相对应的参数的标准差或者是不确定性参数相对于均值的分散程度(离差).确定σ的方法如下:(1)如果对不确定参数的统计数据知道较多,可以通过数理统计方法求出其标准差,那么σ就取为参数的标准差;(2)如果对不确定性参数的统计数据掌握得很少,只知道它们的变化范围,这时可以这样求得:在参数空间中,具有不确定且有界的参数的变化范围可用凸集模型中的区间模型U (α)表示,即U (α)={u j (x )∶u l j (x )Φu j (x )Φu u j (x )},　(j =1,2,…,n )(9)式中u j (x )为未知函数的不确定参数的名义值;u l j (x )、u u j (x )分别为不确定参数u j (x )所能容许的最大值和最小值.此时σ取为不确定参数的离差:σ=u u j -u lj 2(10)上式表明,σ越小,不确定参量的变化范围就越小,离散程度越低,对不确定参量的轮廓了解得越多.对于相同的σ,α越大,则β越大,两者是一致的.但是,采用β来衡量可靠性却考虑了不确定参数或者变量的自身特性以及参数离散性的影响,用它作为系统稳健可靠性度量指标更为合理.引入不确定性变异系数β后,确定结构的稳健可靠性就转化为:系统在不发生失效的条件下,确定不确定性变异系数β的最大值β^.683应用基础与工程科学学报 V ol.122.1.4　系统稳健可靠性指标的确定 假设系统中的各元件发生失效或者正常工作彼此相互独立,并且系统中的每个元件的不确定性的来源相同;与第n 个元件相联系的不确定性用凸集模型U n (β)表示,第n 个元件的稳健可靠性指标为βn ;不确定性参数的变异系数β对于所有的元件都是相同的.情况1:假设N 个独立的元件组成的系统串联,在这种极限情况下,如果构成该系统的任何一个元件发生失效,那么整个系统就会失效.系统能够容许的最大不确定性等于最不可靠元件所能容许的最大不确定性,不确定性一旦增加到最不可靠的元件的可能失效点,整个系统就可能失效.此时系统的可靠性为所有元件可靠性的最小值:β^=min 1Φn ΦN βn (11) 情况2:假设N 个独立的元件组成的系统并联,在这种极限情况下,只要有一个元件能够保持正常运行,整个系统就能继续正常工作.此时系统能够容许的最大不确定性就等于所有元件可靠性的最大值:β^=max 1Φn ΦN βn (12) 情况3:系统所有N 个元件中的n 个元件发生失效,系统就发生失效.按照递增顺序来排列各个元件的稳健可靠性指标:βr 1Φβr 2Φ…Φβr N(13) 由此可知,第r 1元件的稳健可靠性最差,当不确定性参数的变异系数不小于βr 1时,系统不会发生失效.第r N 元件的稳健可靠性最大,如果不确定性参数的变异系数的度量值至少和βr N 一样大时,第n 个元件就可能失效.因此,系统的稳健可靠性的指标为:β^=βr n (14) 实际工程中遇到的复杂系统的可靠性分析通常都是由这3种情况组合而成,以这3种情况为基础,就可以求出复杂系统的稳健可靠性.2.2　稳健可靠性设计准则引入不确定性变异系数β后,确定结构的稳健可靠性就转化为:系统在不发生失效的条件下,确定不确定性变异系数β的最大值β^.结构稳健可靠性的分析过程如下:假设不确定结构的输入u (t )、输出x (t )以及失效f (t )都具有不确定性,输入集合以及失效集合都可以用凸集模型来描述,与其对应的不确定性参数的变异系数分别为βi 和βf .每一个输入函数都唯一产生一个与其对应的输出函数,并且从整体上讲每个输入集合U (βi ,t )对应产生一个输出集合,这个输出集合称为响应集合,表示为:X (βi ,t )={x u (t )　Πu ∈U (βi ,t )}(15) 如果响应集合X (βi ,t )中元素在瞬时t 的值正好等于失效集合F (βf ,t )在同一时刻发生的值,那么该系统就发生失效.换句话说,对于任意函数f (t )∈F (βf ,t ),如果存在x u (t )=f (t ),那么系统在t 时刻被认为已经失效.因此,t 时刻的可靠性评估关键是确定响应集合X (βi ,t )与失效集合F (βf ,t )是否不相交.当X (βi ,t )和F (βf ,t )不相交时,系783N o.4 李永华等:结构稳健可靠性分析的凸集模型统才不会发生失效,即:X (βi ,t )∩F (βf ,t )=Φ(16)图1　在t 时刻的响应集合和失效集合关系示意图Fig.1　The relationship between response and failure sets at time t 由凸集合性质[11]可以知道,凸集合X (βi ,t )和F (βf ,t )随着不确定性参数的变异系数βi 和βf 的增加或者减少而扩展或收缩.X (βi ,t )和F (βf ,t )是标量函数,但是在任何瞬时这些函数值的范围都可以假设用简单的区间表示[8],如图1所示.输入和响应集合都是以原点为中心,而失效集合是以其名义值f 为中心,因此式(16)的不相交条件等价于:max u ∈U (βi ,t )x u (t )<min f ∈F (βf ,t)f u (t )(17) 利用上面的关系式和已知条件就可以评估系统的可靠性指标.在同一时刻,如果响应集合X (βi ,t )与失效集合F (βf ,t )相交,那么该系统发生失效;如果响应集合X (βi ,t )与失效集合F (βf ,t )不相交,那么该系统将不会发生失效.如果响应集合的最大值和失效集合的最小值相等,即:max u ∈U (βi )x u (t )=min f ∈F (βf)f u (t )(18)结构将由安全状态过渡到失效状态.式(18)便是稳健可靠性设计准则.根据这一准则可以给出稳健可靠性指标定义.很明显,在瞬时t 的输入可靠性β^i 是对于固定的失效不确定性变异系数βf ,集合X (βi ,t )和F (βf ,t )不相交的βi 值的最大值(或上界),系统不发生失效所能够承受的任何输入不确定量一定小于σi β^i .同样,失效可靠性β^f 是对于固定的输入不确定性变异系数βi ,集合X (βi ,t )和F (βf ,t )不相交时的βf 的最大值(或上界),系统不发生失效所能够承受的任何失效不确定量一定小于σf β^f .最后,系统的整体可靠性β^可以通过把βi 和βf 看成是相同的不确定性变异系数β来寻找集合不相交时的β值的最大值(或上界)来求得,此时系统不发生失效所能够承受的任何不确定量一定小于σβ.3　算例例1:计算如图2所示的系统的稳健可靠度该系统有5个独立的元件,S 3和S 4是并联的,因此,这个并联子系统的可靠性为:β3,4=max [β3,β4](19) 元件S 2与(S 3,S 4)串联,因此可靠性为:β2,3,4=min [β2,β3,4]=min [β2,max (β3,β4)](20)883应用基础与工程科学学报 V ol.12图2　具有5Fig.2　A system with five independent units (S 2,S 3,S 4)与元件S 5并联,因此可靠性为:β2…5=max [β2,3,4,β5](21)最后,元件S 1与(S 2,…,S 5)串联,因此,整个系统的可靠性为:β^=min [β1,β2…5](22) 从上面的分析可以看出,在稳健可靠性的概念下,系统可靠性的分析简单明了,这是稳健可靠性相比概率可靠性的又一优点.例2:机械系统振动的稳健可靠性分析机械系统的防共振可靠性分析至关重要,由于许多机械系统及其零部件的振动都可以简化为单自由度振动[12],故下面就以可简化为单自由度无阻尼振动的简单机械零部件为例说明稳健可靠性理论在振动可靠性分析中的应用.假设系统的初始条件为零,系统的力学模型为:mx ¨(t )+kx (t )=u (t )(23) 系统的输入u (t )具有不确定性,不确定性参数的变异系数为βi ,可以用一个中心在原点的累积的能量有界凸集模型描述为:U (βi )=u (t )∶∫∞0u 2(t )d t Φ(σβi )2(24) 与输入u (t )对应的响应为:x u (t )=1m ω∫t 0u (τ)sin ω(t -τ)d τ(25)式中ω为固有频率,ω=k/m.假设响应函数x u (t )非常接近某一具体的临界值f 时,系统就会发生失效,并且失效函数本身也是不确定的.考虑失效函数的不确定性,不确定性参数的变异系数为βf ,用包络有界的凸集模型描述其失效集合为:F (βf )=f (t )∶|f (t )-f |2<(σβf )2(26)式中f 为失效函数f (t )的名义失效值.名义失效值虽然是f ,但是响应函数x u (t )的值在f 的±σβf 区域内的任何状态都构成了失效,σβf 表示失效状态值的不确定性的大小.为了简化计算,我们可以假设0Φβf Φ1.根据式(18),失效函数的最小值为:min f (t )f ∈F (βf )=f -σβf (27) 利用Schwarz 不等式,可以求出在时刻t 的响应函数的最大值:∫t 0u (τ)sin ω(t -τ)d τ2Φ∫t 0u 2(τ)d τ∫t 0sin 2ω(t -τ)d τ(28)max u ∈U (βi )x u (t )=σβi 2m ω3/22ωt -sin2ωt(29)983N o.4 李永华等:结构稳健可靠性分析的凸集模型 根据式(18)表示的稳健可靠性准则,可得:σβi 2mω3/22ωt -sin2ωt =f -σβf (30) (1)给定失效不确定参数的变异系数βf ,响应不确定参数的变异系数βi 发生变化,在时刻t 输入稳健可靠性指标β^i (t ,βf )为:β^i (t ,βf )=2m ω3/2(1-βf )2ωt -sin2ωt (31) (2)给定响应不确定参数的变异系数βi ,失效不确定参数的变异系数βf 发生变化,在时刻t 失效稳健可靠性指标β^f (t ,βi )为:β^f (t ,βi )=1-βi2m ω3/22ωt -sin2ωt (32) (3)响应不确定参数的变异系数βi 和失效不确定参数的变异系数βf 都发生变化,用β代替βi 和βf ,得到时刻t 的系统综合稳健可靠性指标为:β^(t )=2m ω3/22m ω3/2+2ωt -sin2ωt (33)4　结束语当统计数据缺乏或者难以得到实验数据时,稳健可靠性方法较概率可靠性或者模糊可靠性方法更加适用、有效.理论研究和工程应用表明,以凸集模型为基础的稳健可靠性理论具有广阔的应用前景.需要强调的是概率可靠性方法的正确性和成熟性是毋庸质疑的.本文所讨论的稳健可靠性方法和常规的概率可靠性或者模糊可靠性方法是平行的.但与它们相比,该方法可以大大降低对原始数据的要求,且不涉及概率的概念,同时本文所提出的稳健可靠性指标较Ben 2Haim 的更合理.本文所提出的稳健可靠性方法,是对常规可靠性方法的有益补充,为机械零部件和系统的可靠性分析和设计提供了一种可能的选择,实际应用时可以根据具体情况来决定采用哪种方法:当具有足够数据描述不确定参数的概率特性或者隶属函数时,可采用概率可靠性或者模糊可靠性方法;当掌握的不确定性数据较少时,可采用非概率的稳健可靠性的凸集模型;当两种情况并存时,可考虑采用混合的可靠性模型.稳健可靠性理论的提出具有重大的理论和现实意义.虽然该理论还不成熟,但是这种思想为深入研究统计信息缺乏情况下的可靠性问题或者用常规可靠性难以解决的问题开辟了一条崭新的途径,可以说是可靠性理论的一场革命.参考文献[1]　E lishakoff I.Essay on uncertainties in elastic and viscoelastic structures :From A.M.Freudenthal ’s criticisms to m odern convexm odeling[J ].C om puters and S tructures 1995,56(6):8712895[2]　Huang H ongzhong.Reliability analysis method in the presence of fuzziness attached to operating time[J ].M icroelectronics andReliability ,1995,35(12):148321487093应用基础与工程科学学报 V ol.12[3]　Huang H ongzhong.Reliability evaluation of a hydraulic truck crane using field data with fuzziness[J ].M icroelectronics andReliability ,1996,36(10):153121536[4]　Huang H ongzhong.Fuzzy multi 2objective optim ization decision 2making of reliability of series system[J ].M icroelectronics andReliability 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correctness and feasibility of the proposed criterion on robust reliability.K eyw ords :uncertainty ;convex m odels ;structure ;robust reliability ;robust reliability criterion 193N o.4 李永华等:结构稳健可靠性分析的凸集模型。