第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答
《电路》邱关源第五版课后习题解答
电路习题解答第一章 电路模型和电路定律【题1】：由U A B =5V 可得：I AC .=-25A ：U D B =0：U S .=125V 。
【题2】：D 。
【题3】：300；-100。
【题4】：D 。
【题5】：()a i i i =-12；()b u u u =-12；()c ()u u i i R =--S S S ；()d ()i i R u u =--S SS 1。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D 。
【题8】：P US1=50 W ；P U S 26=- W ；P U S 3=0；P I S 115=- W ；P I S 2 W =-14；P I S 315=- W 。
【题9】：C 。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
【题14】：3123I +⨯=；I =13A 。
【题15】：I 43=A ；I 23=-A ；I 31=-A ；I 54=-A 。
【题16】：I =-7A ；U =-35V ；X 元件吸收的功率为P U I =-=-245W 。
【题17】：由图可得U E B =4V ；流过2 Ω电阻的电流I E B =2A ；由回路ADEBCA 列KVL 得 U I A C =-23；又由节点D 列KCL 得I I C D =-4；由回路CDEC 列KVL 解得；I =3；代入上 式，得U A C =-7V 。
【题18】：P P I I 12122222==；故I I 1222=；I I 12=； ⑴ KCL ：43211-=I I ；I 185=A ；U I I S =-⨯=218511V 或16.V ；或I I 12=-。
⑵ KCL ：43211-=-I I ；I 18=-A ；U S =-24V 。
第二章电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I=-+9473A=0.5A；U Ia b.=+=9485V；IU162125=-=a b.A；P=⨯6125.W=7.5W；吸收功率7.5W。
第十二章非正弦周期电流电路
第十二章 非正弦周期电流电路一、是非题是非题(注:请在每小题后[ ]内用"√"表示对,用"×"表示错)1. 周期非正弦电流的有效值，不仅与其各次谐波的有效值有关， 而且还与各次谐波的初相位有关。
[×]2. 电压u(t)=3sinωt+2sin(3ωt + 60°)的相量表达式为mU &=（3∠00+2∠600） [×]3. 电压波形的时间起点改变时，波形对纵轴和原点的对称性将发生变化, 但不影响它是否为奇次谐波函数。
[√]4. 奇谐波函数一定不包含直流分量。
[√]二、选择题选择题(注:在每小题的备选答案中选择适合的答案编号填入该题空白处,多选或不选按选错论)1. 在图中,12,20i t i t ==, 则电流3i 的有效值为______。
(Ａ) １Ａ； (Ｂ) ５Ａ； (Ｃ) ７Ａ。
解：I3=5A。
2. 欲测一周期非正弦量的有效值应用_____。
(Ａ) 电磁式仪表； (Ｂ) 整流式仪表； Ｃ磁电式仪表。
解：电磁式仪表。
3. 下列四个表达式中，是非正弦周期性电流的为_____。
(Ａ) t t t i π3cos 32cos 26)(++=， Ａ (Ｂ) ()34cos 5cos36sin 5,i t t t t =+++ Ａ (Ｃ) ()2sin(34sin(7),i t t t =+ Ａ(Ｄ) t t t t i ωπωcos cos cos )(++= Ａ解：()34cos 5cos36sin 5,i t t t t =+++1. 已知t t t t u ωπωπωω5cos 230)323sin(280)323sin(280sin 230+++−+=伏, 则u 的有效值为_____。
(Ａ) Ｕ＝30+80+80+30=220Ｖ(B) 120.83U ==V(Ｃ) 90.55U == V解：80∠(-2π/3)+80∠(2π/3)=160∠(2π/3)=-80， 323sin(280)323sin(280πωπω++−t t =)3sin(280πω−t V90.55U == V。
第十二章 非正弦周期电流电路
第十二章非正弦周期电流电路一重点和难点1 谐波分析法●根据线性网络的叠加原理，非正弦周期信号作用下的线性电路稳态响应，可以视为一个恒定分量和无穷多个正弦分量单独作用下，各稳态响应的叠加。
因此，非正弦周期信号作用下的线性电路稳态响应分析可以转化成直流电路和正弦交流电路的稳态分析。
●应用电阻电路计算方法计算出恒定分量作用于线性电路时的稳态响应分量。
注：C－断路L－短路。
●应用相量法计算出不同频率正弦分量作用于线性电路时的稳态响应分量。
各次谐波单独作用，利用相量法1 Lk CkX Xk Ck Lωω==。
●对各分量在时间域进行叠加。
即可得到线性电路在非正弦周期信号作用下的稳态响应。
2 非正弦周期电流、电压有效值的计算注意：在正弦电路中，正弦量的最大值与有效值之间存在2倍的关系，。
而对于非正弦周期信号，其最大值与有效值之间并无此种简单关系。
3 不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率；电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的平均功率之和，即平均功率守恒。
二典型例题分析【例题12-1】：非正弦周期电流、电压有效值的计算。
求图12.1（a）所示电路中，各表的读数(有效值)及电路吸收的功率。
已知：图12.1（a）解：(1)当直流分量u0=30V作用于电路时，L1、L2短路，C1、C2开路，等效电路如图（b）所示。
（b）所以：(2)基波作用于电路，u1=120cos1000t V；L1、C1对基波发生并联谐振。
所以，基波电压加于L1、C1并联电路两端，故：；；。
(3) 二次谐波u2=60cos(2000t+π/4)V作用于电路，有L2、C2对二次谐波发生并联谐振。
所以，电压加于L2、C2并联电路两端，故：；。
所以电流表A1=1A；A2=；A3 =电压表V1 =；V2 =【例题12-2】：在图12.2(a)所示的电路中，已知电源u(t)是周期函数，其波形如图12.2（b）所示，L=1/2πH，C=125/πμF。
《电路第五版课后习题答案
答案及解析115答案第一章电路模型和电路定律【题1】：由U A B 5 V 可得：IA C 2.5 A：U DB 0 ：U S 125. V。
【题2】：D。
【题3】：300；-100。
【题4】：D。
【题5】： a i i 1 i 2 ； b u u1 u2 ； c u u S i i S R S ； d i iS1RSu u S 。
【题6】：3；-5；-8。
【题7】：D。
【题8】：PU S 1 50 W ；P U S 2 6 W ；P U S3 0 ；P I S 1 15 W ；P I S2 14 W ；P I S 3 15 W 。
【题9】：C。
【题10】：3；-3。
【题11】：-5；-13。
【题12】：4（吸收）；25。
【题13】：0.4。
1【题14】：3 I 1 2 3 ；IA 。
3【题15】：I 4 3 A；I 2 3 A；I 3 1A；I 5 4 A。
【题16】：I 7 A；U 35 V；X 元件吸收的功率为P U I 245 W。
【题17】：由图可得U E B 4 V；流过 2 电阻的电流I E B 2 A；由回路ADEBCA 列KVL 得U A C 2 3I ；又由节点 D 列KCL 得I C D 4 I ；由回路CDEC 列KVL 解得；I 3 ；代入上式，得U A C 7 V。
【题18】：P1 P2 2 II212222 ；故I I122；I 1 I 2 ；⑴KCL：43I I ；I 11 12858A；U I 1 I 1 V 或 1.6 V；或I 1 I2 。
S 2 15⑵KCL：43I I ；I1 121 8 A；U S 24V。
第二章电阻电路的等效变换【题1】：[解答]I9 47 3ab 9 4 8.5 V；A =0 .5 A ；U II 1 U 6ab . A ；P 6 1.2 5 W = 7 .5 W ；吸1 252收功率7.5W。
【题2】：[解答]【题3】：[解答] C。
第十二章 非正弦周期电流电路
由傅立叶级数演变出一种从时间域到频率域的变换——傅立叶 变换，是信号分析与处理的极其重要的数学工具。通过傅立叶变 换，可以将随时间变化的函数（信号）变换为幅值随频率变化的 信号，可以方便地分析不同频率下信号的特点和贡献幅值大小。
前边已经讲到过一种变换——相量，是将正弦函数变换到复 频域的相量的一种数学变换。再后边还要讲到拉普拉斯变换， 也是一种数学上的变换，是专门解决动态电路问题的，拉普拉 斯变换可以将一个高阶微分方程变换为一个代数方程，可以避 免求解微分方程的困难。
4Em
3
频率为5ω1的5次谐波成分幅值为：
4Em
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§12-3有效值、平均值和平均功率
一、有效值
定义：非正弦周期电流 i(t)的有效值定义为： I 1 T i2 t dt
T0 如果将i(t)的傅立叶级数展开为如下表达式：
f t I0 I1m cost 1 I2m cos2t 2
代替原函数，但工程上只要达到要求的精度，取前若干项也就
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可以了。
2、傅氏级数另一种表达式：
将 an cos nt bn sin nt 合并（进行和差化积）可得：
f t fT t A0 A1m cost 1 A2m cos2t 2
bk
4kEm。所以可得：
f
t
4Em
sin 1t
1 3
s
in
31t
1 5
sin51t
若只取前3项，合成的波形如下图(a) ：
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若取到前5项， 即取到9次谐波， 合 Nhomakorabea的波形如 下图(b)：
非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算
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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称 三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …
第十二章 非正弦周期电流电路
is1
is3
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§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1
（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－ 华东理工大学 上 页 下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值 为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量） 磁电系仪表：
电磁系仪表： 全波整流仪表：
第十二章非正弦周期电流电路分析
第十二章 非正弦周期电流电路分析§12.1 非正弦周期电压与电流前面几章我们研究了正弦电流电路的分析计算方法。
但在工程实际中大量存在的还有非正弦周期规律变化的电压和电流，如图12-1-1所示，分别称为非正弦周期电压或电流。
其中T称为周期，f=1/T 称为频率，ω1=2πf=2π/T称为角频率，U和I称为幅度，u(t)和i(t)随时间变化的曲线称为波形。
周期函数的一般定义是：设有一时间常数f(t)，若满足f(t-nT)=f(t) (n=0,±1, ±2,…),则称f(t)为周期函数，其中T为常数，称为f(t)的重复周期，简称周期。
图12-1-1 非正弦周期电压和电流举例本章中将研究当先行电路中的激励为非正弦周期电源时，电路中的稳态响应如何分析计算。
解决此问题的电路原理是叠加原理，数学基础是傅立叶级数，另外还将简要介绍信号频谱的概念及其方法。
§12.2 非正弦周期函数展开成傅立叶级数一． 傅里叶级数的三角函数形式设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。
由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。
即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。
A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。
基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。
式（12-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。
上式有可改写为如下形式，即（12 - 2 -2 ）（12 - 2 -3a ）（12 - 2 -3b ）（12 - 2 -3c ）（12 - 2 -3d ）当A0，A n, ψn求得后，代入式 (12-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。
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第十二章(非正弦周期电流电路)习题解答
一、选择题
1． 在图12—1所示电路中，已知)]cos(2512[1t u s ω+=V ，
)240cos(2502+ω=t u s V 。
设电压表指示有效值，则电压表的读数为 B V 。
A ．12；
B ．13； Ｃ．13.93
解：设u 如图12—1所示，根据KVL 得
)240cos(25)cos(2512021+ω+ω+=+=t t u u u s s
即 )120cos(25)cos(25120
-ω+ω+=t t u
=)60cos(25120
-ω+t
根据 2
)1(2)0(U U U += 得1351222=+=U A
2．在图12—2所示的电路中，已知)100cos(2t u s =
V ，
)]60100cos(243[0-+=t i s A ，则s u 发出的平均功率为 A W 。
A ．2；
B ．4；
C ．5
解：由平均功率的计算公式得
)600cos(0
)1()1()0()0(++=I U I U P =2)60cos(41300
=⨯+⨯W
3．欲测一周期性非正弦量的有效值，应用 A 仪表。
A ．电磁系；
B ．整流系；
C ．磁电系 4．在图12—3所示的电路中，Ω=20R ，Ω=ω5L ，
Ω=ω451
C
， )]3cos(100)cos(276100[t t u s ω+ω+=V ，现欲使电流i 中含有尽可大的基波分量，Z 应
是 C 元件。
A ．电阻；
B ．电感；
C ．电容
解：由图12—3可见，此电路对基波的阻抗为
j45j545520j 1
j j 1
j -⨯++=ω+ωω⋅ω+
+=Z C L C
L Z R Z i =8
45
j 20++Z
欲使电流i 中含有尽可大的基波分量就是要使i Z 的模最小，因此Z 应为电容。
二、填空题
1．图12—4所示电路处于稳态。
已知Ω=50R ，Ω=ω5L ，
Ω=ω451
C
，)]3cos(100200[t u s ω+=V ，则电压表的读数为 70.7 V ，电流表的读数为 4 A 。
解：由题目所给的条件可知，L 、C 并联电路对三次谐波谐振，L 对直流相当于短路。
因此，电压表的读数为 7.702
100=V ，而电流表的读数为
450
200
=A 。
2． 图12—5所示电路中，当)cos(2200ϕ+ω=t u V 时，测得10=I A ；当
)]3cos(2)cos(2[2211ϕ+ω+ϕ+ω=t U t U u V 时，测得200=U V ，6=I A 。
则83.1051=U V ，71.1692=U V 。
解：由题意得
2010200==
ωL ， 22
221200=+U U 及22
22
163=⎪⎭
⎫ ⎝⎛ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛ωL U L U
由以上三式解得： 83.1051=U V ；71.1692=U V
3． 图12—6所示电路为一滤波器，其输入电压为
)3cos()cos(31t U t U u m m s ω+ω=，rad/s 314=ω。
现要使输出电压
)cos(12t U u m ω=，则F 39.91μ=C ，F 1.752μ=C 。
解：由于2u 中不含三次谐波，因此L 、1C 一定对三次谐波发生并联谐振，即
∞→ω-ωω⋅
ω1
131j
j3j31j3C L C L ， 亦即 031
j j31
=ω-ωC L 由此解得F 39.99121μ=ω=L
C 。
又s u 的基波分量为2u ，所以L 、1C 、2C 对基波发生串联谐振，即
01j 1
j j j 1
j 2
1
1
=ω-ω-ωω⋅ωC C L C L 由此式解得：F 1.751
122μ=-ω=C L
C
4． 图12—7所示电路中，)]cos(2010[t u s ω+=V ，Ω=ω=10L R ，该电路吸收的
平均功率为20W 。
解：11010)0(==
I A ，而00
)1(45/145/2102/20j10102/20-==+=I A 。
于是 )45cos(210
-ω+=t i A ； 2045cos 12
201100=⨯⨯+⨯=P W 三、计算题
1． 图12—8所示电路中，已知)]903cos(215)cos(22020[0
+ω+ω+=t t u V ，
Ω=11R ，Ω=42R ，Ω=ω51L ，
Ω=ω451
1
C ，Ω=ω402L 。
试求电流表及电压表的读数（图中仪表均为电磁式仪表）。
解：电压的直流分量作用时
44
120
)0(=+=
I A ， 1644)0(2=⨯=R U V
基波分量作用时：
∞→-+-=ω-ω+ωω-ωωj45j5j40j45)j5(40j 1j j j )
1j j (j 1
12112C L L C L L ，电路发生并联谐振，所以0)
1(=I ，0)1(2=R U 。
三次谐波作用时：
031
j
j31
1=ω-ωC L ，电路发生串联谐振，所以 00)
3(90/34
190/15=+=I A ， 0)3()3(290/124==I U R V
由以上的计算得：
53422=+=I A ， 20121622=+=U V
2． 电路如图12—9所示。
设)600cos()400cos()200cos(321t U t U t U u m m m s ++=，F 251μ=C ，H 36
1
2=L 。
若使二次谐波和三次谐波的电流不通过负载R ，求1L 和2C 的值。
解：欲使二次、三次谐波的电流不通过电阻R ，可令1L 、1C 对二次谐波发生并联谐振，
2L 、2C 对三次谐波发生串联谐振（或者1L 、1C 对三次谐波发生并联谐振，2L 、2C 对二
次谐波发生串联谐振），即
11212C L ω=
ω， 2
231
3C L ω=ω 由此解得：
H 25.0411
21=ω=
C L ； F 10091222
μ=ω=L C
（或者 11313C L ω=ω， 2221
2C L ω=ω，于是
9
191121=ω=C L H ； F 22541
22
2μ=ω=L C 3． 图12—10所示的电路中：
)]5cos(21.0)703cos(25.0)30cos(223[00t t t i ω+-ω+-ω+=A ；
)]5cos(210)30cos(2104[0t t u ω++ω+=V 。
求U 、I 及此一端口电路吸收的平均功
率P 。
解：由非正弦交流电路中电流、电压有效值及平均功率的计算公式可得： 64.31.05.0232222=+++=I A 7.1410104222=++=
U V
23)0cos(101.0)60cos(102430
0=⨯⨯+⨯⨯+⨯=P W
4． 图12—11所示电路中，)452cos(26001+ω=t u s V ，)cos(2302t u s ω=V ，
Ω=ω201L ，Ω=ω5.72L ，Ω=ω5M ，
Ω=ω201
C。
求1i ，2i 及u 。
解：将图12—11所示的电路去耦后的等效电路如图12—11（a ）。
基波分量和二次谐波分量作用的等效电路分别如图12—11（b ）和12—11（c ）。
在图12—11（b ）中电路发生了并联谐振，因此
0)1(2=I ，00)1(0/400/30j20
j5j20=⨯--=
U V ，00)1(190/2j150/30=-=I A
在图12—11（c ）中电路发生了串联谐振，因此
0)
2(2=I ，00
)2(145/2j30
45/60-==I A ，00)
2(135/20j10)(45/2-=-⨯-=U V 于是：)]452cos(22)90cos(22[0
01-ω++ω=t t i A ；
02=i ；
)1352cos(220)cos(2400
-ω+ω=t t u V。