3.2常系数线性齐次递推关系
线性常系数齐次递推
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
1 3 二阶常系数线性齐次微分方程
y C1 e x C2 e3x
微分方程
例2. 求方程 y " 2 y ' y 0 的通解.
解: 特征方程 r2 2 r 1 0
有重根:
r1 r2 1
因此原方程的通解为，
y (C1 C2 x ) e x
微分方程
例3. 求方程 y " 2 y ' 5y 0 的通解.
y x2 1
微分方程
例2：自由落体运动
根据Newton第二定律：
F
mg
m
d2x dt 2
所以，
g
d2x dt 2
，
两次积分得到：x
1 2
gt 2
c1t
c2
微分方程
例3：简谐振动
胡克定律：F kx
由牛顿第二定律：
kx
m
d2x dt 2
d2x k
dt 2
x0 m
如何求解？
微分方程
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶
通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同
.
特解—不含任意常数的解
微分方程
二阶微分方程
y P(x) y Q(x) y f (x), 二阶线性微分方程
酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
会员免费下载 明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适
零化多项式特征多项式最小多项式常系数线性齐次递推
零化多项式特征多项式最⼩多项式常系数线性齐次递推零化多项式/特征多项式/最⼩多项式/常系数线性齐次递推约定:I n是n阶单位矩阵，即主对⾓线是1的n阶矩阵⼀个矩阵A的|A|是A的⾏列式默认A是⼀个n×n的矩阵定义零化多项式:对于⼀个矩阵A，它的⼀个零化多项式f(λ)是满⾜f(A)=0的多项式，定义域包含矩阵最⼩多项式:次数最低的零化多项式特征多项式对于⼀个n阶的矩阵A，它的特征多项式p(λ)=|λI n−A|λ定义域不⽌是R，还可以是矩阵p(λ)是关于λ的⼀个不超过n+1次的多项式即p(λ)=∑n0a i x iCayley-Hamilton定理:矩阵的特征多项式也是它的零化多项式求解特征多项式带⼊n个数，求出得|xI n−A|,得到n个矩阵，通过⾼斯消元可以O(n3)地求出⾏列式然后可O(n2)拉格朗⽇插值求出原来的多项式，总复杂度受限于⾼斯消元，为O(n4)求解最⼩多项式构造矩阵序列a i=A i求出它的⼀个线性递推r i，即m∑j=0r j a i−j=m∑j=0r j A i−j=(m∑j=0r m−j A j)⋅A i−m=0∴m∑j=0r m−j A j=0所以可以由r i翻转得到f(λ)求解a i前n项的复杂度受限于矩阵乘法为O(n4)，求解递推式的复杂度为O(n3)考虑到实际求解递推式时，随机⽣成了两个向量u,v实际是计算标量序列{uA i v}的递推式，所以实际每次求出uA i复杂度应为O(n2)求这个递推式需要⽤到a i前2n项，求解复杂度为O(n3)因此总复杂度为O(n3)(但是如果只是求出来并没有什么⽤，因为求解⽅法是随机的，甚⾄连检查⼀次保证正确都需要O(n2(n+e))的时间(e为矩阵⾮0位置个数))求解稀疏⽅程组设⽅程系数⽤矩阵A表⽰，右侧每个⽅程的常数⽤向量b表⽰，答案⽤向量x表⽰，则满⾜关系式Ax=b，即x=A−1b求出{A i b}线性递推式，反推出A−1b即可反推⽅法:带⼊线性递推的m项，则∑m i=0A m−i b⋅r i=0A m−i br i=0两边同乘A−1，得到A−1b⋅r m+∑m−1i=0求解矩阵k次幂我们要求解A k，常规做法是直接⽤快速幂设矩阵A的⼀个零化多项式是f(λ)显然，A k可以⽤⼀个多项式表⽰A k=∑k0w i A i{w i}构成了⼀个k+1次多项式F k(x)存在⼀种合法的表⽰是F k(x)=x k∵f(A)=0∴∀i,f(A)A i=0也就是相当于我们要求出x k对于f(x)这个n+1多项式取模显然可以通过类似快速幂的⽅式倍增求解这个多项式，每次对f(x)取模复杂度是O(n log n)就能在O(n log m log n)时间得求出F(x)最后得到的F(x)是⼀个n次多项式那么带⼊就可以快速求出A k可以认为这个复杂度是受限于求解A0,A1,⋯,A n−1的O(n4)对于元矩阵A为稀疏矩阵的情况，设其包含e个⾮零位置那么求解B⋅A的过程是O(n⋅e)的，求解A0,A1,⋯,A n−1的过程，是O(n2e)的求解零化多项式的复杂度也是O(n2(n+e))的，因此总复杂度为O(n2(n+e))⽽⼀般的矩阵快速幂是O(n3log k)的，这种⽅法适⽤情况⾮常特殊另外，对于并不需要知道整个矩阵的答案，并且A0,A1,⋯,A n−1特殊的具体问题，这个⽅法也⼗分有效求解常系数线性齐次递推问题是要求数列f i=∑n j=1a j⋅f i−j给出f0,f1,⋯,f n−1，求第k项的值线性递推显然可以⽤初始向量列与转移矩阵的幂次的乘积表⽰，即f i=(S⋅A i)n，其中A为转移矩阵，S为初始向量列，我们求的是第n项对于n=4的情况，我们的转移矩阵A是12341a 421a 331a 241a 1鉴于它的特殊性，我们可以直接求出它的特征多项式表达式由λI n −A =12341λ−a 42−1λ−a 33−1λ−a 24−1λ−a 1带⼊⾏列式最暴⼒的求法枚举⼀个排列p i ，设排列p 的逆序对为f (p )，|A |=∑(−1)f (p )ΠA i ,pi 实际上合法的排列只有n 个，就是枚举p i =n那么p j =jj <i n j =i j −1j >i当i =n 时，(−1)f (p )ΠA i ,p i=λn −a 1λn −1当i >1时，f (p )=n −iΠA i ,p i=(−1)n −i +1λi ⋅a n −i +1(−1)f (p )ΠA i ,p i=−λi a n −i +1综上,转移矩阵A 的特征多项式有简单的表达p (λ)=|λI n −A |=λn −a 1λn −1−a 2λn −2−⋯−a n假设有f 0这⼀项(不需要知道是多少)，那么认为初始向量列为S =(f −(n −1),f −(n −2),⋯,f 0)这个问题，我们要求的是S ⋅A k 的第n 项，不需要知道整个矩阵类似求出A k 的过程，求出F_k(x)\mod p(\lambda)我们要求解(S\cdot A^k)_n=\sum_1^{n}[x^i]{F(x)}(S\cdot A^i)_n⽽(S\cdot A^i)_n=f_i 已知，求出F(x)后直接带⼊即可需要⽤到多项式取模，求解这个表达式是O(n\log n\log k)的，求完直接带⼊即可{Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。
递推关系式
递推关系式一、引言递推关系式是数学中的一个重要概念，它描述了一个序列中后一项与前一项之间的关系。
通过递推关系式，我们可以根据已知的初始条件逐步计算出序列中的各个项，从而揭示数学规律和模式。
递推关系式在各个领域都有广泛应用，如数列、递归函数和动态规划等。
二、数列与递推关系式2.1 数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。
数列中的每个数字称为项，而数列中的规律称为数列的通项公式。
通过数列的通项公式，我们可以方便地计算数列中的任意项。
2.2 递推关系式的定义递推关系式是数列中后一项与前一项之间的关系式。
一般地，递推关系式可以表示为：a n+1=f(a n)，其中n为项的序号，a n表示第n项，f表示递推函数。
2.3 递推关系式的作用递推关系式可以帮助我们计算数列中的任意项，从而揭示数列中的规律和模式。
通过分析递推关系式，我们可以得到数列的闭式表达式，即直接根据项的序号计算出项的值的公式。
三、递推关系式的形式递推关系式可以具有多种不同的形式，根据具体情况选择适合的形式进行表示。
下面列举了几种常见的递推关系式形式。
3.1 线性递推关系式线性递推关系式是一种最简单的递推关系式形式，其通项公式可以表示为：a n+1=a n+c，其中c为常数。
线性递推关系式描述了数列中的每个项与前一项之间的恒定差值关系。
3.2 二次递推关系式二次递推关系式是一种形式更为复杂的递推关系式。
其通项公式可以表示为：a n+1=a n2+b，其中b为常数。
二次递推关系式描述了数列中的每个项与前一项的平方加上常数之间的关系。
3.3 递归函数递归函数是一种特殊的递推关系式形式，其通项公式可以表示为：a n=f(a n−1)。
递归函数通过直接调用自身来计算数列中的各个项。
四、递推关系式的应用4.1 数列的求和通过递推关系式，我们可以方便地求解数列的前n项和。
方法是先计算出数列的第n项，然后通过求和公式计算前n项和。
4.2 数列的性质分析递推关系式可以帮助我们深入地分析数列的性质。
3.3 二阶线性常系数齐次差分方程及其应用
附近也 而供应函数 g 在 P0 附近也可以用一次函数近似表示为
xk +1 x0 = β ( yk y0 ) , ( β > 0, k = 1, 2, )
, k = 1, 2, yk y0 = α ( xk x0 )
联立(3.3.5)式与 式与(3.3.6)式，得到差分方程组 联立 式与 式 xk +1 x0 = β ( yk y0 )
于是(3.3.3)式满足初始条件 式满足初始条件 解得 c1,2 = ± 1 5 ，于是 式满足初始条件(3.3.4)式 式 的特解为 f = 1 1 + 5 1 1 5 . n
5 2 5 2
n n
因为 λ1 ≈ 1.618 > 1 ， λ2 ≈ 0.618 < 1 ， 所以 lim f n = +∞ ，
(
)
1+ 5 1 5 f n = c1 2 + c2 2 是任意常数. 其中 c1 和 c2 是任意常数
n
n
3.3.2 斐波那契数列
为了满足初始条件 为了满足初始条件(3.3.4)式，必须有 初始条件 式
c1 + c2 =0 1 5 1 + 5 2 c1 + 2 c2 = 1
Байду номын сангаас
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
（四）模型二（差分方程模型）
附近用直线近似需求曲线和供应曲线， 在 P0 附近用直线近似需求曲线和供应曲线， 于是 需求函数 f 在 P0 附近可以用一次函数近似表示为
yk y0 = α ( xk x0 ) , (α > 0, k = 1, 2, )
(3.3.5) (3.3.6)
3.3.3 市场经济中的蛛网模型 （三）模型一（蛛网模型）
第二节常系数线性齐次递推关系
23
23
例2
求解递推关系
f (n) (k f (2) k(k
2) f (n 1) (k 1) f (n 2) 1), f (3) k(k 1)(k 2).
(n
4)
解 递推关系的特征方程为：x2 (k 2)x (k 1) 0,
特征根为:
q1 k 1, q2 1,
所以递推关系的通解为
下面研究当特征根有重根时，递推关系的通解． 引理1. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系(1)
的二重特征根，则 nqn为递推关系的解．
证明 令
P(x) xk C1xk1 C2 xk2 Ck1x Ck ,
Pn (x) xnk P(x) xn C1xn1 C2 xn2 Ck xnk , 因为q为P(x)的二重根，所以q也为Pn(x)的二重根， 从而q为 Pn '(x)的一重根，也为 xPn '(x)的一重根． 又由于
称{bn} 为满足初始条件的特解，显然满足初始条件的特 解是唯一的．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2) Ck f (n k) (n k) (1)
定义2 方程 xk C1xk1 C2xk2 Ck 0 称为递推关系(1)的 特征方程，它的根称为递推关系的特征根．
3.
它的特征方程为：x2 2x 3 0,
特征根为: x1 3, x2 1,
所以递推关系的通解为 g(t) C1(3)t C2 (1)t .
代人初值有
3CC11CC22
0, 3.
解方程组，得
C1
3 4
, C2
3 4
,
所以递推关系的解为 g(t) 3 3t 3 (1)t. 44
从而有
f (n) A(k 1)n B(1)n.
建立递推关系求通项公式
建立递推关系求通项公式王正勇(如皋市搬经中学ꎬ江苏如皋２２６５６１)摘㊀要:文章主要介绍在高考㊁竞赛和强基计划试题中求数列通项公式的新视角 建立递推关系.关键词:递推关系ꎻ强基计划ꎻ数列ꎻ通项公式中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－００３１－０３收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:王正勇(１９８１.６－)ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀组合数学的考题一般都以计数问题为主ꎬ而有些计数问题直接去求解并不是那么容易ꎬ因为它们是以 建立递推关系 为背景的ꎬ也就是说ꎬ要先建立递推关系ꎬ再去求解通项公式ꎬ才能顺利完成计数问题.１知识与方法１.１递推关系对于数列{ａｎ}(ｎɪＮ∗)ꎬ若当ｎȡｋ＋１时ꎬａｎ与ａｎ－１ꎬａｎ－２ꎬ ꎬａｎ－ｋ之间满足函数关系Ｆ(ａｎꎬａｎ－１ꎬａｎ－２ꎬ ꎬａｎ－ｋ)＝０ꎬ①或㊀ａｎ＝ｆ(ａｎ－１ꎬａｎ－２ꎬ ꎬａｎ－ｋ)ꎬ②则称①或②为ｋ阶递推关系或ｋ阶递归关系.由此递推关系及初值条件ａ１ꎬａ２ꎬ ꎬａｋ所确定的数列称为ｋ阶递推数列[１].在ｋ阶递推关系①中ꎬ若各项的系数均是与ｎ无关的常数ꎬ则称这个递推关系为常系数递推关系ꎻ若递推关系中各项的次数相同ꎬ则称这个递推关系为齐次递推关系ꎻ若递推关系中各项的次数均不超过一次ꎬ则称这个递推关系为线性递推关系.本文主要介绍计数问题的重要方法 建立线性递推关系.１.２建立线性递推关系的方法(１)通过求数列ａｎ{}的第１项以及前几项ꎬ去寻找任一项ａｎ与它的前一项ａｎ－１或前几项间的关系式.(２)分析要计算第ｎ项ａｎ的值需要计算哪些项的值ꎬ从而得到ａｎ与它的前几项间的关系.建立递推关系进而解递推关系是解决组合计数问题的一种常用而重要的方法.２应用例１㊀(强基计划模拟题)空间有ｎ个平面ꎬ最多能把空间分割成个部分[２].解析㊀为了将空间分割成最多的部分ꎬｎ个平面中的任意两个平面都不应平行ꎬ任意三个平面都不应共线ꎬ其所得交线中任意两条交线都不应平行.现设ｎ个平面最多能把空间分割成ａｎ个部分ꎬ易知ａ１＝２ꎬａ２＝２＋２＝４.增添第三个平面时ꎬ和原来两个平面有两条交线ꎬ两条交线把第三个平面分１３成４个部分ꎬ所以使空间增多４个部分ꎬ即ａ３＝ａ２＋４＝８.增添第四个平面时ꎬ和原来三个平面有三条交线ꎬ三条交线把第四个平面分成７个部分ꎬ所以空间增多７个部分ꎬ即ａ４＝ａ３＋７＝１５ꎬ按此规律可得到ａ５＝ａ４＋１１＝２６ꎬ并发现ａ１＝２ꎬａ２＝ａ１＋２＝ａ１＋(１＋１)ꎬａ３＝ａ２＋４＝ａ２＋(１＋２＋１)ꎬａ４＝ａ３＋７＝ａ３＋(１＋２＋３＋１)ꎬａ５＝ａ４＋１１＝ａ４＋(１＋２＋３＋４＋１)ꎬａｎ＝ａｎ－１＋[(１＋２＋３＋ ＋ｎ－１)＋１].即ａｎ＝ａｎ－１＋ｎ(ｎ－１)２＋１.所以得到下列递推公式ａ１＝２ꎬａｎ＝ａｎ－１＋ｎ(ｎ－１)２＋１.ìîíïïï解此递推公式(用累加法)得ａｎ＝ｎ３＋５ｎ＋６６.评价㊀本题是通过建立数列的递推关系来求解ꎬ对于较为复杂的计数问题ꎬ这个方法值得借鉴.例２㊀(高考模拟题)如图１所示ꎬ有标号为１ꎬ２ꎬ３的三根柱子ꎬ在１号柱子上套有ｎ个金属圆片ꎬ从下到上圆片依次减小.按下列规则ꎬ把金属圆片从１号柱子全部移到３号柱子ꎬ要求:①每次只能移动一个金属圆片ꎻ②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面[３].(１)若ｎ＝３ꎬ则至少需要移动次ꎻ(２)将ｎ个金属圆片从１号柱子全部移到３号柱子ꎬ至少需要移动次.图１㊀金属圆片解析㊀(１)当ｎ＝１时ꎬ只需要把金属圆片从１号柱子移到３号柱子ꎬ用符号(１３)表示ꎬ共移动了１次.当ｎ＝２时ꎬ移动的顺序为:(１２)(１３)(２３)ꎬ共移动３次.当ｎ＝３时ꎬ把上面的两个金属圆片作为一个整体ꎬ则归结为ｎ＝２的情形ꎬ移动的顺序是:(１３)(１２)(３２)ꎻ(１３)ꎻ(２１)(２３)(１３)共移动了７次.(２)记把ｎ个金属圆片从１号柱子移到３号柱子ꎬ最少需要移动ａｎ次ꎬ则由(１)知ａ１＝１ꎬａ２＝３ꎬａ３＝７.当移动ｎ个金属圆片时ꎬ可分别进行下列３个步骤:①将上面(ｎ－１)个金属圆片从１号柱子移到２号柱子ꎻ②将第ｎ个金属圆片从１号柱子移到３号柱子ꎻ③将上面(ｎ－１)个金属圆片从２号柱子移到３号柱子.这样就把移动ｎ个金属圆片的任务ꎬ转为移动两次(ｎ－１)个金属圆片和移动１次第ｎ个金属圆片的任务.而移动(ｎ－１)个金属圆片需要移动两次(ｎ－２)个金属圆片和移动１次第(ｎ－１)个金属圆片ꎻ移动(ｎ－２)个金属圆片需要移动两次(ｎ－３)个金属圆片和移动１次第(ｎ－２)个金属圆片 如此继续ꎬ直到转化为移动１个金属圆片的情形.根据这个过程ꎬ可得递推公式:ａ１＝１ꎬａｎ＝２ａｎ－１＋１(ｎȡ２ꎬｎɪＮ∗)ꎬ{从而当ｎȡ２时ꎬ有ａｎ＋１＝２(ａｎ－１＋１).所以{ａｎ＋１}是以２为公比ꎬ２为首项的等比数列.所以ａｎ＋１＝２ｎꎬ即ａｎ＝２ｎ－１.例３㊀(强基计划模拟题)将一个２０２１边形的每个顶点染为红㊁蓝㊁绿三种颜色之一ꎬ使得相邻顶点的颜色互不相同.问:有多少种满足条件的染色２３方法?㊀解析㊀记将一个ｎ边形的每个顶点染为红㊁蓝㊁绿三种颜色之一ꎬ使得相邻顶点的颜色互不相同的方法数为Ｔｎ.易知ꎬＴ３＝６ꎬＴ４＝１８.对于任意一个ｎ(ｎȡ５)ꎬ记Ａ１ꎬＡ２ꎬ ꎬＡｎ顺次为这个ｎ边形的顶点ꎬ则对它按题设要求染色ꎬ有两种情况:①Ａ１ꎬＡｎ－１异色ꎬ共有Ｔｎ－１种ꎻ②Ａ１ꎬＡｎ－１同色ꎬ共有２Ｔｎ－２种.因此Ｔｎ＝Ｔｎ－１＋２Ｔｎ－２(ｎȡ５).该递推公式的特征方程为ｘ２＝ｘ＋２ꎬ解得ｘ１＝－１ꎬｘ２＝２.所以Ｔｎ＝ｃ１(－１)ｎ＋ｃ２ ２ｎ.又因为Ｔ３＝６ꎬＴ４＝１８ꎬ解得ｃ１＝２ꎬｃ２＝１.因此Ｔｎ＝２(－１)ｎ＋２ｎꎬ所以Ｔ２０２１＝２２０２１－２.例４㊀(１９９５年全国高中数学联赛)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色ꎬ并使同一条棱的两个端点异色.如果只有５种颜色可供使用ꎬ那么不同的染色方法总数是多少?解析㊀由题设ꎬ四棱锥Ｓ－ＡＢＣＤ的顶点ＳꎬＡꎬＢ所染颜色互不相同ꎬ则共有Ａ３５＝６０种染色方法.当ＳꎬＡꎬＢ已染好时ꎬ不妨设其颜色分别为１ꎬ２ꎬ３.下面分Ｃ与Ａ同色与异色两种情况讨论:若Ｃ染颜色２ꎬ则Ｄ可染颜色３ꎬ４ꎬ５之一ꎬ有３种染法ꎻ若Ｃ染颜色４ꎬ则Ｄ可染颜色３或５ꎬ有２种染法ꎻ若Ｃ染颜色５ꎬ则Ｄ可染颜色３或４ꎬ有２种染法.可见ꎬ当ＳꎬＡꎬＢ已染好时ꎬＣ与Ｄ还有７种染法.从而总的染色方法数为６０ˑ７＝４２０.评析㊀我们可把四棱锥推广为ｎ棱锥ꎬ颜色数推广为ｍ种(ｎȡ３ꎬｍȡ４).事实上ꎬ顶点Ｓ可用ｍ种颜色中的任一种ꎬ并且Ｓ上的颜色不能再出现在多边形Ａ１Ａ２ Ａｎ的顶点上.问题转化为用ｍ－１种颜色给多边形Ａ１Ａ２ Ａｎ的顶点染色ꎬ相邻的顶点不同色.设有ａｎ种染法ꎬ则ａ３＝(ｍ－１)(ｍ－２)(ｍ－３).对ｎ>３ꎬ考虑ａｎ的递推公式.若从顶点Ａ１开始ꎬ则Ａ１有ｍ－１种染法ꎬ继而Ａ２ꎬＡ３ꎬ ꎬＡｎ－１均有ｍ－２种染法.最后到Ａｎꎬ如果只要求Ａｎ与Ａｎ－１不同色ꎬ则仍有ｍ－２种染法ꎬ于是总共有(ｍ－１) (ｍ－２)ｎ－１种染法.在这个计算过程中可以分为两类:一类是Ａｎ与Ａ１不同色ꎬ这符合要求ꎬ正是染法数ａｎꎻ另一类是Ａｎ与Ａ１同色ꎬ这不符合要求ꎬ但可将Ａｎ与Ａ１合并成一点ꎬ得出染法数ａｎ－１.于是ａｎ＋ａｎ－１＝(ｍ－１)(ｍ－２)ｎ－１ꎬａ３＝(ｍ－１)(ｍ－２)(ｍ－３)ꎬ{变形ꎬ得ａｎ－(ｍ－２)ｎ＝－[ａｎ－１－(ｍ－２)ｎ－１]＝(－１)２[ａｎ－２－(ｍ－２)ｎ－２]＝ ＝(－１)ｎ－２(ｍ－２)＝(－１)ｎ(ｍ－２)ꎬ即ａｎ＝(ｍ－２)ｎ＋(－１)ｎ(ｍ－２).从而ｎ棱锥的染法总数为Ｎ＝(ｍ－２)ｎ＋(－１)ｎ(ｍ－２).许多组合计数问题都归结为求某个数列的通项公式ꎬ而直接去求数列的通项公式往往比较困难ꎬ此时我们可以考虑先求关于该数列的递推关系ꎬ然后去解这个递推关系.如果能顺利完成这两个步骤ꎬ则问题就得到了解决.参考文献:[１]曹汝成.组合数学[Ｍ].广州:华南理工大学出版社ꎬ２０００.[２]李鸿昌.高考题的高数探源与初等解法[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[３]李鸿昌ꎬ杨春波ꎬ程汉波.高中数学一点一题型(新高考版)[Ｍ].合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０２２.[责任编辑:李㊀璟]３３。
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
2 3
n
）
圯 由a1=1，a2=
5 3
得
圯圯 a1=α+β·
2 3
=1
：圯 圯圯 a2=α+β·（
2 3
2
）=
5 3
圯
αβ==3-3，
∴an=3-3（
2 3
n
）。
知识链接： 形式幂级数又称作母函数。 其一般的形式如
∞
∞
∑ ∑ n
∞
n
下：G（x）= anx ，我们给定数列{an}n=0，它所造出的G（x）= anx
参考文献汪晓梦极限思想的形成发展及其哲学意义中共合肥市委党校学报陈纪修于崇华金路数学分析北京高等教育出版社同济大学数学系高等数学第六版北京高等教育出版社本文得到江西省高等教育教学改革课题项目编号一资助
○ 数学教学与研究 2009年第33期（上卷）
周刊
二阶常系数线性齐次递归数列通项的求解
尤田
（泗阳致远中学，江苏 泗阳 223700）
n=0
n=0
则称为数列的母函数。 关于母函数的运算我们要先记住：
（1）
1
23
=1+x+x +x +…
1-x
（2）
1
2
=1+2x+3x +…
2
（1-x）
（3）
1
=1+nx+
n（n+1）
2
x+
n（n+1）（n+2）
3
x +…
n
（1-x）
2！
3！
r
（4）（1+x） =1+rx+
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an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.0,a1=1, 2=2, 3=3 a a a n =-2a n-2 a n-4
解 递推推关系an＝－2an-2－an-4 (＊) (＊)的特征方程为x4＋2x2＋1＝0 (＊)的特征根x1＝x2＝i , x3＝x4＝－i (＊)的通解
1- 3i i x2 2 e 3
(＊)的通解
n n a n= A1cos 3 + A2 sin 3
3.2.4 特征根互不同
把a1＝1, a2＝0代入通解得
A1 cos 3 A 2 sin 3 1 A cos 2 A sin 2 0 2 1 3 3
3.2.3 递推(3.2.1)的解
定理3.2.1 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) x＝q(非零复数)
an＝qn
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.2.3 递推(3.2.1)的解
定理3.2.2 h1(n),h2(n),…,hk(n)解
3.2.2 递推(3.2.1)的特征方程
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 代入an＝xn (x≠0)得 xn＝c1xn-1＋c2xn-2＋…＋ckxn-k
xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2)
递推关系(3.2.1)的特征方程 递推关系(3.2.1)的特征根
n n
3.2.4 特征根互不同
xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) 共轭复根x1＝peiө，x2＝pe-iө x1n＝pneinө，x2n＝pne-inө
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
1 2
x1n＋ 2
1
n＝pncosnө， 1 x2 2
x1n－ 2 x2n＝pnsinnө
1
3.2.4 特征根互不同
定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2)
有k个不同复根x1＝peiө,x2＝pe-iө,x3 …,xk
an＝A1pncosnө ＋A2pnsinnө ＋A3x3n ＋…＋Akxkn通解
3.2.4 特征根互不同
把f0＝0, f1＝1代入通解
A1 A2 0 1 5 1 5 A1 2 A2 1 2
5 A1 5 5 A2 5
因此所求递归的解
5 1 5 5 1 5 fn 5 5 2 2
3.2常系数线性齐次递推关系
3.2.1 递推关系(3.2.1)
3.2.2 递推(3.2.1)的特征方程 3.2.3 递推(3.2.1)的解
3.2.4 特征根互不同
3.3.5 特征根有重根
3.2.1 递推关系(3.2.1)
常系数k阶线性齐次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 其中c1,c2,…,ck是实数常数， ck≠0
A1 1 3 A2 3
因此所求递归的解为
n 3 n a n cos 3 3 sin 3
3.3.5 特征根有重根
定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) q(q≠0)是m(m≥2)重根
an＝ntqn(t＝0,1,2,…,m－1)是解
A1 0 1 A2 A3 3 A 4 2
因此所求递归的解为
n n n a n n cos 2 3sin 2 2n sin 2
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.2.4 特征根互不同
f 0=0, 1=1 f 例3.2.1 解递归 f n =f n-1+f n-2
解 递推推关系fn＝fn-1＋fn-2 (＊) (＊)的特征方程 x2－x－1＝0
1+ 5 1- 5 (＊)的特征根 x1＝ , x2＝ 2 2 n n 1 5 1 5 (＊)的通解 f n= A1 + A 2 2 2
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1) 线性组合A1h1(n)＋A2h2(n)＋…＋Akhk(n)解
3.2.4 特征根互不同
定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) 有k个不同复根x1,x2,…,xk
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋Akxkn是通解
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.2.4 特征根互不同
例3.2.2 解递归 a 1=1, 2=0 a
a n =a n-1 a n-2
解 递推推关系an＝an-1－an-2 (＊)
(＊)的特征方程为x2－x＋1＝0
1+ 3i i (＊)的特征根x1 2 e 3 ,
n n n n a n= A1cos 2 + A2ncos 2 A3 sin 2 + A4n sin 2
3.3.5 特征根有重根
把a1＝0, a2＝1,a3＝2, a4＝3代入通解得
A1 0 A3 A 4 1 A1 2 A 2 2 A3 3 A 4 3
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.2.1)
3.3.5 特征根有重根
定理3.2.3 xk－c1xk-1－c2xk-2－…－ck-1x－ck＝0 (3.2.2) 不同根x1,x2,…,xt-1,xt(xt为m重根)
an＝A1x1n＋A2x2n＋…＋At-1xt-1n
＋Atn0xtn＋At+1n1xtn＋ …＋Aknm-1xtn通解