线性常系数非齐次递推关系
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线性常系数递推关系
A B(n 1) r n xn , n0
C Dn r n xn, n0
因此通项表达式为： an C Dn r n ,
其中常数C, D可以利用初始条件来确定。
例如，若已知a0, a1，则 a0 C, a1 (C D)r D a1 r a0.
例1 求解递推关系：
an an-1 12an-2 0, a0 3, a1 26.
类似的，令母函数为G(x)=a0+a1x+a2x2+…，则
xk (ak C1ak1 C2ak2 L Cka0 ) 0 xk1 (ak1 C1ak C2ak1 L Cka1 ) 0
LL
__________ __________ ________ xn(an C1an1 C2an2 L Ckank) 0
L (an ban-1 can-2) xn ...
a0 (a1 ba0)x.
因此有
G(x)
a0 (a1 1 bx
ba0 ) cx 2
x
.
与分母相对应的方程 x2+bx+c=0 称为特征方程，它
的根
b b2 4c
r 1,2
2
称为特征根。
这样G(x)可以表示为：
G(x)
a0 (a1
1 1x 1 2x
1 k x
A1 (1 x)n A2 (2 x)n L Ak (k x)n
n0
n0
n0
( A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
)
x
n
,
n0
因此通项表达式为：
an
A11n
A2
n 2
L
Ak
n k
线性常系数齐次递推
i
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
组合数学讲义3章递推关系
组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。
（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。
（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。
（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。
浅谈常系数非齐次线性方程特解的设解规律与教学
乘以 x ,得 y 3 = ( ax + b) x2e- 3 x x ,这就是所要设的特解。将 y 3 = ( ax + b) x2e- 3 x x ,代入原方程解得 a
=
1 6
,b
=
0 ,从而
y3
=
1 6
x3e- 3 x 。
41 求 f ( x ) 正 、余弦的线性函数时 ,特解设为同类正 、余弦的线性函数 。
例 1 求微分方程 y (4) - 3 y″+ 2 y′= 2 x 的一个特解 。
解 对应的齐次方程的通解为 Y = C1 + ( C2 + C3 x ) e x + C4e - 2 x 。这里 f ( x ) 为一次函数 2 x , 故设特解为一次函数 ax + b 。显然 , b 与 C1 可以合并 ,将所设通解乘以 x 得 y 3 = x ( ax + b) ,已不
我们将分情况举例详细说明按上述规律设解的过程 。由于这种设解无须用到方程本身以外的信息 ,
非常直观明了 ,因此实际解题时 ,经与对应的齐次方程的通解比较 , 按以上规律直接写出最终所设
特解即可 。
一 、f ( x ) 为简单函数的情形
11 当 f ( x ) 为 n 次多项式时 ,特解设为 n 次多项式 。
例 8 求微分方程 y″- 6 y′+ 5 y = 4e x + 125 x 2 的一个特解 。 解 对应的齐次方程的通解为 Y = C1 ex + C2 e5 x . 这里 f ( x ) 是指数函数与二次函数之和 ,故 设特解为指数函数与二次函数之和 ae x + bx 2 + cx + d . 显然其中指数函数部分含于 Y ,将其乘以 x 得 y 3 = axe x + bx 2 + cx + d 。代入原方程得 a ( x + 2) e x + 2 b - 6[ a ( x + 1) e x + 2 bx + c] + 5[ axe x + bx2 + cx + d ] = 4e x + 25 x2 , 于是求得 a = - 1 , b = 25 , c = 60 , d = 62. 所以 y 3 = - xe x + 25 x2 + 60 x + 62。
15_总复习 (1)
r个相同的球 0…010…01…10…0 \ /
————\/———— ——————— /\ ————————\ ／
k-1个相同的盒壁
则所求计数为C(k+r-1,r). 隔板法
多项式系数
8
(2) 二项式系数和
(x+y)n展开式的系数和是:
展开的过程相当于两个不同的元素取n个的
有重复的排列。
也相当于把n个不同的球放进两个不同的盒 子中。 这种情况对应着指数型母函数是？
(n r , cr 0, f (n) 0)
它的通解是齐次通解与特解之和，即 * un un un
是递推关系(1)所对应的齐次递推关系 其中un un c1 un1 ... cr unr 0
* 的通解, un 是(1)的特解.
故问题的关键是求特解. 如何求特解,一般来说,没 有普遍的解法.在某些简单的情形可用待定系数法求之.
例5. 求递推关系 an 5an-1 6an-2 3n 的特解.
2
解：先假设特解为 an p1n2 p2 n p3 ,
其中p1 , p2 , p3待定. 将an 代入递推关系化简得：
12 p1n2 (-34 p1 12 p2 )n (29 p1 -17 p2 12 p3 ) 3n2
15:07 3 / 29
1.27. 6 位男宾， 5 位女宾围一圆桌而坐， (a) 女宾不相邻有多少种方案？(b) 所 有女宾在一起有多少种方案？(c) 一女宾 A 和两位男宾相邻又有多少种方案？ 解： (a) 先将 6 位男宾作圆排列有 Q6 5! 120，
6
再将 5 位女宾插入 6 个空格，每格一人，共有 6×5×4×3×2×1＝720， 按乘法原理：有 120×720＝86400. (b) 5 位女宾在一起， 可看作一人， 与 6 位男宾一起， 先做圆排列， 有 Q7 =6!=720， 然后 5 位女宾内部作线排列，有 5!＝120. 所以，总方案为：720×120＝86400. (c)先将 6 个男宾做圆排列，共有 Q6 =120 种方法。再将女宾 A 随便插入 6 个 空格中的一个，有 6 种方法。然后将剩下的 4 个女宾插入 5 个空格中，但每个空格 不限人数， 故相当于将 4 个有区别的球放入 5 个不同的盒子中的放球方案(可重组合)， 共有
————\/———— ——————— /\ ————————\ ／
k-1个相同的盒壁
则所求计数为C(k+r-1,r). 隔板法
多项式系数
8
(2) 二项式系数和
(x+y)n展开式的系数和是:
展开的过程相当于两个不同的元素取n个的
有重复的排列。
也相当于把n个不同的球放进两个不同的盒 子中。 这种情况对应着指数型母函数是？
(n r , cr 0, f (n) 0)
它的通解是齐次通解与特解之和，即 * un un un
是递推关系(1)所对应的齐次递推关系 其中un un c1 un1 ... cr unr 0
* 的通解, un 是(1)的特解.
故问题的关键是求特解. 如何求特解,一般来说,没 有普遍的解法.在某些简单的情形可用待定系数法求之.
例5. 求递推关系 an 5an-1 6an-2 3n 的特解.
2
解：先假设特解为 an p1n2 p2 n p3 ,
其中p1 , p2 , p3待定. 将an 代入递推关系化简得：
12 p1n2 (-34 p1 12 p2 )n (29 p1 -17 p2 12 p3 ) 3n2
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1.27. 6 位男宾， 5 位女宾围一圆桌而坐， (a) 女宾不相邻有多少种方案？(b) 所 有女宾在一起有多少种方案？(c) 一女宾 A 和两位男宾相邻又有多少种方案？ 解： (a) 先将 6 位男宾作圆排列有 Q6 5! 120，
6
再将 5 位女宾插入 6 个空格，每格一人，共有 6×5×4×3×2×1＝720， 按乘法原理：有 120×720＝86400. (b) 5 位女宾在一起， 可看作一人， 与 6 位男宾一起， 先做圆排列， 有 Q7 =6!=720， 然后 5 位女宾内部作线排列，有 5!＝120. 所以，总方案为：720×120＝86400. (c)先将 6 个男宾做圆排列，共有 Q6 =120 种方法。再将女宾 A 随便插入 6 个 空格中的一个，有 6 种方法。然后将剩下的 4 个女宾插入 5 个空格中，但每个空格 不限人数， 故相当于将 4 个有区别的球放入 5 个不同的盒子中的放球方案(可重组合)， 共有
用升阶法求常系数非齐次线性递推关系的特解
用升阶法求常系数非齐次线性递推关系的特解黄纯洁【摘要】This article makes use of the sequence difference, and transforms the invariable coefficient number of times different linear recursion sequence to the coefficient inhomogeneous linear difference equation （ qo （qo△k＋i＋q1△k＋i-1…＋qk△i）an=△if（n）, The fourf（n）=gm （n）,f（n）=qngm（n）,f（n）=qngm（n）cosβn,f（n）=qkgm（n）sinβn） are discussed under constant coefficient inho-mogeneous linear difference equation, thus obtains the special solutions of coefficient inhomogeneous linear recursion sequence, which is called the method of increasing order.%利用数列的差分算子和移位算子，将常系数非齐次线性递推关系转化成为常系数非齐次线性差分方程（qo△k＋i＋q1△k＋i-1…＋qk△i）an=△if （n），并将f（n）=gm（n），f（n）=qngm（n），f（n）=qngm（n）cosβn，f（n）=qkgm（n）sinβn）这四种类型的常系数非齐次递推关系转化为相应的差分方程，从而得到求常系数非齐次线性递推关系特解的简易方法——升阶法。
【期刊名称】《广东石油化工学院学报》【年(卷),期】2011(021)006【总页数】4页(P67-69,74)【关键词】差分方程;差分算子;移位算子;特解【作者】黄纯洁【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言设k阶常系数非齐次线性递推关系形式为p0an+k+p1an+k-1+…+pkan=f(n)(p0,pk≠0),(1)。
3.3常系数线性非齐次递推关系
an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)＋F2(n)
3.3.2 举例
a n 3a n 1 3 2 n 4n 例3.3.3 解递归 a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1 (☆)
(☆)的特征方程x－3＝0 (☆)的特征根 x＝3
根，所以得(＊)的一个特解形如
an＝n1(p1n＋p0)1n(p1,p0为待定系数) 代入a1＝1，a2＝3得
p1 p 0 1 2(2 p1 p 0) 3
1 p0 2 p 1 1 2
3.3.2 举例
故得(＊)的一个特解
1( 1 an＝n 2
3.3.2 举例
例3.3.1 解递归 a n a n 1 n
a 1 1
()
解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1 (☆) (☆)的特征方程x－1＝0 (☆)的特征根 x＝1
(☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数)
3.3.2 举例
(2)由于F(n)＝n＝n×1n且s＝1是(☆)的1重
3.3.2 举例
(3) (＊)的通解
an＝a×3n－6×2n＋2n＋3(a为任意常数) (4)代入a1＝8得a＝5。故求得递归的解 an＝5×3n－6×2n＋2n＋3
作 业
1)1条直线将平面划分为2个部分，2条直线将 平面最多划分为4个部分， …，则n条直线 将平面最多划分为几个部分? 2)小兔子慧慧有12棵萝卜，它每天至少要吃1 棵，则当萝卜吃完之后，不同的吃萝卜的 情形有多少种？ 3)有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点， 小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确 定的不同直线最少有多少条？
4.2_求解线性递推关系
a2 = ������������,������ +2������������,������ +4������������,������ =-1,∴ ������������,������ =3, ������������,������ = −������
4.所得������������,������ ������������,������ ������������,������ 值代入第2步，得an =(1+3n-2n2)(-1)n
������
练习P190 2 c)d)e)f)g)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
特征根相等的情况：
定理2 c1 和c2 是实数, c2 ≠0。 r2 – c1r – c2 = 0 只有一个根：������������ 当 ������������
0
������������n
0
(n = 0,1,2,… ，������������ 和 ������������ 是常数)
练习P190 2 a)b)
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
下面推广：求大于2阶的线性齐次递推关系的解。 它的特征根也有两种情况：不相等，有重根。
特征根不相等的情况：
定理3
c1, c2 ,…, ck是实数。 rk – c1rk−1 –⋯ – ck = 0有k个不等的根： r1, r2, …, rk。
当
n
(n = 0,1,2,… ，α1, α2,…, αk是常数)时，序列 {an} 是递推 关系an = c1an−1 + c2an−2 + ….. + ck an−k的解。
4.2.2 求解常系数线性齐次递推关系
例. 求递推关系an = 6an−1 -11an−2 + 6an−3的解，其中初 始值a0 = 2 , a1 = 5，a2 = 15 。 解：1.求其特征方程： an =rn代入，得rn –6rn-1+11rn-2 – 6rn-3 =0，除以rn-3得 r3 −6r2 +11r −6= 0.该方程的根为r=3 ,r=2和r=1 n 2.根据定理3公式 an = ������ 1 ������������ +������ 2������������ + ������ 3������������ 3.由已知的初始值 a0 = 2 , a1 = 5, a2 = 15代入上式得 a0 =������ 1 +������ 2 +������ 3 = 2 ,a1 =������ 1 +������������ 2 +3������ 3 =5, a2 =������ 1 +������������ 2 +9������ 3 =15,∴������ 1 =1，������2=-1, ������ 3 =2 4.所得������ 1 、������ 2 、������ 3值代入第2步，得an =1-2n + 2∙3n.
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n
an l1 3n l2 (2)n
an an 1 6an 2 3n an 1 an 2 6an 3 3n 1
an 4an1 3an 2 18an3 0
3an1 3an 2 18an3 3n
2 3 2 ( x 2 )( x 3 ) x 4 x 3 x 18 0 特征方程为
A
n 1
2 A
n2
1 n1 5
1 3 b0 0代入得B D 0 b1 1代入得1 ( ) B( ) 5 1
A 2 5
1 1 2 B C D 5 5 5 5 5 1 1 n 1 1 bn ( 2 n ) ( 2 n ) n 5 5 5 5 5 5 1
an-2
( An B ) n (Cn D ) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D ) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D ) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5
bn
14
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位的2进制数中，从左向右扫描，最 后三位才第一次出现010图象的数的个数。 即求对n位2进制数 b1b2 bn 从左而右扫 描，第一次在最后三位出现010图象的数的 个数。自然，最后三位除外任取连续三个都 不会是010的。 设 an表示满足条件的n位数个数，和前例 n 3 类似，最后三位010的n位2进制数共 2 个.
67 n 76 40 n n an - 3 (-2) 4 5 15 3
8
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 例：an an1 6an 2 3 , a0 5, a1 2. 2 齐次递推关系特解 x x 6 0 x 3, x 2 n 非齐次递推关系的特解 c 3 .
3 2
§2.8
2a n1 2a n3 2 n3
a n 2a n1 a n 2 2a n3 0
特征方程为
x 2x x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x 2 , 3 e
i 2
.
4
x1 2, x 2 , 3 e
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, n， 和1， 2， n， • 若 1， 2， 是非齐次递推关 系的解，则序列 a1 1 1，a2 2 2 , 是齐
次递推关系的解； • 则要求的非齐次递推关系的解等于齐次递推关系的 解和一个非齐次递推关系的特解的叠加
i 2
.
设
an A cos( n ) B sin( n ) C 2 n , 2 2 1 A 2 , 解方程组 A C , 5 2 1 B 2C 0, B , A 4C 0. 5 1 C . 10 2 1 1 n an cos( n ) sin( n ) 2 , n 3.5 5 2 5 2 10
r n [k 0 n m k1n m 1 ...... k p n m p ]
• 则特解的形式有
• k0,k1…kp为待定系数，由非齐次递推关系确定 • 2) 若r不是C(x)=0的根，则令m=0；
a n 3a n1 10a n 2 2 n (5 n)
x 2 3 x 10 0
0 a0 0，1 a1 1， 线性常系数非齐次递推关系
n a a 6 a 5 4 , a0 5, a1 3. n2 • 例： n n1 非齐次递推关系的特解 c 4 n. 代入原递推关系式 c 4 n c 4 n1 6c 4 n2 5 4 n
an ( An B)3n C(2)n
非齐次递推关系的特解 kn 3n 代入原递推关系式 kn 3n k (n 1)3n1 6k (n 2)3n2 3n
5 n l1 3 l2 ( 2) n 3n 3
n n
k
3 5
9
特解的形式
特解的形式是 an的形式是
（x 5 ） ( x 2) 0
2 n [k 0 n1 k1n 2 ] A2 n B( 5) n 2 n [k 0 n1 k1n 2 ]
2是特征根，m=1
10
母函数和递推关系
• • • • • 例题：铺砖题 方砖1*1，长砖1*2，给1*n的路铺路面，求 1）方案数 2）总砖数（所有方案的总砖数） 设方案数为an,以最后一块砖分类
C ( x) x k 的初始条件， 特征多项式. C1 x k 1 Ck 1 x Ck称为
an 的
an C1an1 C2an2 Ck ank bn ,
非齐次线性常系数递推关系
h(n) 2h(n 1) 1 2-3x+2 C ( x ) = x h(n 1) 2h(n 2) 1 和2 相减得到 h(n) 3h(n 1) 2h(n 2) 0 C(x)=0的解为11
n
特解是 ( An ) (Cn )
n n n n n n
n
bn的形式是 ( An ) (Cn ) B D
b0 0，b1 1 ，b2 3，b3 7，b4 15，b5 30
代入联立方程组太复杂
( An B ) (Cn D )
。 bn-2 。 。
00101001010 而不是4-6，7-9位出现的010图象，即不是 00101001010
2
§2.8 母函数和递推关系应用举例 为了找出关于数列an的递推关系，需对满 足条件的数的结构进行分析。由于n位中除了 最后三位是010已确定，其余n-3位可取0或1：
0
1
0
故最后3位是010的n位2进制数的个数是2n-3 • 最后3位出现010图象:***…010 • 在n-4位到第n-2位出现010图象，而在最后3 位并不出现010图象:***…01010
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 分析例题结果
an an2 2
n 3
x3 2 x2 x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x2 , 3 e
n
• 假定讨论的非齐次递推关系为
i 2
.
• 对应的齐次递推关系为
an C1an1 C 2an2 C k ank bn s ,
n2
c ( 4 2 4 6) 5 4 2 40 40 n 4. 6c 80, c 3 3
满足齐次递推关系的解： n n1 6 n2 0, 特征方程： x 2 x 6 0 x 3, x 2
7
an an1 6an2 5 4n , a0 5, a1 3.
2.9 线性常系数非齐次递推关系 定义 如果序列 an 满足
an C1an1 C2 an2 Ck ank 0,
a0 d 0 , a1 d1 ,, ak 1 d k 1 ,
2 5 2
2 5 1
C1 , C2 ,Ck及 d 0 , d1 , d k 1 Ck 0，则 2 5 1 是常数， 2 5 2 称为an 称为an 的k阶齐次常系数线性递推关系，
a n Fn1
1 ( n1 n1 ) 5
。 bn-1 。 。
• 2）总砖数 • 设总砖数为bn,以最后一块砖分类
bn bn1 a n1 bn 2 a n 2 bn1 bn 2 a n
an-1
bn bn1 bn 2 an
α,β是特征根，m=1
12
2 1 5 2 1 5 , 1 5 2 1 5 2
n n1 n2 , n n1 n2
( An B) n (Cn D) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5 1 An n A(n 1) n1 A(n 2) n2 n1 5 1 An n An n1 A n1 An n2 2 A n2 n1 0 5
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位2进制数中，从左到右逐步划去010 ，最后三位出现010图象的数的个数。 对于n位2进制数 b1b2 bn 从左而右进行扫描 ，一出现010图象，便从这图象后面一位从头 开始扫描，例如对11位2进制数00101001010 从左而右的扫描结果应该是2-4，7-9位出现 010图象，即
• 假定讨论的非齐次递推关系为
a n C1a n1 C 2 a n 2 C k a n k r n b( n)
• 1) 其中b(n)是n的p次多项式，r是特征方程的m重根
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
a n a n1 a n 2
a0 1 ，a1 1 ，a 2 2，a3 3，a 4 5，a5 8，
a n Fn 1 1 ( n 1 n 1 ) 5
an-1 an-2
1 5 1 5 , 2 2
11
a n a n1 a n 2
40 0 k1 k 2 3 4 5 160 3k1 2k 2 3 3
x x 6 0 x 3, x 2 n k1 3n k 2 (-2)n 40 n n n an k1 3 k 2 (-2) 4 3
an l1 3n l2 (2)n
an an 1 6an 2 3n an 1 an 2 6an 3 3n 1
an 4an1 3an 2 18an3 0
3an1 3an 2 18an3 3n
2 3 2 ( x 2 )( x 3 ) x 4 x 3 x 18 0 特征方程为
A
n 1
2 A
n2
1 n1 5
1 3 b0 0代入得B D 0 b1 1代入得1 ( ) B( ) 5 1
A 2 5
1 1 2 B C D 5 5 5 5 5 1 1 n 1 1 bn ( 2 n ) ( 2 n ) n 5 5 5 5 5 5 1
an-2
( An B ) n (Cn D ) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D ) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D ) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5
bn
14
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位的2进制数中，从左向右扫描，最 后三位才第一次出现010图象的数的个数。 即求对n位2进制数 b1b2 bn 从左而右扫 描，第一次在最后三位出现010图象的数的 个数。自然，最后三位除外任取连续三个都 不会是010的。 设 an表示满足条件的n位数个数，和前例 n 3 类似，最后三位010的n位2进制数共 2 个.
67 n 76 40 n n an - 3 (-2) 4 5 15 3
8
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 例：an an1 6an 2 3 , a0 5, a1 2. 2 齐次递推关系特解 x x 6 0 x 3, x 2 n 非齐次递推关系的特解 c 3 .
3 2
§2.8
2a n1 2a n3 2 n3
a n 2a n1 a n 2 2a n3 0
特征方程为
x 2x x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x 2 , 3 e
i 2
.
4
x1 2, x 2 , 3 e
an C1an1 C2an2 Ck ank 0, n， 和1， 2， n， • 若 1， 2， 是非齐次递推关 系的解，则序列 a1 1 1，a2 2 2 , 是齐
次递推关系的解； • 则要求的非齐次递推关系的解等于齐次递推关系的 解和一个非齐次递推关系的特解的叠加
i 2
.
设
an A cos( n ) B sin( n ) C 2 n , 2 2 1 A 2 , 解方程组 A C , 5 2 1 B 2C 0, B , A 4C 0. 5 1 C . 10 2 1 1 n an cos( n ) sin( n ) 2 , n 3.5 5 2 5 2 10
r n [k 0 n m k1n m 1 ...... k p n m p ]
• 则特解的形式有
• k0,k1…kp为待定系数，由非齐次递推关系确定 • 2) 若r不是C(x)=0的根，则令m=0；
a n 3a n1 10a n 2 2 n (5 n)
x 2 3 x 10 0
0 a0 0，1 a1 1， 线性常系数非齐次递推关系
n a a 6 a 5 4 , a0 5, a1 3. n2 • 例： n n1 非齐次递推关系的特解 c 4 n. 代入原递推关系式 c 4 n c 4 n1 6c 4 n2 5 4 n
an ( An B)3n C(2)n
非齐次递推关系的特解 kn 3n 代入原递推关系式 kn 3n k (n 1)3n1 6k (n 2)3n2 3n
5 n l1 3 l2 ( 2) n 3n 3
n n
k
3 5
9
特解的形式
特解的形式是 an的形式是
（x 5 ） ( x 2) 0
2 n [k 0 n1 k1n 2 ] A2 n B( 5) n 2 n [k 0 n1 k1n 2 ]
2是特征根，m=1
10
母函数和递推关系
• • • • • 例题：铺砖题 方砖1*1，长砖1*2，给1*n的路铺路面，求 1）方案数 2）总砖数（所有方案的总砖数） 设方案数为an,以最后一块砖分类
C ( x) x k 的初始条件， 特征多项式. C1 x k 1 Ck 1 x Ck称为
an 的
an C1an1 C2an2 Ck ank bn ,
非齐次线性常系数递推关系
h(n) 2h(n 1) 1 2-3x+2 C ( x ) = x h(n 1) 2h(n 2) 1 和2 相减得到 h(n) 3h(n 1) 2h(n 2) 0 C(x)=0的解为11
n
特解是 ( An ) (Cn )
n n n n n n
n
bn的形式是 ( An ) (Cn ) B D
b0 0，b1 1 ，b2 3，b3 7，b4 15，b5 30
代入联立方程组太复杂
( An B ) (Cn D )
。 bn-2 。 。
00101001010 而不是4-6，7-9位出现的010图象，即不是 00101001010
2
§2.8 母函数和递推关系应用举例 为了找出关于数列an的递推关系，需对满 足条件的数的结构进行分析。由于n位中除了 最后三位是010已确定，其余n-3位可取0或1：
0
1
0
故最后3位是010的n位2进制数的个数是2n-3 • 最后3位出现010图象:***…010 • 在n-4位到第n-2位出现010图象，而在最后3 位并不出现010图象:***…01010
2.9 线性常系数非齐次递推关系
• 分析例题结果
an an2 2
n 3
x3 2 x2 x 2 0
( x 2)( x 2 1) 0. x1 2, x2 , 3 e
n
• 假定讨论的非齐次递推关系为
i 2
.
• 对应的齐次递推关系为
an C1an1 C 2an2 C k ank bn s ,
n2
c ( 4 2 4 6) 5 4 2 40 40 n 4. 6c 80, c 3 3
满足齐次递推关系的解： n n1 6 n2 0, 特征方程： x 2 x 6 0 x 3, x 2
7
an an1 6an2 5 4n , a0 5, a1 3.
2.9 线性常系数非齐次递推关系 定义 如果序列 an 满足
an C1an1 C2 an2 Ck ank 0,
a0 d 0 , a1 d1 ,, ak 1 d k 1 ,
2 5 2
2 5 1
C1 , C2 ,Ck及 d 0 , d1 , d k 1 Ck 0，则 2 5 1 是常数， 2 5 2 称为an 称为an 的k阶齐次常系数线性递推关系，
a n Fn1
1 ( n1 n1 ) 5
。 bn-1 。 。
• 2）总砖数 • 设总砖数为bn,以最后一块砖分类
bn bn1 a n1 bn 2 a n 2 bn1 bn 2 a n
an-1
bn bn1 bn 2 an
α,β是特征根，m=1
12
2 1 5 2 1 5 , 1 5 2 1 5 2
n n1 n2 , n n1 n2
( An B) n (Cn D) n
( A( n 1) B ) n 1 (C ( n 1) D) n 1 ( A( n 2) B ) n 2 (C ( n 2) D) n 2 1 ( n 1 n 1 ) 5 1 An n A(n 1) n1 A(n 2) n2 n1 5 1 An n An n1 A n1 An n2 2 A n2 n1 0 5
2.9 线性常系数非齐次递推关系 例：求n位2进制数中，从左到右逐步划去010 ，最后三位出现010图象的数的个数。 对于n位2进制数 b1b2 bn 从左而右进行扫描 ，一出现010图象，便从这图象后面一位从头 开始扫描，例如对11位2进制数00101001010 从左而右的扫描结果应该是2-4，7-9位出现 010图象，即
• 假定讨论的非齐次递推关系为
a n C1a n1 C 2 a n 2 C k a n k r n b( n)
• 1) 其中b(n)是n的p次多项式，r是特征方程的m重根
a n C1a n 1 C 2 a n 2 C k a n k 0,
a n a n1 a n 2
a0 1 ，a1 1 ，a 2 2，a3 3，a 4 5，a5 8，
a n Fn 1 1 ( n 1 n 1 ) 5
an-1 an-2
1 5 1 5 , 2 2
11
a n a n1 a n 2
40 0 k1 k 2 3 4 5 160 3k1 2k 2 3 3
x x 6 0 x 3, x 2 n k1 3n k 2 (-2)n 40 n n n an k1 3 k 2 (-2) 4 3