第二节 常系数线性齐次递推关系
特征根为:
q1 k 1, q2 1,
所以递推关系的通解为
f (n) A(k 1)n B(1)n .
k (k 1) A(k 1)2 B， 代入初值得方程组： 3 k ( k 1)( k 2) A ( k 1) B．
2 2 C (1 3) C (1 3) 8． 1 2
解方程组得
C1
32 , 2 3
C2
32 , 2 3
2 3
所以递推关系的解为： f (n) 3 2 (1 3)n 3 2 (1 3)n .
2 3
f (n) (k 2) f (n 1) (k 1) f (n 2) (n 4) 例2 求解递推关系 f (2) k (k 1), f (3) k (k 1)(k 2).
' ' h(n) C1' h1 (n) C2 h2 (n) Ck hk (n) , 则称 b1h1 (n) b2h2 (n) bk hk (n)为递推关系(1)的通解, 其
中b1,b2,…,bk为任意常数．
定理4.2.1 若 q1 , q2 , , qk为递推关系(1)的k个互不相等的 特征根, 则 n n f (n) b1q1n b2q2 bk qk 为递推关系(1)的通解, 其中 b1 , b2 ,
qn C1qn1 C2qn2 Ck qnk ,
k k 1 k 2 q C q C q 1 2 由于 q 0 ，所以
Ck ,
即q为递推关系的一个特征根．反之结论也成立．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
因为f (t 1) g (t 2), 所以有
g (t ) 2 g (t -1) 3g (t - 2), g (0) 0, g (1) 3.
它的特征方程为：x2 2x 3 0, 特征根为:
x1 3, x2 1,
t t 所以递推关系的通解为 g (t ) C1 (3) C2 (1) .
n n f ( n ) b q b nq i1 i i2 i 其中 i
biei n ei 1qin (i 1, 2,
, t ).
例1 求解递推关系
f (n) 2 f (n 1) 2 f (n 2) (n 3) f (1) 3, f (2) 8.
b1 b2 bk a0 , b q b q b q a , 1 1 2 2 k k 1 令 , k 1 k 1 k 1 b q b q b q ak 1. 2 2 k k 1 1
因为方程组的系数行列式(Vandermonde行列式)不为零,所
即 Tn C1Tn1 Hale Waihona Puke 2Tn2 CkTnk ,
所以Ah1(n)+Bh2(n)为递推关系的解． 这是解的线性叠加性质,可推广到m个解的情况.
三、递推关系的通解
定义2 设h1(n), h2(n),…, hk(n)为递推关系(1)的k个解,若 ' ' ' 对(1)的任一个解h(n), 都可适当选择常数 C1 , C2 , , Ck 使得
f (n) 2n 2n1 n.
例5 求递推关系
f (n) f (n 1) 3 f (n 2) 5 f (n 3) 2 f (n 4)， f (0) 1, f (1) 0, f (2) 1, f (3) 2．
解 递推关系的特征方程为
A 1, B k 1 , 所以递推关系的解为： 解方程组得：
f (n) (k 1)n (k 1)(1) n .
例3 核反应堆中有和两种粒子，每秒钟内一个粒子可 反应产生三个粒子，而一个粒子又可反应产生一个粒子和 两个粒子.若在时刻t=0时反应堆中只有一个粒子,问t=100秒 时反应堆将有多少个粒子?多少个粒子?共有多少个粒子? 解 设在t时刻的粒子数为f(t), 粒子数为g(t)，依题意的下 面递推关系 f (t ) g (t 1), g (t ) 3 f (t 1) 2 g (t 1), f (0) 1, g (0) 0.
x4 x3 3x2 5x 2 0, 特征根为： x1 x2 x3 1, x4 2,
所以递推关系的通解为
f (n) A(1)n Bn(1)n Cn2 (1)n D2n A D 1, A B C 2 D 0, 代入初始值得方程组 A 2 B 4C 4 D 1, A 3B 9C 8D 2,
f (t ) g (t ) 3 .
t
因此，
3 99 3 100 f (100) (3 1), g (100) (3 1). 4 4 f (100) g (100) 3100.
例4 求解递推关系
f (n) 4 f (n 1) 4 f (n 2), f (0) 1, f (1) 3.
则称这个数列{bn}为递推关系的解．
若{bn}还满足初始条件 b0 0 , b1 1, , bk 1 k 1 ，则 称{bn} 为满足初始条件的特解，显然满足初始条件的特 解是唯一的．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
(1)
定义2 方程 x C1x C2 x Ck 0 称为递推关系(1)的 特征方程，它的根称为递推关系的特征根．
k
k 1
k 2
由于Ck≠0 ，所以特征根为非零根．
二、解的性质
性质1．设q是非零复数, f(n)=qn为递推关系(1)的解 的充要条件为q是递推关系(1)的一个特征根． 证明 设f(n)=qn为递推关系的解，即
P( x) xk C1xk 1 C2 xk 2
Ck 1x Ck ,
n k n n1 n 2 P ( x ) x P ( x ) x C x C x n 1 2
Ck xnk ,
因为q为P(x)的二重根，所以q也为Pn(x)的二重根，
从而q为 Pn '( x)的一重根，也为 xP n '( x) 的一重根． 又由于 n n1 n 2 xP '( x ) nx C ( n 1) x C ( n 2) x n 1 2
(1)
性质2．如果h1(n), h2(n)为递推关系(1)的两个解，则 Ah1(n)+Bh2(n)也是递推关系(1)的解,其中A、B为任意常数． 证明 设Tn= Ah1(n)+Bh2(n) ,由于h1(n), h2(n)为 递推关系的解，有 ，
Tn Ah1 (n) Bh2 (n) A(C1h1 (n 1) C2h1 (n 2) Ck h1 (n k )) B(C1h2 (n 1) C2h2 (n 2) Ck h2 (n k )) C1 ( Ah1 (n 1) Bh2 (n 1)) C2 ( Ah1 (n 2) Bh2 (n 2)) Ck ( Ah1 (n k ) Bh2 (n k ))
《组合数学引论》 －Chapter 6
§6.2常系数线性齐次递推关系
一、定义
定义1 (f(n)}为一数列,C1,C2,…,Ck为k个常数,且Ck≠0,则 称递推关系：
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2) Ck f (n k ) (n k )
(1)
为k阶常系数线性齐次递推关系. 若数列{bn}满足递推关系,即 bn C1bn1 C2bn2 Ck bnk (n k ),
' ' 以方程组有唯一解 b , b 1 2,
n ' n h(n) b1' q1 b2 q2
' , bk ,即有
' n bk qk , 结论成立.
下面研究当特征根有重根时，递推关系的通解． 引理1. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系(1) n 的二重特征根，则 nq 为递推关系的解． 证明 令
, bk 为任意常数．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2)
Ck f (n k ) (n k )
(1)
n n 证明 显然 f (n) b1q1 b2q2
n bk qk 为递推关系(1)的解.
设h(n)是递推关系(1)的任一个解, 它由k个初值 h(0)=a0, h(1)=a1,……,h(k-1)=ak-1唯一确定.
n
引理2. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系（1）的m重 特征根则 qn , nq n , , nm1q n 为递推关系的解． ．
q1 , q2 , , qt 是递推关系(1)的全部不同特征根， 定理2 其重数分别为 e1 , e2 , , et, 则递推关系的通解为 f (n) f1 (n) f 2 (n) ft (n),
解 递推关系的特征方程为： x2 4x 4 0,
特征根为: x1 x2 2. 所以递推关系的通解为 f (n) c1 2n c2 n2n.
代入初值得方程组： c1 1, 解得
1 c1 1, c2 . 2
2c1 2c2 3．
所以递推关系的解为
2 解 它的特征方程为： x 2x 2 0,
特征根为: x1 1 3,
C1 (1 代入初值得方程组
x2 1 3,
所以递推关系的通解为 f (n) C1 (1 3)n C2 (1 3)n .
组合数学(第二版)递推关系
递推关系
其次,证明an 是通解.若给定一组初始条件
可以仿照齐次方程通解的证明方法,证得相应于条件式 (3.2.11)的解一定可以表示为式 (3.2.10)的形式.
关于 的求法已经解决,这里的主要问题是求式(3.2.2) 的特解an * .遗憾的是寻求特 解还没有一般通用的方法.然而, 当非齐次线性递推关系的自由项f(n)比较简单时,采用 下面的 待定系数法比较方便.
递推关系 【例 3.4.2】 棋盘染色问题:给一个具有1行n 列的1×n
棋盘(见图3.4.1)的每一个 方块涂以红、蓝二色之一,要求相 邻的两块不能都染成红色,设不同的染法共有an 种,试 求an.
图 3.4.1 1×n 棋盘
递推关系
递推关系
【例3.4.3】 交替子集问题:有限整数集合Sn={1,2,…,n} 的一个子集称为交替的, 如果按上升次序列出其元素时,排列 方式为奇、偶、奇、偶、…….例如{1,4,7,8}和 {3,4,11}都是, 而{2,3,4,5}则不是.令gn表示交替子集的数目(其中包括空集), 证明
且有gn=Fn+2.
递推关系
证 显然,g1=2,对应S1 的交替子集为⌀和{1}.g2=3,对应S2 的交替子集为⌀、 {1}、{1,2}.
将Sn 的所有子集分为两部分: (1)Sn-1={1,2,…,n-1}的所有子集; (2)Sn-1的每一个子集加入元素n 后所得子集. 例如,n=4,S4={1,2,3,4}的所有子集划分为两类,即 (1)⌀、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}; (2){4}、{1,4}、{2,4}、{3,4}、{1,2,4}、{1,3,4}、 {2,3,4}、{1,2,3,4}.
线性常系数齐次递推
2 1 2
k 1
k 2
1 C x C x
其中
Ck x G x C j x
k j 0
k 1
k 1 j j i 0
a x
i
i
C0 1
2.7 线性常系数齐次递推关系
令
P x C j x
j 0
k 1
k 1 j j i 0
例4 an - 4an -1 4an -2 0, a0 1, a1 4.
解 : 特征方程：x 4 x 4 0 ( x 2)
2 2
特征根 r 2(2重根)
所以 an ( A B n)2n
再根据初始条件a0 A 1, a1 2( A B) 4 可解得A 1, B 1
K ( x) 0, 即 x 2 bx c 0 称为特征方程，
它的根为 r 1,2 称为特征根. b b 2 4ac 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
于是 D( x) 1 bx cx (1- r1x)(1- r2 x)
2
下面就其根来进行讨论:
1) r1 r2的情形
根据定理可知，an c1 4n c2 (-3)n
再根据初始条件 c1 c2 a0 3 c1 5 c1 4 c2 (-3) a1 26 c2 2
2.7 线性常系数齐次递推关系
例2 an an 1 an 2 , a1 1, a2 0.
和 an ban -1 can -2 0 对应的分母1 bx cx 2在 求 an 的过程中扮演了十分重要的角色，用 D( x)表示，即D( x) 1 bx cx .
1 3 二阶常系数线性齐次微分方程
y C1 e x C2 e3x
微分方程
例2. 求方程 y " 2 y ' y 0 的通解.
解: 特征方程 r2 2 r 1 0
有重根:
r1 r2 1
因此原方程的通解为，
y (C1 C2 x ) e x
微分方程
例3. 求方程 y " 2 y ' 5y 0 的通解.
y x2 1
微分方程
例2：自由落体运动
根据Newton第二定律：
F
mg
m
d2x dt 2
所以，
g
d2x dt 2
，
两次积分得到：x
1 2
gt 2
c1t
c2
微分方程
例3：简谐振动
胡克定律：F kx
由牛顿第二定律：
kx
m
d2x dt 2
d2x k
dt 2
x0 m
如何求解？
微分方程
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶
通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同
.
特解—不含任意常数的解
微分方程
二阶微分方程
y P(x) y Q(x) y f (x), 二阶线性微分方程
酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？
会员免费下载 明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适
二阶常系数递推关系求解方法
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
零化多项式特征多项式最小多项式常系数线性齐次递推
零化多项式特征多项式最⼩多项式常系数线性齐次递推零化多项式/特征多项式/最⼩多项式/常系数线性齐次递推约定:I n是n阶单位矩阵，即主对⾓线是1的n阶矩阵⼀个矩阵A的|A|是A的⾏列式默认A是⼀个n×n的矩阵定义零化多项式:对于⼀个矩阵A，它的⼀个零化多项式f(λ)是满⾜f(A)=0的多项式，定义域包含矩阵最⼩多项式:次数最低的零化多项式特征多项式对于⼀个n阶的矩阵A，它的特征多项式p(λ)=|λI n−A|λ定义域不⽌是R，还可以是矩阵p(λ)是关于λ的⼀个不超过n+1次的多项式即p(λ)=∑n0a i x iCayley-Hamilton定理:矩阵的特征多项式也是它的零化多项式求解特征多项式带⼊n个数，求出得|xI n−A|,得到n个矩阵，通过⾼斯消元可以O(n3)地求出⾏列式然后可O(n2)拉格朗⽇插值求出原来的多项式，总复杂度受限于⾼斯消元，为O(n4)求解最⼩多项式构造矩阵序列a i=A i求出它的⼀个线性递推r i，即m∑j=0r j a i−j=m∑j=0r j A i−j=(m∑j=0r m−j A j)⋅A i−m=0∴m∑j=0r m−j A j=0所以可以由r i翻转得到f(λ)求解a i前n项的复杂度受限于矩阵乘法为O(n4)，求解递推式的复杂度为O(n3)考虑到实际求解递推式时，随机⽣成了两个向量u,v实际是计算标量序列{uA i v}的递推式，所以实际每次求出uA i复杂度应为O(n2)求这个递推式需要⽤到a i前2n项，求解复杂度为O(n3)因此总复杂度为O(n3)(但是如果只是求出来并没有什么⽤，因为求解⽅法是随机的，甚⾄连检查⼀次保证正确都需要O(n2(n+e))的时间(e为矩阵⾮0位置个数))求解稀疏⽅程组设⽅程系数⽤矩阵A表⽰，右侧每个⽅程的常数⽤向量b表⽰，答案⽤向量x表⽰，则满⾜关系式Ax=b，即x=A−1b求出{A i b}线性递推式，反推出A−1b即可反推⽅法:带⼊线性递推的m项，则∑m i=0A m−i b⋅r i=0A m−i br i=0两边同乘A−1，得到A−1b⋅r m+∑m−1i=0求解矩阵k次幂我们要求解A k，常规做法是直接⽤快速幂设矩阵A的⼀个零化多项式是f(λ)显然，A k可以⽤⼀个多项式表⽰A k=∑k0w i A i{w i}构成了⼀个k+1次多项式F k(x)存在⼀种合法的表⽰是F k(x)=x k∵f(A)=0∴∀i,f(A)A i=0也就是相当于我们要求出x k对于f(x)这个n+1多项式取模显然可以通过类似快速幂的⽅式倍增求解这个多项式，每次对f(x)取模复杂度是O(n log n)就能在O(n log m log n)时间得求出F(x)最后得到的F(x)是⼀个n次多项式那么带⼊就可以快速求出A k可以认为这个复杂度是受限于求解A0,A1,⋯,A n−1的O(n4)对于元矩阵A为稀疏矩阵的情况，设其包含e个⾮零位置那么求解B⋅A的过程是O(n⋅e)的，求解A0,A1,⋯,A n−1的过程，是O(n2e)的求解零化多项式的复杂度也是O(n2(n+e))的，因此总复杂度为O(n2(n+e))⽽⼀般的矩阵快速幂是O(n3log k)的，这种⽅法适⽤情况⾮常特殊另外，对于并不需要知道整个矩阵的答案，并且A0,A1,⋯,A n−1特殊的具体问题，这个⽅法也⼗分有效求解常系数线性齐次递推问题是要求数列f i=∑n j=1a j⋅f i−j给出f0,f1,⋯,f n−1，求第k项的值线性递推显然可以⽤初始向量列与转移矩阵的幂次的乘积表⽰，即f i=(S⋅A i)n，其中A为转移矩阵，S为初始向量列，我们求的是第n项对于n=4的情况，我们的转移矩阵A是12341a 421a 331a 241a 1鉴于它的特殊性，我们可以直接求出它的特征多项式表达式由λI n −A =12341λ−a 42−1λ−a 33−1λ−a 24−1λ−a 1带⼊⾏列式最暴⼒的求法枚举⼀个排列p i ，设排列p 的逆序对为f (p )，|A |=∑(−1)f (p )ΠA i ,pi 实际上合法的排列只有n 个，就是枚举p i =n那么p j =jj <i n j =i j −1j >i当i =n 时，(−1)f (p )ΠA i ,p i=λn −a 1λn −1当i >1时，f (p )=n −iΠA i ,p i=(−1)n −i +1λi ⋅a n −i +1(−1)f (p )ΠA i ,p i=−λi a n −i +1综上,转移矩阵A 的特征多项式有简单的表达p (λ)=|λI n −A |=λn −a 1λn −1−a 2λn −2−⋯−a n假设有f 0这⼀项(不需要知道是多少)，那么认为初始向量列为S =(f −(n −1),f −(n −2),⋯,f 0)这个问题，我们要求的是S ⋅A k 的第n 项，不需要知道整个矩阵类似求出A k 的过程，求出F_k(x)\mod p(\lambda)我们要求解(S\cdot A^k)_n=\sum_1^{n}[x^i]{F(x)}(S\cdot A^i)_n⽽(S\cdot A^i)_n=f_i 已知，求出F(x)后直接带⼊即可需要⽤到多项式取模，求解这个表达式是O(n\log n\log k)的，求完直接带⼊即可{Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。
组合数学之常系数递归关系
满足要求的路径一定不会经过(0,1)点 满足要求的路径一定不会经过(0,1)点. 可以建立一个新坐标系: 原点在( 可以建立一个新坐标系: 原点在(-1,0), 这样我们原来( 这样我们原来(m,n)点在新坐标系里面 的坐标就成了( +1,n 自然m+1>n 的坐标就成了(m+1,n), 自然m+1>n. 从新坐标系原点出发到达( +1,n 从新坐标系原点出发到达(m+1,n)点的 路径, 如果所经过的点( 满足a 路径, 如果所经过的点(a,b)满足a>b, 则 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (1,0)点后的路径正好是满足条件的路 (图4.3) 径. (图4.3) 所以只需求出(0,0)到 +1,n 不经过y=x 所以只需求出(0,0)到(m+1,n)不经过y=x 上点的路径数. 上点的路径数.
19
对于(4.1)中的 阶齐次递归关系: 对于(4.1)中的r阶齐次递归关系: 中的r H n a1 H n1 a 2 H n 2 a r H n r = 0 我们定义如下的一元 r 次方程: 次方程:
11
这样的向量有m 这样的向量有m个0元素, n个1元素, 共 元素, 元素, C(m+n, 有C(m+n, m)个. 可以建立(m+n) 0,1向量与从 向量与从(0,0)点到 可以建立(m+n)维0,1向量与从(0,0)点到 点路径间一一对应: (0,0)点出 达(m,n)点路径间一一对应: 从(0,0)点出 =0沿 轴方向走一个单位, 发, 第i步: 若ai=0沿x轴方向走一个单位, =1沿 轴方向走一个单位, 若ai=1沿y轴方向走一个单位, i=1,…,m+n. =1,…,m+n. 要保证顾客能顺利地买到票相当于要 必须满足x 求路径上各点( 求路径上各点(x,y)必须满足x≥y.
二阶常系数齐次
y1 ( r1 − r2 ) x =e ≡ 常数（ ∵ r1 − r2 ≠ 0） ∵ / y2 ∴ (1)的通解为： Y = c1 y1 + c 2 y 2 = c1e r1 x + c 2 e r2 x
二、 解法
上一页
r + p1r + p2 = 0有
2
2
y′′ + p1 y′ + p2 y = 0的通解 y = c1e r1x + c2 e r2 x y = (c1 + c2 x)e r1 x
其中 p1 , p 2 ,
r + p1r
n n −1
, p n 均为实常数
+ + pn −1r + pn = 0
微分方程(1)通解中的对应项 一项：ce rx k项：1 + c2 x + (c + ck x k −1 )e rx
( 2)
由y = e rx , 可导出方程 (1)的特征方程为一元 n次代数方程： 其特征方程为：
下一页 上一页 （自由振动） d2 例7-23中的方程： x + µ dx + k x = 0, 其初始条件为： x | = x , dx =0 解引例1 t =0 0
dt
m dt
m
dt
t =0
µ k ⎛ µ ⎞ k 2 ± ⎜ 解：从对应的特征方程 r + r + = 0 ⇒ r1, 2 = − ： ⎟ − 2m m m ⎝ 2m ⎠ m
(1)
下一页
补充定理 两个不相等实根r1 ≠ r2
二阶常系数齐 两个相等实根r1 = r2 次线性微分方 一对共轭复根 程(1)的通解按 r1, 2 = α ± iβ 右表给出：
组合数学幻灯片52常系数线性齐次递归关系
(n 3)
这个递归关系就是例4所求解的递归关系。 故由例4的结果可知
an=1+n
c1 pn cos n c2 pn sin n
式中 p 2 2 , tan1( / )
c1 A1 A2 , c2 i( A1 A2 ) 注意，c1和c2是由边界条件决定的常数。
例3 计算n×n行列式
1100 0 0 00000 1110 0 0 00000 0111 0 0 00000 0011 1 0 00000
k
k
ciqin
ci (b1qin1
b2
qn2 i
bk
qnk i
)
i 1
i 1k
k
k
b1
ci
q n1 i
b2
ciqin2 bk
ci qin k
i 1
i 1
i 1
因此(5.15)是递归关系式(5.12)的解。
定义5.5 若an是递归关系式(5.12)的任意
一个解，都存在一组适当的常数c1,c2,…,ck使 得an可以表示为式(5.15)的形式，则称式 (5.15)是递归关系式(5.12)的通解。
解得
c1 (1 5) / 2 5,c2 (1 5) / 2 5
故递归关系式(5.5)的解为
Fn (1 5)n1 (1 5)n1 / (2n1 5)
求解 递归关系
ana0
2an1 1, a1
an2 2an 2, a2 0
3
解：递归关系的
(n 3)
特征方程为 x3-2x2-x+2=0
若q1,q2,…,qk是递归关系式(5.12) 的互不相同的特征根，则
an c1q1n c2q2n ckqkn
第二节常系数线性齐次递推关系
23
23
例2
求解递推关系
f (n) (k f (2) k(k
2) f (n 1) (k 1) f (n 2) 1), f (3) k(k 1)(k 2).
(n
4)
解 递推关系的特征方程为：x2 (k 2)x (k 1) 0,
特征根为:
q1 k 1, q2 1,
所以递推关系的通解为
下面研究当特征根有重根时，递推关系的通解． 引理1. 若q为k阶常系数线性齐次递推关系(1)
的二重特征根，则 nqn为递推关系的解．
证明 令
P(x) xk C1xk1 C2 xk2 Ck1x Ck ,
Pn (x) xnk P(x) xn C1xn1 C2 xn2 Ck xnk , 因为q为P(x)的二重根，所以q也为Pn(x)的二重根， 从而q为 Pn '(x)的一重根，也为 xPn '(x)的一重根． 又由于
称{bn} 为满足初始条件的特解，显然满足初始条件的特 解是唯一的．
f (n) C1 f (n 1) C2 f (n 2) Ck f (n k) (n k) (1)
定义2 方程 xk C1xk1 C2xk2 Ck 0 称为递推关系(1)的 特征方程，它的根称为递推关系的特征根．
3.
它的特征方程为：x2 2x 3 0,
特征根为: x1 3, x2 1,
所以递推关系的通解为 g(t) C1(3)t C2 (1)t .
代人初值有
3CC11CC22
0, 3.
解方程组，得
C1
3 4
, C2
3 4
,
所以递推关系的解为 g(t) 3 3t 3 (1)t. 44
从而有
f (n) A(k 1)n B(1)n.
常系数线性齐次矩阵列及函数列递归关系的解法
是递归关系 (3)的通解，其中 C1 , C 2 , , C k 为任意 s t 常 数矩阵。 证明 用 As ij 表示矩阵 As 的位于第 i 行第 j 列位
置的元素。由(3)，则有
置的元素。由(3)，则有
An ij
a1 An 1 ij a 2 An 2 ij a k An k ij ，
An ij
a1 An 1 ij a 2 An 2 ij a k An k ij ，
i 1,2, , s; j 1,2, , t
x k a1 x k 1 a2 x k 2 ak 1 x ak 0
，
共 有 t 个 不 同 的 根 q1 , q 2 , , qt ， 它 们 的 重 数 分 别 为
An ij C1 ij q1n C 2 ij q 2n C k ij q kn
由
它们的重数分别为
m1 , m2 , , mt ，
A0 C11 C 21 A1 C11 C12 C 21 2 2 A2 C11 2C12 C 21 2
则递归关系(4)的通解为：
f n (t ) F1 (n, t ) F2 (n, t ) Ft (n, t ) ，
n k
(3)
An C1 1n C2 2n 2 2n 3 2n 2 2 n 1 。 5 2 n 1 10 5 2 n 1 2 n 1 定理 2 若矩阵列递归关系(3)的特征方程(2)共有 t
个不同的根
定义 2