《理论力学》第七章点的合成运动习题解
理论力学B-第七章运动合成-速度luo
vr , ar
ve , ae
相对•牵连•绝对运动
两点重要的结论
运动的相对性 —— 物体对于不同的参考系，
运动各不相同。
绝对运动与相对运动都是指点的运动；
牵连运动则是刚体的运动。
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成－合成运动。
相对•牵连•绝对运动——牵连点
坐标变换——例 1
如图，点M相对于动系Ox’y’沿半径为r 的圆周以速度 v 作匀速圆 周运动(圆心为O1) ，动系Ox’y’ 相对于定系Oxy以匀角速度 绕 点O作定轴转动。初始时Ox’y’与Oxy重合，点M与O重合。
求：点M的绝
对运动方程。
坐标变换——例 1
由题意可知：
=t， |t =0=0， =vt/r
例7-5
已知：如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度ω绕 O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸 轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
解： 1. 动点：AB杆上A
动系：凸轮
2.绝对运动：直线运动（AB） 相对运动：圆周运动（半径R） 牵连运动：定轴运动（轴O） 3. 大小
x ' x cos t y ' x sin t
O
x
将绝对运动方程代入，得：
1 x ' b sin t cos t b sin 2t 12 y ' b sin t b 1 cos 2t 2 2 2 b b 2 消去时间得： x ' y ' 2 4
相对运动轨迹
§7-2 点的速度合成定理
点的速度合成
动点—小环；动系—钢丝
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-点的合成运动(圣才出品)
图 7-4 解：以 M 为动点，水轮为动系，牵连运动轨迹为定轴转动，速度分析如图 7-5 所示。
图 7-5 由 va = ve + vr 在 x、y 两个方向上的分量得
va sin 60o = ve + vr sin va cos 60o = vr cos
7 / 42
圣才电子书
图 7-1
图 7-2
7-2 图 7-2 中的速度平行四边形有无错误？错在哪里？
1 / 42
圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
答：都有错误，改正见图 7-3。
图 7-3 7-3 如下计算对不对？错在哪里？
图 7-4 （a）图 7-4（a）中取动点为滑块 A，动参考系为杆 OC，则 ve=ω·OA，va=cosφ （b）图 7-4（b）中 vBC=ve=vacos60°va=ωr 因为 ω=常量,所以，VBC=常量， （c）图 7-4（c）中为了求 aa 的大小，取加速度在 η 轴上的投影式：aacosφ-ac=0 所以 答：（a）不对，va 的速度平行四边形画法不正确，正确图见图 7-5。 （b）加速度的计算不正确。vBC 和 ω 为此瞬时的大小，不是任意时刻的速度和角速度 故不能对时间求导。
其中 ρ 和 φ 是用极坐标表示的点的运动方程，aρ 和 aψ 是点的加速度沿极径和其垂直 方向的投影。
答：如图 7-7 建立直角坐标系．xOy 与极坐标系 ρOφ。 取动点 Q，动系 OA
4 / 42
圣才电子书
加速度合成（图 7-8）
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台
aa=aen+aet+ar+ac
大小：？
方向：Hale Waihona Puke √ √ √ √图 7-7
第七章点的合成运动习题解答
习 题7-1 如图7-26所示，光点M 沿y 轴作谐振动，其运动方程为：x = 0，)cos(θω+=t A y ，式中，A 、ω、θ均为常数。
如将点M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动，试求点在记录纸上的轨迹。
图7-26t v x e =')cos()cos(eθωθω+'=+=='x v A t A y y7-2 用车刀切削工件的端面，车刀刀尖M 的运动方程为 t b x ωsin =，其中b 、ω为常数，工件以等角速度ω逆时针方向转动，如图7-27所示。
试求车刀在工件端面上切出的痕迹。
图7-27t b t y t x x ωωωsin sin cos ='-'= 0cos sin ='+'=t y t x y ωω 解得)2sin(2cos sin sin tan cos sin t b t t b t t t t b x ωωωωωωω==+=' ]1)2[cos(2sin tan 2-=-='-='t bt b t x y ωωω4)2()(222b b y x =+'+'7-3 河的两岸相互平行，如图7-28所示。
设各处河水流速均匀且不随时间改变。
一船由点A 朝与岸垂直的方向等速驶出，经过10 min 到达对岸，这时船到达点B 的下游120 m 处的点C 。
为使船A 能垂直到达对岸的点B ，船应逆流并保持与直线AB 成某一角度的方向航行。
在此情况下，船经12.5 min 到达对岸。
试求河宽L 、船相对于水的相对速度v r 和水的流速v 的大小。
图7-28m/s 2.0600120==v 600r L v =船A 能垂直到达对岸的点B750a L v = 2a22r v v v += 2222.0)750()600(+=L L m 200)7501()6001(2.022=-=L m/s 31r =v7-4 半径R = 60mm 的半圆管BC 绕定轴OO 1按规律)5(t t -=ϕ转动，点在管内运动，相对于管子的运动方程为2π10t BM =(弧长的单位为mm)，如图7-29所示。
07-理论力学-第二部分运动学第七章点的合成运动
运动学/点的合成运动
动 点： AB杆上的A点 动 系： 凸轮 定 系： 地面 绝对运动： 直线 相对运动：曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平移
1616
运动学/点的合成运动
动 点：A(在AB杆上) 动 系：偏心轮C 定 系： 地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（C） 牵连运动： 定轴转动
22
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上 的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和 研究物体的运动。下面先看几个例子。
33
运动学/点的合成运动
44
55
本章将用点的合成运动的方法来研究这类问题。 66
第七章 点的合成运动
§7-1 §7-2 §7-3
§7-4
r 2
r 2
r2
l2
r2
l 2（
） 3030
运动学/点的合成运动
例4 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ，R 3e ，（匀角速度），图示瞬时， OCCA，且O，A，B三点共线。求：从动杆AB的速度。
解：选取动点：AB 上的A点
动系：圆盘
绝对运动：直线 相对运动：圆周
由
定系：基座 va
牵连运动：定轴 ve vr
▼动点相对动系、定系必须 有运动，不能和动系在同一 物体上。
▼以上可归结为一点、两系 、三运动。
2020
运动学/点的合成运动
四、 运动方程及坐标变换 可以利用坐标变换来建立绝对、
相对和牵连运动之间的关系。
以二维问题为例。设定系 ，
动系
。动点M，如图所示。
（1）绝对运动方程： x x(t), y y(t)
大小 ? OA
最新理论力学第七章点的合成运动(哈工大第七版版)
车刀刀尖的运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运 动的组合而成－合成运动。
§7-1 相对运动·牵连运动·绝对运动 定坐标系（定系）
两个坐标系 动坐标系（动系） 绝对运动：动点相对于定系的运动。
三种运动 相对运动：动点相对于动系的运动。 牵连运动：动系相对于定系的运动。
v r v a 2 v e 2 2 v a v e c6 o 0 3 . s 6 m s
arcvsesiin 6n (0 )46 12
vr
例7-6 已知：圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如图所示。 圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的
角速度w1。
解: 1.动点：滑块 A 动系：摇杆 O1B
OA l2r2
2.运动分析：
绝对运动－绕 O 点的圆周运动；
相对运动－沿O1B的直线运动；
牵连运动－绕 O1 轴定轴转动。
3.
vavevr
大小 rw ? ?
方向 √ √ √
vevasijnrw
2.绝对运动：直线运动（AB）
相对运动：圆周运动（半径R）
牵连运动：定轴运动（轴O）
3.
va ve vr
大小 ? wOA ?
方向 √ √
√
vaveco twOO A e A we
例7-5 已知：矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。
站在地面上观察矿砂下落的速度为 v1=4m/s ，方向与铅直线成30º 角。传送带B水平传动速度 v2=3m/s 。 求：矿砂相对于传送带B 的速度。
点的运动合成习题参考解答
解：用点的复合运动求解，取重物 B 为动点，动系与水平悬臂固连，则牵连运
动为定轴转动，相对运动为直线运动。
由于
vr
=
dx dt
=
−0.5 m/s
( ←)
方向与轴 x 的正向相反。
当 t = 10 s 时， ve = x ⋅ω = 15 × 0.1 = 1.5 m/s , 方向指向轴 z 的正向。速度图见上
2. 图示曲柄滑道机构中，曲柄长 AB = r，绕轴 O 以ω作匀速转动，滑槽 DΕ与水 平线成60°角。求当ϕ =0、30°、60°时，杆 BC 的速度。
解：本题机构 BC 作平动，可以用点的运动学方法求解。这里应用点的合成运动 求解，以滑块 A 为动点，动系与构件 BC 固结，考虑一般位置速度图如下图所示。
可得
aa = ae + ar
aBC = ae = va sinθ = OA⋅ω 2 sinθ = 0.4 × 0.25sin 30o = 0.05 m/s2 (↓)
6. 小车的运动规律为 x = 50 t2，x 以 cm 计，t 以 s 计。车上摆杆 OM 在铅垂面内
绕轴 O 转动，其转动规律为ϕ = π sin πt 。如 OM = 60 cm。求 t = 1 s 时摆杆端
由 va = ve + vr 和速度三角形，以及正弦定理有
ve sin(30o
−ϕ)
=
va sin60o
⇒
v BC
= ve
=
va sin60 o
sin(30o
−ϕ)
将 va = rω 及ϕ =0、30°、60° 分别代入上式解得当ϕ =0、30°、60° 时，
vBC =
3 rω, 3
理论力学(7.4)--点的合成运动作业解答
第七章作业答案1、解 由点M 的相对运动方程可改写为
由题得点M 的坐标变换关系式
点M 的绝对轨迹方程
2、解 （a）套筒A 为动点，动系固结于杆O1 A
由图a1
（b）套筒A 为动点，动系固结于杆O2 A，速度分析如图b1 所示。
3、解 ① 活动销子M 为动点，动系固结于轮O
② 活动销子M 为动点，动系固结于杆OA
速度分析如图b 所示
4、解 速度分析，如图b所示
加速度分析，如图c所示
5、解 点A 为动点，动系固结于小车，加速度分析如图b 所示。
由题意得t = 1 s时，各量为
分别向轴x ， y 方向投影得
6、解 小环M 为动点，动系固结于曲杆OBC，速度分析如图b 所示。
加速度分析如图c 所示。
理论力学第七版第07章(1-2节)--点的合成运动 (2)
绝对运动：圆周运动 相对运动：直线运动（沿O1B） 牵连运动：定轴转动（绕O1轴） 2.速度
va ve vr r
√
大小
? ?
√
rl v r v a cos 2 l r2
方向 √
r 2 v e v a sin 2 l r2
ve ve r 2 1 2 2 2 O1 A l r2 l r
(7-15)
aa ar α r ω ω r 2ω vr
(7-18)
§7-4 牵连运动是定轴转动时点的加速度合成定理
设动系作定轴转动，转轴通过点O´，其角速度矢量为
aa ar α r ω ω r 2ω vr
v a rO xi yj z k xi yj zk
va ve v r
aa ae ar
例7-7
已知：如图所示平面机构中，铰接在曲柄端 A 的滑块，可 在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速 转动， OA r 。
回顾： 2.矢积表示绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
dv d 加速度 a r dt dt
→
d dr r dt dt
r v
(6-21)
→
→ → →
科里奥利，法国物理学家。
1792年5月21日生于巴黎；1843年9月19日卒于巴黎。 科里奥利是巴黎工艺学院的教师，长期健康状况不佳，这 限制了他创造能力的发挥。即便如此，他的名字在物理学 中仍是不可磨灭的。 1835年，他着手从数学上和实验上研 究自旋表面上的运动问题。地球每 24 小时自转一周。赤道 面上的一点，在此时间内必须运行25，000英里，因此每小 时大约向东运行 1，000英里。在纽约纬度地面上的一点， 一天只需行进19，000英里，向东运行的速度仅约为每小时 800英里。由赤道向北流动的空气，保持其较快的速度，因 此相对于它下面运动较慢的地面而言会向东行。水流的情 况也是一样。因此，空气和水在背向赤道流动时好像被推 向东运动，反之会向西运动,这样会形成一个圆! 推动它们运动的力就称为科里奥利力。 这种力不是真实存在的 ! 只是 “ 惯性 ” 这种性质的表现而已。 正是这种"力"造成了飓风和龙卷风的旋转运动。研究大炮射 击、卫星发射等技术问题时，必须考虑到这种力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第七章点的合成运动习题解析［习题7-1］汽车A以V i 40km/h沿直线道路行驶，汽车B以V2 4O.._2km/h沿另一叉道行驶。
求在B车上观察到的A车的速度。
解：动点：A车。
动系：固连于B车的坐标系。
静系：固连地面的坐标系。
绝对运动：动点A相对于地面的运动。
相对运动：动点A相对于B车的运动。
牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点，即牵连点相对于静系（地面）的运动。
当A、E两车相遇时，即它们之间的距离趋近于0时，A、E相重合，E车相对于地面的速度就是牵连速度。
V e V2。
由速度合成定理得：V V e V r。
用作图法求得：v r V AB 40km/ h （f）故，E车上的人观察到A车的速度为V r V AB［习题7-2］由西向东流的河，相对于水流的划速为1m/s。
问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？解：（1）动点：船。
动系：固连在流水上。
静系：固连在岸上。
绝对运动：岸上的人看到的船的运动。
相对运动：船上的有看到的船的运动。
牵连运动：与船相重合的水体的运动。
绝对速度：未知待求，如图所示的V。
相对速度：V r1m/s，方向如图所示。
牵连速度：V e 0.5m/s，方向如图所示。
由速度合成定理得：V V e V r 40km/h，方向如图所示。
宽1000m,流速为0.5m/s ,小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船V rv .. V V -： 0.52 121.118(m/s)arcta n 土V e1 arcta n —— 0.5AC10001000500( m),即，船将在北岸下流5 0 0tan 2n 处靠岸。
如图所示，A 为出渡河所花的时间：t 11000m1000(s) 16 分 40 秒1m/ s发点，E 为靠岸点。
(2)• V e . 0.5 arcs in arcs inv r 1 v . v ； v ； 12 0.52即船头对准方向为北偏西 300 渡河所花的时间： t 2 1000 m 1155( s) 19 分 15秒0.866m/ s 300 0.866(m/s) ［习题7-3］播种机以匀速率 w 1m/s 直线前进。
种子脱离输种管时具有相对于输种管的速度 v ； 2m/s 。
求此时种子相对于地面的速度，及落至地面上的位置与离开输种管时的位置之间 水平距离。
解： 动点：种子。
动系：固连于输种管的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。
相对速度：v r v 2 2m/ s 牵连速度：v e v 1 1m/s v v e 5 v 1222 2 1 2cos120° 2.65(m/s)63.435°2.65sin (60°) si n120°60° arcsin ——19.07°2.6540.930即v 与V i 之间的夹角为 40.930。
种子走过的水平距离为：s v x t vcos tvsin t 0.252.65sin40.930t 0.5 9.8t 24.9t 2 1.736t 0.25: 21.736 pi.7364 4.9 ( 0.25) 2 4.9s 2.65 cos 40.930 0.110.22(m)［习题7-4］砂石料从传送带A 落到另一传送带E 的绝对速度为 v 1 4m/ s ，其方向与铅直线成300角。
设传送带E 与水平面成 150角，其速度为V 2 2m/s ，求此时砂石料对于传送带E 的相对速度。
又当传送带E 的速度多大时，砂石料的相对速度才能与 B 带垂直。
解: 动点：砂石料。
动系：固连于传送带E 的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：砂石料相对于地面的速度，v v 1 4m/s 。
相对速度：砂石料相对于传送带E 的速度，待求。
牵连速度：传送带E 相对于地面的速度：v e v 2 2m/s v a v e v rv r 22 42 2 2 4cos750 3.98(m/s)V y t 2gt1.7362.8139.80.11(s) 0.464(s)(不合舍去)当v r V B时，传送带E的速度为：v B v a sin15°4sin15° 1.04(m/s)［习题7-5］三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成置在斜面上，另一端E在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度角。
杆AE的A端搁V向右运动，求活塞E的速度。
解：动点：A。
动系：固连于凸轮上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A相对于地面的速度，待求。
相对速度：A相对于凸轮的速度。
牵连速度：凸轮相对于地面的速度。
V a V e V rv A vta n因为杆AE作上下平动，故活塞E的速度为:V a V AV e Vv B V A vta n［习题7-6］图示一曲柄滑道机构，长OA r的曲柄，以匀角速度绕O轴转动。
装在水平杆CE上的滑槽DE与水平线成600角。
求当曲柄与水平线的夹角分别为00、300、600时, 杆EC的速度。
解：动点：A。
动系：固连于CEDE 上的坐标系。
动系平动， V A V CBDE V BC静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A 相对于地面的速度。
相对速度：A 相对于DE 的速度。
牵连速度：CEDE 相对于地面的速度。
V a V e V r V a rVBC r sin( 300)sin 1200sin(0 30 ) sin 1200负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。
解： 动点：Co动系：固连于OC 杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
V BCsin (180°1200 90°)sin 120°V BCsin( 300) sin 1200..3 r3V BC 1 300sin (300 300)sin 1200 此时往复运动改变方向。
V BC | 60°sin (600 300) 0sin 12023 r[习题7-7] 摇杆OC 带动齿条AE 上下移动, 齿条又带动直径为10 0 mm 的齿轮绕O 1轴摆动。
在图所示瞬时，OC 之角速度3 0 = 0 . 5 ad/s ，求这时齿轮的角速度。
V BC 1绝对速度：C 相对于地面的速度。
相对速度：C 相对于OC 杆的速度。
牵连速度：OC 杆相对于地面的速度。
即齿轮的角速度为 1 5.33rad / s［习题7-8 ］摇杆滑道机构的曲柄OA 长 I , OAXOO - AB 2I ，求该瞬时EC 杆的速度。
解： 动点：A 。
动系：固连于O 1D 杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A 相对于地面的速度， v a I 0。
相对速度：A 相对于 O i D 杆的速度。
V e OC 0.40.5 0.231(m/s)cos30V a V e V rV a V e0.2 0.267(m/s)cos30°2c c°cos 30V a V AB r 10.2/0.750.267/r 10.2/0.75 5.33(rad / s)1 0.05以匀角速度3。
绕O 轴转动。
已知在图所示位置牵连速度：OQ 杆相对于地面的速度。
V a V e VV eV a sin 300 丄I 02V e O 1A O] D2 02lO 1D10O 1D1 04动点: Bo动系：固连于O j D杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：E相对于地面的速度。
相对速度：E相对于O1D杆的速度。
牵连速度：O j D杆相对于地面的速度。
V a V e V rV-O1B O i D411 l1 0 4V a V e l 0 1.1551 0cos3000.866BC乍平动，故v BC v a 1.15510[习题7-9] —外形为半圆弧的凸轮A,半径r = 3 0 0 mm，沿水平方向向右作匀加速运动，2其加速度a A= 8 0 0 mm/s 。
凸轮推动直杆EC沿铅直导槽上下运动。
设在图所示瞬时,V A=6 0 0mm/s，求杆EC的速度及加速度。
解：动点：E。
动系：固连于凸轮A上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：E相对于地面的速度。
相对速度：E相对于凸轮的速度。
牵连速度：E相对于凸轮的速度。
V a V e V r凸轮在水平面上作平动，EC在铅垂方向上作平动。
V e V ABV BC V B V a V e COt30°V A cot30°600 3 1039.23(mm/s)V r - 0 2V e 2 600 1200(mm/s)sin 30nx a a a e a r a e a r a r上式在x轴上的投影为:a a cos60°a e cos300n ar2a r3a e2 V ra a 1.732r2(1200)800 2 -30028214.4(mm/s )，负号表示方向向下。
[习题7-10]铰接四边形机构中的O 1A = O 2E=100mm,O 1O2 = AE，杆O 1A以等角速度w=2r ad/s绕O i轴转动。
AE杆上有一套筒C, 此筒与CD杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。
求当0 = 60 °时0。
杆的速度和加速度。
解：动点：c。
动系：固连于AE杆上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度: C相对于地面的速度。
相对速度: C相对于AE杆的速度。
牵连速度: AE杆相对于地面的速度。
V a V e V rV e v A O1A 100 2 200(mm/s)V a 0v e cos60 200 0.5 100(mm/s) ea a a e a ra e a Aa e100(mm / s)a e na e2VO1AO1A 2100 22400(mm/s2)a a 0a e sin 60 400 0.866 346.4(mm/s2)a CD a C a a 346.4(mm/s)［习题7-11］具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道CD获得间歇往复运动。
若已知曲柄OA 作匀速转动，其转速为w = 4nrad/s ，又R = OA=100mm ，求当曲柄与水平 轴成角0 = 30°时滑道CD 的速度及加速度。
解: 动点：A 。
动系：固连于滑道CD 上的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
绝对速度：A 相对于地面的速度。
相对速度：A 相对于滑道CD 的速度。
牵连速度：滑道CD 相对于地面的速度。
V a V e V r加速度在 方向的投影：a a cos60° a e cos30° a ；15.775 0.5 a e 0.866 15.775 2a e 27.32(m/s )2a CD a e 27.32(m/s )［习题7-12］销钉M 可同时在槽AB,CD 内滑动。