正方形(1)优质课件PPT
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3.正方形的性质与判定第1课时正方形的性质PPT课件(北师大版)
第一章
特殊平行四边形 3．正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
第1课时 正方形的性质
1 …知…识…回…顾…. 2 …新…知…导…航…. 3 …轻…松…过…招….
第1课时 正方形的性质
知识回顾
正方是轴对称图形，它有 4 条对称轴，即经 过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又 是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心 （也是对边中点的直线的交点）。 .
第1课时 正方形的性质
新知导航
变式训练
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O. （1）若周长为8，则对角线长为 2 2 ， 面积为 4 ； （2）图中共有 8 个等腰直角三角形．
第1课时 正方形的性质
新知导航
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C 作l的垂线，垂足分别为E，F，若 AE＝1，CF＝3.求AB的长．
第1课时 正方形的性质
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为 BC延长线上一点，且CE＝CF. （1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
CE＝CF
在△BCE和△DCF中， ∠BCE＝∠DCF ，
∴△BCE≌△DCF.
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC， ∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3， ∴AB＝ AE2＋BE2 ＝ 1＋9 ＝ 10 .
第1课ห้องสมุดไป่ตู้ 正方形的性质
轻松过招
正方形的性质与判定_优质课件(1)
18.2.3 正方形
龙山一中：彭尧
2002年世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如
图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
正方形 矩形
90
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
平行四 边形 √ √ √
矩形 √
√ √ √ √
菱形 正方形 √ √ √
√
√ √ √ √
√
√
√
√
√
√
作业： 习题18.2第8题
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
------爱迪生
在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰 险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点 ------马克思
谢谢大家! 再见
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
龙山一中：彭尧
2002年世界数学大会会标
1、给你一张正方形的彩色纸，你能一刀剪出如
图的正方形孔吗？
2、给你一张矩形纸能把它折成一个正方形吗？
正方形 矩形
90
创设情景 ☞
情景一
90
问题:
从这个图形中你想到了什么？
A
D
B
C
A
D
B
C
A
平行四 边形 √ √ √
矩形 √
√ √ √ √
菱形 正方形 √ √ √
√
√ √ √ √
√
√
√
√
√
√
作业： 习题18.2第8题
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。
------爱迪生
在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰 险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点 ------马克思
谢谢大家! 再见
拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？
A
D
O
B
C
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ； △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等. 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
想一想：正方形是怎样的菱形？
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
正方形的性质与判定ppt课件
①有一组邻边相等的矩形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线互相垂直的矩形是正方形
归纳总结
2. 四边形的中点四边形与原四边形的对角线有关
(1)当对角线不相等不垂直时，中点四边形是平行四边形 (2)当对角线相等时，中点四边形是菱形 (3)当对角线垂直时，中点四边形是矩形 (4)当对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形
D
结论1 有一组邻边相等的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB四=B边C形ABCD是正方形
O
B
C
结论2 对角线互相垂直的矩形是正方形
几何语言： ∵ 四边形ABCD是矩形，AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形
探究一：正方形的判定
D
问题2：满足怎样条件的菱形是正方形？ A
结论3 有一个角是直角的菱形是正方形
第一章 特殊平行四边形
1.3.2 正方形的性质与判定 第二课时
温故知新
菱形
平行四边形
① 有一组邻边相等 ②对角线互相垂直
矩形
①有一个角是直角 ②对角线相等
探索新知
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开， 怎样剪才能剪出一个正方形？
探究一：正方形的判定
A
问题1：满足怎样条件的矩形是正方形？
B
E
C
基础练习
3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是
A(－2，0)，B(0，－2)，C(2，0)，D(0，2).
求证：四边形ABCD是正方形.
y D(0，2)
A(－2，0)
C(2，0) x
B(0，－2)
能力提升
1. 在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是 正方形，还需添加一组条件. 下面给出了五组条件： ①AB=AD，且AC=BD；②AB⊥AD，且AC⊥BD； ③AB⊥AD，且AB=AD；④AB=BD，且AB⊥BD； ⑤OB=OC，且OB⊥OC. 其中符合条件的有
人教版小学三年级数学上册《长方形和正方形》课件PPT
归纳总结：
2022/1/8
认识边的名称 长方形
宽
长
正方形
边
2022/1/8
长方形和正方形有什么特点？
长方形
正方形
宽
长
边
1.动手折一折长方形，你有什么发现？
2.用尺子量一量正方形的边，你有什么发现？
3.用三角板的直角边比一比长方形和正方形的每一 个角，你有什么发现？
2022/1/8
折
2022/1/8
人教版小学三年级数学上册 《长方形和正方形》
2022/1/8
1.通过观察能描述四边形的特征。 2.能描述长方形、正方形各部分名称、特征及关系。 3.能抓住图形的特征正确地辨认长方形、正方形。
经历猜想、验证及归纳等学习过程，自主探究 出长方形、正方形的特征。
在探索中，注重类比、归纳等数学思维能力的 培养，发展空间观念。
2022/1/8
四四个角。 封闭图形。
下图是一个四边形吗？
不是四边形
2022/1/8
下图是一个四边形吗？
不是四边形
2022/1/8
四边形应该是一个封闭图形。
下图是一个四边形吗？
不是四边形
2022/1/8
四边形的特征：
由4条线段围成的封闭图形，并且都有4个角。
1.在点子图上画出几个不同的四边形。 （教材第79页做一做） 2.用两副同样的三角尺，分别拼成
一个长方形和一个正方形。 （教 材第82页第5题）
2022/1/8
Thanks
2022/1/8
填一填。
(1)
4
4 3
6厘米
厘厘
厘
米米
米
4厘米
(2)长方形和正方形都有(四 )条边，都有( 四 )个角，并 且都是直( )角；长方形的对相边等( )，正方形的边相都等( )
2022/1/8
认识边的名称 长方形
宽
长
正方形
边
2022/1/8
长方形和正方形有什么特点？
长方形
正方形
宽
长
边
1.动手折一折长方形，你有什么发现？
2.用尺子量一量正方形的边，你有什么发现？
3.用三角板的直角边比一比长方形和正方形的每一 个角，你有什么发现？
2022/1/8
折
2022/1/8
人教版小学三年级数学上册 《长方形和正方形》
2022/1/8
1.通过观察能描述四边形的特征。 2.能描述长方形、正方形各部分名称、特征及关系。 3.能抓住图形的特征正确地辨认长方形、正方形。
经历猜想、验证及归纳等学习过程，自主探究 出长方形、正方形的特征。
在探索中，注重类比、归纳等数学思维能力的 培养，发展空间观念。
2022/1/8
四四个角。 封闭图形。
下图是一个四边形吗？
不是四边形
2022/1/8
下图是一个四边形吗？
不是四边形
2022/1/8
四边形应该是一个封闭图形。
下图是一个四边形吗？
不是四边形
2022/1/8
四边形的特征：
由4条线段围成的封闭图形，并且都有4个角。
1.在点子图上画出几个不同的四边形。 （教材第79页做一做） 2.用两副同样的三角尺，分别拼成
一个长方形和一个正方形。 （教 材第82页第5题）
2022/1/8
Thanks
2022/1/8
填一填。
(1)
4
4 3
6厘米
厘厘
厘
米米
米
4厘米
(2)长方形和正方形都有(四 )条边，都有( 四 )个角，并 且都是直( )角；长方形的对相边等( )，正方形的边相都等( )
人教版《长方形和正方形》完美版课件1(共10张PPT)
②分别算出它们的周长。
②分别算出它们的周长。
要求：①看看有几种不同的拼法；
( )个正方形
（6+3+3）×2=24（cm）
捆这两个盒子分别需要多长的彩带？ 捆这两个盒子分别需要多长的彩带？
封闭图形一周的长度
，就是它的周长。 数一数有几个长方形、几个正方形？
要求：①看看有几种不同的拼法；
用两个长6cm、宽3cm的长方形，将它们拼成一个新的长方形。
四、综合运用，实践提炼
用两个长4cm、宽3cm的长方形，将它们拼成一个新的长方形。
要求：①看看有几种不同的拼法；
（6+6+3）×2=30（cm）
长方形的周长＝（长＋宽）×2
正方形的周长＝边长×4
三、动手操作
用两个长4cm、宽3cm的长方形，将它们拼成一个新的长方
形。（也可以画一画）
要求：①看看有几种不同的拼法； ②分别算出它们的周长。
30×4＋40×2＋60×2＋45 =365（厘米） 40×8＋45 =365（厘米） 答：捆这两个盒子分别需要365厘米长的彩带。
五、课堂小结
这节课你学到了哪些知识？有 哪些收获？
第十单元：总复习
长方形和正方形
一、激趣导入
数一数有几个长方形、几个正方形？
要求：①看看有几种不同的拼法； 四、综合运用，实践提炼 ②分别算出它们的周长。
要求：①看看有几种不同的拼法；
正方形的周长＝边长×4 （10+5+5）×4 = 80（厘米） （6+3+3）×2=24（cm）
左图中小正方形的边长是10厘米，大正方形的周长是多少？
要求：①看看有几种不同的拼法；
长方形的周长＝（长＋宽）×2
三年级上册数学课件 第七单元 长方形和正方形 人教版 (共55张PPT)
课后练习
四、猜一猜。 1.一个三角形去掉一个角可能变成（ 三 ）边 形或（ 四 ）边形。 2.一个四边形去掉一个角可能变成（ 三 ）边 形或（ 五 ）边形。
三年级数学上册（RJ） 教学课件
第 7 单元 长方形和正方形
第 2 课时 周 长
情景导入
封闭图形一周的长度，是它的周长。 问题：1. 你认识这些物品或图形吗？
（60+40）×2×5=1000（米）
1000米=1千米
答：他走了1000米；合1千米。
课后练习
三、李叔叔用28米长的铁丝围成一个正方形，围成的 正方形的边长是多少米？
28÷4=7（米）
答：围成的正方形的边长是7米。
课后练习
四、一口鱼塘，长40米，正好是宽的5倍，它的周长 是多少米？
40÷5=8（米） （40+8）×2=96（米）
正方形：
⑥⑦ ⑩
长方形：
②④
巩固练习
五、解决问题。 1.小华沿着一个边长是8米的正方形池塘跑了两圈， 他一共跑了多少米？
8×4×2=64（米）
答：他一共跑了64米。
巩固练习
2.一块长方形菜地，长10米，宽6米。四周围上篱笆， 篱笆长多少米？
（10+6）×2=16×2=32（米）
答：篱笆长32米。
2.黑板的面是（ 四边 ）形，手帕的面是 （ 四边 ）形。
3.
有（ 4 ）条边，有（ 4 ）个
角，它是（ 四边 ）形，也是（ 长方形 ）。
课后练习
二、找出四边形。
课后练习
三、判断。 1.四边形都有4个角。（ √ ） 2.四边形有4边直的边。（ √ ） 3.长方形和正方形都是四边形。（ √ ） 4.四边形就是长方形和正方形。（ × ）
《正方形》平行四边形PPT
A
D
B
C
对称性： 对称轴：
轴对称图形. 4条 .
阶段总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如何表述呢？ 平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 你能说出正方形具有哪些性质吗？ 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 性质：1.角的方面：四个角都是直角
3.对角线： 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；对角线平分一组对角，且 平分正方形为四个全等的等腰直角三角形 几何语言表示：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC＝BD AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC
4.对称性： 既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，分别为过 两对边中点的直线和两条对角线所在的直线，它的对称中心是对 角线的交点
当堂练习
练一练
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ A ）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°. ∵∠DAG＋∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF. ∴△BAF≌△ADG(AAS)． ∴BF＝AG，AF＝DG. ∵AG＝AF＋FG， ∴BF＝DG＋FG. ∴BF－DG＝FG.
求 ∠EAD和∠EDA的度数 . 解：∵ △BEC是等边三角形，
正方形的性质课件
学一学
例1. 如图，在正方例A题BC解D中析，对角线AC、
BD相交于O，
1)图中有多少个等腰直角三角形
2)说出图中相等的线段、相等的角。
3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.正方形ABCD，对角线交于0， 1)若AB=2㎝，则AC=_____,OA=_____,周长____，面积_____。 2)若OB=2㎝，则AC=_____,AB=_____,周长____，面积_____。 3)若AC+BD=8㎝，则AC=_____,AB=_____,正方形面积_____。 2.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.
A
D
O
B
C
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B） A、四个角相等. B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等.
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ D ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.
对角线: 分别平分两组对角
创设情景一
┓90°
问题: 从这个图形中你能得到什么？ 你是怎样想到的？
当 =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊 的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
情景二
A
D
A
D
B
C
问题:
B
C
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？ （CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
答图
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数学 九年级上册 BS版
∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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正方形的性质与判定-优质课件(1)
等的
√
等腰直角三角形（ ）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(3)如果一个菱形的√对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(4)如果一个矩形的对角√线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
是正方形（ ）
第三十八页，共79页。
×
× ×
× ×
（6）正方形一定(yīdìng)是矩√形．（ ）
第五十四页，共79页。
2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点(jiāodiǎn)为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明(zhèngmíng)：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方 形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
例1、求证(qiúzhèng)：正方形的两条对 角线把正方形分成四个 已知：如图正方全形A等BCD的对角等线腰AC直、B角D相三交(角xiā形ngj。iāo)
于点O。 求证(qiúzhèng)： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
第四十八页，共79页。
3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交(xiāngjiāo)于O，
∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
∴∠CEA＝∠ABG
第五十五页，共79页。
3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别
(fēnbié)在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`
＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
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正方形的性质=
2021/02/01
8
正方形性质:
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
2021/02/01
0D
9
轴对称图形 2条对称轴
轴对称图形 2条对称轴
轴对称图形 4条对称轴
2021/02/01
你能有什么规律？ 10
练习1：判断
（1）四个角都相等的四边形是正方形
CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
2021/02/01
21
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
2021/02/01
17
2：矩形ABCD中，CE⊥BD于E， ∠DCE：∠ECB=3：1，求∠ACE 的度数。
D
C
A 2021/02/01
O E
B
18
3.如图，在正方形ABCD中，E在BC的 延长线上，且CE=AC，AE交CD于F， 则求∠AFC的度数。ADFB
C
2021/02/01
E
19
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
2021/02/01
20
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为
!
开始寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
2021/02/01
1
2021/02/01
2
正方形 矩形
实验与观察一：折叠矩形纸片
2021/02/01
3
正方形 菱形
实验与观察二：转动菱形模型
2021/02/01
4
1． 正方形的定义
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON
∴OA－OM＝OB－ON
即AM＝BN
202下1/02/0面1 大家自己完成证明
16
做一做：
（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方 形，求证：MD=KB。
2021/02/01
27
2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是
（填上一个条件即可）
2021/02/01
28
例２：下列正确的是
Ａ. 四边相等的四边形是正方形 Ｂ．四角相等的四边形是正方形 Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形 Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边 形是正方形
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
2021/02/01
12
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，且AC＝6 2 cm，如图
求：正方形的面积S。
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。
2021/02/01
5
平行四边形，矩形， 菱形，正方形的关系!
2021/02/01
6
平行四边形
矩形
正
方 形
菱 形
2021/02/01
7
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
2021/02/01∴∠CEA＝∠ABG
23
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
2021/02/01
24
1.平行四边形
常
有一组邻边相等 有一个角是直角
见
说
2.矩形
3.菱形
2021/02/01
有一组邻边相等
明
正方形 方
有一个角是直角
法
25
思考：
１．一个矩形的２条对角线互相垂直， 它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它 是正方形吗？
2021/02/01
26
例1：1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有：
AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
还需要的条件是 AM＝BN
你2能021/02完/01 成证明吗???
条件够吗？
15
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
(2) BH⊥AF
2021/02/01
22
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
2021/02/01
13
练习3：已知：如图点A’、B’、C’、D
分别是正方形ABCD的四条边上的点，
并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
A
D/ D
A/ C/
2021/02/01
B B/
C14
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）对角线相等的菱形正方形
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形
（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形
（6）四边相等，有一角是直角的四边形是
正方形
2021/02/01
11
范例精讲 例1求证：正方形的两条对角线把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形。
．已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD 相交于点O。
2021/02/01
8
正方形性质:
边: 对边平行 四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
2021/02/01
0D
9
轴对称图形 2条对称轴
轴对称图形 2条对称轴
轴对称图形 4条对称轴
2021/02/01
你能有什么规律？ 10
练习1：判断
（1）四个角都相等的四边形是正方形
CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
下面的证明请大家完成
2021/02/01
21
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
2021/02/01
17
2：矩形ABCD中，CE⊥BD于E， ∠DCE：∠ECB=3：1，求∠ACE 的度数。
D
C
A 2021/02/01
O E
B
18
3.如图，在正方形ABCD中，E在BC的 延长线上，且CE=AC，AE交CD于F， 则求∠AFC的度数。ADFB
C
2021/02/01
E
19
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
2021/02/01
20
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为
!
开始寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之 于人.
• 条理清晰，因果相应,言必有据 .是初学证明者谨记和遵循的原 则.
2021/02/01
1
2021/02/01
2
正方形 矩形
实验与观察一：折叠矩形纸片
2021/02/01
3
正方形 菱形
实验与观察二：转动菱形模型
2021/02/01
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1． 正方形的定义
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形
∴OA＝OB ,
∠1＝∠2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON
∴OA－OM＝OB－ON
即AM＝BN
202下1/02/0面1 大家自己完成证明
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做一做：
（1）已知：如图，ABCD和AKLM都是正方 形，求证：MD=KB。
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2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是
（填上一个条件即可）
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例２：下列正确的是
Ａ. 四边相等的四边形是正方形 Ｂ．四角相等的四边形是正方形 Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形 Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边 形是正方形
求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
2021/02/01
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练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O，且AC＝6 2 cm，如图
求：正方形的面积S。
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。
2021/02/01
5
平行四边形，矩形， 菱形，正方形的关系!
2021/02/01
6
平行四边形
矩形
正
方 形
菱 形
2021/02/01
7
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS)
2021/02/01∴∠CEA＝∠ABG
23
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
2021/02/01
24
1.平行四边形
常
有一组邻边相等 有一个角是直角
见
说
2.矩形
3.菱形
2021/02/01
有一组邻边相等
明
正方形 方
有一个角是直角
法
25
思考：
１．一个矩形的２条对角线互相垂直， 它是正方形吗？
２．一个菱形的２条对角线相等，它 是正方形吗？
2021/02/01
26
例1：1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有：
AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
还需要的条件是 AM＝BN
你2能021/02完/01 成证明吗???
条件够吗？
15
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
(2) BH⊥AF
2021/02/01
22
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
2021/02/01
13
练习3：已知：如图点A’、B’、C’、D
分别是正方形ABCD的四条边上的点，
并且AA'=BB'=CC'=DD'
求证：四边形A'B'C'D'是正方形
A
D/ D
A/ C/
2021/02/01
B B/
C14
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O， MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
（2）四条边都相等的四边形是正方形
（3）对角线相等的菱形正方形
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形
（5）对角线垂直且相等的四边形是正方形
（6）四边相等，有一角是直角的四边形是
正方形
2021/02/01
11
范例精讲 例1求证：正方形的两条对角线把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形。
．已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD 相交于点O。