比-抓不变量解题
抓不变量解题技巧
抓不变量解题技巧
抓不变量是解题中重要的技巧之一。
不变量是指在问题的求解过程中保持不变的性质或条件。
通过抓住不变量，可以帮助我们更好地理解问题，分析问题，以及找到解决问题的方法。
以下是一些抓不变量的技巧：
1. 观察问题的性质：仔细观察问题，找出其中保持不变的性质。
这可能涉及到数据结构的变化、某种关系的变化或者特定的条件。
2. 列举特例：通过列举一些特殊情况，观察问题的变化规律。
这可以帮助我们找到问题保持不变的部分，并推导出通用的规律。
3. 使用归纳法：如果可以证明某种性质在问题的每一步都得以保持，那么该性质就是一个不变量。
使用归纳法来证明问题中的不变量，可以帮助我们更好地理解问题的解决过程。
4. 分析问题的关键步骤：将问题的求解过程分解为多个步骤，分析每个步骤中保持不变的性质。
这有助于我们更好地理解问题的解决方法，并指导我们进行下一步的求解。
5. 使用反证法：如果可以证明存在某个假设，使得问题的不变量被破坏，那么这个假设就是错误的。
通过使用反证法，可以帮助我们找到问题的不变量，并排除一些错误的假设。
6. 运用数学技巧：对于一些数学问题，我们可以使用一些数学技巧来抓住不变量。
例如，使用数学归纳法，找到问题中递推的关系等。
以上是一些常用的抓不变量的技巧，通过运用这些技巧，我们可以更好地分析和解决问题。
抓不变量解题(六年级难点应用题训练)
抓不变量解题1．甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5。
那么两包糖果重量的总和是多少？2。
小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。
如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3 ：5。
这本书共有多少页？3。
运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4。
如果再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3 ：7。
这批货物共多少吨？4。
六年级二班同学分成两个小组做游戏，开始时甲、乙两个组的人数比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢到了乙组，这时甲、乙两组人数比是1：2．甲组原有同学多少人?5。
甲、乙两书架的数量比是4：1，如果从甲书架取出13本书放入乙书架，甲、乙两书架的数量比变为7：5，那么两书架的数量总和是多少本？6。
修一条公路，已修长度和未修长度的比是1：5，又修了490米后，已修长度和未修长度的比是3：1，这时未修公路的长度为多少米？7。
甲、乙两人原来钱数的比是3：4，后来甲原来有多少元？8。
一条公路，已修的与剩下的比是1：3，再修20千米，已修的与全长的比是2：5，这条公路长多少千米？9.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的4，后来又从乙组调16人到甲组，5这是乙组人数是甲组的3，甲、乙两组原来4各有多少人？10.甲、乙两校原有篮球只数的比是2︰1，如果甲校给乙校4只篮球，甲、乙两校篮球只数的比就是4︰3。
原来甲校有篮球多少只？11.小明读一本书，第一天读了全书的20%，第二天读了28页，这时读的页数与剩下页数的比是5：6，小明读的这本书共有多少页？12.小明看一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是2：7，第二天读了68页，已读的和未读的页数比是4：5．这本书共有多少页？13.张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与未完成的个数比是1：4，如果再加工15个，就完成了这批零件的一半，张师傅第一天完成了多少个零件？14.甲、乙两箱苹果的个数之比是5：2，如果从甲箱取出5个放入乙箱后，甲、乙两箱苹果的数量比是9：5，则两箱苹果共有多少个？15.如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两仓库各存货物多少吨？16.小明和小芳星期天一起到新华书店去买书，所带钱数的比是11：3，如果小明给15元小芳，那么小明、小芳的钱数比就是4：3．小明和小芳各带了多少钱？17.六（2）班同学报名参加绘画兴趣组，一开始有13的人报名，后来又有5人报名，这样，参加人数与不参加人数的比是4：5，六（2）班共有多少个同学？18.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的4/5，后来又从乙组调16人到甲组，这是乙组人数是甲组的3/4，甲、乙两组原来各有多少人？19. 乙队原有人数是甲队的。
北师大版-数学-六年级上册-《比的应用》能力提升 运用抓不变量法解决稍复杂的比的应用问题
小学-数学-打印版
小学-数学-打印版 1 运用抓不变量法解决稍复杂的比的应用问题
例2 蓝天小学和新世纪小学学生人数的比为3:5。
如果从蓝天小学转入新世纪小学150人，则蓝天小学与新世纪小学学生人数的比为3:7，求原来蓝天小学和新世纪小学各有多少人。
分析 原来两所小学学生人数的比是3:5，蓝天小学学生人数占两所小学学生总人数的38，新世纪小学学生人数占两所小学学生总人数的5
8；变化后两所小学学生人数的比是3:7，蓝天小学学生人数占两所小学学生总人数的3
10，新世纪小学学生人数占两所小学学生总人数的7
10。
无论是变化前还是变化后，两所小学学生总人数是不变的，蓝天小学学生人数在变化前占学生总人数的38，变化后占学生总人数的310，变化前后减少了（33810-），是因
为蓝天小学转入新世纪小学150人，由此可以求出两所小学学生的总人数，再分别求出每所小学的学生人数。
解答 学生总人数：150÷（33810-
）=2000（人）
蓝天小学学生人数：2000×3
8=750（人）
新世纪小学学生人数：2000×5
8=1250（人）
答：原来蓝天小掌有750人，新世纪小学有1250人。
提示
根据两所小学学生总人数不变来分析问题是解决此题的关键。
抓不变量解应用题
则甲原来的分数占总分数的 总分数的
,甲后来的分数占
。也就是说22.5分占总分数的 （分）
。
甲、乙两人的总分数是 甲原来得了 （分），乙原来得了
（分）
4
例பைடு நூலகம்：一个瓶内原有的盐的质量是水的 ,加入 15克盐后，盐的质量占盐水总质量的 。求瓶 内原有盐水多少克？
（部分量不变：水的质量不变）
5
水的质量不变，我们把它看作单位“1”
加入15克盐后，盐的质量占水的 来盐的质量是水的
水的质量为 由此可知，瓶内原有盐水
，原
，
（克） （克）
6
例3：商店有甲、乙两种商品，已知原来甲 的价格是乙的3/5，将它们分别提价50元 后，甲的价格是乙的7/10，求原来甲、乙 两种商品的价格各是多少元？
（差不变：提价前后两种商品的价格差不变）
7
提价前后两种商品的价格差不变，把它看作单位“1”
原来甲的价格占价格差的 ，后来甲的价 格占价格差的 ，甲、乙两种商品的价格 差为 （元） 甲原来的价格是 乙原来的价格是 （元） （元）
8
找准不变量，把不变量看做单位 “1”，以其为突破口，进行解答。
9
罗治宏
不变量问题有三种常见类型： 1.总量不变（和不变）
2.部分量不变 3.差不变
2
例1： 甲、乙两名同学的分数之比是5：4，如
果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的 分数之比是5：7，问甲、乙两名同学原来各 得了多少分？
（总量不变：甲乙两人的总分数不变）
3
甲、乙两名同学的总分数不变，把它看作单位“1”
六年级数学分数应用题-抓不变量(2)
多种方法解决分数应用题（2）——抓不变量解题姓名_______________ 班级 _______________一、填空题1.甲仓库有粮食180吨，乙仓库有粮食120吨，甲仓库运出一部分到乙仓库后，乙仓库与甲仓库的粮食比为7：3。
甲仓库运了（）吨粮食到乙仓库。
2.甲乙两车间原有人数比是3：2，甲车间调48人到乙车间后，甲车间与乙车间的人数比是2：3。
两车间原有（）人。
3.一班和二班人数比是8：7，如果将一班的3名同学调到二班去，则两个班人数相等。
两个班共有学生（）人。
4.某车间男女工人人数比是2：5，现调走10名女工，现在男女人数之比是4：9，原来车间男工（）人，女工人有（）人。
5.一个书架有上下两层。
上层放书的本书与下层的比是8:5，如果从上层拿12本放入下层，那么两层放的书同样多。
这个书架上层原有图书（）本，下层原有图书（）本。
二、解决问题。
1、操场上有108名同学在锻炼身体，其中女生占29，后来又来了几名女生，这时女生人数达到男生的37。
后来有来了几名女生2、第一桶柴油是第二桶的6倍，从第一桶取出12千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4倍。
原来第一桶有柴油多少千克3、两个工程队，原来甲队人员比乙队少14 ，后来甲队增加２１人，这时乙队人员是甲队的89，现在甲队有多少人4、新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生４８人，六年二班有学生５６人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多211，两个班各转出多少人5、有两根蜡烛，一根长18cm ，另一根长16cm ，把两根蜡烛都烧掉同样的长度之后，短的长度是长的一根的56 ，求每根蜡烛都烧掉了多少厘米6、一杯盐水，盐占盐水的15 ，现在把这杯水蒸发，蒸发了20克水后，盐占盐水的14 ，原来盐和水各多少千克7、教室里有36个学生，其中女生占 59 ，后来又来了几个女生，这时候女生占总人数的1119，后来又来了多少个女生8、某科技兴趣小组中女生占712，后来又转来了15女生，这样女生占总人数的35。
分数应用题比的应用抓住不变量结合复习
分数应用题 抓住不变量 比的应用例1、一根竹竿露出水面2米，泥中部分占全长的52，水中部分比泥中部分多1米。
这根竹竿全长多少米？2、一辆客车从甲地开往乙地，已行了全程的53还多22米，还剩全程的81，客车已行了多少千米？3、一桶油，第一次用去51，第二次比第一次多用去20千克，还剩16千克，这桶油有多少千克？例2、某校六（1）班有学生46人，六（2）班比全年级人数的31多2人，这两个班人数的和共占全年级人数的75，六年级共有学生多少人？【巩固训练】1、水果店运来一批水果，已知苹果100千克，梨比水果总数的41多8千克，苹果和梨一共占这批水果的125。
这批水果一共有多少千克？3、一根钢管，第一次截取全长的41，第二次截取2米，剩下的比全长的一半多1米，这根钢管长多少米？例3、六（1）班人数比六（2）班多16人，已知六（1）班人数的41与六（2）班人数的31相等，六（1）班和六（2）班各有学生多少人？【巩固训练】1、金洋希望小学六年级的学生人数的91与五年级人数的81相等，已知六年级比五年级多17人，五六年级各有多少人？例4、化肥厂运一批化肥，第一天运了总数的81多16吨，第二天运了总数的61少2吨，还剩88吨没有运，这批化肥共有多少吨？1、胜利小学有学生若干人，男生比全校学生总数的31多200人，女生比全校学生总数的43少285人。
全校共有学生多少人？2、某服装厂，去年上半年完成全年计划的85，下半年生产了7600套服装，结果全年超额完成了101，原计划生产服装多少套？1、一堆砖，用去了它的103后，又增加了340块，这时砖的总块数比原来没有用时的块数多81，原来有多少块砖？2、甲乙两车同时从A 、B 两地相向而行，相遇时乙车行的路程占甲车行的32，相遇后甲车又行了96千米，共行了全程的54，求A 、B 两地相距多少千米？3、乙堆煤比甲堆煤多24吨，甲堆煤运走43后，剩下的等于乙堆煤的51，甲堆煤多少吨？4、兄弟两人共有存款2000元，哥哥取出自己存款的61后，还比弟弟多200元，兄弟俩原来各有存款多少元？5、一辆公共汽车在发车时，车上共有72。
抓不变量解题(六年级难点应用题训练)
抓不变量解题1．甲、乙两包糖果的重量的比是4 ：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7 ：5。
那么两包糖果重量的总和是多少？2。
小明读一本书，已读的和末读的页数比是1 ：5。
如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3 ：5。
这本书共有多少页？3。
运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1 ：4。
如果再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3 ：7。
这批货物共多少吨？4。
六年级二班同学分成两个小组做游戏，开始时甲、乙两个组的人数比是5：3，游戏结束时甲组有14人被抢到了乙组，这时甲、乙两组人数比是1：2．甲组原有同学多少人?5。
甲、乙两书架的数量比是4：1，如果从甲书架取出13本书放入乙书架，甲、乙两书架的数量比变为7：5，那么两书架的数量总和是多少本？6。
修一条公路，已修长度和未修长度的比是1：5，又修了490米后，已修长度和未修长度的比是3：1，这时未修公路的长度为多少米？7。
甲、乙两人原来钱数的比是3：4，后来甲原来有多少元？8。
一条公路，已修的与剩下的比是1：3，再修20千米，已修的与全长的比是2：5，这条公路长多少千米？9.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的4，后来又从乙组调16人到甲组，5这是乙组人数是甲组的3，甲、乙两组原来4各有多少人？10.甲、乙两校原有篮球只数的比是2︰1，如果甲校给乙校4只篮球，甲、乙两校篮球只数的比就是4︰3。
原来甲校有篮球多少只？11.小明读一本书，第一天读了全书的20%，第二天读了28页，这时读的页数与剩下页数的比是5：6，小明读的这本书共有多少页？12.小明看一本书，第一天读了一部分，已读的和未读的页数比是2：7，第二天读了68页，已读的和未读的页数比是4：5．这本书共有多少页？13.张师傅加工一批零件，第一天完成的个数与未完成的个数比是1：4，如果再加工15个，就完成了这批零件的一半，张师傅第一天完成了多少个零件？14.甲、乙两箱苹果的个数之比是5：2，如果从甲箱取出5个放入乙箱后，甲、乙两箱苹果的数量比是9：5，则两箱苹果共有多少个？15.如果从甲仓库搬67吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的2倍；如果从甲仓库搬17吨货物到乙仓库，那么甲仓库的货物正好是乙仓库的5倍，原来两仓库各存货物多少吨？16.小明和小芳星期天一起到新华书店去买书，所带钱数的比是11：3，如果小明给15元小芳，那么小明、小芳的钱数比就是4：3．小明和小芳各带了多少钱？17.六（2）班同学报名参加绘画兴趣组，一开始有13的人报名，后来又有5人报名，这样，参加人数与不参加人数的比是4：5，六（2）班共有多少个同学？18.有甲、乙两个课外活动小组，甲组的人数是乙组的4/5，后来又从乙组调16人到甲组，这是乙组人数是甲组的3/4，甲、乙两组原来各有多少人？19. 乙队原有人数是甲队的。
抓住不变量解应用题
应用题中的不变量一、部份量不变例1、育红小学六年级图书角原先有科技书与文艺书本数比是5∶6，借出10本科技书后，科技书与文艺书本数比是3∶4。
科技书原先有多少本？解法一：此题文艺书本数不变。
由原先有科技书是文艺书本数的56，此刻科技书是文艺书本数的34，那么文艺书本数是10÷（56－34）本，得科技书原先有的本数。
10÷（56－34）×56＝10÷112×56＝100（本）解法二：此题文艺书本数不变。
由科技书与文艺书本数比。
原先 5∶6＝10∶12此刻 3∶4＝9∶12那么文艺书本数的份数12不变，得科技书原先有的本数。
10÷（10－9）×10＝100（本）例二、小军原有的钱数是小明的3/4，小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17。
小军原先有多少元钱？[思路点拔]：题中小军的钱数减少了，总钱数也减少了，但小明的钱数没有变，因此，咱们能够把小明的钱数看做单位“1”。
这时“小军用去100元后，这时小军的钱数是两人总钱数的5/17”就转化为“小军用去100后，这时小军的钱数是小明的5/(17-5),即5/12”，再依照题中前两个条件可知，100元相当于小明的钱数的3/4-5/12=1/3。
因此小明的钱数是100÷1/3=300(元)，小军原有钱数是300×3/4=400（元）例3、唐洋小学六（4）班男生人数占班级总人数的9/16，后来又转走了4名男生，这时男生人数占班级总人数的8/15,求六（4）班原先有学生多少名？[思路点拔]：从男生转走了4名看出，男生人数和班级总人数都发生了转变，但女生人数没有变。
因此能够把女生人数那个不变量看做单位“1”，原先男生人数占班级总人数的9/16,女生人数就占班级总人数的1-9/16=7/16,原先男生人数是女生人数的9/16÷7/16=9/7；此刻男生人数占总人数的8/15，女生人数就占班级总人数的1-8/15=7/15,此刻男生人数是女生人数的8/15÷7/15=8/7,男生人数减少了4名，分率减少了9/7-8/7=1/7,据此求出女生人数为4÷1/7=28(名)，六（4）班原有学生人数是28÷7/16=64(名)例4、有含糖率为7%的糖水600克，要使含糖率变成10%，需再加入多少克糖?[思路点拔]：糖水600克中有水:600*(1-7%)=558克，因此,此刻糖水总量是:558/(1-10%)=620克那么要加糖:620-600=20克例五、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡,后来又买回假设干只公鸡后，母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？[思路点拔]：第一，找准不变量：母鸡只数，能够直接计算出来，算出其只数80×(1－)=44只。
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抓不变量解题
，现在再招收一批女职工，那【例1】（知总数，部份量不变）织布厂原有职工250人，其中女职工占7
10。
现在全厂有职工多少人？
么女职工就占全厂现有职工总数的4
5
练1：六（1）班有36名学生，男生数量与女生数量的比是5:4，后来又转来几名男生，这时男生与女生的数量比是11:8。
后来又转来了几名男生？
练2：盒子里有红球和黄球共28个，红球与黄球的数量之比是9:5，后来从盒子里拿出几个红球后，红球与黄球的数量比是3:2，后来从盒子里拿出了几个红球？
【例2】（和不变）甲、乙两队人数比是7：8，从甲队派30人去乙队，那么甲、乙两队人数比是2：3.则甲队原有多少人？
1/ 7
练1：一辆客车从甲站开往乙站，途径某地时，已行路程与剩下路程的比是3:5，再行27千米后，已行路程与剩下路程的比变为3:2。
甲、乙两站相距多少千米？
练2：小丽读一本书，读了几天以后，已读的页数与未读页数的比是3：5，后来又读了27页，这时已读页数与未读页数的比是9：7，这本书共有多少页？
练3：甲、乙两名同学的分数比是5：4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5，那么他们的分数比是5：7，甲、乙原来各得多少分？
【例3】（差不变）今年，小清与她爷爷的年龄比是1：6，3年后，小清与她爷爷的年龄比是1：5，小清今年多少岁？
2/ 7
练1：甲乙两袋糖果的质量比是3：2，如果向甲乙两袋分别加入6kg，这时甲乙两袋的质量比是7：5，原来甲乙两袋一共有多少kg？
练2：甲、乙两个人原来的钱数比是3：4，后来甲给乙50元，这时甲、乙两人的钱数比是1：2。
甲、乙共有多少元钱？
，又来了10名男生后，男生人数占总人数【例4】（知变化量，部份量不变）阅览室里男生占总人数的1
3
，阅览室原来有多少人？
的3
5
练1：袋子里有若干个皮球，其中花皮球占5
，后来又往袋子里放入6个花皮球，这时花皮球占总个数的
12
1。
现在袋子里有多少个皮球？
2
3/ 7
练2：操场上做游戏的学生中，男生占4
，后来又来了5个男生，这时男生和女生人数一样多。
现在操场上
9
一共有多少个学生做游戏？
【例5】某服装厂生产一批校服，已经完成了总套数的1
，如果再生产600套，已完成的与剩下的套数比是
3
2：3.这批校服有多少套？
练1：一辆客车从甲地到乙地，第一天行驶了全程的1
，第二天行驶了450km，这时已行路程和剩下路程的
5
比是3：7。
甲乙两地相距多少千米？
练2：小红看一本书，已看的页数与未看的页数的比是1:5，如果再看10页，这时已看页数与未看页数的比是1：5，如果再看10页，这时已看页数占总页数的25%，这本书共有多少页？
4/ 7
练3：一根电线，第一次用去全长的1
，第二次用去23米，这时已用和没用的电线的长度比是4:5，这根电
8
线原来有多少米？
巩固练习
1.一种盐水80克，盐与水的比是1：19，现在要使这种盐水变淡，知道盐与水的比是1:25，需要加水多
少克？。
如果少收2 2.煤气收款员到一幢楼收收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占已交款户数的1
8
，这幢楼有多少住户？
户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1
2
3.一辆动车从甲地开往乙地，途径乙地时，已行驶的路程与剩下的路程比是3:5，如果再行驶27千米，
已行驶的路程与剩下的路程比是3:2，丙地据乙地多少千米？
5/ 7
6 / 7
4. 2029
的分母加上整数A ，分子同样减去整数A ，得到2
5
，A 等于多少？
5. 果园里有苹果树和梨树一共800棵，其中苹果树占3
5
，后来又栽了一些苹果树，这时苹果树占总棵树
的17
25。
后来又栽了多少棵苹果树？
6. 爸爸今年32岁，小明今年7岁，多少年前，小明的年龄是爸爸年龄的1
6？
7. 分数37
33
的分子、分母同时加上一个自然数，约分后等于3
4
，这个自然数是多少？
7 / 7
8. 甲数和乙数的比是43
，若甲数和乙数都减去72，那么甲数和乙数的比为18
13
，则甲数和乙数原来是多
少？
9. 学校图书馆原有故事书和科技书共13800本，故事书与科技书的数量比是14:9，后来学校又购进了同
样多的科技书和故事书，这时故事书与科技书的数量比是17:11。
故事书和科技书现在各有多少本？
10. 一堆黑白围棋子，从中取走白子15粒，余下黑子数与白子数之比为2:1，此后又从中取走了黑子45
粒，余下黑子数与白子数之比为1:5，那么这堆围棋子原来共有多少粒？
11. （2018年成都某青阳区招生）一辆汽车从A 地开往B 地，第1小时行了全程的1
3，第2小时行了
4km 。
这时剩下的路程与已行路程的比是2:3，求A 、B 两地之间相距多少千米？。