运筹学3-3运输问题的表上作业法-zff
运筹学运输问题表上作业法答案Word
运筹学运输问题,表上作业法运筹学李细霞 2013物流工程1班 2014~2015学年第二学期运筹学运输问题,表上作业法课程主要内容绪论线性规划及单纯形法对偶理论与灵敏度分析目标规划整数规划运输问题动态规划图与网络运筹学运输问题,表上作业法第三章运输问题Transportation problem运筹学运输问题,表上作业法学习目标什么是运输问题？复杂运输问题如何解决运输问题？运筹学运输问题,表上作业法用单纯形法求解线性规划问题的步骤基本可行解基变换初始解最优性检验调整检验数18运筹学运输问题,表上作业法表上作业法单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法运筹学运输问题,表上作业法表上作业法步骤1.西北角法 2.最小元素法3.伏格尔法闭回路法初始方案最优性检验方案调整1.闭回路法2.位势法20运筹学运输问题,表上作业法B1 A1 A2 A3 销量B2B3B4 10 8 5 6产量 7 4 9总产=总销31 7 311 94 632 10 5运筹学运输问题,表上作业法最小元素法西北角法初始方案的确定伏格尔法运筹学运输问题,表上作业法西北角法B1 A1 A2 A3 销量3 4有何疑问？B2 4 2B3B4产量32 3 67 4 93656Z cij xij 3 3 11 4 9 2 2 2 10 3 5 6 108i 1 j 123 运筹学运输问题,表上作业法西北角法的优劣？太简单咯！最优解有点望尘莫及呢24。
运筹学运输问题的表上作业
运筹学运输问题的表上作业1. 引言运输问题是运筹学中的一个重要问题，通过合理的分配资源和规划运输路径，可以最大限度地降低物流成本、提高运输效率。
在实际应用中，我们经常需要将运输问题转化为线性规划模型，并采用表格形式进行求解。
本文将详细介绍运筹学运输问题的表上作业，包括问题背景、模型建立、求解方法以及实际应用。
2. 问题背景假设某公司有m 个供应地点和n 个需求地点，需要将某种物品从供应地点运输到需求地点。
每个供应地点的供应量和每个需求地点的需求量已知，并且每单位物品的运输成本也已知。
我们的目标是确定每个供应地点向每个需求地点运输的数量，使得总运输成本最小。
3. 模型建立为了建立运输问题的数学模型，我们需要引入一些符号和变量。
3.1 符号说明• X ij : 表示从供应地点i 运输到需求地点j 的数量• c ij : 表示从供应地点i 运输到需求地点j 的单位运输成本• s i : 表示供应地点i 的供应量• d j : 表示需求地点j 的需求量3.2 目标函数我们的目标是最小化总运输成本，即最小化Z =∑∑c ij n j=1m i=1X ij 。
3.3 约束条件1. 每个供应地点运输的物品数量不能超过其供应量，即∑X ij n j=1≤s i , ∀i =1,2,…,m 。
2. 每个需求地点运输的物品数量必须满足其需求量，即∑X ij m i=1≥d j , ∀j =1,2,…,n 。
3. 非负约束条件，即X ij ≥0, ∀i =1,2,…,m; ∀j =1,2,…,n 。
4. 求解方法运输问题可以通过线性规划进行求解，常用的方法有西北角法、最小元素法、Vogel 法等。
4.1 西北角法西北角法是一种直观且容易理解的方法。
其步骤如下：1. 从表格的西北角开始，选择供应量最大的供应地点和需求量最大的需求地点交叉处为基本可行解。
2. 根据基本可行解，确定每个供应地点和需求地点的剩余供应量和需求量。
运输问题表上作业法
v1
v2
v3
以初始调运方案为例，设置对偶变量 和 ui ， v j 然后构造下面的方程组：
u1 v1 c11 90
uu12
v3 v2
c13 c22
100 65
u2 v3 c23 75
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是 σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20 σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15 与前面用闭回路法求得的结果相同。
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是 σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20 σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15 与前面用闭回路法求得的结果相同。
复习比较检验数计算的两种方法 闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
（一）解改进的步骤为：
1．（如存在多个非基变量的检验数为负 时，以最小负检验数所在空格对应的变 量）为换入变量，找出它在运输表中的 闭回路； 2．以这个空格为第一个奇数顶点，沿闭 回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭 回路上的每个折点依次编号；
解的改进步骤续：
3．在闭回路的所有偶数折点中，找出运输量 最小的一个折点，以该格中的变量为换出变量； 4．将闭回路上所有奇数折点的运输量都增加 这一换出变量值，所有偶数折点处的运输量都 减去这一数值，最终得出一个新的运输方案。 对得出的新方案再进行最优性检验，如不是最 优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到 得出最优解为止。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
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果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
运输问题 表上作业法
相抵后，总的运费增加了1个单位。由检验数的经济
含义可以知道，（A，甲）处单位运量调整所引起的
运费增量就是（A，甲）的检验数，即σ 11=1。
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空 格的检验数，表4-25～表4-30展示了各 检验数的计算过程，表4-30给出了最终 结果。可以证明，对初始方案中的每一 个空格来说“闭合回路存在且唯一”。
丁
3（+10） 24 = -1 3（-5）
6
产量（ai）
7 4 9
丁 3 24 = -1 3 6
产量（ai） 7 4 9
如果检验数表中所有数字均大于等于零， 这表明对调运方案做出任何改变都将导 致运费的增加，即给定的方案是最优方 案。在表4-30中， 24 = -1,说明方案 需要进一步改进。
表4-4 甲乙 丙
A
B
3
1
C
销量（bj） 3
6
5
表4-5
甲乙 丙
A
3 11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
销量（bj） 3
6
5
丁 产量（ai） 7 4 9
6
丁 产量（ai）
10
7
8
4
5
9
6
表4-5
甲乙 丙
A
3 11
3
B
1
9
2
C
7
4
10
销量（bj） 3
6
5
丁 产量（ai）
10
7
8
4
5
9
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
第三讲运输运输问题的表上作业法1.表上作业法的基本思想
第三讲运输运输问题的表上作业法 1.表上作业法的基本思想第三讲运输运输问题的表上作业法经济管理学院王垚经济管理学院王垚1.表上作业法的基本思想经济管理学院王垚经济管理学院王垚先设法给出一个初始方案,然后根据确定的判别准则对初始方案进行检查、调整、改进，直至求出最优方案，表上作业法和单纯形法的求解思想完全一致，但是具体作法更加简捷。
经济管理学院王垚经济管理学院王垚确定初始方案( 初始基本可行解)改进调整（换基迭代）否判定是否最优？是结束图运输问题求解思路图经济管理学院王垚经济管理学院王垚2.初始方案的确定经济管理学院王垚经济管理学院王垚（1）作业表（产销平衡表）经济管理学院王垚经济管理学院王垚作业表（产销平衡表）初始方案就是初始基本可行解。
将运输问题的有关信息表和决策变量——调运量结合在一起构成“作业表”（产销平衡表）。
经济管理学院王垚经济管理学院王垚调销地运量产地B1B2产量9><>A1 c11 X11c12 X12c13 X13<>a1<>A2c21 X21c22 X22c23 X23<>a2销量b1b2b3运输问题作业表（产销平衡表）经济管理学院王垚经济管理学院王垚其中：xij是决策变量，表示待确定的从第i个产地到第j个销地的调运量cij为从第i个产地到第j个销地的单位运价或运距。
经济管理学院王垚经济管理学院王垚确定初始方案的步骤：Step1：选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=将具体数值填入xij在表中的位置；经济管理学院王垚经济管理学院王垚Step2：调整产销剩余数量从ai和bj中分别减去xij的值：若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有需求缺口bj-ai若bj-xij =0，则划去销地Bj所在的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai尚有存余量ai-bj；经济管理学院王垚经济管理学院王垚Step3：当作业表中所有的行或列均被划去说明所有的产量均已运到各个销地，需求全部满足，xij的取值构成初始方案。
运筹学 第三章 运输问题
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运输问题_表上作业法
填入数字的格才能向左或右转90度（当然也
可以不改变方向）继续前进，这样继续下去，
直至回到出发的那个空格，由此形成的封闭
折线叫做闭合回路。一个空格存在唯一的闭
回路。
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运输问题_表上作业法
1.闭合回路
所谓闭合回路法，就是对于代表非基变量的 空格（其调运量为零），把它的调运量调整 为1，由于产销平衡的要求,我们必须对这个 空格的闭回路的顶点的调运量加上或减少1。 最后我们计算出由这些变化给整个运输方案 的总运输费带来的变化。如果所有代表非基 变量的空格的检验数也即非基变量的检验数 都大于等于零，则已求得最优解，否则继续 迭代找出最优解。
相抵后，总的运费增加了1个单位。由检验数的经济
含义可以知道，（A，甲）处单位运量调整所引起的
运费增量就是（A，甲）的检验数，即σ11=1。
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运输问题_表上作业法
仿照此步骤可以计算初始方案中所有空 格的检验数，表4-25～表4-30展示了各 检验数的计算过程，表4-30给出了最终 结果。可以证明，对初始方案中的每一 个空格来说“闭合回路存在且唯一”。
甲
乙
丙
A
B
C
•6
销量（bj） 3
6
5
•表4-14
甲 乙丙
A
3
11
3
B
1
9
2
C
7
4 10
两最小元素之差
•2 5
•1
丁
产量（ai）
7
4
9
6
丁 两最小元素之差
10
•0
8
•1
•5
•2
3
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运输问题_表上作业法
运输问题的表上作业法
3
版权所有 违者必究
精品课程《运筹学》
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例1：三煤矿A1，A2，A3运往B1，B2，B3，B4三个城市 销售，各煤矿的供应量和需求量如下页表，各城市的需 求量其间的距离(或单位运价)cij如表下页表方格中的数 据所示，试建立使总运输量(或总运费)最小的运输问题 数学模型。
销售地Bj B1 1 x11=20 7 3 x31=10 30 3 2 x32=25 25 10 5 x23=10 9 8 x24=10 4 x34=5 15 B2 6 B3 2 B4 10
供应 量 ai 20 20 40 80 80
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西北角法分配初始调运方案
单价cij A1 供 应 地 Ai A2 A3 需求量bj
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重新调整调运方案，现再用位势法或闭回路法求这个新 解各非基变量的检验数，结果示于下页表中。由于所有 非基变量的检验数全非负，故这个解为最优解。
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位势法或闭回路法计算新检验数结果
vi ui u1=1 u2=4 u3=3 需求量bj
v1=(0) 1 x11=20 7 σ21=3 3 x31=10 30
v2=–1 6 σ12=6 3 x22=10 2 x32=15 25
v3=–2 2 σ13=0 5 x23=10 9 σ33=5 10
v4=1 10 σ14=8 8 σ24=3 4 x34=15 15
供应量 ai 20 20 40
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步骤 （1）找出初始即可行解，即在产销平衡表上分配 初始调运方案，保证xij≥0， （又称实格）必须有m+n-1个； （2）求出各非基变量的检验数σij（空格检验数）， σij≥0时停止计算；σij<0时在继续调整调运方案（换 基迭代法）； （3）确定进基变量（空格换入变量）和出基变量 （实格调出变量），找出新的基可行解（用空格闭 回路法调整）； （4）重复第1-3步，直至获得σij≥0，输出xij*和 minZ=Z*为止。
用表上作业法求解运输问题
运输问题及数学模型
1. 运输问题数学模型 本章研究单一品种物资的运输调度问题。 其典型情况是：设某种物品有个产地（或供方）Ai（
i=1，2，…，m），各产地的产量分别是ai（i=1，2，…，m）
，有n个销地Bj（j=1，2，…，n）,各销地的销量分别为bj（ j=1，2，…，n）。假定从Ai（i=1，2，…，m）产地向销地
Bj（j=1，2，…，n）运输单位物品的运价是。问怎样调运这
些物品才能使总运费最小?
这是由多个产地供应多个销地的单品种物品运输问题。
为直观起见，可列出该问题的运输表（见下页）。表中的变
量Xij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）为由产地Ai运往销 地Bj的物品数量。cij为Ai到Bj的单位运价。有时，将单位运价
然后，在余下的供、销点的供销关系中，继续按上述方
法安排调运，直至安排完所有供销任务，得到一个完整的调
运方案(完整的解)为止。这样就得到了运输问题的一个初始 基可行解(初始调运方案)。
由于该方法基于优先满足单位运价(或运距)最小的供销
业务．故称为最小元素法。
最小元素法分配的初始调运方案
单价cij
A1 供 应 地 Ai A2 A3 需求量bj 销售地Bj B1 B2 B3 B4
至得到运输问题的最优解为止。如前所述，迭代过程得出的
所有解都要求是运输问题的基可行解。
步骤：
m n （1）找出初始即可行解，即在产销平衡表上分配初始调运 ai b j i 1 j 1 方案，保证xij≥0， ，并且xij>0的格（又称实格）必须
有m+n-1个；
（2）求出各非基变量的检验数σij（空格检验数），σij≥0时
西北角法分配初始调运方案