功率谱密度和白噪声过程+2013
白噪声 距离公式
白噪声距离公式一、白噪声的概念。
1. 定义。
- 白噪声是一种功率谱密度在整个频域内均匀分布的随机信号。
简单来说，它在各个频率上具有相同的能量分布。
例如，在声学中，白噪声听起来是一种持续的“嘶嘶”声，就像收音机在没有调准电台时发出的声音。
- 从数学角度看，设白噪声序列为{x_n}，其均值E(x_n) = μ（通常假设μ = 0），自协方差函数r(k)=σ^2δ(k)，其中σ^2为方差，δ(k)为克罗内克（Kronecker）函数，当k = 0时，δ(k)=1；当k≠0时，δ(k) = 0。
2. 性质。
- 白噪声的功率谱密度S(ω)=σ^2（ω为角频率），这表明其功率在所有频率上是常数。
- 由于其自协方差函数的特殊形式，白噪声在不同时刻（除了同一时刻）是不相关的。
二、距离公式相关（假设是在信号处理或空间中的距离概念与白噪声相关的情况）1. 欧几里得距离公式（如果涉及白噪声信号在离散点上的距离度量）- 在n维空间中，对于两个点x=(x_1,x_2,·s,x_n)和y=(y_1,y_2,·s,y_n)，欧几里得距离d(x,y)=√(∑_i = 1)^n(x_i - y_i)^2。
- 如果将白噪声序列看作是在离散时间点上的取值，例如有两个白噪声序列的片段x={x_1,x_2,·s,x_m}和y={y_1,y_2,·s,y_m}，可以使用欧几里得距离来衡量它们之间的“差异”，此时距离d(x,y)=√(∑_i = 1)^m(x_i - y_i)^2。
2. 马氏距离公式（考虑到白噪声可能存在于多元统计分析的背景下）- 设x和y是来自均值向量为μ、协方差矩阵为§igma的总体中的两个向量。
马氏距离d(x,y)=√((x - y)^T§igma^-1)(x - y)。
- 如果白噪声向量符合某种多元正态分布（白噪声在多元情况下的一种可能假设），马氏距离可以用来衡量两个白噪声向量之间的距离，它考虑了变量之间的相关性（通过协方差矩阵§igma）。
matlab 正弦波 高斯白噪声 均匀白噪声 功率谱密度 自相关函数(word文档良心出品)
现代通信原理作业一姓名：张英伟学号：133320085208036 班级：13级理工部3班利用matlab完成：●产生正弦波信号、均匀白噪声以及高斯白噪声并分别将两种噪声叠加到正弦波信号上，绘出波形。
●分别求取均匀白噪声序列和高斯白噪声序列的自相关及功率谱密度，绘出波形。
一、白噪声区别及产生方法1、定义：均匀白噪声：噪声的幅度分布服从均匀分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
高斯白噪声：噪声的幅度分布服从正态分布，功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
2、matlab仿真函数：rand函数默认产生是区间在[0,1]的随机数，这里需要利用公式：z2=a+(b-(a))*rand(m,n)............（公式1）randn函数默认产生均值是0、方差是1的随机序列，所以可以用其来产生均值为0、方差为1的正态分布白噪声，即N(0，12)。
利用公式：z1=a+b*randn(1,n).................（公式2）可以产生均值为a，方差为b2 高斯白噪声，即N(a，b2)。
二、自相关函数与功率谱密度之间的关系1、功率谱密度：每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度。
2、自相关函数：描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
3、维纳-辛钦定理：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
幸运的是维纳-辛钦定理提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
4、平稳随机过程：是在固定时间和位置的概率分布与所有时间和位置的概率分布相同的随机过程。
（就是指得仅一个随机过程，中途没有变成另外一个统计特性的随机过程）二、源代码及仿真结果1、正弦波x=(0:0.01:2); %采样频率100Hzy1=sin(10*pi*x); %产生频率5Hz的sin函数plot(x,y1,'b');2、高斯白噪声+正弦波z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声（b=0.01/0.1/1）plot(x,z1,'b');y2=y1+z1; %叠加高斯白噪声的正弦波plot(x,y2,'b');3、均匀白噪声+正弦波z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声plot(x,z2,'b');y3=y1+z2; %叠加均匀白噪声的正弦波plot(x,y3,'b');4、高斯白噪声序列自相关函数及功率谱密度z1=0.1*randn(1,201); %产生方差N（0，0.12）高斯白噪声[r1,lags]=xcorr(z1); %自相关函数的估计plot(lags,r1);f1=fft(r1);f2=fftshift(f1); %频谱校正l1=(0:length(f2)-1)*200/length(f2)-100; %功率谱密度x轴y4=abs(f2);plot(l1,y4);5、均匀白噪声序列自相关函数及功率谱密度z2=-.3+.6*rand(1,201); %产生-0.3到0.3的均匀白噪声[r2,lags]=xcorr(z2); %自相关函数的估计plot(lags,r2);f3=fft(r2);f4=fftshift(f3); %频谱校正l2=(0:length(f4)-1)*200/length(f4)-100; %功率谱密度x轴y5=abs(f4);plot(l2,y5);。
白噪声
物理学概念
01 定义
03 参数 05 应用
目录
02 起源 04 通信中的
白噪声（white noise）是指功率谱密度在整个频域内是常数的噪声。所有频率具有相同能量密度的随机噪声 称为白噪声。
定义
白噪声是指在较宽的频率范围内，各等带宽的频带所含的噪声功率谱密度相等的噪声。
一般在物理上把它翻译成白噪声（white noise）。
人生充满声音和噪声干扰,如轿车鸣喇叭、汪汪狗叫、吵邻打鼾、警报器、大喊大叫.白噪声并不增加烦躁， 而是包含所有同等频率的声音.研究表明,一个稳定、平和的声音流,如白噪声、可过滤和分散噪音，可以帮助减轻 噪音分心，这也正是为什么它用来帮助人们放松、睡眠。
上市销售的白噪声机器产品有睡眠辅助器、私密性增强器以及掩饰耳鸣。
白噪声可以用于放大器或者电子滤波器的频率响应测试，有时它与响应平坦的话筒或和自动均衡器一起使用。 这个设计的思路是系统会产生白噪声，话筒接收到扬声器产生的白噪声，然后在每个频率段进行自动均衡从而得 到一个平坦的响应。这种系统用在专业级的设备、高端的家庭立体声系统或者一些高端的汽车收音机上。
白噪声也作为一些随机数字生成器的基础使用，常用于计算机科学领域。
白噪声的应用领域之一是建筑声学，为了减弱内部空间中分散人注意力并且不希望出现的噪声（如人的交谈)， 使用持续的低强度噪声作为背景声音。
在电子通信中也有白噪声的应用，它被直接或者作为滤波器的输入信号以产生其它类型的噪声信号，尤其是 在信号合成中，经常用来重现有很高噪声成分信号。
白噪声也用来产生冲击响应。为了在一个演出地点保证音乐会或者其它演出的均衡效果，从P A系统发出一 个瞬间的白噪声或者粉红噪声，并且在不同的地方监测噪声信号，这样工程师就能够建筑物的声学效应能够自动 地放大或者削减某些频率，从而就可以调整总体的均衡效果以得到一个平衡的和声。
白噪声
I0 ( x ) = ∫
2π
0
1 exp ( − x cos θ ) dθ 2π
p (θ ) = ∫ p ( r,θ ) dr = ∫
0 2 2
∞
∞
0
( r − A cosθ )2 + ( Asin θ )2 r exp − dr 2 2 2πσ 2σ
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X (t ) =
n =−∞
∑ a g ( t − nT )
n
∞
E ( an ) = ma , E an an +k = Ra ( k )
*
循环平稳过程的统计特性
期望 E ( X ( t ) ) = m a 自相关
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R ( t ) = nc ( t ) + ns ( t )
2 2
瑞利分布
ns ( t ) 相位 θ ( t ) = arctg nc ( t ) 均匀分布
r2 p ( r ) = 2 exp − 2 σ 2σ r
, r ≥ 0
要求：
会判断过程是否平稳 会求平稳过程的自相关、功率谱密度 会分析与高斯平稳过程相关的一些性质
1 p (θ ) = 2π
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变 量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
2 nc + ns2 p ( nc , ns ) = exp − 2 2 2πσ 2σ ns 令 r = n2 + n2 , θ = arctg c s nc
白噪声的产生
σ 2 , ω ≤ ω0 （ ω0 为给定的远大于过程的截止频率） 谱密度： SW (ω ) = 0, ω > ω0 σ 2ω0 sin ω0τ 相关函数： RW (τ ) = ⋅
π
ω0τ
讨论白噪声时，还要涉及到白噪声的概率分布，服从正态分布的白噪声称为 高斯白噪声。 n 维白噪声：一个 n 维随机过程 W (t ) 满足： E{W (t )} = 0 Cov{W (t ),W (t + τ )} = E{W (t )W (t + τ )} = Qδ (τ ) 其中 Q 为正定常数矩阵，则称 W (t ) 为 n 维白噪声过程。 ● 白噪声序列 白噪声序列是白噪声过程的离散形式。如果序列 {W (k )} 满足： 相关函数： RW (l ) = σ 2δ l , l = 0,±1,±2,L 则称为白噪声序列。 谱密度： SW (ω ) =
N 2 = i =1 N / 12
∑ξ
N
i
−
N 12 2 由此可得正态分布η ~ N ( µη ,σ η ) 的随机数。
取 N = 12 时，有
η = µη + σ η
∑ξ
i =1
N
i
−
N 2
η = µη + σ η ∑ ξi − 6
i =1
● 变换抽样法 理论依据：设 ξ1 和 ξ 2 是相互独立的（0，1）均匀分布随机变量，则
● M 序列的生成结构图 ● M 序列的波形 1.2.3 特征多项式 解决如何选取反馈通道的问题，以保证生成 M 序列。 ● 定义多项式： G ( s ) = ∑ x i s i （无限阶）
i =0 P 1 , F ( s ) = 1 ⊕ ∑ a j s j （有限阶） F ( s) j =1 称 F ( s ) 为 M 序列的特征多项式。 注意 1：此时选取 M 序列初始状态为： x1 = 1, x 2 = 0, L , x P = 0 。 注意 2：生成 M 序列的结构图完全由特征多项式 F ( s ) 确定。 ∞
通信原理之白噪声
谱密度为：
H
(
f
)
1
0
fc
B 2
f
fc
B 2
其他f
n0 / 2 Pn f
B
o
fc
fc
f
式中： fc － 中心频率，B － 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为
n0
Pn(f )
2
0
fc
B
2
f
fc
B
2
其它f
2.3窄带高斯白噪声
通常，带通滤波器的 B << fc ，因此称窄带滤波器，相
低通白噪声，即其功率谱密度为：
Pn() Nhomakorabean0 2
,
0,
( fH , fH ) 其它
Pn ()
n0 / 2
fH 0 fH
f
H 0 H
由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f | fH 内，通常把这样的 噪声也称为带限白噪声。
2.2带通白噪声
白噪声经理想带通滤波器后而形成的噪声，被称为低通白噪声，即其功率
实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系 统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。
如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。
高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间， 不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
1.3 自相关函数
据：功率信号的功率谱密度与其自相关函数互为傅氏变换对。
应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。其统计特 性与一般窄带随机过程相同：
平均功率N=n0B
功率谱密度 的估计
功率谱密度的估计原始波=余弦波+白噪声这个实验采用了两个输入，一个是白噪声，一个是有用信号和噪声信号作为输入时，他们的功率谱密度的仿真图像，并将他们进行对比。
平稳随机信号的功率谱密度（PSD ）是相关序列的离散傅里叶变换：()()jwm XX x P w r m e ∞--∞=∑采用间接法计算噪声信号的功率谱。
间接法，又称自相关法或者BT 法，在1985年由布莱克曼与图基首先开拓。
间接法的理论基础是维纳-辛钦定理。
他是由N 个观察值x(0),x(1),……,x(N-1),估计出自相关函数R （m ）,然后再求R （m ）的傅里叶变换作为功率谱密度的估计。
()(),||1M jwjwm N m M S e R m e M N -=-=<=-∑clear all;randn('state',0)NFFT=1024; %采样点数Fs=1000; %取样频率（单位为Hz ） t=0:1/Fs:.2;y1=cos(t*20*pi); %余弦序列figure(1)plot(t,y1);ylabel('余弦序列');grid on;%余弦序列的图像：%白噪声m=(0:NFFT-1)/Fs;y=0.1*randn(size(m)); %产生高斯白噪声。
figure(2);plot(m,y);title('白噪声波形');grid on;%白噪声的自相关函数[cory,lags]=xcorr(y,200,'unbiased'); %计算白噪声的自相关函数figure(3)plot(lags,cory); %自相关函数(无偏差的)，其中，cory为要求的自相关函数，lag为自相关函数的长度。
title('白噪声相关函数');grid on;%白噪声的频谱f=fft(cory);k=abs(f);fl=(0:length(k)-1)*Fs/length(k); %f1为他的横坐标，单位为Hz.figure(4)plot(fl,k);grid on;title('白噪声功率谱'); % 自相关函数的傅里叶变换：即功率谱密度。
功率谱密度和白噪声过程 PPT
R() 1
S()cos()d
0
Xtcosct
0, 2
R(
)
1 2
cosc
S()
R()ejd 1
2
cosce jd
1
e e j(c )
j(c )
d
4
2
(
c
)
(
c
)
R() e||
S() R()ejd e||ejd
2 e || 0
cosd222
S()4 1 20 4 29,求 R()
2） |SX Y()|2SX()SY()
3） Re[SXY()]Re[SXY()] 奇函数 Im[SXY()]Im[SXY()] 偶函数
1 ） S X Y() S Y * X () S Y X ()
先证明： R Y *X()R YX()
R YX()y(t)x*(t)f(x,t;y,t)dxdy
2 X
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
T
lim 1 T E[ X 2 (t)]dt T 2T T
P X2 1 T li m 2 1 TE [|F X(,T)|2]d
SX()T li m 2 1 TE|F X(,T)|2
为平稳随机过程X(t)的功率谱密度。
这样，Px又可以写成
W s2 (t)d t ？ |s(t)|d t
E()| F()|2
由巴塞伐尔等式，可得到
s2(t)dt21 |F()|2d
信号的总能量
信号的能谱密度
能量守恒！
能量无限，平均功率有限的信号称 为功率型信号。即
Ps T li m 21T
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R1
其功率谱密度不再是均匀的，而是 频率ω的函数。
5、矢量白噪声
定义：若一个n维独立矢量随机过程
W(t),t 0 均值矢量为
mW (t) E[W(t)] 0
PW (t, ) cov[W(t), W( )] Q(t) (t )
本节课小结
1、平稳过程的功率谱密度 2、谱密度与自相关函数：维纳辛钦
平稳随机过程的功率谱密度是它的 自相关函数的傅立叶变换：
S () R( )e j d ①
由于 R( ) R*( ) S () 是实函数
谱密度与自相关函数的关系
由傅里叶逆变换公式，有
R( ) 1 S()e j d ②
2
上述两式统称为 维纳-辛钦公式
注释：对比“信号与系统” 中维纳辛钦公式
令T趋于无穷，功率型信号s(t)在
(-∞, ∞)上的平均功率可表示为
Ps
lim
T
1 2T
T s2 (t)dt
T
1
lim
1
| F (,T ) |2 d
2 T 2T
功率型信号的平均功率谱密度
功率谱密度
功率型信号的平均功率谱密度，简 称功率谱密度，定义为：
S lim 1 | F (,T ) |2
已知功率谱
S( )
4
2 4 10 2
, 求R( )
9
R( ) 1
2
4
2 4 10 2
e 9
j d
应用留数定理
R(τ)=
1 2π
2πj
(z 2
z2 +4 +1)(z 2
+9)
e j|τ|z
在z=j,3j留数和
1 (9e| | 5e3| | ) 48
例 2.4-4
若平稳随机过程功率谱
PX
1
2
SX ()d
平均功率谱 的表达式
平稳过程的功率谱密度
SX () 为双边功率谱密度，但在实际 应用中，负频率不存在，故引入
单边谱密度
GX
()
2S
X ()
0
0 0
二、谱密度与自相关函数
1、功率谱密度与自相关函数 2、功率谱密度的两种定义 3、功率谱密度的性质
1、谱密度与自相关函数的关系
Ps为信号的平均功率。
5、平均功率的谱表示
功率型信号不满足绝对可积条件
为了能够利用傅里叶变换给出平均 功率的谱表示式，构造截尾函数：
s(t) | t | T
sT (t)
0
t T
平均功率的谱表示
sT(t)能够满足绝对可积条件， sT(t) 的频域结构
F(,T )
sT
(t
)e
jt
麦
克
黑傅
斯
格立
韦
尔叶恩
：
是是格
一
一一斯
首
首首：
伟
辩数
大
证学
的
法的
数
的诗
学
诗，
的
诗
傅里叶《热的解析理论》
所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的 ，复杂的还是简单的，都可以用数学方式 进行全面的描述。
傅立叶的证明具有深刻的哲学意义：美妙 的音乐以令人意想不到的美妙方式得到了 数学描述，从而，艺术中最抽象的领域能 转换为最抽象的科学；而最富有理性的学 问，也有合乎理性的音乐与其密切相联。
2、功率谱密度两种定义的等价条件
对于第一种定义，将其展开
S
X
(
)
lim
T
1 2T
E
T T
X
(t1 )e
jt1 dt1
T T
X
(t2 )e
jt2 dt2
lim 1 T 2T
T T
T T
E[
X
(t1 )
X
(t2
)]e
j (t1 t2
)dt1dt2
lim 1 T 2T
T T
2
3、功率谱密度的性质
若过程X(t)是实平稳的，则自相关函数 是实偶函数，因此功率谱密度也是实偶 函数，即
S() S(), S() S()
证明：
S() R*( )e j d R( )e j( )d S()
S() R*( )e j d R( )e j() d S()
T T
R(t1
t2
)e
j (t1 t2
)dt1dt2
功率谱密度两种定义的等价条件
通过变量置换，最后得到：
S
X
(
)
lim
T
2T (1 | |)R( )e j d
2T 2T
lim 2T R( )e j d lim 2T | | R( )e j d
T 2T
T 2T 2T
功率谱密度两种定义的等价条件
功率谱密度的性质
由于R(τ)和S(ω)都是偶数，于是 维纳-辛钦公式还可以写成：
S () 20 R( ) cos( )d
R( ) 1
S () cos( )d
0
例 2.4-1
设随机相位余波 X t cosct 的功
率谱密度，其 是在区间 0,2 内均
匀分布.
解：
S( )
R( )
平稳随机过程的功率谱密度 白噪声随机过程
主讲人：张有光 电 话：82314978 办公室：新主楼F806
主要内容
一、平稳过程的功率谱密度 二、谱密度与自相关函数 三、平稳过程的互谱密度 四、白噪声过程
一、平稳过程的功率谱密度
能量型信号 信号的频谱 信号的能谱 功率型信号 平均功率的谱表示和功率谱密度 平稳过程的功率谱密度
dt
T s(t)e jtdt
T
sT(t)的平均功率：PsT
sT2
(t
)dt
平均功率的谱表示
由巴塞伐尔等式，可得到
sT2 (t)dt
1
2
|
F (,T )
|2
d
两边同除以2T，并由截尾函数的定 义，得到
1 T s2 (t)dt 1
|
F(,T ) |2
d
2T T
4T
平均功率的谱表示
此时有：
RX Y ( ) RX ( ) RY ( ) SX Y () SX () SY ()
3、互谱密度的性质
SXY () SY*X () SYX ()
| SXY () |2 SX ()SY ()
Re[SXY ()] Re[SXY ()] Im[SXY ()] Im[SXY ()]
定理，计算功率谱的方法； 3、平稳过程的互谱密度 4、白噪声过程
习题
P87：27~31
RY*X
(
)e
j
d
,
令：
-
SY*X ()
RXY
( )e j d
RXY
()e
j d
S XY
()
若X (t)和Y (t)是实随机过程则
SY*X ()
RY*X
(
)e
j
d
RYX
(
)e
j ( )
d
SYX
()
互谱密度函数： 不是实的、正的偶函数
2) | SXY () | SX ()SY ()
只要
|
R( ) |
d
则上式中第二项为
零，故此时
SX ()
R( )e j d
平稳随机过程在自相关函数绝对可 积的情况下，维纳-辛钦公式成立。
此时功率谱密度的两种定义等价。
功率谱的意义
R( ) 1 S ()e j d
2
令 0， 则
R(0) 1 S()d E{| X (t) |2} 0
SXY ()
RXY
(
)e
j
d
RXY ( ) cos d j RXY ( )sin d
Re[SXY ()] j Im[SXY ()]
Re[SXY ()] RXY ( ) cos d
四、白噪声过程
1、白噪声过程的定义 2、白噪声过程的自相关函数 3、白噪声的相关系数
T 2T
6、平稳过程的功率谱密度
平稳随机过程的样本函数是功率型的
FX (,T )
T X (t)e jt dt
T
1
2T
T X 2 (t)dt 1
T
4 T
|
FX
(,T ) |2
d
定义
1
PX
lim
T
E
2T
T
X
2
(t
)dt
T
为平稳过程X(t)的平均功率。
6、平稳过程的功率谱密度
由于平稳随机过程的均方值是常数
(
)
1
2
S
XY
()e
j
d
2、互谱密度的维纳-辛钦公式
当 0
RXY
(0)
1
2
SXY ()d E[ X (t)Y (t)]
若X(t)是一个二端电压、Y(t)是流经 该器件的电流，则上式左边就是消 耗的功率。
两个正交随机过程性质
随机过程X(t)和Y(t)正交
RXY ( ) 00,,SSXXYY(())00
1）SXY () SY*X () SYX ()
先证明：RY*X ( ) RYX ( )
RYX ( ) y(t)x*(t ) f (x,t ; y,t)dxdy
令： t t
RY*X ( ) x(t) y*(t ) f (x,t; y,t )dxdy RXY ( )
SY*X ()
2 X
lim
T
E